Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Hindi

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ के साथ एक सिरे के परितः घूमने वाले $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है: $e = \frac{1}{2} B \omega l^2$।
दिया गया है:
लंबाई $l = 1 \; m$
कोणीय वेग $\omega = 5 \; rad/s$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 0.2 \times 10^{-4} \; T$
सूत्र में मान रखने पर:
$e = \frac{0.2 \times 10^{-4} \times 5 \times (1)^2}{2}$
$e = \frac{1.0 \times 10^{-4}}{2}$
$e = 0.5 \times 10^{-4} \; V$
$e = 50 \times 10^{-6} \; V = 50 \; \mu V$
अतः,प्रेरित emf $50 \; \mu V$ है।

(B) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$l = 20 \,cm = 0.2 \,m$
छड़ का वेग,$v = 20 \,m/s$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक,$B_H = 4 \times 10^{-3} \,T$
नति कोण,$\delta = 45^{\circ}$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B_H \tan(\delta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\delta = 45^{\circ}$,$\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $B_V = B_H = 4 \times 10^{-3} \,T$.
जब एक छड़ को क्षैतिज तल में चलाया जाता है,तो प्रेरित गतिकीय emf पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(B_V)$ के कारण होता है क्योंकि वेग सदिश ऊर्ध्वाधर चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है।
प्रेरित emf का सूत्र $\epsilon = B_V \cdot l \cdot v$ है।
मान रखने पर:
$\epsilon = (4 \times 10^{-3} \,T) \times (0.2 \,m) \times (20 \,m/s)$
$\epsilon = 4 \times 10^{-3} \times 4 = 16 \times 10^{-3} \,V = 16 \,mV$.

(A) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ का अदिश गुणनफल है।
चूंकि लूप $X-Y$ तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A} = A \hat{k} = \pi(1)^2 \hat{k} = \pi \hat{k} \ m^2$ होगा।
$\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} = (3t^3 \hat{j} + 3t^2 \hat{k}) \cdot (\pi \hat{k}) = 3t^2 \pi \ Wb$.
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}|$ होता है।
$\varepsilon = |\frac{d}{dt}(3t^2 \pi)| = 6t\pi \ V$.
$t = 2 \ s$ पर,प्रेरित emf $\varepsilon = 6(2)\pi = 12\pi \ V$ होगा।
इसे $n\pi \ V$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 12$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ में प्रेरित गतिकीय $Emf$ $e = B l v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ छड़ की लंबाई है।
प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
प्रतिरोध $R$ में ऊष्मा क्षय की दर (शक्ति) $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \left( \frac{B l v}{R} \right)^2 R = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि ऊष्मा क्षय की दर गति के वर्ग के समानुपाती है: $P \propto v^2$।
यदि गति दोगुनी कर दी जाए $(v' = 2v)$,तो ऊष्मा क्षय की नई दर $P'$ का मान $P' \propto (2v)^2 = 4v^2$ होगा।
अतः,ऊष्मा क्षय की नई दर और प्रारंभिक दर का अनुपात $\frac{P'}{P} = \frac{4v^2}{v^2} = 4$ है।
इस प्रकार,ऊष्मा क्षय की दर $4$ के कारक से बढ़ जाती है।

(B) परिपथ को एक प्रेरक $L$ और एक गतिज विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = B l v$ के श्रेणी संयोजन के रूप में मॉडल किया जा सकता है,जहाँ $l$ चुंबकीय क्षेत्र में भुजा की लंबाई है। चूंकि लूप आयताकार है और स्थिर वेग $v$ से गति कर रहा है,क्षेत्र में भुजा की लंबाई $l$ स्थिर रहती है।
लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$e - L \frac{dI}{dt} = 0$
$v B l - L \frac{dI}{dt} = 0$
$\frac{dI}{dt} = \frac{v B l}{L}$ ..... $(i)$
यह दिया गया है कि मूल बिंदु से बाएं हाथ की दूरी $x = vt$ है,इसलिए:
$\frac{dx}{dt} = v$ ..... $(ii)$
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dI}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{1}{v}$।
$(i)$ से मान रखने पर:
$\frac{dI}{dx} = \left( \frac{v B l}{L} \right) \cdot \frac{1}{v} = \frac{B l}{L}$।
चूंकि $B, l,$ और $L$ स्थिर हैं,ढाल $\frac{dI}{dx}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। इसलिए,धारा $I$ दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। सही ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(A) जैसे ही तार की लूप चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में प्रवेश करती है,लूप में एक विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित होता है। इस प्रेरित emf के कारण उत्पन्न धारा तार की लूप पर एक विरोधी बल लगाती है।
प्रेरित emf $E = B a v$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरित धारा $I = \frac{E}{R} = \frac{B a v}{R}$ है।
लूप पर चुंबकीय बल $F = -B I a = -B \left( \frac{B a v}{R} \right) a = -\frac{B^{2} a^{2} v}{R}$ है।
(ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि यह बल एक मंदक बल है)।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,लूप का त्वरण $A$ है:
$A = \frac{F}{m} = \frac{d v}{d t} = -\frac{B^{2} a^{2} v}{m R}$.
हम चेन रूल $\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}$ का उपयोग करके इसे फिर से लिख सकते हैं:
$v \frac{d v}{d x} = -\frac{B^{2} a^{2} v}{m R}$.
दोनों पक्षों को $v$ से विभाजित करने पर ($v \neq 0$ मानते हुए):
$d v = -\frac{B^{2} a^{2}}{m R} d x$.
दोनों पक्षों का $v_{0}$ से $v$ और $0$ से $x$ की सीमाओं के बीच समाकलन करने पर:
$\int_{v_{0}}^{v} d v = -\frac{B^{2} a^{2}}{m R} \int_{0}^{x} d x$.
$v - v_{0} = -\frac{B^{2} a^{2}}{m R} x$.
अतः,दूरी $x$ पर लूप का वेग है:
$v = v_{0} - \frac{B^{2} a^{2}}{m R} x$.

