Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Hindi

(A) प्रत्येक तार में प्रेरित गतिकीय $emf$ $V = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $B = 0.5\, T$,$\ell = 4\, cm = 0.04\, m$,और $v = 5\, cm/s = 0.05\, m/s$।
$V = 0.5 \times 0.04 \times 0.05 = 10^{-3}\, V = 1\, mV$।
स्थिति $(a)$: दोनों तार दाईं ओर चलते हैं।
दोनों तार प्रत्येक $2\,\Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध के साथ समानांतर में $V$ $emf$ वाली बैटरी के रूप में कार्य करते हैं।
तुल्य $emf$ $E_{eff} = V = 1\, mV$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eff} = (2\,\Omega || 2\,\Omega) = 1\,\Omega$ है।
$9\,\Omega$ के प्रतिरोधक में धारा $i = \frac{E_{eff}}{R + r_{eff}} = \frac{10^{-3}}{9 + 1} = \frac{10^{-3}}{10} = 10^{-4}\, A = 0.1\, mA$।
स्थिति $(b)$: $P_1Q_1$ बाईं ओर और $P_2Q_2$ दाईं ओर चलता है।
दोनों तारों में प्रेरित $emf$ सर्किट लूप के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में होंगे।
अतः,सर्किट में कुल $emf$ $V - V = 0$ होगा।
इसलिए,$9\,\Omega$ के प्रतिरोधक में धारा $i = 0$ है।

(A) शाखा में प्रवाहित धारा $I = 10t + 5$ है।
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = 10 \, A/s$ है।
प्रेरकत्व (inductor) पर प्रेरित $EMF$ $E_L = -L \frac{dI}{dt} = -1 \times 10 = -10 \, V$ है।
$t = 0$ पर,धारा $I = 10(0) + 5 = 5 \, A$ है।
$A$ से $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - I R - L(dI/dt) - V_{battery} = V_B$
$V_A - V_B = I R + L(dI/dt) + V_{battery}$
परिपथ आरेख के अनुसार,$V_A - V_B = (5 \times 3) + 10 - 10 = 15 \, V$।

(A) जेट विमान की गति,$v = 1800\, km/h = 500\, m/s$.
जेट विमान के पंखों की लंबाई,$l = 25\, m$.
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 5.0 \times 10^{-4}\, T$.
नमन कोण,$\delta = 30^{\circ}$.
जब विमान क्षैतिज रूप से गति करता है,तो पंखों के सिरों के बीच प्रेरित $EMF$ के लिए पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक जिम्मेदार होता है।
$B_v = B \sin \delta = 5 \times 10^{-4} \times \sin 30^{\circ} = 5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-4}\, T$.
पंखों के सिरों के बीच प्रेरित वोल्टेज अंतर $e = B_v \times l \times v$ द्वारा दिया जाता है।
$e = 2.5 \times 10^{-4} \times 25 \times 500$.
$e = 3.125\, V$.
अतः,पंखों के सिरों के बीच विकसित वोल्टेज अंतर $3.125\, V$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(emf)$ का सूत्र है: $e = B \cdot l \cdot v$
दिए गए मान:
चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ = $0.30 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$
तार की लंबाई $(l)$ = $20 \; m$
तार का वेग $(v)$ = $5.0 \; m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = (0.30 \times 10^{-4}) \times 20 \times 5.0$
$e = 0.30 \times 10^{-4} \times 100$
$e = 0.30 \times 10^{-2} \; V$
$e = 3 \times 10^{-3} \; V$
चूंकि $1 \; V = 1000 \; mV$,इसलिए:
$e = 3 \; mV$

(B) $l$ लंबाई की एक छड़ अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपनी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः घूम रही है। चुंबकीय क्षेत्र $B$ घूर्णन अक्ष के समानांतर है।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित एक छोटे अवयव $dr$ के लिए,प्रेरित गतिक $emf$ $d\varepsilon = Bv dr = B(\omega r) dr$ है।
केंद्र और एक सिरे के बीच प्रेरित $emf$ $\varepsilon = \int_{0}^{l/2} B\omega r dr = B\omega [\frac{r^2}{2}]_{0}^{l/2} = \frac{Bl^2\omega}{8}$ है।
चूंकि छड़ अपने केंद्र के परितः घूमती है,छड़ के दोनों आधे हिस्से विपरीत दिशा में जुड़ी दो बैटरी के रूप में कार्य करते हैं। पहले आधे हिस्से (केंद्र से एक सिरे तक) में प्रेरित $emf$ $\frac{Bl^2\omega}{8}$ है और दूसरे आधे हिस्से (केंद्र से दूसरे सिरे तक) में प्रेरित $emf$ भी $\frac{Bl^2\omega}{8}$ है।
चूंकि ये दोनों प्रेरित $emf$ केंद्र के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए छड़ के दोनों सिरों के बीच कुल विभवांतर $\frac{Bl^2\omega}{8} - \frac{Bl^2\omega}{8} = 0$ है।

(A) छड़ में प्रेरित गतिकीय $emf$ $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 0.15\, T$,$\ell = 50\, cm = 0.5\, m$,$v = 2\, ms^{-1}$,और $R = 3\,\Omega$.
परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = I \ell B = \left(\frac{B \ell v}{R}\right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$ है।
मान रखने पर:
$F = \frac{(0.15)^2 \times (0.5)^2 \times 2}{3} = \frac{0.0225 \times 0.25 \times 2}{3} = \frac{0.01125}{3} = 0.00375\, N$.
अतः,$F = 3.75 \times 10^{-3}\, N$.

(B) गतिमान धात्विक फ्रेम में प्रेरित $emf$ को एक लूप में जुड़ी दो बैटरियों के रूप में माना जा सकता है। भुजा $AD$ तार के करीब है,इसलिए यह एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र का अनुभव करती है,जिसके परिणामस्वरूप $5\,V$ का उच्च प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है। भुजा $BC$ अधिक दूरी पर है,जिसके परिणामस्वरूप $2\,V$ का प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है।
लूप में कुल $emf$,$\varepsilon_{net} = 5\,V - 2\,V = 3\,V$ है।
धारा की दिशा बड़े $emf$ ($AD$ में $5\,V$) द्वारा निर्धारित होती है,जो धारा को वामावर्त $(ACW)$ दिशा में प्रवाहित करती है।
प्रेरित धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{\varepsilon_{net}}{R} = \frac{3\,V}{6\,\Omega} = 0.5\,A$.
अतः,परिमाण $0.5\,A$ है और दिशा वामावर्त $(ACW)$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में घूमने वाले चालक में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स (emf) का सूत्र $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से अंतिम बिंदु की प्रभावी दूरी है।
इस मामले में,छड़ $J$-आकार की है जिसमें $l$ और $L$ लंबाई के खंड एक-दूसरे के लंबवत हैं। धुरी बिंदु $P$ से दूसरे सिरे $Q$ तक की प्रभावी दूरी $r$ सीधी रेखा की दूरी है,जो $r = \sqrt{l^2 + L^2}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e = \frac{1}{2} B \omega (\sqrt{l^2 + L^2})^2$
$e = \frac{1}{2} B \omega (l^2 + L^2)$

