Combination of Inductor Questions in Hindi

(C) जब प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं और एक-दूसरे से काफी दूर होते हैं (जिसका अर्थ है कि उनके बीच कोई अन्योन्य प्रेरण नहीं है),तो वे प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन के समान नियमों का पालन करते हैं।
दो प्रेरकों $L_1$ और $L_2$ के समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$
चूंकि $L_1 = L$ और $L_2 = L$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$
अतः,$L_{eq} = \frac{L}{2}$।

(C) दिए गए परिपथ में,$3\;H$ के तीनों प्रेरक (inductors) बिंदु $A$ और $D$ के बीच समानांतर (parallel) क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि तीनों प्रेरकों के टर्मिनल समान दो नोड्स $A$ और $D$ से जुड़े हैं,इसलिए वे समानांतर विन्यास में हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों के लिए तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
मान $L_1 = L_2 = L_3 = 3\;H$ रखने पर:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1\;H^{-1}$
अतः,$L_{eq} = 1\;H$।

(A) माना कि दो प्रेरकत्व $L_1$ और $L_2$ हैं।
श्रेणी क्रम संयोजन के लिए: $L_S = L_1 + L_2 = 10 \, H$ ..... $(i)$
समांतर क्रम संयोजन के लिए: $L_P = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} = 2.4 \, H$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $L_1 L_2 = 2.4 \times 10 = 24 \, H^2$ ..... $(iii)$
हम जानते हैं कि: $(L_1 - L_2)^2 = (L_1 + L_2)^2 - 4 L_1 L_2$
मान रखने पर: $(L_1 - L_2)^2 = (10)^2 - 4(24) = 100 - 96 = 4$
वर्गमूल लेने पर: $L_1 - L_2 = \sqrt{4} = 2 \, H$.

(D) जब $L$ प्रेरकत्व वाली दो समान कुंडलियों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2 \pm 2M$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) है।
चूंकि कुंडलियाँ समान हैं और एक-दूसरे के बहुत करीब रखी गई हैं,इसलिए अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ स्व-प्रेरकत्व $L$ के बराबर होता है (अर्थात $M = L$)।
चूंकि वाइंडिंग की दिशाएँ बिल्कुल विपरीत हैं,एक कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स दूसरी कुंडली द्वारा उत्पन्न फ्लक्स का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप अन्योन्य प्रेरकत्व का प्रभाव नकारात्मक होता है।
इसलिए,कुल प्रेरकत्व $L_{eq} = L + L - 2M$ है।
$M = L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L_{eq} = L + L - 2L = 0$ प्राप्त होता है।

(C) स्विच $S$ बंद करने से पहले,धारा $i$ एकमात्र प्रेरक $L$ और प्रतिरोध $R$ से होकर बहती है। स्थिर धारा $i = \frac{\varepsilon}{R}$ है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{\varepsilon}{R} \right)^2$ है।
स्विच $S$ बंद करने के बाद,दो प्रेरक $L$ और $L$ समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = \frac{L \times L}{L + L} = \frac{L}{2}$ होता है।
लंबे समय के बाद,प्रेरक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करते हैं। परिपथ से बहने वाली कुल धारा $i = \frac{\varepsilon}{R}$ बनी रहती है।
यह धारा $i$ दो समानांतर शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है,इसलिए प्रत्येक प्रेरक में धारा $i' = \frac{i}{2} = \frac{\varepsilon}{2R}$ होती है।
दोनों प्रेरकों में संचित कुल ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} L (i')^2 + \frac{1}{2} L (i')^2 = L (i')^2$ है।
$i' = \frac{i}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E' = L \left( \frac{i}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} L i^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर अवस्था में, एक प्रेरक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R = 5 \, \Omega$ है।
बैटरी से बहने वाली कुल धारा $I = V/R = 20 \, V / 5 \, \Omega = 4 \, A$ है।
यह धारा $I$ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है जिनमें $L_1 = 5 \, mH$ और $L_2 = 10 \, mH$ के प्रेरक लगे हैं।
समानांतर प्रेरकों के लिए, धारा उनके प्रेरकत्व के व्युत्क्रमानुपाती विभाजित होती है: $I_1 / I_2 = L_2 / L_1$।
प्रेरकों के लिए धारा विभाजक नियम का उपयोग करने पर: $I_{L1} = I \times (L_2 / (L_1 + L_2))$।
मान रखने पर: $I_{L1} = 4 \times (10 / (5 + 10)) = 4 \times (10 / 15) = 4 \times (2 / 3) = 8/3 \, A$।