(B) लूप पर लगने वाला विरोधी चुंबकीय बल $F = B I a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ प्रेरित धारा है।
चूंकि $I = \frac{E}{R}$,जहाँ $E = B a v$ प्रेरित emf है,इसलिए हमारे पास $I = \frac{B a v}{R}$ है।
अतः,विरोधी बल $F = \frac{B^2 a^2 v}{R}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2 a^2 v}{R}$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,हम $m v \frac{dv}{dx} = -\frac{B^2 a^2 v}{R}$ लिख सकते हैं,जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} = -\frac{B^2 a^2}{m R}$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि जब लूप चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में प्रवेश कर रहा होता है या बाहर निकल रहा होता है,तो इसकी गति दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से घटती है।
जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है,तो इससे गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है,इसलिए कोई emf प्रेरित नहीं होता है और गति स्थिर रहती है।
इसलिए,गति $v$ घटती है,स्थिर रहती है,और फिर से घटती है,जिसे ग्राफ $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) जैसे-जैसे छड़ दाईं ओर बढ़ती है,लूप का क्षेत्रफल बढ़ता है,जिससे लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस फ्लक्स वृद्धि का विरोध करने के लिए प्रवाहित होगी। अतः,धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है।
छड़ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = IlB = (\frac{Blv}{R})lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ है। यह बल गति के विपरीत दिशा में यानी बाईं ओर कार्य करता है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -F = -\frac{B^2l^2v}{R}$।
इस प्रकार,$m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2l^2v}{R}$। यह दर्शाता है कि वेग समय के साथ घातीय रूप से घटता है,न कि रैखिक रूप से।
दूरी $x$ ज्ञात करने के लिए,हम $v \frac{dv}{dx} = -\frac{B^2l^2v}{Rm}$ का उपयोग करते हैं।
$dv = -\frac{B^2l^2}{Rm} dx$ का $v_0$ से $0$ और $0$ से $x_{max}$ तक समाकलन करने पर:
$v_0 = \frac{B^2l^2}{Rm} x_{max} \Rightarrow x_{max} = \frac{m v_0 R}{B^2l^2}$।
अतः,तय की गई दूरी $R$ के समानुपाती है।

(A) जब चालक छड़ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग के साथ चलती है,तो छड़ में एक गतिकीय $emf$ $\varepsilon = Blv$ प्रेरित होता है।
यह $emf$ परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ उत्पन्न करता है।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही छड़ वेग $v$ की विपरीत दिशा में एक चुंबकीय बल $F_m = IlB = \frac{B^2l^2v}{R}$ का अनुभव करती है।
यह बल छड़ को मंदित करता है। जैसे-जैसे छड़ चलती है,जूल तापन प्रभाव $(P = I^2R)$ के कारण गतिज ऊर्जा प्रतिरोधक में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
चूंकि यहां कोई अन्य बाहरी बल या ऊर्जा भंडारण उपकरण (जैसे संधारित्र या प्रेरक) नहीं है,इसलिए छड़ के स्थिर होने तक पूरी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m v_0^2$ अंततः प्रतिरोधक $R$ में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाएगी।

(D) जब लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो इससे गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है,जिससे $E = Blv$ के बराबर प्रेरित emf उत्पन्न होता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$l$ लूप की उस भुजा की लंबाई है जो वेग के लंबवत है,और $v$ वेग है। चूँकि $B$,$l$,और $v$ स्थिर हैं,इसलिए प्रेरित emf और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा $I = E/R$ उस अवधि के लिए स्थिर और धनात्मक रहती है जब तक लूप क्षेत्र में प्रवेश कर रहा होता है।
एक बार जब लूप पूरी तरह से एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के अंदर आ जाता है,तो इससे गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स स्थिर हो जाता है। फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf शून्य होता है,इसलिए धारा $I = 0$ होती है।
जैसे ही लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है,इससे गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स फिर से बदल जाता है। प्रेरित emf $E = Blv$ है,लेकिन लेंज के नियम के अनुसार प्रेरित धारा की दिशा उलट जाती है। इस प्रकार,जब तक लूप क्षेत्र से बाहर निकल रहा होता है,तब तक धारा $I$ स्थिर और ऋणात्मक रहती है।
इसलिए,ग्राफ एक धनात्मक स्थिर धारा,उसके बाद शून्य धारा,और फिर एक ऋणात्मक स्थिर धारा दिखाता है। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(D) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A = B \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष फ्लक्स का अवकलन करने पर,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \pi r^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B$ स्थिर है,इसलिए $\varepsilon = -B \pi \frac{d}{dt}(r^2) = -B \pi (2r \frac{dr}{dt})$।
यह दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = r_0$ है,इसलिए:
$\varepsilon = -B \pi (2r) r_0 = -2 \pi B r r_0$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब चालक छड़ $AB$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $v$ वेग के साथ गति करती है,तो छड़ के सिरों पर प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = Blv$ उत्पन्न होता है।
यह $EMF$ छड़ और फ्रेम द्वारा निर्मित परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ प्रवाहित करता है,जहाँ $R$ परिपथ का प्रतिरोध है।
लेंज के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही छड़ पर एक चुंबकीय बल $F_m = IlB$ कार्य करता है,जो छड़ के वेग की विपरीत दिशा में होता है।
धारा का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F_m = \left(\frac{Blv}{R}\right)lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह बल गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए यह मंदन उत्पन्न करता है,जिससे समय के साथ छड़ का वेग कम हो जाता है। अतः,$v < v_0$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई डिस्क की त्रिज्या के अनुदिश प्रेरित emf $(\varepsilon)$ का सूत्र: $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega R^2$ है。
दिया गया है:
त्रिज्या $R = 0.1 \, m$
आवृत्ति $f = 10 \, rev/s$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1 \, T$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi \, rad/s$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20\pi) \times (0.1)^2$
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20\pi \times 0.01$
$\varepsilon = 0.1 \times 10\pi \times 0.01$
$\varepsilon = \frac{\pi}{100} \, V$.