(C) $1$. भुजा $PS$ चुंबकीय क्षेत्र के बाहर है। चूँकि भुजा $PS$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य है,इसलिए भुजा $PS$ में प्रेरित $e.m.f.$ $\varepsilon = B \ell v = 0 \times \ell \times v = 0$ होगा।
$2$. लूप को बल $F$ द्वारा स्थिर गति $v$ से खींचा जा रहा है। चुंबकीय क्षेत्र के अंदर स्थित भुजा $QR$ पर चुंबकीय बल $F_m = B I \ell$ है। चूँकि गति स्थिर है,इसलिए $F = F_m = B I \ell$ होगा।
$3$. लूप में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon_{total}}{r} = \frac{B \ell v}{r}$ है।
$4$. बल के समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $F = B \ell \left( \frac{B \ell v}{r} \right) = \frac{B^2 \ell^2 v}{r}$,जिससे $v = \frac{Fr}{B^2 \ell^2}$ प्राप्त होता है।
$5$. $P$ और $S$ के बीच विभवांतर उस खंड के प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप है। लूप का कुल प्रतिरोध $r$ है। भुजा $PS$ की लंबाई $\ell$ है। यदि लूप एक समान तार से बना है,तो भुजा $PS$ का प्रतिरोध $r_{PS} = \frac{r}{6}$ होगा (क्योंकि कुल परिधि $2(2\ell + \ell) = 6\ell$ है)।
$6$. अतः,$V_{PS} = I \cdot r_{PS} = \left( \frac{B \ell v}{r} \right) \cdot \frac{r}{6} = \frac{B \ell}{6} \cdot \left( \frac{Fr}{B^2 \ell^2} \right) = \frac{Fr}{6 B \ell}$.

(A) छड़ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v$ है।
परिपथ में प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय मंदक बल $f_m = i \ell B = \left(\frac{B \ell v}{R}\right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$ है।
छड़ को नियत वेग $v$ से गति कराने के लिए,बाह्य एजेंट को चुंबकीय मंदक बल के बराबर और विपरीत दिशा में बल $f$ लगाना होगा:
$f = f_m = \left(\frac{B^2 \ell^2}{R}\right) v$.
चूंकि $f \propto v$,इसलिए बल बनाम वेग का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सरल रेखा है।
बाह्य एजेंट द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति $P = f \cdot v = \left(\frac{B^2 \ell^2}{R}\right) v \cdot v = \left(\frac{B^2 \ell^2}{R}\right) v^2$ है।
चूंकि $P \propto v^2$,इसलिए शक्ति बनाम वेग का ग्राफ एक परवलय है।

(C) प्रत्येक स्पोक के सिरों के बीच प्रेरित $emf$ का सूत्र इस प्रकार है:
$e = \frac{1}{2} B l^2 \omega$
जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, $l$ प्रत्येक स्पोक की लंबाई है (जो पहिये की त्रिज्या के बराबर है), और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है:
त्रिज्या $l = 0.4\, m$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.4 \times 10^{-4}\, T$
आवृत्ति $f = 180\, \text{rpm} = \frac{180}{60} = 3\, \text{rev/s}$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 3 = 6 \pi\, \text{rad/s}$
चूंकि सभी स्पोक समानांतर में जुड़े हुए हैं, इसलिए रिम और केंद्र के बीच कुल प्रेरित $emf$ एक स्पोक में प्रेरित $emf$ के बराबर ही होता है।
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (0.4)^2 \times (2 \pi \times 3)$
$e = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 10^{-4} \times 0.16 \times 6 \pi$
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 0.16 \times 6 \times 3.14$
$e \approx 6.03 \times 10^{-5}\, V$
निकटतम विकल्प को देखते हुए, उत्तर $6 \times 10^{-5}\, V$ प्राप्त होता है।

(B) घूमते हुए स्पोक में प्रेरित $emf$ का सूत्र $e = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$ है।
दिया गया है:
$B = 0.40\,G = 0.40 \times 10^{-4}\,T$
$l = 0.50\,m$
$f = 120\,rev/min = \frac{120}{60}\,rev/s = 2\,Hz$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\,rad/s$.
मान रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (0.40 \times 10^{-4}) \times (4\pi) \times (0.50)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.40 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14 \times 0.25$
$e = 0.20 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14 \times 0.25$
$e = 0.628 \times 10^{-4}\,V$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ बाहर की ओर (धनात्मक $Z-$ अक्ष की दिशा में) है। छड़ $AB$ वेग $\vec{v}$ के साथ धनात्मक $X-$ अक्ष की दिशा में गति करती है।
लोरेंत्ज़ बल के सूत्र के अनुसार,$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।
मुक्त इलेक्ट्रॉनों $(q = -e)$ के लिए,बल $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ होगा।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर:
वेग $\vec{v}$ $+X$ दिशा में है और $\vec{B}$ $+Z$ दिशा में है।
$\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा $+Y$ दिशा (सिरे $B$ की ओर) में प्राप्त होती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉनों पर लगने वाला बल $-Y$ दिशा (सिरे $A$ की ओर) में होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन सिरे $A$ पर जमा हो जाते हैं,जिससे सिरा $A$ ऋणावेशित हो जाता है और सिरा $B$ धनावेशित हो जाता है।

(D) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 800$,क्षेत्रफल $A = 0.05\; m^{2}$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-5}\; T$,समय अंतराल $\Delta t = 0.1\; s$.
प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{1} = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{2} = N B A \cos(90^{\circ}) = 0$.
प्रेरित $emf$ $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_{2} - \phi_{1}}{\Delta t} = \frac{N B A}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 0.05}{0.1}$.
$e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{10^{-1}} = 800 \times 5 \times 5 \times 10^{-7} \times 10^{1} = 20000 \times 10^{-6} = 0.02\; V$.