(B) चूंकि प्रेरक $L_1$ और $L_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा।
मान लीजिए $L_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1$ है और $L_2$ के सिरों पर $V_2$ है। अतः $V_1 = V_2$ होगा।
एक प्रेरक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का मान $\mathcal{E} = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों प्रेरकों में प्रेरित $EMF$ के परिमाणों की तुलना करने पर:
$L_1 \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt}$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर (यह मानते हुए कि $t=0$ पर प्रारंभिक धारा शून्य है):
$L_1 \int di_1 = L_2 \int di_2$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$L_1 i_1 = L_2 i_2$
अतः,धाराओं का अनुपात होगा:
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{L_2}{L_1}$

(D) जब $L_1$ और $L_2$ स्व-प्रेरकत्व वाले दो प्रेरक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ व्यक्तिगत प्रेरित $EMF$ और अन्योन्य प्रेरित $EMF$ का योग होता है।
यदि धारा कुंडलियों से इस प्रकार प्रवाहित होती है कि एक कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स दूसरी कुंडली द्वारा उत्पन्न फ्लक्स में सहायता करता है (जैसा कि चित्र में धारा की दिशा द्वारा दर्शाया गया है),तो अन्योन्य प्रेरकत्व सकारात्मक रूप से योगदान देता है।
कुल प्रभावी प्रेरकत्व $L_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) परिपथ आरेख का विश्लेषण करके,हम नोड्स की पहचान कर सकते हैं। चारों प्रेरक (inductors),जिनमें से प्रत्येक $4 \, H$ का है,बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े $n$ प्रेरकों के लिए तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \frac{1}{L_4}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{4}{4} = 1 \, H^{-1}$
अतः,$L_{eq} = 1 \, H$।

(B) श्रेणी क्रम संयोजन में,तुल्य प्रेरकत्व $L_s = L_1 + L_2 = 10 \, H$ है ........$(i)$
समानांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रेरकत्व $L_p = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} = 2.4 \, H$ है ........$(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(L_1 + L_2)$ का मान $(ii)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L_1 L_2 = 2.4 \times (L_1 + L_2) = 2.4 \times 10 = 24 \, H^2$
सर्वसमिका $(L_1 - L_2)^2 = (L_1 + L_2)^2 - 4 L_1 L_2$ का उपयोग करने पर:
$(L_1 - L_2)^2 = (10)^2 - 4(24) = 100 - 96 = 4$
$L_1 - L_2 = \sqrt{4} = 2 \, H$ ........$(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2 L_1 = 12 \implies L_1 = 6 \, H$
समीकरण $(i)$ में $L_1$ का मान रखने पर:
$6 + L_2 = 10 \implies L_2 = 4 \, H$
अतः,प्रेरकों के मान $6 \, H$ और $4 \, H$ हैं।

(D) प्रेरक $L_{2} = 0.50 \, H$ और $L_{3} = 0.50 \, H$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
उनका समतुल्य प्रेरकत्व $L^{\prime}$ इस प्रकार है:
$L^{\prime} = \frac{L_{2} L_{3}}{L_{2} + L_{3}} = \frac{0.50 \times 0.50}{0.50 + 0.50} = \frac{0.25}{1.00} = 0.25 \, H$
अब,$L^{\prime}$ और $L_{1} = 0.75 \, H$ श्रेणी क्रम में हैं।
अतः,कुल समतुल्य प्रेरकत्व $L$ है:
$L = L_{1} + L^{\prime} = 0.75 \, H + 0.25 \, H = 1 \, H$

(C) कुंडली का प्रेरकत्व $L$,फेरों की संख्या $N$ के वर्ग के समानुपाती और कुंडली की लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। जब एक कुंडली को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग में फेरों की संख्या $N/2$ हो जाती है और लंबाई $l/2$ हो जाती है।
चूंकि $L \propto N^2/l$,इसलिए प्रत्येक भाग के लिए नया प्रेरकत्व $L' = \frac{(N/2)^2}{l/2} = \frac{N^2/4}{l/2} = \frac{1}{2} \frac{N^2}{l} = L/2$ होगा।
जब दो प्रेरकों $L_1$ और $L_2$ को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ होता है।
यहाँ,$L_1 = L_2 = L/2$ है।
इसलिए,$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$।
अतः,$L_{eq} = L/4$ प्राप्त होता है।