(B) गतिशील छड़ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 1 \, T$,$l = 1 \, m$,$v = 20 \, m/s$.
$\varepsilon = 1 \times 1 \times 20 = 20 \, V$.
परिपथ में धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{20}{0.2} = 100 \, A$ है।
नियत वेग बनाए रखने के लिए व्यय की गई शक्ति,प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति के बराबर होती है:
$P = I^2 R = (100)^2 \times 0.2 = 10000 \times 0.2 = 2000 \, W$.
चूँकि $1 \, kW = 1000 \, W$,इसलिए शक्ति $2 \, kW$ है।

(B) गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल (e.m.f.) का सूत्र $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
वेग $\vec{v} = 1\hat{i} \, ms^{-1}$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} \, T$.
लंबाई सदिश $\vec{L} = 5\hat{j} \, m$ (क्योंकि यह $y$-अक्ष पर रखा गया है)।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $(\vec{v} \times \vec{B})$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = (1\hat{i}) \times (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = 4\hat{k} - 5\hat{j}$.
अब,$\vec{L}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$\varepsilon = (4\hat{k} - 5\hat{j}) \cdot (5\hat{j}) = -25 \, V$.
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|\varepsilon| = 25 \, V$ है।

(C) लंबाई $\ell$ की छड़ जो कोणीय वेग $\omega$ से एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में घूमती है,उसमें प्रेरित e.m.f. $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\ell = 1\,m$,$B = 5 \times 10^{-3}\,Wb/m^2$ (हल के अनुसार),और आवृत्ति $f = 1800\,rpm = 30\,rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times 3.14 \times 30 = 188.4\,rad/s$.
मान रखने पर: $\varepsilon = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times 188.4 \times (1)^2 = 0.471\,V$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से गति करने वाले $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = B l v \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इस लूप में,$P$ और $Q$ वाले ऊर्ध्वाधर खंड में इन दो बिंदुओं के बीच की लंबाई $L/2$ है।
जैसे ही लूप कागज के अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग के साथ दाईं ओर गति करता है,खंड $PQ$ में प्रेरित गतिक $EMF$ $e = B (L/2) v = \frac{1}{2} B L v$ होता है।
फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,खंड $PQ$ में धनात्मक आवेशों पर बल ऊपर की ओर निर्देशित होता है। इस प्रकार,बिंदु $P$,बिंदु $Q$ की तुलना में उच्च विभव पर होता है।
अतः,$e = \frac{1}{2} B L v$ और $P$,$Q$ के सापेक्ष धनात्मक है (या $Q$,$P$ के सापेक्ष ऋणात्मक है)।

(A) जैसे ही तार $v$ तात्क्षणिक वेग के साथ गति करता है,तार में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (e.m.f.) $\varepsilon = Bvl$ होता है।
चूंकि तार $C$ धारिता वाले संधारित्र से जुड़ा है,संधारित्र पर संचित आवेश $q = C\varepsilon = CBvl$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i$,संधारित्र पर आवेश के परिवर्तन की दर है:
$i = \frac{dq}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBla$,जहाँ $a$ तार का त्वरण है।
इस धारा के कारण तार पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = Bil = (CBla)Bl = CB^2 l^2 a$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,तार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - F_m = ma$ है।
$F_m$ का मान रखने पर:
$F - CB^2 l^2 a = ma$
$F = ma + CB^2 l^2 a = a(m + CB^2 l^2)$
अतः,त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F}{m + CB^2 l^2}$

(C) घूर्णन अक्ष से '$x$' दूरी पर '$dx$' लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का रैखिक वेग '$v = \omega x$' है।
इस छोटे अवयव में प्रेरित गतिकीय emf '$d\varepsilon = Bv dx = B(\omega x) dx$' द्वारा दिया जाता है।
कुल प्रेरित emf ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का '$x = 0$' से '$x = L$' तक समाकलन करते हैं:
$\varepsilon = \int_0^L B \omega x dx$
$\varepsilon = B \omega \int_0^L x dx$
$\varepsilon = B \omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L$
$\varepsilon = \frac{1}{2} BL^2 \omega$

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक के सिरों के बीच प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (emf) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$e = Bv\ell$
जहाँ:
$B = 2\,T$ (चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता)
$v = 8\,m/s$ (तार का वेग)
$\ell = 1\,m$ (तार की लंबाई)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = 2 \times 8 \times 1 = 16\,V$
अतः,प्रेरित emf का परिमाण $16\,V$ है।

(A) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = B \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ होता है।
इसका परिमाण लेने पर,$\varepsilon = \left| \frac{d}{dt} (B \pi r^2) \right| = B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$।
दिए गए मान: $B = 0.8 \, T$,$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$,और $\frac{dr}{dt} = -2 \, cm/s = -0.02 \, m/s$।
मान रखने पर:
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 2 \times 0.1 \times 0.02$।
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 0.004 = 0.0032 \pi \, V$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$\varepsilon \approx 0.0032 \times 3.14159 \approx 0.010053 \, V$।
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर: $\varepsilon \approx 10.053 \, mV$।
निकटतम पूर्णांक में राउंड ऑफ करने पर,हमें $10 \, mV$ प्राप्त होता है।