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली $R$ लंबाई की छड़ (या पहिये की तीली) में प्रेरित गतिकीय $EMF$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
दी गई मान:
$B = 0.1 \; T$
$\omega = 10 \; rad/s$
$R = 0.5 \; m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times (0.5)^2$
$E = 0.5 \times 0.25$
$E = 0.125 \; V$
अतः,केंद्र और रिम के बीच उत्पन्न $EMF$ $0.125 \; V$ है।

(N/A) दिया है: त्रिज्या $r = 0.1\; m$,क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = \pi \times 10^{-2}\; m^2$,फेरों की संख्या $N = 500$,प्रतिरोध $R = 2\; \Omega$,समय $\Delta t = 0.25\; s$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 3.0 \times 10^{-5}\; T$.
कुंडली से गुजरने वाला प्रारंभिक फ्लक्स,$\Phi_{\text{initial}} = N B A \cos 0^{\circ} = 500 \times 3.0 \times 10^{-5} \times \pi \times 10^{-2} = 1.5 \pi \times 10^{-4}\; Wb$.
$180^{\circ}$ घूर्णन के बाद अंतिम फ्लक्स,$\Phi_{\text{final}} = N B A \cos 180^{\circ} = -1.5 \pi \times 10^{-4}\; Wb$.
फ्लक्स में परिवर्तन,$\Delta \Phi = \Phi_{\text{final}} - \Phi_{\text{initial}} = -3.0 \pi \times 10^{-4}\; Wb$.
प्रेरित emf,$\varepsilon = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{-3.0 \pi \times 10^{-4}}{0.25} = 12 \pi \times 10^{-4} \approx 3.77 \times 10^{-3}\; V$.
प्रेरित धारा,$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{3.77 \times 10^{-3}}{2} \approx 1.88 \times 10^{-3}\; A$.

(157 V) विधि $I$
जैसे ही छड़ घूमती है,छड़ में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन लॉरेंट्ज़ बल के कारण बाहरी सिरे की ओर बढ़ते हैं और वलय पर वितरित हो जाते हैं। इस प्रकार,आवेशों का परिणामी पृथक्करण छड़ के सिरों के बीच $emf$ उत्पन्न करता है। $emf$ के एक निश्चित मान पर,इलेक्ट्रॉनों का प्रवाह रुक जाता है और एक स्थिर अवस्था प्राप्त हो जाती है। जब छड़ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करती है,तो छड़ की $dr$ लंबाई पर उत्पन्न $emf$ का परिमाण $d\varepsilon = B v dr$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\varepsilon = \int d\varepsilon = \int_{0}^{R} B v dr = \int_{0}^{R} B \omega r dr = \frac{B \omega R^{2}}{2}$.
$v = \omega r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\varepsilon = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (2 \pi \times 50) \times (1^{2}) = 157\; V$.
विधि $II$
$emf$ की गणना करने के लिए,हम एक बंद लूप $OPQ$ की कल्पना कर सकते हैं जिसमें बिंदु $O$ और $P$ एक प्रतिरोधक से जुड़े हैं और $OQ$ घूमती हुई छड़ है। प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर प्रेरित $emf$ के बराबर होता है और यह $B \times$ (लूप के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर) के बराबर होता है। यदि $\theta$ समय $t$ पर छड़ और वृत्त की त्रिज्या के बीच का कोण है,तो सेक्टर $OPQ$ का क्षेत्रफल $\pi R^{2} \times \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{1}{2} R^{2} \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है। अतः,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = B \times \frac{d}{dt} [\frac{1}{2} R^{2} \theta] = \frac{1}{2} B R^{2} \frac{d\theta}{dt} = \frac{B \omega R^{2}}{2} = 157\; V$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई छड़ में प्रेरित $emf$ का सूत्र $\epsilon = \frac{1}{2} B \omega R^2$ है।
यहाँ,$B = H_E = 0.4 \; G = 0.4 \times 10^{-4} \; T$.
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi \nu$,जहाँ $\nu = 120 \; rev/min = \frac{120}{60} \; rev/s = 2 \; rev/s$.
अतः,$\omega = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \; rad/s$.
स्पोक की लंबाई $R = 0.5 \; m$.
मान रखने पर: $\epsilon = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (4 \pi) \times (0.5)^2$.
$\epsilon = 0.2 \times 10^{-4} \times 4 \pi \times 0.25 = 0.2 \times 10^{-4} \times \pi = 0.2 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 6.28 \times 10^{-5} \; V$.
स्पोक्स की संख्या का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है क्योंकि सभी स्पोक्स के बीच का $emf$ समानांतर (parallel) क्रम में होता है।

(N/A) आइए पहले $x=0$ से $x=2b$ तक की आगे की गति पर विचार करें। परिपथ $SPQR$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B$ है:
$\Phi_B = Blx$,$0 \leq x < b$ के लिए
$\Phi_B = Blb$,$b \leq x < 2b$ के लिए
प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ है:
$\varepsilon = -Blv$,$0 \leq x < b$ के लिए
$\varepsilon = 0$,$b \leq x < 2b$ के लिए
जब प्रेरित emf शून्य नहीं होता है,तो धारा $I$ का परिमाण $I = \frac{|\varepsilon|}{r} = \frac{Blv}{r}$ होता है।
भुजा $PQ$ को स्थिर गति में रखने के लिए आवश्यक बल $F = IlB$ है। इसकी दिशा बाईं ओर (गति के विपरीत) है। परिमाण में:
$F = \frac{B^2l^2v}{r}$,$0 \leq x < b$ के लिए
$F = 0$,$b \leq x < 2b$ के लिए
जूल ऊष्मा हानि $P_J = I^2r$ है:
$P_J = \frac{B^2l^2v^2}{r}$,$0 \leq x < b$ के लिए
$P_J = 0$,$b \leq x < 2b$ के लिए
$x=2b$ से $x=0$ तक की अंदर की ओर गति के लिए भी समान व्यंजक प्राप्त होते हैं। दूरी के साथ इन राशियों के परिवर्तन को चित्र में दर्शाया गया है।

(C) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 100$,क्षेत्रफल $A = 0.10 \; m^2$,आवृत्ति $\nu = 0.5 \; Hz$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.01 \; T$.
घूर्णन करती कुंडली में उत्पन्न अधिकतम प्रेरित विद्युत वाहक बल (वोल्टेज) $\varepsilon_0$ का सूत्र $\varepsilon_0 = N B A \omega$ है,जहाँ $\omega = 2 \pi \nu$ है।
मान रखने पर:
$\varepsilon_0 = 100 \times 0.01 \times 0.10 \times (2 \times 3.14 \times 0.5)$
$\varepsilon_0 = 1 \times 0.10 \times 3.14$
$\varepsilon_0 = 0.314 \; V$.
अतः,कुंडली में उत्पन्न अधिकतम वोल्टेज $0.314 \; V$ है।

