Mix Examples-Electromagnetic Induction Questions in Hindi

(C) हेनरी $(H)$ प्रेरकत्व का $SI$ मात्रक है।
प्रेरकत्व किसी परिपथ का वह गुण है जो उसमें प्रवाहित होने वाली धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।
स्वप्रेरकत्व $(L)$ और अन्योन्य प्रेरकत्व $(M)$ दोनों ही इस गुण के माप हैं और इन्हें एक ही मात्रक,हेनरी $(H)$ में व्यक्त किया जाता है।

(C) जब चुंबक तांबे की कुंडली के अंदर और बाहर गति करता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदलता है। फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली में एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है। चूंकि कुंडली शॉर्ट-सर्किट है,इसलिए इसमें प्रेरित धारा प्रवाहित होती है। लेंज के नियम के अनुसार,यह प्रेरित धारा एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो चुंबक की गति का विरोध करती है। यह विरोधी बल एक अवमंदन बल के रूप में कार्य करता है,जिससे लोलक के दोलन समय के साथ अवमंदित हो जाते हैं।

(B) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 500$,क्षेत्रफल $A = 0.1\,m^2$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.2\,T$,प्रतिरोध $R = 50\,\Omega$,समय $\Delta t = 0.1\,s$.
प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^o$ (चूंकि कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश क्षेत्र के समानांतर है)।
अंतिम कोण $\theta_2 = 180^o$ (घूर्णन के बाद)।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = BA(\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$ है।
प्रेरित आवेश $\Delta Q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{NBA}{R} |\cos \theta_2 - \cos \theta_1|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta Q = \frac{500 \times 0.2 \times 0.1}{50} |\cos 180^o - \cos 0^o|$.
$\Delta Q = \frac{10}{50} |-1 - 1| = 0.2 \times 2 = 0.4\,C$.

(D) जैसे-जैसे चुंबक कुंडली के अंदर और बाहर दोलन करता है,कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स लगातार बदलता रहता है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,फ्लक्स में यह परिवर्तन कुंडली में एक $e.m.f.$ प्रेरित करता है,जिससे गैल्वेनोमीटर $G$ के माध्यम से धारा प्रवाहित होती है।
जब चुंबक कुंडली के अंदर जाता है,तो फ्लक्स बढ़ता है,और जब यह बाहर आता है,तो फ्लक्स घटता है। फ्लक्स परिवर्तन की दिशा में इस बदलाव के कारण प्रेरित धारा अपनी दिशा बदल लेती है,जिसके परिणामस्वरूप गैल्वेनोमीटर में बाईं और दाईं दोनों तरफ विक्षेप होता है।
डैम्पिंग प्रभाव (हवा का प्रतिरोध और कुंडली में प्रेरित भंवर धाराएं) के कारण,समय के साथ चुंबक के दोलन का आयाम कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,प्रेरित $e.m.f.$ का परिमाण और गैल्वेनोमीटर में होने वाला विक्षेप भी लगातार घटता जाता है।

(C) जब कुंडली $A$ से प्रत्यावर्ती धारा $(ac)$ प्रवाहित होती है,तो यह समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। यह बदलता हुआ चुंबकीय क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के कारण कुंडली $B$ में एक प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल $(emf)$ प्रेरित करता है।
परिणामस्वरूप,गैल्वेनोमीटर $G$ से प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित होती है।
$50 \, Hz$ की मानक आवृत्ति पर,गैल्वेनोमीटर की सुई अपनी जड़ता के कारण तेजी से होने वाले परिवर्तनों का पालन नहीं कर पाती है,और इसमें कोई दृश्य विक्षेप या केवल मामूली कंपन दिखाई देगा।
हालाँकि,यदि इनपुट $ac$ वोल्टेज की आवृत्ति बहुत कम है,जैसे कि $1$ से $2 \, Hz$,तो गैल्वेनोमीटर की सुई के पास बदलती धारा के प्रति प्रतिक्रिया करने के लिए पर्याप्त समय होगा,और सुई के दृश्य दोलन देखे जाएंगे।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ केवल तब उत्पन्न होता है जब किसी बंद लूप से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है।
इस मामले में,चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है और बेलन को इसके समानांतर रखा गया है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान और स्थिर है,इसलिए बेलन के किसी भी अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A$ समय के साथ स्थिर रहता है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है $(\frac{d\Phi}{dt} = 0)$,इसलिए कोई प्रेरित $EMF$ उत्पन्न नहीं होता है।
परिणामस्वरूप,प्रेरित धारा शून्य है।