(B) वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = 25\,cm^2 = 25 \times 10^{-4}\,m^2$ है। इसकी भुजा की लंबाई $\ell = \sqrt{A} = 5 \times 10^{-2}\,m = 0.05\,m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 40.0\,T$ है और प्रतिरोध $R = 10\,\Omega$ है।
जब लूप को $t = 1.0\,s$ समय में चुंबकीय क्षेत्र से बाहर खींचा जाता है,तो प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = B\ell v$ होता है,जहाँ $v = \frac{\ell}{t} = \frac{0.05\,m}{1.0\,s} = 0.05\,m/s$ है।
प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\ell v}{R} = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01\,A$ है।
लूप पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = Bi\ell = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02\,N$ है।
किया गया कार्य $W = F \times \ell = 0.02 \times 0.05 = 0.001\,J = 1 \times 10^{-3\,J}$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित गतिक $emf$ का सूत्र इस प्रकार है:
$e = Blv$
दिया गया है:
$e = 0.08\,V$
$l = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 0.4\,T$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.08 = 0.4 \times 0.1 \times v$
$0.08 = 0.04 \times v$
$v = \frac{0.08}{0.04} = 2\,m/s$
अतः,वेग $2\,m/s$ है।

(D) छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 0.15\,T$,$\ell = 1\,m$,$v = 4\,m/s$,और $R = 5\,\Omega$.
परिपथ में प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = i \ell B$ है।
$i$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \left( \frac{B \ell v}{R} \right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$.
मान रखने पर: $F = \frac{(0.15)^2 \times (1)^2 \times 4}{5}$.
$F = \frac{0.0225 \times 4}{5} = \frac{0.09}{5} = 0.018\,N$.
आवश्यक इकाइयों में परिवर्तित करने पर: $0.018\,N = 18 \times 10^{-3}\,N$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का सूत्र $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}$ है।
यहाँ,वेग सदिश $\vec{v} = 2\hat{j}\,m/s$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = 0.5\hat{k}\,T$ है।
इनका सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{j}) \times (0.5\hat{k}) = 1\hat{i}\,V/m$ है।
यह दर्शाता है कि प्रेरित विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष की दिशा में है।
$x$-अक्ष पर घन की लंबाई $l = 15\,cm = 0.15\,m$ है।
विभवांतर $\Delta V = |\vec{v} \times \vec{B}| \times l = 1\,V/m \times 0.15\,m = 0.15\,V$ होगा।
मिलीवोल्ट में बदलने पर,$\Delta V = 0.15 \times 1000\,mV = 150\,mV$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.4\,T$,त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 1\,mm/s = 10^{-3}\,m/s$,और त्रिज्या $r = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$.
वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf का परिमाण $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d(BA)}{dt} \right| = B \frac{dA}{dt}$ है।
मान रखने पर:
$\varepsilon = 0.4 \times (2 \times \pi \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-3})\,V$
$\varepsilon = 0.4 \times 4\pi \times 10^{-5}\,V$
$\varepsilon = 1.6\pi \times 10^{-5}\,V = 16\pi \times 10^{-6}\,V = 16\pi\,\mu V$.
चूंकि $16\pi \approx 16 \times 3.14 = 50.24\,\mu V$,इसलिए निकटतम पूर्णांक मान $50\,\mu V$ है।

(A) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$\ell = 20\,cm = 0.2\,m$
कोणीय वेग,$\omega = 210\,rpm = 210 \times \frac{2\pi}{60}\,rad/s = 7\pi\,rad/s$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.2\,T$
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में घूमने वाली छड़ में प्रेरित गतिकीय emf का सूत्र है:
$\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (7\pi) \times (0.2)^2$
$\varepsilon = 0.1 \times 7 \times \frac{22}{7} \times 0.04$
$\varepsilon = 0.1 \times 22 \times 0.04$
$\varepsilon = 0.088\,V$
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर:
$\varepsilon = 0.088 \times 1000\,mV = 88\,mV$

(B) दिया गया है: तार की लंबाई $l = 5 \ m$ है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 0.60 \times 10^{-4} \ Wb \ m^{-2}$ है।
तार का वेग $v = 10 \ m \ s^{-1}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र $e = B_H v l$ होता है।
मान रखने पर:
$e = (0.60 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5$
$e = 0.60 \times 10^{-3} \times 5$
$e = 3.0 \times 10^{-3} \ V$
अतः,प्रेरित emf का तात्कालिक मान $3 \times 10^{-3} \ V$ है।

(B) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B \sin(\delta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B = 0.5 \ G = 0.5 \times 10^{-4} \ T$ और $\delta = 30^{\circ}$ है।
$B_V = 0.5 \times 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 0.5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.25 \times 10^{-4} \ T = \frac{1}{4} \times 10^{-4} \ T$.
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi n}{60}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1200 \ rpm$ है।
$\omega = \frac{2 \pi \times 1200}{60} = 40 \pi \ rad/s$.
घूमती हुई छड़ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B_V \omega \ell^2$ होता है,जहाँ $\ell = 80 \ cm = 0.8 \ m$ है।
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times (0.25 \times 10^{-4}) \times (40 \pi) \times (0.8)^2$.
$\varepsilon = 0.5 \times 0.25 \times 10^{-4} \times 40 \pi \times 0.64$.
$\varepsilon = 0.125 \times 10^{-4} \times 40 \pi \times 0.64 = 5 \pi \times 10^{-4} \times 0.64 = 3.2 \pi \times 10^{-4} = 32 \pi \times 10^{-5} \ V$.
इसे $N \pi \times 10^{-5} \ V$ के साथ तुलना करने पर,हमें $N = 32$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में घूमने वाली छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूमने वाले खंड की लंबाई है।
यहाँ,छड़ अपने केंद्र $O$ के परितः घूमती है। छड़ के दो भाग $OA$ और $OB$,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है,एक सिरे के परितः घूमने वाली दो अलग-अलग छड़ों के रूप में कार्य करते हैं।
खंड $OA$ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_{OA} = V_O - V_A = \frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
खंड $OB$ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_{OB} = V_O - V_B = \frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र घूर्णन अक्ष के समानांतर है,इसलिए छड़ के दोनों सिरों $A$ और $B$ पर केंद्र $O$ के सापेक्ष विभव समान होता है। अतः,सिरों $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = (V_O - V_B) - (V_O - V_A) = 0 - 0 = 0 \ V$ है।