(N/A) दिया गया है:
आयताकार तार की लंबाई,$l = 8 \;cm = 0.08 \;m$
आयताकार तार की चौड़ाई,$b = 2 \;cm = 0.02 \;m$
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.3 \;T$
लूप का वेग,$v = 1 \;cm \,s^{-1} = 0.01 \;m \,s^{-1}$
$(a)$ जब वेग लंबी भुजा $(l)$ के लंबवत हो:
प्रेरित emf $e = B l v = 0.3 \times 0.08 \times 0.01 = 2.4 \times 10^{-4} \;V$ है।
क्षेत्र से बाहर निकलने में लगा समय $t = \frac{b}{v} = \frac{0.02}{0.01} = 2 \;s$ है।
अतः,प्रेरित वोल्टेज $2.4 \times 10^{-4} \;V$ है और यह $2 \;s$ तक रहता है।
$(b)$ जब वेग छोटी भुजा $(b)$ के लंबवत हो:
प्रेरित emf $e = B b v = 0.3 \times 0.02 \times 0.01 = 0.6 \times 10^{-4} \;V$ है।
क्षेत्र से बाहर निकलने में लगा समय $t = \frac{l}{v} = \frac{0.08}{0.01} = 8 \;s$ है।
अतः,प्रेरित वोल्टेज $0.6 \times 10^{-4} \;V$ है और यह $8 \;s$ तक रहता है।

(B) दिया गया है: छड़ की लंबाई,$l = 1.0 \; m$।
कोणीय आवृत्ति,$\omega = 400 \; rad \; s^{-1}$।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.5 \; T$।
जब $l$ लंबाई की एक छड़ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ के साथ अपने एक सिरे के परितः घूमती है,तो उसके सिरों के बीच प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है:
$e = \int_{0}^{l} B v \; dr = \int_{0}^{l} B (\omega r) \; dr$
$e = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2} B \omega l^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 400 \times (1.0)^2$
$e = 0.25 \times 400 = 100 \; V$।
अतः,केंद्र और वलय के बीच विकसित emf $100 \; V$ है।

(A) दिया गया है:
वृत्ताकार कुंडली की त्रिज्या,$r = 8.0\; cm = 0.08\; m$
फेरों की संख्या,$N = 20$
कोणीय चाल,$\omega = 50\; rad\; s^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 3.0 \times 10^{-2}\; T$
लूप का प्रतिरोध,$R = 10\; \Omega$
कुंडली का क्षेत्रफल,$A = \pi r^2 = \pi \times (0.08)^2 = 0.0201\; m^2$
$1$. अधिकतम प्रेरित $emf$ $(e_{max})$:
$e_{max} = N \omega A B = 20 \times 50 \times 0.0201 \times 3.0 \times 10^{-2} = 0.603\; V$
$2$. औसत प्रेरित $emf$:
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स एक पूर्ण चक्र के दौरान ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप से बदलता है,इसलिए औसत प्रेरित $emf$ $0\; V$ होता है।
$3$. अधिकतम धारा $(I_{max})$:
$I_{max} = \frac{e_{max}}{R} = \frac{0.603}{10} = 0.0603\; A$
$4$. औसत शक्ति क्षय $(P_{avg})$:
$P_{avg} = \frac{e_{max} I_{max}}{2} = \frac{0.603 \times 0.0603}{2} \approx 0.018\; W$
$5$. शक्ति का स्रोत:
जूल ऊष्मन के रूप में व्यय होने वाली शक्ति उस बाहरी एजेंट (रोटर) से आती है जो कुंडली को चुंबकीय बल आघूर्ण के विरुद्ध घुमाता है।

(A) दिया गया है:
तार की लंबाई,$l = 10 \; m$
तार के गिरने की गति,$v = 5.0 \; m \, s^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.30 \times 10^{-4} \; Wb \, m^{-2}$
$(a)$ प्रेरित $emf$ का तात्कालिक मान सूत्र $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\varepsilon = (0.30 \times 10^{-4} \; Wb \, m^{-2}) \times (10 \; m) \times (5.0 \; m \, s^{-1})$
$\varepsilon = 1.5 \times 10^{-3} \; V$
$(b)$ फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा (और इस प्रकार $emf$) की दिशा पश्चिम से पूर्व की ओर है।
$(c)$ चूंकि प्रेरित धारा तार के अंदर पश्चिम से पूर्व की ओर बहती है,इसलिए तार का पूर्वी सिरा उच्च विद्युत विभव पर है।

(A) जेट विमान की गति,$v = 1800\; km/h = 500\; m/s$.
जेट विमान के पंखों की लंबाई,$l = 25\; m$.
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 5.0 \times 10^{-4}\; T$.
नमन कोण,$\delta = 30^{\circ}$.
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक,$B_v = B \sin \delta$.
$B_v = 5 \times 10^{-4} \times \sin 30^{\circ} = 5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-4}\; T$.
पंखों के सिरों के बीच प्रेरित विद्युत वाहक बल (वोल्टेज अंतर) $e = B_v \times l \times v$ द्वारा दिया जाता है।
$e = 2.5 \times 10^{-4} \times 25 \times 500$.
$e = 3.125\; V$.
अतः,पंखों के सिरों के बीच विकसित वोल्टेज अंतर $3.125\; V$ है।

(A) दिया गया है: छड़ की लंबाई,$l = 15 \; cm = 0.15 \; m$,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.50 \; T$,बंद लूप का प्रतिरोध,$R = 9.0 \; m\Omega = 9.0 \times 10^{-3} \; \Omega$,छड़ की गति,$v = 12 \; cm \; s^{-1} = 0.12 \; m \; s^{-1}$।
$(a)$ प्रेरित $emf$ $e = Bvl = 0.50 \times 0.12 \times 0.15 = 9 \times 10^{-3} \; V = 9 \; mV$। फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,ध्रुवीयता ऐसी है कि सिरा $P$ धनात्मक और सिरा $Q$ ऋणात्मक है।
$(b)$ जब $K$ खुला होता है,तो चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल द्वारा आवेशों के पृथक्करण के कारण छड़ के सिरों पर अतिरिक्त आवेश जमा हो जाता है। जब $K$ बंद होता है,तो धारा लगातार बहती है,इसलिए अतिरिक्त आवेश धारा के प्रवाह द्वारा बना रहता है।
$(c)$ जब $K$ खुला होता है,तो इलेक्ट्रॉनों पर चुंबकीय बल छड़ के सिरों पर जमा आवेशों के कारण लगने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित हो जाता है। अतः,इलेक्ट्रॉनों पर शुद्ध बल शून्य होता है।
$(d)$ मंदक बल $F = IBl$। धारा $I = e/R = (9 \times 10^{-3} \; V) / (9 \times 10^{-3} \; \Omega) = 1 \; A$। अतः,$F = 1 \times 0.50 \times 0.15 = 0.075 \; N = 75 \; mN$।
$(e)$ जब $K$ बंद होता है,तो शक्ति $P = Fv = 0.075 \times 0.12 = 9 \times 10^{-3} \; W = 9 \; mW$। जब $K$ खुला होता है,तो कोई धारा नहीं बहती है,इसलिए गति बनाए रखने के लिए किसी शक्ति की आवश्यकता नहीं होती है (घर्षण को छोड़कर)।
$(f)$ ऊष्मा के रूप में क्षयित शक्ति $P = I^2R = (1)^2 \times 9 \times 10^{-3} = 9 \; mW$। इस शक्ति का स्रोत छड़ को गति देने वाला बाह्य एजेंट है।
$(g)$ यदि चुंबकीय क्षेत्र पटरियों के समानांतर है,तो वेग सदिश चुंबकीय क्षेत्र सदिश के समानांतर है। अतः,$e = Bvl \sin(\theta) = 0$,क्योंकि $\theta = 0^\circ$।