(A) जब $DC$ स्रोत का उपयोग किया जाता है, तो परिपथ में धारा स्थिर होती है। प्रारंभ में, कुंडली का एक निश्चित स्व-प्रेरकत्व $L$ होता है। जब कुंडली में नरम लोहे का क्रोड डाला जाता है, तो क्रोड की चुंबकीय पारगम्यता बढ़ जाती है, जिससे कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ काफी बढ़ जाता है। हालाँकि, स्थिर $DC$ धारा के लिए, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ शून्य होता है क्योंकि $DC$ की आवृत्ति $f$, $0$ होती है। इसलिए, परिपथ का प्रतिबाधा केवल कुंडली और बल्ब के प्रतिरोध द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि कुंडली और बल्ब का प्रतिरोध नहीं बदलता है, इसलिए धारा समान रहती है और बल्ब की तीव्रता समान रहती है।

(B) विकल्प $A$ सही है: एक चालक को चुंबकीय क्षेत्र में गति कराने से उसके सिरों के बीच emf प्रेरित होता है (गतिक emf)।
विकल्प $B$ गलत है: स्व-प्रेरित emf (बैक emf) धारा में होने वाले परिवर्तन का विरोध करता है। यदि धारा बढ़ रही है,तो यह वृद्धि का विरोध करता है; यदि धारा घट रही है,तो यह कमी का विरोध करता है (धारा को बनाए रखने का प्रयास करता है)। अतः,यह हमेशा धारा को कम करने की प्रवृत्ति नहीं रखता है।
विकल्प $C$ सही है: कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है। लोहे का क्रोड डालने से पारगम्यता $\mu$ बढ़ जाती है,जिससे $L$ बढ़ जाता है।
विकल्प $D$ सही है: यह लेंज के नियम की मानक परिभाषा है।

(C) सही उत्तर $C$ है। इलेक्ट्रिक जनरेटर एक ऐसा उपकरण है जो यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है। यह विद्युत चुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है,जिसमें जब कुंडली (coil) को चुंबकीय क्षेत्र में घुमाया जाता है,तो फैराडे के नियम और लेंज के नियम के अनुसार,कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण उसमें विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ प्रेरित होता है।

(B) डायनेमो एक विद्युत जनरेटर है जो कम्यूटेटर का उपयोग करके दिष्ट धारा $(DC)$ उत्पन्न करता है। यह विद्युत चुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है,जिसमें यांत्रिक ऊर्जा (आर्मेचर का घूर्णन) को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है।

(D) एक $ac$ डायनेमो (अल्टरनेटर) बाहरी सर्किट के साथ निरंतर संपर्क बनाए रखने के लिए स्लिप रिंग्स का उपयोग करता है,जिससे धारा को दिशा बदलने की अनुमति मिलती है। इसके विपरीत,एक $dc$ डायनेमो स्प्लिट-रिंग कम्यूटेटर का उपयोग करता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि आउटपुट धारा केवल एक ही दिशा में प्रवाहित हो। इसलिए,यह कथन कि दोनों में स्लिप रिंग्स होती हैं,गलत है।

(D) $1$. जैसे ही इलेक्ट्रॉन $A$ से $B$ की ओर गति करता है,यह $B$ से $A$ की दिशा में एक विद्युत धारा उत्पन्न करता है (इलेक्ट्रॉन की गति के विपरीत)।
$2$. दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,इस धारा द्वारा लूप की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर होता है।
$3$. जैसे ही इलेक्ट्रॉन लूप के करीब आता है,लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स (पृष्ठ के अंदर की ओर) बढ़ता है। लेंज के नियम के अनुसार,इस वृद्धि का विरोध करने के लिए लूप में प्रेरित धारा वामावर्त होगी।
$4$. जैसे ही इलेक्ट्रॉन लूप से दूर जाता है,लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स (पृष्ठ के अंदर की ओर) घटता है। लेंज के नियम के अनुसार,इस कमी का विरोध करने के लिए लूप में प्रेरित धारा दक्षिणावर्त होगी।
$5$. इसलिए,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन लूप के पास से गुजरता है,प्रेरित धारा की दिशा बदल जाती है।