(D) जब दो कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो कुल प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ स्व-प्रेरित $EMF$ और अन्योन्य प्रेरित $EMF$ का योग होता है।
कुल $EMF$ इस प्रकार है:
$V = V_{L1} + V_{L2} + V_{M1} + V_{M2}$
$V = L_{1} \frac{dI}{dt} + L_{2} \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt}$
दिए गए चित्र को देखने पर,विद्युत धारा $I$ पहली कुंडली में प्रवेश करती है और बाहर निकलती है,फिर दूसरी कुंडली में इस तरह प्रवेश करती है कि दूसरी कुंडली में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स पहली कुंडली द्वारा उत्पन्न फ्लक्स का विरोध करता है।
चूंकि वाइंडिंग के सापेक्ष दोनों कुंडलियों में धारा विपरीत दिशाओं में है,इसलिए अन्योन्य प्रेरकत्व का प्रभाव घटाव के रूप में होता है।
अतः,तुल्य स्व-प्रेरकत्व $L_{eq}$ है:
$L_{eq} = L_{1} + L_{2} - 2M$

(C) दिया गया है: $L_1 = L_2 = L = 60 mH = 60 \times 10^{-3} H$.
धारा $I = 2.2 A$.
जब दो प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$.
अतः,$L_{eq} = \frac{L}{2} = \frac{60 mH}{2} = 30 mH = 30 \times 10^{-3} H$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (30 \times 10^{-3}) \times (2.2)^2$.
$U = 0.5 \times 30 \times 10^{-3} \times 4.84$.
$U = 15 \times 10^{-3} \times 4.84 = 0.0726 J$.

(B) जब प्रेरक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ व्यक्तिगत प्रेरकत्वों के योग के बराबर होता है।
$L$ प्रेरकत्व वाले तीन प्रेरकों के श्रेणीक्रम में जुड़े होने पर,$L_{eq} = L + L + L = 3L$ होगा।
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ है।
$L_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} (3L) I^2 = \frac{3}{2} L I^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) परिपथ में $0.7 \ H$ के दो प्रेरक समांतर क्रम में जुड़े हैं,जो फिर $0.85 \ H$ के प्रेरक के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
सबसे पहले,दो समांतर प्रेरकों का तुल्य प्रेरकत्व $(L_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{0.7} + \frac{1}{0.7} = \frac{2}{0.7}$
$L_p = \frac{0.7}{2} = 0.35 \ H$
अब,यह तुल्य प्रेरकत्व $0.85 \ H$ के प्रेरक के साथ श्रेणी क्रम में है।
कुल तुल्य प्रेरकत्व $(L_{eq})$ है:
$L_{eq} = L_p + 0.85 \ H$
$L_{eq} = 0.35 \ H + 0.85 \ H = 1.20 \ H$
अतः,$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रेरकत्व $1.20 \ H$ है।

(B) $1$. परिपथ का विश्लेषण: परिपथ श्रेणी और समांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों (inductors) से बना है।
$2$. $2 H$ और $3 H$ के प्रेरक इनपुट नोड $A$ और केंद्रीय नोड के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} H$ होगा।
$3$. $4 H$ और $6 H$ के प्रेरक केंद्रीय नोड और आउटपुट नोड $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_2 = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} H$ होगा।
$4$. ये दोनों तुल्य प्रेरक $L_1$ और $L_2$ श्रेणी क्रम में हैं।
$5$. कुल तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2 = \frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 H$ होगा।

(C) दिया गया है: प्रत्येक प्रेरक का प्रेरकत्व $L_1 = L_2 = 80 \ mH = 80 \times 10^{-3} \ H$ है।
चूंकि प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$।
$L_{eq} = \frac{L_1 \times L_2}{L_1 + L_2} = \frac{80 \times 80}{80 + 80} \ mH = \frac{6400}{160} \ mH = 40 \ mH = 40 \times 10^{-3} \ H$।
संयोजन से गुजरने वाली धारा $I = 2.1 \ A$ है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L_{eq} I^2$ है।
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-3}) \times (2.1)^2$।
$U = 20 \times 10^{-3} \times 4.41$।
$U = 88.2 \times 10^{-3} \ J = 8.82 \times 10^{-2} \ J$।

(D) परिपथ में $L/2$ प्रेरकत्व वाले दो प्रेरक समांतर क्रम में जुड़े हैं,जो श्रेणी क्रम में $3L/4$ प्रेरकत्व वाले एक प्रेरक के साथ जुड़े हैं।
सबसे पहले,समांतर क्रम में जुड़े दो प्रेरकों का तुल्य प्रेरकत्व $L_p$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
$\therefore L_p = \frac{L}{4}$
अब,श्रेणी क्रम में जुड़े प्रेरक को जोड़कर कुल तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ ज्ञात करें:
$L_{eq} = L_p + \frac{3L}{4} = \frac{L}{4} + \frac{3L}{4} = \frac{4L}{4} = L$