(N/A) लंबे सीधे तार से $y$ दूरी पर लूप में एक छोटा अवयव $dy$ लें।
अवयव $dy$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $d\phi = B dA$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $dA = a dy$ अवयव का क्षेत्रफल है।
$y$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi y}$ है।
अतः, $d\phi = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi y}\right) a dy = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \frac{dy}{y}$.
$y = x$ से $y = x + a$ तक समाकलन करने पर:
$\phi = \int_{x}^{x+a} \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \frac{dy}{y} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} [\ln y]_{x}^{x+a} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{x+a}{x}\right) = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$.
चूँकि $\phi = MI$, अन्योन्य प्रेरण $M = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$ है।
$(b)$ प्रेरित $emf$, $e = |\frac{d\phi}{dt}|$ द्वारा दिया जाता है। वैकल्पिक रूप से, $e = (B_1 - B_2)av$, जहाँ $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+a)}$ है।
$e = \frac{\mu_0 I a v}{2\pi} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+a}\right) = \frac{\mu_0 I a v}{2\pi} \left(\frac{a}{x(x+a)}\right)$.
मान रखने पर: $I = 50\; A$, $x = 0.2\; m$, $a = 0.1\; m$, $v = 10\; m/s$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$.
$e = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 50 \times 0.1 \times 10}{2\pi} \times \left(\frac{0.1}{0.2(0.2+0.1)}\right) = (2 \times 10^{-7} \times 50) \times \left(\frac{0.1}{0.2 \times 0.3}\right) = 10^{-5} \times \left(\frac{0.1}{0.06}\right) = 1.67 \times 10^{-5}\; V$.

(N/A) $U$-आकार के चालक फ्रेम पर बाईं ओर $v$ वेग से गति करने वाली $l$ लंबाई की चालक छड़ $PQ$ पर विचार करें।
मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है और फ्रेम के तल के लंबवत अंदर की ओर है।
छड़ और फ्रेम द्वारा बने लूप का क्षेत्रफल $A = l \times x$ है,जहाँ $x$ फ्रेम के बाएं सिरे से छड़ की दूरी है।
लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B = B \cdot A = B \cdot l \cdot x$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ है।
$\Phi_B$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \cdot l \cdot x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B$ और $l$ स्थिर हैं,$\varepsilon = -B \cdot l \cdot \frac{dx}{dt}$।
जैसे-जैसे छड़ बाईं ओर गति करती है,दूरी $x$ घटती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -v$।
अतः,$\varepsilon = -B \cdot l \cdot (-v) = B \cdot l \cdot v$।
इस प्रकार,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = Blv$ है।

(N/A) चित्र में दिखाए गए चालक $PQ$ में किसी भी यादृच्छिक आवेश $q$ पर विचार करें। जब छड़ $v$ गति से चलती है,तो आवेश भी चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ गति से गति करेगा।
इस आवेश पर लगने वाला लॉरेंज बल परिमाण में $F = qvB$ है,और इसकी दिशा $Q$ की ओर होती है (दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित)। छड़ $PQ$ में अपनी स्थिति की परवाह किए बिना,सभी आवेश समान परिमाण और दिशा का बल अनुभव करते हैं।
आवेश को $P$ से $Q$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = F \cdot l = (qvB)l = qvBl$ है।
चूंकि $emf$ $(\varepsilon)$ प्रति इकाई आवेश किया गया कार्य है,
$\varepsilon = \frac{W}{q} = \frac{qvBl}{q} = Blv$.
यह समीकरण चुंबकीय क्षेत्र में छड़ $PQ$ की गति के कारण प्रेरित $emf$ देता है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ में वेग $(v)$ से गतिमान $(l)$ लंबाई की एक चालक छड़ में प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ का सूत्र है: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\theta)$।
यह मानते हुए कि छड़ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करती है, सूत्र $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$ हो जाता है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि प्रेरित $emf$ छड़ के वेग के सीधे आनुपातिक है $(\varepsilon \propto v)$।
यदि वेग को दोगुना कर दिया जाए $(v' = 2v)$, तो नया प्रेरित $emf$ $(\varepsilon')$ $\varepsilon' = B \cdot l \cdot (2v) = 2 \cdot (B \cdot l \cdot v) = 2\varepsilon$ होगा।
अतः, प्रेरित $emf$ $2$ गुना बढ़ जाएगा।

(N/A) गतिक $emf$ वह विद्युत वाहक बल $(emf)$ है जो तब प्रेरित होता है जब कोई चालक चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है।
जब $l$ लंबाई का एक चालक एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत $v$ वेग से गति करता है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लगने वाला चुंबकीय बल आवेशों का पृथक्करण करता है,जिससे एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है।
प्रेरित $emf$ का सूत्र $\varepsilon = Blv$ है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,$l$ चालक की लंबाई है और $v$ क्षेत्र के लंबवत चालक का वेग है।

(N/A) मान लीजिए कि चित्र में दिखाए गए आयताकार चालक की गतिशील भुजा $PQ$ का प्रतिरोध $r$ है। हम मानते हैं कि शेष भुजाओं का प्रतिरोध $r$ की तुलना में नगण्य है। अतः,लूप का कुल प्रतिरोध $r$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = B v l$ द्वारा दिया जाता है।
लूप में धारा $I$ है:
$I = \frac{\varepsilon}{r} = \frac{B v l}{r}$ ... $(1)$
चुंबकीय क्षेत्र के कारण,भुजा $PQ$ पर एक चुंबकीय बल कार्य करता है। यह बल $\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B}$ छड़ के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। इस बल का परिमाण है:
$F = I l B = \left( \frac{B v l}{r} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{r}$ ... $(2)$
बाह्य बल द्वारा दी गई शक्ति: भुजा $PQ$ को एकसमान वेग $v$ से गति कराने के लिए,गति की दिशा में $F$ के बराबर बाह्य बल लगाना आवश्यक है। आवश्यक यांत्रिक शक्ति है:
$P_{mech} = F v = \left( \frac{B^2 l^2 v}{r} \right) v = \frac{B^2 l^2 v^2}{r}$ ... $(3)$
उत्पन्न विद्युत शक्ति: प्रतिरोध $r$ में व्यय होने वाली विद्युत शक्ति है:
$P_{elec} = I^2 r = \left( \frac{B v l}{r} \right)^2 r = \frac{B^2 v^2 l^2}{r^2} \times r = \frac{B^2 l^2 v^2}{r}$ ... $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $P_{mech} = P_{elec}$। अतः,छड़ को गति कराने के लिए आवश्यक यांत्रिक शक्ति पूरी तरह से विद्युत शक्ति में परिवर्तित हो जाती है,जो बाद में प्रतिरोधक में ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है।