(D) दिया गया है: $L_1 = 8 \, mH$,$L_2 = 2 \, mH$,और $\frac{di_1}{dt} = \frac{di_2}{dt} = k$ (स्थिर)।
$1$. प्रेरित वोल्टेज: $V = L \frac{di}{dt}$। चूंकि $\frac{di}{dt}$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $\frac{V_2}{V_1} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
$2$. शक्ति: $P = V \cdot i$। दिया गया है कि $P_1 = P_2$,इसलिए $V_1 i_1 = V_2 i_2$। अतः,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{4}$। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. संचित ऊर्जा: $W = \frac{1}{2} L i^2$। अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{i_2}{i_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right) \left( 4 \right)^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
चूंकि $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सभी सही हैं,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(D) मान लीजिए $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ स्थिरांक हैं।
$RL$ परिपथ में धारा $I_1(t) = k_1(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है।
कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B(t)$ धारा $I_1(t)$ के समानुपाती होता है,इसलिए $B(t) = k_2 I_1(t) = k_2 k_1(1 - e^{-t/\tau})$।
वलय में प्रेरित धारा $I_2(t)$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के समानुपाती होती है,जो $dB(t)/dt$ के समानुपाती है। अतः,$I_2(t) = k_3 \frac{dB(t)}{dt} = k_4 e^{-t/\tau}$।
इसलिए,गुणनफल $I_2(t) B(t) = k_5 (1 - e^{-t/\tau}) e^{-t/\tau} = k_5 (e^{-t/\tau} - e^{-2t/\tau})$।
$t = 0$ पर,$I_2(t) B(t) = 0$ होता है। जैसे-जैसे $t \to \infty$,$I_2(t) B(t) \to 0$ होता है। चूंकि $t > 0$ के लिए यह गुणनफल धनात्मक है,इसलिए इसे एक अधिकतम मान से गुजरना ही होगा।

(D) जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो लूप $P$ में धारा $I_P$ शून्य से बढ़कर एक स्थिर मान तक पहुँचती है। यह लूप $Q$ के माध्यम से बाएं से दाएं ( $P$ से दूर) की दिशा में बढ़ता हुआ चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करता है। लेंज के नियम के अनुसार,$Q$ में प्रेरित धारा $I_{Q_1}$ को इस परिवर्तन का विरोध करने के लिए विपरीत दिशा (दाएं से बाएं) में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए। $E$ प्रेक्षक के लिए,जो $Q$ को देख रहा है,दाएं से बाएं इंगित चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त (anticlockwise) धारा के अनुरूप होता है। अतः,$I_{Q_1}$ वामावर्त है।
जब स्विच $S$ खोला जाता है,तो $P$ में धारा $I_P$ घटकर शून्य हो जाती है। यह लूप $Q$ के माध्यम से बाएं से दाएं की दिशा में चुंबकीय फ्लक्स को कम करता है। लेंज के नियम के अनुसार,$Q$ में प्रेरित धारा $I_{Q_2}$ को इस कमी का विरोध करने के लिए उसी दिशा (बाएं से दाएं) में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए। $E$ प्रेक्षक के लिए,बाएं से दाएं इंगित चुंबकीय क्षेत्र दक्षिणावर्त (clockwise) धारा के अनुरूप होता है। अतः,$I_{Q_2}$ दक्षिणावर्त है।

(B) प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -NA \frac{dB}{dt}$.
चूंकि $A = \pi r_c^2$ (जहाँ $r_c$ कुंडली की त्रिज्या है),इसलिए $e \propto N$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A_w} = \rho \frac{N(2\pi r_c)}{\pi r^2}$ है,जहाँ $r$ तार की त्रिज्या है।
अतः,$R \propto \frac{N}{r^2}$.
क्षयित शक्ति $P = \frac{e^2}{R} \propto \frac{N^2}{N/r^2} = N r^2$ होती है।
दिया गया है कि $N_2 = 4N_1$ और $r_2 = r_1/2$,तो नई शक्ति $P_2$ होगी:
$P_2 \propto (4N_1) \times (r_1/2)^2 = 4N_1 \times (r_1^2/4) = N_1 r_1^2 = P_1$.
इसलिए,क्षयित विद्युत शक्ति समान रहेगी।