(C) दिया गया है: फेरों की संख्या $N=10$, क्षेत्रफल $A=3.6 \times 10^{-3} \, m^2$, प्रतिरोध $R=100 \, \Omega$, चुंबकीय क्षेत्र $B=0.5 \, T$, समय $t=1.0 \, s$.
वर्गाकार लूप की भुजा की लंबाई $\ell = \sqrt{A} = \sqrt{3.6 \times 10^{-3}} \, m$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\epsilon = N B \ell v$ है, जहाँ $v = \frac{\ell}{t}$ वेग है।
प्रेरित धारा $i = \frac{\epsilon}{R} = \frac{N B \ell v}{R}$ है।
लूप पर चुंबकीय बल $F = N i \ell B = \frac{N^2 B^2 \ell^2 v}{R} = \frac{N^2 B^2 A v}{R}$ है।
चूँकि लूप को बाहर खींचा जा रहा है, तय की गई दूरी $\ell$ है। किया गया कार्य $W = F \times \ell = \frac{N^2 B^2 A v \ell}{R} = \frac{N^2 B^2 A \ell^2}{R t} = \frac{N^2 B^2 A^2}{R t}$ है।
मान रखने पर: $W = \frac{10^2 \times (0.5)^2 \times (3.6 \times 10^{-3})^2}{100 \times 1.0} = \frac{100 \times 0.25 \times 12.96 \times 10^{-6}}{100} = 3.24 \times 10^{-6} \, J$.
अतः, किया गया कार्य $3.24 \times 10^{-6} \, J$ है। निकटतम पूर्णांक मान $3$ है।

$(C)$ वर्गाकार लूप की भुजा की लंबाई $L = 15 \ cm = 0.15 \ m$ है।
लूप की गति $v = 2 \ cm/s = 0.02 \ m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई $W = 50 \ cm = 0.5 \ m$ है।
$t=0$ पर, सामने का किनारा चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है।
पूरे लूप को चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करने में लगा समय $t_{in} = \frac{L}{v} = \frac{15 \ cm}{2 \ cm/s} = 7.5 \ s$ है।
$t = 7.5 \ s$ पर, पूरा लूप चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है।
लूप तब तक पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर रहेगा जब तक कि पिछला किनारा चुंबकीय क्षेत्र की सीमा तक नहीं पहुँच जाता।
पिछले किनारे को चुंबकीय क्षेत्र तक पहुँचने में लगा समय $t_{out} = \frac{W}{v} = \frac{50 \ cm}{2 \ cm/s} = 25 \ s$ है।
चूंकि $t = 10 \ s$, $7.5 \ s$ और $25 \ s$ के बीच आता है, इसलिए पूरा लूप चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र के अंदर है।
जब पूरा लूप एक समान चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है, तो लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ स्थिर रहता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf $e = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
चूंकि $\phi$ स्थिर है, इसलिए $\frac{d\phi}{dt} = 0$, अतः $e = 0$.

(A) $1$. जब लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है $(0 < x < L)$: दायां किनारा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटता है,जिससे $EMF$ $\epsilon = BLv$ प्रेरित होता है। धारा $I = \frac{BLv}{R}$ दक्षिणावर्त (ऋणात्मक) बहती है। चुंबकीय बल $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ बाईं ओर कार्य करता है,जिससे मंदन उत्पन्न होता है। अतः,$v$ घटता है,$I$ ऋणात्मक है,और $F$ ऋणात्मक है।
$2$. जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है $(L < x < 2L)$: लूप से गुजरने वाला फ्लक्स स्थिर है,इसलिए प्रेरित $EMF$ शून्य है। अतः,$I = 0$ और $F = 0$ है। वेग $v$ स्थिर रहता है।
$3$. जब लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है $(3L < x < 4L)$: बायां किनारा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटता है। प्रेरित $EMF$ $\epsilon = BLv$ वामावर्त धारा $I = \frac{BLv}{R}$ (धनात्मक) उत्पन्न करता है। चुंबकीय बल $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ बाईं ओर कार्य करता है,जिससे और मंदन उत्पन्न होता है। अतः,$v$ घटता है,$I$ धनात्मक है,और $F$ ऋणात्मक है।
$4$. आरेखों का विश्लेषण: आरेख $A$ में $v$ को घटते हुए,फिर स्थिर,फिर घटते हुए दिखाया गया है,जो सही है। आरेख $C$ में $I$ को $0 < x < L$ के लिए ऋणात्मक और $3L < x < 4L$ के लिए धनात्मक दिखाया गया है,जो भौतिकी के अनुरूप है। आरेख $D$ में $F$ को $0 < x < L$ के लिए ऋणात्मक और $3L < x < 4L$ के लिए ऋणात्मक दिखाया गया है,जो भी सही है। अतः,$A, C, D$ सही हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$A$ और $C$ सही हैं।