(D) कुंडली का प्रेरकत्व उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है $(L \propto l)$।
जब कुंडली को दो समान भागों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रेरकत्व $L_1 = L_2 = \frac{L}{2}$ होता है।
जब इन दो प्रेरकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
अतः,$L_{eq} = \frac{L}{4}$।

(D) श्रेणीक्रम में जुड़े प्रेरकों के लिए, प्रभावी प्रेरकत्व $L_{eff} = L_1 + L_2 + L_3$ होता है। समानांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों के लिए, प्रभावी प्रेरकत्व $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. संयोजन $P$: प्रेरक श्रेणीक्रम में हैं। $L_{eff} = 2 + 3 + 6 = 11 \ H$.
$2$. संयोजन $Q$: प्रेरक समानांतर क्रम में हैं। $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \ H^{-1}$. अतः, $L_{eff} = 1 \ H$.
$3$. संयोजन $R$: $L_1$ और $L_2$ श्रेणीक्रम में हैं, और यह संयोजन $L_3$ के साथ समानांतर क्रम में है। $L_{series} = 2 + 3 = 5 \ H$. तब $\frac{1}{L_{eff}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{11}{30}$, अतः $L_{eff} = \frac{30}{11} \approx 2.72 \ H$.
$4$. संयोजन $S$: यह एक मिश्रित श्रेणी-समानांतर परिपथ है। $L_1$, $L_3$ के साथ समानांतर क्रम में है, और यह संयोजन $L_2$ के साथ श्रेणीक्रम में है। $\frac{1}{L_{parallel}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ H^{-1}$, अतः $L_{parallel} = 1.5 \ H$. तब $L_{eff} = 1.5 + 3 = 4.5 \ H$.
अतः, सही संयोजन $Q$ है।

(D) दिए गए परिपथ में,तीनों प्रेरकों के बाएं सिरे बिंदु $P$ से और दाएं सिरे बिंदु $Q$ से जुड़े हुए हैं।
इसका अर्थ है कि तीनों प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों के तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
यहाँ $L_1 = L_2 = L_3 = 6 \ H$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \ H^{-1}$
अतः,$L_{eq} = 2 \ H$।

(C) जब $L_1$ और $L_2$ प्रेरकत्व वाली दो कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2 \pm 2M$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) है।
चूँकि कुंडलियाँ समान हैं,$L_1 = L_2 = L$ है।
चूँकि लपेटने की दिशाएँ बिल्कुल विपरीत हैं,एक कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स दूसरी कुंडली द्वारा उत्पन्न फ्लक्स का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप अन्योन्य प्रेरकत्व का प्रभाव ऋणात्मक होता है।
एक-दूसरे के बहुत करीब रखी गई दो समान कुंडलियों के लिए,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ स्व-प्रेरकत्व $L$ के बराबर होता है (अर्थात $M = L$)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $L_{eq} = L + L - 2M = 2L - 2L = 0$।

(C) जब $L_1$ और $L_2$ स्व-प्रेरकत्व तथा $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व वाली दो कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
दिया गया है:
$L_1 = 1 H$
$L_2 = 3 H$
$M = 5 H$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 2(5 H)$
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 10 H$
$L_{eq} = 14 H$
अतः,संयोजन का तुल्य स्व-प्रेरकत्व $14 H$ है।

(D) समानांतर क्रम में जुड़े $L$ प्रेरकत्व वाले दो प्रेरकों का तुल्य प्रेरकत्व इस प्रकार दिया जाता है:
$L_p = \frac{L \times L}{L + L} = \frac{L^2}{2L} = \frac{L}{2}$
यह समानांतर संयोजन $5 \text{ mH}$ के एक प्रेरक के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ा है। कुल प्रभावी प्रेरकत्व $L_{eq}$ है:
$L_{eq} = L_p + 5 \text{ mH}$
दिया गया है कि $L_{eq} = 15 \text{ mH}$,इसलिए:
$15 = \frac{L}{2} + 5$
$10 = \frac{L}{2}$
$L = 20 \text{ mH}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सोलेनोइड का प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $L \propto \frac{N^2}{l}$।
जब एक कुंडली को $n = 6$ बराबर भागों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक भाग में फेरों की संख्या $N' = \frac{N}{6}$ हो जाती है और प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = \frac{l}{6}$ हो जाती है।
प्रत्येक भाग का प्रेरकत्व $L'$ इस प्रकार होगा: $L' = L \left( \frac{N'}{N} \right)^2 \left( \frac{l}{l'} \right) = L \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{l}{l/6} \right) = L \left( \frac{1}{36} \right) (6) = \frac{L}{6}$।
जब इन $6$ भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_e$ का सूत्र $\frac{1}{L_e} = \sum \frac{1}{L'} = \frac{1}{L'} + \frac{1}{L'} + \dots + \frac{1}{L'} = \frac{6}{L'}$ है।
$L' = \frac{L}{6}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1}{L_e} = \frac{6}{L/6} = \frac{36}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L_e = \frac{L}{36}$।