(N/A) जब $l$ लंबाई की एक चालक छड़ $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $v$ नियत वेग से गति करती है,तो छड़ के सिरों पर प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है,जो $\epsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है।
यदि छड़ $R$ प्रतिरोध वाले एक बंद परिपथ का हिस्सा है,तो प्रेरित धारा $I = \frac{\epsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ होती है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = IlB$ है। $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$F_m = \left(\frac{Blv}{R}\right)lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ प्राप्त होता है।
नियत वेग बनाए रखने के लिए,चुंबकीय बल के विपरीत दिशा में एक बाहरी यांत्रिक बल $F_{ext}$ लगाया जाना चाहिए,इसलिए $F_{ext} = F_m = \frac{B^2l^2v}{R}$।
आवश्यक यांत्रिक शक्ति $P = F_{ext} \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
$F_{ext}$ का मान रखने पर,$P = \left(\frac{B^2l^2v}{R}\right)v = \frac{B^2l^2v^2}{R}$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई चालक चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो चालक के भीतर के मुक्त इलेक्ट्रॉन भी उसी वेग $v$ के साथ गति करते हैं।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में इस गति के कारण,प्रत्येक इलेक्ट्रॉन $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया गया चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल अनुभव करता है।
यह बल आवेश वाहकों को विस्थापित करता है,जिससे प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है और यदि परिपथ बंद है,तो प्रेरित धारा $I$ प्रवाहित होती है।
जब यह धारा $l$ लंबाई के चालक से चुंबकीय क्षेत्र में प्रवाहित होती है,तो यह $F = I(l \times B)$ बल का अनुभव करती है।
अतः,फिसलते हुए चालक पर लगने वाला बल मुख्य रूप से आवेश वाहकों पर लगने वाले चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल के कारण होता है।

(N/A) पक्षियों का प्रवास जीव विज्ञान और वास्तव में पूरे विज्ञान के क्षेत्र में रहस्यों में से एक है।
उदाहरण के लिए,हर सर्दियों में साइबेरिया से पक्षी भारतीय उपमहाद्वीप के जल निकायों की ओर अचूक रूप से उड़कर आते हैं। यह सुझाव दिया गया है कि विद्युत चुंबकीय प्रेरण (electromagnetic induction) इन प्रवासी पैटर्न के लिए एक सुराग प्रदान कर सकता है।
पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र विकासवादी इतिहास के दौरान हमेशा से मौजूद रहा है।
प्रवासी पक्षियों के लिए दिशा निर्धारित करने के लिए इस क्षेत्र का उपयोग करना बहुत फायदेमंद होगा।
जहाँ तक हम जानते हैं,पक्षियों में कोई फेरोमैग्नेटिक पदार्थ नहीं होता है। इसलिए,दिशा निर्धारित करने के लिए विद्युत चुंबकीय प्रेरण ही एकमात्र तार्किक तंत्र प्रतीत होता है।
उस इष्टतम स्थिति पर विचार करें जहाँ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,पक्षी का वेग $\vec{v}$,और उसके शरीर के दो प्रासंगिक बिंदुओं के बीच की दूरी $l$ तीनों परस्पर लंबवत हैं। गतिकीय $EMF$ के सूत्र से,$\varepsilon = B l v$.
$B = 4 \times 10^{-5} \ T$,$l = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ और $v = 10 \ m/s$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\varepsilon = (4 \times 10^{-5}) \times (2 \times 10^{-2}) \times 10 \ V = 8 \times 10^{-6} \ V = 8 \ \mu V$.
यह अत्यंत छोटा विभवांतर बताता है कि हमारी परिकल्पना संदिग्ध वैधता की है।
कुछ प्रकार की मछलियाँ छोटे विभवांतर का पता लगाने में सक्षम होती हैं। हालाँकि,इन मछलियों में विशेष कोशिकाएँ पहचानी गई हैं जो छोटे वोल्टेज अंतर का पता लगाती हैं। पक्षियों में ऐसी कोई कोशिका नहीं पहचानी गई है। इस प्रकार,पक्षियों का प्रवास पैटर्न अभी भी एक रहस्य बना हुआ है।

(D) गतिमान छड़ में प्रेरित emf $\varepsilon = B v l \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ वेग सदिश $\vec{v}$ और लंबाई सदिश $\vec{l}$ के बीच का कोण है।
वैकल्पिक रूप से,इसे $\varepsilon = B v_{\perp} l$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $v_{\perp}$ छड़ के लंबवत वेग का घटक है,या $\varepsilon = B v l_{\perp}$ के रूप में,जहाँ $l_{\perp}$ वेग के लंबवत छड़ की प्रभावी लंबाई है।
इस विन्यास में,छड़ $PQ$ की प्रभावी लंबाई जो $v$ वेग के साथ चलते समय चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटती है,दो समानांतर तारों के बीच की लंबवत दूरी है,जो $d$ है।
अतः,प्रेरित emf $\varepsilon = B v d$ है।
प्रतिरोध $R$ वाले परिपथ में प्रेरित धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B v d}{R}$.
लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि यह चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है,जिसके परिणामस्वरूप इस लूप में दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में धारा प्रवाहित होती है।

(N/A) मान लीजिए कि दो समानांतर तार $y=0$ और $y=l$ पर हैं। मान लीजिए $t=0$ पर तार $XY$,$x=0$ पर है और $t$ समय पर यह $x$ स्थान पर है।
$(i)$ बंद लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B(t) l x$ है।
प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}[B(t) l x] = -l [B(t) \frac{dx}{dt} + x \frac{dB(t)}{dt}] = -l B(t) v - lx \frac{dB(t)}{dt}$.
तार पर चुंबकीय बल $F = IlB(t) = \frac{\varepsilon}{R} l B(t) = -\frac{l^2 B(t)}{R} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
चूंकि $F = ma$,त्वरण $a = -\frac{l^2 B(t)}{mR} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
$(ii)$ यदि $B$ स्थिर है,तो $\frac{dB}{dt} = 0$,इसलिए $a = -\frac{l^2 B^2}{mR} v$.
$\frac{dv}{dt} = -\frac{l^2 B^2}{mR} v \implies \int_{u_0}^{v} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{l^2 B^2}{mR} dt$.
$\ln(\frac{v}{u_0}) = -\frac{l^2 B^2}{mR} t \implies v(t) = u_0 e^{-\frac{l^2 B^2}{mR} t}$.
$(iii)$ गतिज ऊर्जा में कमी $\Delta K = \frac{1}{2} m u_0^2 - \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
व्यय हुई ऊष्मा $H = \int_0^t I^2 R dt = \int_0^t (\frac{Blv}{R})^2 R dt = \frac{B^2 l^2}{R} \int_0^t u_0^2 e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t} dt$.
$H = \frac{B^2 l^2 u_0^2}{R} [\frac{e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t}}{-\frac{2l^2 B^2}{mR}}]_0^t = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
अतः,$\Delta K = H$.