(A) एक लंबे तार के कारण $y$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi y}$ होता है।
लूप में प्रेरित गतिक $EMF$ लूप की ऊर्ध्वाधर भुजाओं की $y$-दिशा में गति के कारण होता है।
$d$ दूरी पर स्थित भुजा में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_1 = B_1 l v_y = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} \right) l v_y$ है।
$d+a$ दूरी पर स्थित भुजा में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_2 = B_2 l v_y = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d+a)} \right) l v_y$ है।
कुल $EMF$ $\varepsilon = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 = \frac{\mu_0 I l v_y}{2 \pi} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+a} \right)$ है।
यहाँ $I = 10 \ A$,$l = 4 \ cm = 0.04 \ m$,$a = 2 \ cm = 0.02 \ m$,$d = 4 \ cm = 0.04 \ m$,$R = 0.1 \ \Omega$,और $i = 10 \ \mu A = 10^{-5} \ A$ दिया गया है।
$i = \frac{\varepsilon}{R} \Rightarrow 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 0.04 \times v_y}{2 \pi \times 0.1} \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.06} \right)$.
इस समीकरण को हल करने पर,$v_y = 1.5 \ m/s$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग सदिश $\vec{v} = v(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{x} + \frac{1}{2} \hat{y})$ है,इसलिए $v_y = v/2$ होता है।
अतः $v = 2 \times v_y = 3 \ m/s$ प्राप्त होता है। (नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करने पर $v=4$ उत्तर आता है)।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B(y) \hat{k}$ में $V_0 \hat{i}$ वेग से गति करते हुए तार के एक छोटे अवयव $dy$ में प्रेरित गतिक $EMF$ $d\phi = |(\vec{V} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}|$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $\vec{V} \times \vec{B} = V_0 B(y) (\hat{i} \times \hat{k}) = -V_0 B(y) \hat{j}$ है।
तार के सिरों के बीच विभवांतर $\Delta \phi = \int_0^L V_0 B(y) dy$ है।
$B(y) = B_0 \left(1 + \left(\frac{y}{L}\right)^\beta\right)$ रखने पर:
$\Delta \phi = \int_0^L V_0 B_0 \left(1 + \frac{y^\beta}{L^\beta}\right) dy = V_0 B_0 \left[ y + \frac{y^{\beta+1}}{L^\beta (\beta+1)} \right]_0^L = V_0 B_0 \left( L + \frac{L}{\beta+1} \right) = V_0 B_0 L \left( 1 + \frac{1}{\beta+1} \right)$.
$(1)$ समाकलन केवल $y$ की सीमा ($0$ से $L$) पर निर्भर करता है। अतः,समान $y$-सीमा वाले किसी भी आकार के तार के लिए $\Delta \phi$ समान रहेगा। कथन $(1)$ सही है।
$(2)$ चूँकि $\Delta \phi = V_0 B_0 L \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right)$,यह $L$ ($y$-अक्ष पर प्रक्षेप) के समानुपाती है। कथन $(2)$ सही है।
$(3)$ $\beta = 0$ के लिए,$\Delta \phi = V_0 B_0 L (1 + 1) = 2 V_0 B_0 L$। कथन $(3)$ गलत है।
$(4)$ $\beta = 2$ के लिए,$\Delta \phi = V_0 B_0 L (1 + 1/3) = \frac{4}{3} V_0 B_0 L$। कथन $(4)$ सही है।
अतः,सही कथन $(1), (2)$ और $(4)$ हैं।

(D) तार से $r$ दूरी पर छड़ के एक छोटे अवयव $dr$ में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $dE = Bv dr = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) v dr$ है।
अर्धवृत्ताकार छड़ के सिरों के बीच प्रेरित कुल $EMF$ $E$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ से $r_2 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ तक $dE$ का समाकलन है:
$E = \int_{0.01}^{0.04} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\left(\frac{0.04}{0.01}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln(4) = \frac{\mu_0 I v}{\pi} \ln(2)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर $(I = 2 \text{ A}, v = 3 \text{ m/s}, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, \ln 2 = 0.7)$:
$E = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 3}{\pi} \times 0.7 = 8 \times 10^{-7} \times 3 \times 0.7 = 1.68 \times 10^{-6} \text{ V}$.
परिपथ में प्रेरित $EMF$ $E$,प्रतिरोधक $R$ और संधारित्र $C_0$ श्रेणीक्रम में हैं। धारा $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC_0}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम धारा $t = 0$ पर होती है (जब संधारित्र अनावेशित होता है):
$i_{\max} = \frac{E}{R} = \frac{1.68 \times 10^{-6}}{1.4} = 1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_{\max}$ तब होता है जब यह $EMF$ $E$ तक पूरी तरह आवेशित हो जाता है:
$Q_{\max} = C_0 E = (5.0 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1.68 \times 10^{-6} \text{ V}) = 8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$.
अतः,कथन $(C)$ सही है।

(B) प्रेरित emf $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटने वाले चालक की लंबाई है।
$0 \le x \le L$ के लिए:
लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। क्षेत्र के अंदर के भाग की लंबाई $\ell = 2 \times (x \tan 30^\circ) = \frac{2x}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$\varepsilon = B \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right) v$. emf का परिमाण $x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$L \le x \le 2L$ के लिए:
मान लीजिए $x_0 = x - L$. क्षेत्र के अंदर लूप का हिस्सा एक समलंब चतुर्भुज है। क्षेत्र के अंदर के भाग की ऊपरी भुजा की लंबाई $\ell = \frac{2(L-x_0)}{\sqrt{3}}$ है।
प्रेरित emf $\varepsilon = B \ell v = B \left( \frac{2(L - (x-L))}{\sqrt{3}} \right) v = \frac{2Bv}{\sqrt{3}} (2L - x)$ है।
$x = L$ पर,$\varepsilon = \frac{2BvL}{\sqrt{3}}$. $x = 2L$ पर,$\varepsilon = 0$.
ढाल और व्यवहार की तुलना करने पर,ग्राफ $B$ सही ढंग से परिमाण में रैखिक वृद्धि और उसके बाद शून्य तक रैखिक कमी को दर्शाता है।