(D) मान लीजिए कि दो प्रेरकों के प्रेरकत्व $L_1$ और $L_2$ हैं।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रेरकत्व $L_p$ को $\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $L_p = 1.5 \ H$,इसलिए $\frac{1}{1.5} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2} \quad (1)$.
जब श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रेरकत्व $L_s$ का मान $L_s = L_1 + L_2$ होता है।
दिया गया है $L_s = 8 \ H$,इसलिए $L_1 + L_2 = 8 \quad (2)$.
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{8}{L_1 L_2} \Rightarrow L_1 L_2 = 12 \quad (3)$.
हमारे पास $L_1 + L_2 = 8$ और $L_1 L_2 = 12$ है। ये द्विघात समीकरण $x^2 - (L_1 + L_2)x + L_1 L_2 = 0$ के मूल हैं,जो $x^2 - 8x + 12 = 0$ है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x - 6)(x - 2) = 0$,इसलिए $L_1 = 6 \ H$ और $L_2 = 2 \ H$ प्राप्त होता है।
प्रेरकत्वों के बीच का अंतर $|L_1 - L_2| = |6 - 2| = 4 \ H$ है।

(C) चूंकि $L$ प्रेरकत्व वाली कुंडली को चार बराबर भागों में विभाजित किया गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रेरकत्व $L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = \frac{L}{4}$ होगा।
जब प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L^{\prime}$ का सूत्र $\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \frac{1}{L_4}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} = \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} = \frac{16}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L^{\prime} = \frac{L}{16}$ होगा।

(C) दिया गया है, $L_{1} = 6 mH = 6 \times 10^{-3} H$ और $L_{2} = 8 mH = 8 \times 10^{-3} H$.
जब दो कुंडलियों $L_{1}$ और $L_{2}$ को श्रेणीक्रम में उच्चतम युग्मन गुणांक $(k = 1)$ के साथ जोड़ा जाता है, तो समतुल्य स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र है:
$L = L_{1} + L_{2} + 2M$
जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है, $M = k \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
उच्चतम युग्मन के लिए, $k = 1$, इसलिए $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
मान रखने पर:
$L = L_{1} + L_{2} + 2 \sqrt{L_{1} L_{2}} \text{ (} mH \text{ में)}$
$L = 14 + 2 \sqrt{48}$
$L = 14 + 2 \times 6.928$
$L = 14 + 13.856 = 27.856 mH$
निकटतम पूर्णांक में, $L \approx 28 mH$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $L_1 = L_2 = L_3 = L$ है।
प्रेरक $L_2$ और $L_3$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रेरकत्व $L_{23}$ इस प्रकार दिया गया है: $\frac{1}{L_{23}} = \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L}$,जिसका अर्थ है $L_{23} = \frac{L}{2}$।
परिपथ का कुल प्रेरकत्व $L_t = L_1 + L_{23} = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ है।
परिपथ में संचित कुल चुंबकीय ऊर्जा $U_t = \frac{1}{2} L_t I^2 = \frac{1}{2} (\frac{3L}{2}) I^2 = \frac{3}{4} LI^2$ है,जहाँ $I$ परिपथ में बहने वाली कुल धारा है।
चूंकि $L_2$ और $L_3$ समानांतर में हैं और उनका प्रेरकत्व समान है,इसलिए धारा $I$ उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाती है। अतः,$L_2$ से होकर बहने वाली धारा $I_2 = I/2$ है।
$L_2$ प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U_l = \frac{1}{2} L_2 I_2^2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{8} LI^2$ है।
इसलिए,अनुपात $U_t / U_l = (\frac{3}{4} LI^2) / (\frac{1}{8} LI^2) = \frac{3}{4} \times 8 = 6$।