(N/A) मान लीजिए कि तार $OP$ क्षैतिज $OD$ के साथ $\theta = \omega t$ कोण पर है। तार $OP$ ऊर्ध्वाधर भुजा $BD$ को बिंदु $Q$ पर काटता है। समकोण त्रिभुज $\triangle ODQ$ में,लंबाई $OQ = x = \frac{l}{\cos \theta}$ है।
त्रिभुज $\triangle ODQ$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times OD \times QD = \frac{1}{2} \times l \times (l \tan \theta) = \frac{1}{2} l^2 \tan \theta$ है।
$\triangle ODQ$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{1}{2} B l^2 \tan(\omega t)$ है।
प्रेरित $emf$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} B l^2 \tan(\omega t) \right) = \frac{1}{2} B l^2 \omega \sec^2(\omega t)$ है।
लूप के अंदर तार $OP$ के भाग का प्रतिरोध $R = \lambda x = \frac{\lambda l}{\cos(\omega t)}$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\frac{1}{2} B l^2 \omega \sec^2(\omega t)}{\frac{\lambda l}{\cos(\omega t)}} = \frac{B l \omega}{2 \lambda \cos^3(\omega t)}$ द्वारा दी जाती है।

(N/A) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v \cos \theta$ है।
छड़ में प्रेरित emf $\varepsilon = B(v \cos \theta) l$ है,जहाँ $l = d$ है।
अतः,$\varepsilon = B v d \cos \theta$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B v d \cos \theta}{R}$ है।
छड़ पर चुंबकीय बल $F = B I d$ है,जो क्षैतिज दिशा में कार्य करता है। ढलान के समानांतर इस बल का घटक $F_{\parallel} = F \cos \theta = B I d \cos \theta = \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ है।
ढलान की दिशा में परिणामी बल $F_{\text{net}} = mg \sin \theta - F_{\parallel} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{dv}{dt} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dv}{dt} + \left( \frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} \right) v = g \sin \theta$।
प्रारंभिक स्थिति $v(0) = 0$ के साथ हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v(t) = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 d^2 \cos^2 \theta} \left( 1 - e^{-\frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} t} \right)$।

(B) धारा $I$ ले जाने वाले एक अनंत लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
$l$ लंबाई का चालक जो $v$ वेग से चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है,उसमें प्रेरित गतिक $EMF$ है:
$e = Bvl$
$B$ का मान $e$ के सूत्र में रखने पर:
$e = \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \right) vl = \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi r}$
ओम के नियम के अनुसार लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R}$:
$i = \frac{1}{R} \left( \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi Rr}$

(B) चित्र में दिखाए अनुसार एक स्पोक $(OP)$ पर विचार करें।
एक स्पोक $(OP)$ के सिरों पर प्रेरित emf:
$e = \frac{B \omega l^2}{2}$
दिया गया है:
$B = 0.4 \,G = 0.4 \times 10^{-4} \,T$
$l = 1 \,m$
$f = 120 \,rpm = \frac{120}{60} \,rps = 2 \,rps$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \,rad/s$
मान रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (4 \pi) \times (1)^2$
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14159$
$e = 0.8 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 2.51 \times 10^{-4} \,V$
चूंकि सभी स्पोक्स धुरी और रिम के बीच समानांतर में जुड़े होते हैं,इसलिए कुल प्रेरित emf एक स्पोक में प्रेरित emf के बराबर होगा:
$e_{\text{Net}} = e = 2.51 \times 10^{-4} \,V$

(D) गतिमान चालक में प्रेरित विभवांतर $E$ का सूत्र $E = \vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ है।
चूंकि तार $x-y$ तल के लंबवत है,इसलिए इसकी लंबाई का सदिश $z$-अक्ष की दिशा में है,अतः $\vec{l} = 1\hat{k}\, m$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 3(\hat{i} \times \hat{i}) + 6(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{j} \times \hat{i}) + 6(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{i}) + 4(\hat{k} \times \hat{j})$
$= 0 + 6\hat{k} - 3\hat{k} + 0 + 2\hat{j} - 4\hat{i}$
$= -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,$\vec{l} = 1\hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) करें:
$E = (1\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$E = 1 \times 3 = 3\, V$.

(C) जब $L$ लंबाई की एक चालक छड़ कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति करती है,तो छड़ में एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = BvL$ उत्पन्न होता है।
फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,गतिमान छड़ में प्रेरित धारा की दिशा नीचे से ऊपर की ओर होती है।
यह गतिमान छड़ एक बैटरी की तरह कार्य करती है जिसका धनात्मक सिरा ऊपर और ऋणात्मक सिरा नीचे होता है।
$R_{1}$ युक्त बाएं लूप के लिए,धारा $I_{1}$ छड़ के ऊपरी हिस्से से निकलकर,$R_{1}$ से गुजरती हुई छड़ के निचले हिस्से में वापस आती है,जो दक्षिणावर्त दिशा के अनुरूप है।
$R_{2}$ युक्त दाएं लूप के लिए,धारा $I_{2}$ छड़ के ऊपरी हिस्से से निकलकर,$R_{2}$ से गुजरती हुई छड़ के निचले हिस्से में वापस आती है,जो वामावर्त दिशा के अनुरूप है।
इसलिए,$I_{1}$ दक्षिणावर्त दिशा में है और $I_{2}$ वामावर्त दिशा में है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति करने वाले $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिकीय emf $E = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
वर्गाकार लूप में $x$ और $x+d$ स्थितियों पर $d$ लंबाई की दो ऊर्ध्वाधर भुजाएँ हैं।
$x+d$ स्थिति वाली भुजा में प्रेरित emf $E _{1} = B(x+d) \cdot d \cdot v _{0} = B _{0} \left( \frac{x+d}{a} \right) d v _{0}$ है।
$x$ स्थिति वाली भुजा में प्रेरित emf $E _{2} = B(x) \cdot d \cdot v _{0} = B _{0} \left( \frac{x}{a} \right) d v _{0}$ है।
लूप में कुल प्रेरित emf इन दो emf का अंतर है: $E _{net} = E _{1} - E _{2}$।
$E _{net} = \frac{B _{0} d v _{0}}{a} (x+d - x) = \frac{B _{0} v _{0} d ^{2}}{a}$।