(D) जब एक आयताकार धात्विक लूप एक समान चुंबकीय क्षेत्र से स्थिर गति $v$ के साथ बाहर निकलता है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली लूप की भुजा में प्रेरित गतिकीय $\text{emf}$ का सूत्र $\varepsilon = B \ell v$ होता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,$\ell$ लूप की भुजा की लंबाई है,और $v$ वेग है।
चूंकि $B$,$\ell$,और $v$ सभी स्थिर हैं,इसलिए प्रेरित $\text{emf} \ (\varepsilon)$ तब तक स्थिर रहता है जब तक लूप आंशिक रूप से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है।
इसलिए,प्रेरित $\text{emf} \ (\varepsilon)$ के परिमाण का समय $(t)$ के साथ आलेख एक क्षैतिज सीधी रेखा है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.4 \ \text{T}$,त्रिज्या $R = 20 \ \text{cm} = 0.2 \ \text{m}$,कोणीय वेग $\omega = 10 \pi \ \text{rad s}^{-1}$।
चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई डिस्क के केंद्र और रिम के बीच उत्पन्न प्रेरित $EMF$ या विभवांतर का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (10 \pi) \times (0.2)^2$
$E = 0.2 \times 10 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 2 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 6.28 \times 0.04 = 0.2512 \ \text{V}$
अतः,उत्पन्न विभवांतर $0.2512 \ \text{V}$ है।

(A) गतिमान चालक में प्रेरित $\text{EMF}$ का सूत्र $E = \ell v B$ है,जहाँ $\ell$ चुंबकीय क्षेत्र में चालक की लंबाई है,$v$ वेग है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चित्र की ज्यामिति से,शीर्ष से $x$ दूरी पर छड़ की लंबाई $\ell = 2x \tan(30^\circ) = 2x / \sqrt{3}$ है।
चूंकि छड़ स्थिर वेग $v$ से गति करती है,इसलिए $t$ समय पर दूरी $x = vt$ होगी।
$\ell$ के व्यंजक में $x$ का मान रखने पर,हमें $\ell = 2vt / \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$\text{EMF}$ के समीकरण में $\ell$ का मान रखने पर: $E = (2vt / \sqrt{3}) \times vB = (2v^2 B / \sqrt{3}) t$.
इस प्रकार,$E \propto t^1$,जिसका अर्थ है कि $n = 1$।

(A) गतिमान चालक में प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = B v L_{eff}$ है,जहाँ $L_{eff}$ वेग सदिश के लंबवत प्रभावी लंबाई है।
दिए गए तार $ABCDE$ के लिए,बिंदुओं $A$ और $E$ के बीच प्रभावी लंबाई उनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है।
तार में $BC$ और $CD$ खंड हैं जो क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर झुके हैं,और $AB$ तथा $DE$ खंड क्षैतिज हैं।
$BC$ और $CD$ खंडों का ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप $10 \sin 45^{\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \ cm$ है।
अतः,कुल प्रभावी लंबाई $L_{eff} = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \ cm = 0.1\sqrt{2} \ m$ है।
दिया गया है $B = \frac{1}{\sqrt{2}} \ T$ और $v = 10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$.
$\varepsilon = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times (0.1) \times (0.1\sqrt{2}) = 0.01 \ V$.
मिलीवोल्ट में बदलने पर: $\varepsilon = 0.01 \times 1000 \ mV = 10 \ mV$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ का सूत्र $e = B \cdot L_{\perp} \cdot V$ है, जहाँ $L_{\perp}$ वेग सदिश $V$ के लंबवत चालक की प्रभावी लंबाई है।
चूँकि वेग $V$, $X$-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए प्रभावी लंबाई $L_{\perp}$ चालक खंड का $Y$-अक्ष पर प्रक्षेप (बिंदुओं के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी) है।
दिए गए बिंदुओं के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी की तुलना करने पर:
$AB$ के लिए, ऊर्ध्वाधर दूरी कम है।
$BD$ के लिए, ऊर्ध्वाधर दूरी $BC$ और $CD$ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाइयों का योग है।
$BC$ के लिए, ऊर्ध्वाधर दूरी इन दो बिंदुओं के बीच वक्र का अधिकतम ऊर्ध्वाधर विस्तार है।
ज्यामिति को देखने पर, $B$ और $C$ के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी दिए गए विकल्पों में सबसे अधिक है, क्योंकि यह तरंग के शिखर से गर्त तक का विस्तार है।
इसलिए, अधिकतम प्रेरित $emf$ बिंदु $B$ और $C$ के बीच उत्पन्न होता है।

(C) लंबाई $\ell = 20 \ \text{cm} = 0.2 \ \text{m}$ वाले तत्व $AB$ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$,जो $v = 20 \ \text{m/s}$ के वेग से $B = 2 \times 10^{-2} \ \text{T}$ के एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहा है,वह है:
$e = B v \ell = (2 \times 10^{-2} \ \text{T}) \times (20 \ \text{m/s}) \times (0.2 \ \text{m}) = 0.08 \ \text{V}$.
चूंकि लूप बंद है और एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहा है,लूप से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,एक बंद लूप में प्रेरित धारा $I$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के समानुपाती होती है।
चूंकि फ्लक्स स्थिर है,इसलिए फ्लक्स में परिवर्तन की दर शून्य है,अतः प्रेरित धारा $I = 0 \ \text{A}$ होगी।

