चित्र में दिखाए अनुसार $m$ द्रव्यमान और नगण्य प्रतिरोध वाला एक चालक तार $XY$ दो समानांतर चालक तारों पर आसानी से सरकता है। बंद परिपथ में $AC$ के कारण $R$ प्रतिरोध है। $AB$ और $CD$ आदर्श चालक हैं। चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B(t) \hat{k}$ है।
$(i)$ तार $XY$ के त्वरण के लिए समीकरण लिखिए।
$(ii)$ यदि $\vec{B}$ समय पर निर्भर नहीं है,तो $v(0) = u_0$ मानकर $v(t)$ प्राप्त कीजिए।
$(iii)$ $(ii)$ के लिए,दर्शाइए कि $XY$ की गतिज ऊर्जा में कमी $R$ में व्यय हुई ऊष्मा के बराबर है।

(N/A) मान लीजिए कि दो समानांतर तार $y=0$ और $y=l$ पर हैं। मान लीजिए $t=0$ पर तार $XY$,$x=0$ पर है और $t$ समय पर यह $x$ स्थान पर है।
$(i)$ बंद लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B(t) l x$ है।
प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}[B(t) l x] = -l [B(t) \frac{dx}{dt} + x \frac{dB(t)}{dt}] = -l B(t) v - lx \frac{dB(t)}{dt}$.
तार पर चुंबकीय बल $F = IlB(t) = \frac{\varepsilon}{R} l B(t) = -\frac{l^2 B(t)}{R} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
चूंकि $F = ma$,त्वरण $a = -\frac{l^2 B(t)}{mR} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
$(ii)$ यदि $B$ स्थिर है,तो $\frac{dB}{dt} = 0$,इसलिए $a = -\frac{l^2 B^2}{mR} v$.
$\frac{dv}{dt} = -\frac{l^2 B^2}{mR} v \implies \int_{u_0}^{v} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{l^2 B^2}{mR} dt$.
$\ln(\frac{v}{u_0}) = -\frac{l^2 B^2}{mR} t \implies v(t) = u_0 e^{-\frac{l^2 B^2}{mR} t}$.
$(iii)$ गतिज ऊर्जा में कमी $\Delta K = \frac{1}{2} m u_0^2 - \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
व्यय हुई ऊष्मा $H = \int_0^t I^2 R dt = \int_0^t (\frac{Blv}{R})^2 R dt = \frac{B^2 l^2}{R} \int_0^t u_0^2 e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t} dt$.
$H = \frac{B^2 l^2 u_0^2}{R} [\frac{e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t}}{-\frac{2l^2 B^2}{mR}}]_0^t = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
अतः,$\Delta K = H$.