(A) पंखों में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\epsilon = B_v \cdot v \cdot l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_v$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक है।
दिया गया है: $l = 10 \, m$,$v = 180 \, km/h = 50 \, m/s$,$B = 2.5 \times 10^{-4} \, T$,और नमन कोण $\delta = 60^{\circ}$।
ऊर्ध्वाधर घटक $B_v = B \sin \delta = 2.5 \times 10^{-4} \times \sin 60^{\circ}$।
मान रखने पर: $\epsilon = (2.5 \times 10^{-4} \times \sin 60^{\circ}) \times 50 \times 10$।
$\epsilon = 2.5 \times 10^{-4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 500$।
$\epsilon = 2.5 \times 10^{-4} \times 0.866 \times 500 = 0.10825 \, V$।
$mV$ में बदलने पर: $\epsilon = 0.10825 \times 1000 = 108.25 \, mV$।

(C) रिंग की त्रिज्या $R = 1 \, m$ है और यह $x$-अक्ष के अनुदिश $v = 1 \, m/s$ के स्थिर वेग से गति करती है।
$t = 0 \, s$ पर,केंद्र $O$,$x = -1 \, m$ पर है। चूंकि त्रिज्या $1 \, m$ है,रिंग का सबसे दाहिना किनारा $x = 0$ पर है।
$t = 1 \, s$ पर,केंद्र $O$,$d = v \cdot t = 1 \, m/s \cdot 1 \, s = 1 \, m$ की दूरी तय करता है। इस प्रकार,केंद्र की नई स्थिति $x = -1 + 1 = 0 \, m$ है।
$t = 1 \, s$ पर,रिंग चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र $(x > 0)$ में बिल्कुल आधी डूबी हुई है।
गतिमान चालक में प्रेरित $emf$ का सूत्र $emf = B \cdot L \cdot v$ है,जहाँ $L$ वेग और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत चालक की प्रभावी लंबाई है।
चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करने वाली रिंग के लिए,प्रभावी लंबाई $L$ चुंबकीय क्षेत्र की सीमा पर जीवा (chord) का व्यास है। जब केंद्र $x = 0$ पर होता है,तो जीवा रिंग का ऊर्ध्वाधर व्यास होती है,इसलिए $L = 2R = 2 \cdot 1 \, m = 2 \, m$।
मान रखने पर: $emf = 1 \, T \cdot 2 \, m \cdot 1 \, m/s = 2 \, V$।

(B) गतिशील भुजा में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\varepsilon = B \ell {v}_{0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 5\, {T}$,$\ell = 20\, {cm} = 0.2\, {m}$,और लूप का आंतरिक प्रतिरोध $r = 1\, \Omega$ है।
बाहरी सर्किट में $4\, \Omega$ के चार प्रतिरोधक हैं। सर्किट को देखने पर,बाईं ओर के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में $(4+4=8\, \Omega)$ हैं और दाईं ओर के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में $(4+4=8\, \Omega)$ हैं। ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{8 \times 8}{8+8} = 4\, \Omega$ होगा।
सर्किट का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{eq} + r = 4\, \Omega + 1\, \Omega = 5\, \Omega$ है।
धारा $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{B \ell {v}_{0}}{5}$ द्वारा दी जाती है।
$i = 2\, {mA} = 2 \times 10^{-3}\, {A}$ दिया गया है,इसलिए:
$2 \times 10^{-3} = \frac{5 \times 0.2 \times {v}_{0}}{5}$
$2 \times 10^{-3} = 0.2 \times {v}_{0}$
${v}_{0} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10^{-2}\, {m/s} = 1\, {cm/s}$.

(A) $1$. चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$: जैसे ही छड़ $x=0$ से $x=b$ तक चलती है,चुंबकीय क्षेत्र के अंदर का क्षेत्रफल रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए फ्लक्स बढ़ता है। $x=b$ से $x=2b$ तक,छड़ चुंबकीय क्षेत्र के बाहर होती है,इसलिए फ्लक्स स्थिर रहता है। $x=2b$ से $x=b$ तक वापसी की यात्रा पर,फ्लक्स स्थिर रहता है,और $x=b$ से $x=0$ तक,यह रैखिक रूप से घटता है। यह वक्र $A$ के अनुरूप है।
$2$. प्रेरित $EMF$ $(e)$: प्रेरित $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = -Blv$ द्वारा दिया जाता है। जैसे ही छड़ $x=0$ से $x=b$ तक चलती है,$e$ स्थिर और ऋणात्मक होता है। $x=b$ से $x=2b$ तक,$e=0$ होता है। $x=b$ से $x=0$ तक वापसी की यात्रा पर,वेग उलट जाता है,इसलिए $e$ धनात्मक और स्थिर हो जाता है। यह वक्र $B$ के अनुरूप है।
$3$. व्ययित शक्ति $(P)$: व्ययित शक्ति $P = \frac{e^2}{R}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $P \propto e^2$,यह केवल तभी गैर-शून्य होती है जब छड़ चुंबकीय क्षेत्र ($0$ से $b$) में होती है। यह वक्र $C$ के अनुरूप है।

(A) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
$B = \frac{4}{\pi} \times 10^{-3} (1 - \frac{t}{100})$ और $R = 1\, m$ रखने पर,हमें $\phi = 4 \times 10^{-3} (1 - \frac{t}{100})\, Wb$ प्राप्त होता है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [4 \times 10^{-3} (1 - \frac{t}{100})] = 4 \times 10^{-5}\, V$ है।
चुंबकीय क्षेत्र तब शून्य हो जाता है जब $1 - \frac{t}{100} = 0$,जिससे $t = 100\, s$ प्राप्त होता है।
व्यय की गई ऊर्जा $E = \frac{\varepsilon^2}{R_{coil}} \times t$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{(4 \times 10^{-5})^2}{2 \times 10^{-6}} \times 100 = \frac{16 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-6}} \times 100 = 8 \times 10^{-4} \times 100 = 0.08\, J$.
चूंकि $1\, J = 1000\, mJ$,इसलिए $E = 0.08 \times 1000 = 80\, mJ$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरित $EMF$ $E = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ है।
अधिकतम $EMF$ $E_{\max} = NBA\omega$ है।
अधिकतम प्रेरित धारा $i_{\max} = \frac{E_{\max}}{R} = \frac{NBA\omega}{R}$ है।
दिया गया है: $N = 1000$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,$r = 10 \, m$,$\omega = 2 \, rad \cdot s^{-1}$,$R = 12.56 \, \Omega$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \, m^2$.
मान रखने पर:
$i_{\max} = \frac{1000 \times (2 \times 10^{-5}) \times (100\pi) \times 2}{12.56}$.
चूंकि $100\pi \approx 314$,$i_{\max} = \frac{1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 314 \times 2}{12.56} = \frac{12.56}{12.56} = 1 \, A$.