(A) कथन-$I$ सत्य है। जब $l$ लंबाई की एक चालक छड़ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से इस प्रकार गति करती है कि $v$,$B$ और $l$ परस्पर लंबवत हों,तो छड़ के सिरों के बीच एक गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्रेरित होता है,जिसे $\varepsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है। यह विभवांतर उत्पन्न करता है।
कथन-$II$ असत्य है। धात्विक चालक में,केवल मुक्त इलेक्ट्रॉन ही गति करने के लिए उपलब्ध होते हैं। धनात्मक आयन क्रिस्टल जालक संरचना में स्थिर होते हैं और चालक के माध्यम से गति करने के लिए स्वतंत्र नहीं होते हैं।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $\omega$ कोणीय वेग से घूमने वाली $l$ लंबाई की छड़ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ द्वारा दिया जाता है।
$2L$ लंबाई के क्षैतिज भाग के लिए,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_1 = \frac{1}{2} B \omega (2L)^2 = 2 B \omega L^2$ है।
विभव बाहरी सिरे की ओर (धुरी से दूर) बढ़ता है। अतः,$V_A$ धुरी पर विभव से अधिक है।
$L$ लंबाई के ऊर्ध्वाधर भाग के लिए,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_2 = \frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
विभव बाहरी सिरे $B$ की ओर बढ़ता है। अतः,$V_B$ धुरी पर विभव से अधिक है।
मान लीजिए $V_P$ धुरी पर विभव है। तब $V_A = V_P + 2 B \omega L^2$ और $V_B = V_P + \frac{1}{2} B \omega L^2$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $V_A - V_B = (V_P + 2 B \omega L^2) - (V_P + \frac{1}{2} B \omega L^2) = \frac{3}{2} B \omega L^2$।

(B) जब $\ell$ लंबाई की एक चालक छड़ अपनी लंबाई और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $V$ वेग के साथ गति करती है, तो छड़ के सिरों पर एक प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) उत्पन्न होता है।
प्रेरित emf $(e)$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$e = B V \ell$
यह प्रेरित emf पटरियों के पार जुड़े संधारित्र के लिए वोल्टेज स्रोत के रूप में कार्य करता है।
$C$ धारिता वाले संधारित्र पर संचित आवेश $(q)$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$q = C \times e$
$q$ के समीकरण में $e$ का मान रखने पर:
$q = C \times (B V \ell)$
$q = B V \ell C$
अतः, संधारित्र पर आवेश $B V \ell C$ है।

(C) चालक में प्रेरित गतिकीय e.m.f. का सूत्र $e = Bvl$ है।
यहाँ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = 1000 \ A/m$ दी गई है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B = \mu_0 H$ का उपयोग करते हुए:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \ Wb/Am) \times (1000 \ A/m) = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
चालक की लंबाई $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और गति $v = 1 \ m/s$ है।
अब,प्रेरित e.m.f. की गणना करने पर:
$e = (4 \pi \times 10^{-4} \ T) \times (1 \ m/s) \times (0.1 \ m)$
$e = 0.4 \pi \times 10^{-4} \ V = 40 \pi \times 10^{-6} \ V = 40 \pi \ \mu V$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित e.m.f. का सूत्र $\varepsilon = B l v \sin \theta$ है,जहाँ $l$ वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत चालक की लंबाई है।
प्रारंभिक स्थिति में,कुंडली की लंबाई ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $L$ लंबाई की ऊर्ध्वाधर भुजा वेग $v$ (जो क्षैतिज है) के लंबवत है। अतः,प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_1 = B L v$ है।
कुंडली को $90^{\circ}$ घुमाने के बाद,लंबाई $L$ क्षैतिज (वेग $v$ के समानांतर) हो जाती है। जो भुजा पहले क्षैतिज थी (चौड़ाई $W$),वह अब ऊर्ध्वाधर हो जाती है। अब प्रेरित e.m.f. वेग के लंबवत भुजा द्वारा निर्धारित होता है,जो $W$ लंबाई की भुजा है। अतः,$\varepsilon_2 = B W v$ है।
चूंकि एक आयताकार कुंडली की लंबाई $L$ आमतौर पर उसकी चौड़ाई $W$ से अधिक होती है $(L > W)$,इसलिए नया प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_2$ प्रारंभिक प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_1$ से कम होगा।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में घूर्णन करती कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $\omega$ कोणीय वेग है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\epsilon = -\frac{d}{dt} [BA \cos(\omega t)] = BA\omega \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\epsilon = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$।
फ्लक्स की कला $(\omega t)$ और प्रेरित e.m.f. की कला $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ की तुलना करने पर,कलांतर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) घूमती हुई छड़ में प्रेरित e.m.f. $e$,छड़ द्वारा तय किए गए क्षेत्रफल से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$e = \frac{d\phi}{dt} = B \frac{dA}{dt}$
एक पूर्ण चक्कर में,छड़ $A = \pi l^2$ का क्षेत्रफल तय करती है।
यदि छड़ प्रति सेकंड $f$ चक्कर लगाती है,तो प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल $\frac{dA}{dt} = f \cdot A = f \cdot \pi l^2$ होगा।
इसे e.m.f. के समीकरण में रखने पर:
$e = B \cdot (f \cdot \pi l^2)$
आवृत्ति $f$ (प्रति सेकंड चक्करों की संख्या) के लिए हल करने पर:
$f = \frac{e}{B \pi l^2}$