(D) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = (B_0 e^{-t})(\pi r^2)$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
$e = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi r^2 e^{-t}) = B_0 \pi r^2 e^{-t}$।
प्रतिरोध $R$ में विकसित विद्युत शक्ति $P = \frac{e^2}{R}$ है।
$P = \frac{(B_0 \pi r^2 e^{-t})^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^{-2t}}{R}$।
स्विच बंद करने के तुरंत बाद,समय $t = 0$ है।
शक्ति के व्यंजक में $t = 0$ रखने पर,हमें $P = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^0}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{R}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -A \frac{dB}{dt}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र घट रहा है, $dB/dt = -0.1 \text{ mT/s} = -10^{-4} \text{ T/s}$ है।
$a = 0.1 \text{ m}$ त्रिज्या वाले आंतरिक लूप के लिए:
प्रतिरोध $R_1 = (50 \times 10^{-3} \Omega/\text{m}) \times (2\pi a) = 50 \times 10^{-3} \times 2\pi \times 0.1 = 0.01\pi \Omega$ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \pi a^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \text{ m}^2$ है।
प्रेरित धारा का परिमाण $i_1 = \frac{|\varepsilon_1|}{R_1} = \frac{A_1 |dB/dt|}{R_1} = \frac{0.01\pi \times 10^{-4}}{0.01\pi} = 10^{-4} \text{ A}$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र घट रहा है, प्रेरित धारा इस परिवर्तन का विरोध करेगी और उसी दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी, जो दक्षिणावर्त (clockwise) है।
$b = 0.2 \text{ m}$ त्रिज्या वाले बाहरी लूप के लिए:
प्रतिरोध $R_2 = (50 \times 10^{-3} \Omega/\text{m}) \times (2\pi b) = 50 \times 10^{-3} \times 2\pi \times 0.2 = 0.02\pi \Omega$ है।
क्षेत्रफल $A_2 = \pi b^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \text{ m}^2$ है।
प्रेरित धारा का परिमाण $i_2 = \frac{|\varepsilon_2|}{R_2} = \frac{A_2 |dB/dt|}{R_2} = \frac{0.04\pi \times 10^{-4}}{0.02\pi} = 2 \times 10^{-4} \text{ A}$ है।
इसी प्रकार, दिशा दक्षिणावर्त है।

(D) $t = 0$ पर (स्विच बंद करने के तुरंत बाद),प्रेरक एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
परिपथ $(1)$: $i_1 = 0$.
परिपथ $(2)$: प्रेरक शाखा ओपन है,इसलिए धारा बैटरी के समानांतर प्रतिरोधक से होकर बहती है। $i_2 = E/R$.
परिपथ $(3)$: प्रेरक शाखा ओपन है,इसलिए धारा बैटरी के समानांतर प्रतिरोधक से होकर बहती है। $i_3 = E/R$.
अतः,$i_2 = i_3 > i_1$ (जहाँ $i_1 = 0$).
$t = \infty$ पर (लंबे समय बाद),प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
परिपथ $(1)$: $i_1 = E/(2R)$.
परिपथ $(2)$: प्रेरक शाखा शॉर्ट सर्किट है,जो इसके समानांतर प्रतिरोधक को बायपास करती है। कुल प्रतिरोध $R$ है। $i_2 = E/R$.
परिपथ $(3)$: प्रेरक शाखा शॉर्ट सर्किट है,जो इसके समानांतर प्रतिरोधक को बायपास करती है। कुल प्रतिरोध $R$ है। $i_3 = E/R$.
अतः,$t = \infty$ पर,$i_2 = i_3 > i_1$.

(A) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $(E)$ का मान $E = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ चुंबक का उत्तरी ध्रुव कुंडली के करीब आता है,तो कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप एक निश्चित ध्रुवता (मान लीजिए ऋणात्मक) का प्रेरित emf उत्पन्न होता है।
जैसे ही चुंबक कुंडली के केंद्र से गुजरता है,फ्लक्स में परिवर्तन की दर शून्य हो जाती है,और फिर जैसे ही यह दूर जाता है,फ्लक्स घटता है,जिससे प्रेरित emf की ध्रुवता बदल जाती है (धनात्मक हो जाती है)।
इस प्रकार,जैसे-जैसे चुंबक कुंडली से गुजरता है,प्रेरित emf $(E)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ पहले एक ऋणात्मक पीक और उसके बाद एक धनात्मक पीक दर्शाता है।

(B) जैसे ही लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ बढ़ता है। फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $E = -\frac{d\phi}{dt}$ है। चूंकि फ्लक्स बढ़ रहा है,इसलिए लूप के प्रवेश करते समय प्रेरित emf ऋणात्मक और स्थिर होता है।
जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है,तो इससे गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{d\phi}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि प्रेरित emf $E = 0$ होता है।
जैसे ही लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घटता है। लेंज के नियम के अनुसार,लूप के बाहर निकलते समय प्रेरित emf धनात्मक और स्थिर होगा।
इसलिए,$E$ बनाम $x$ का ग्राफ प्रवेश के दौरान एक ऋणात्मक स्थिर मान,पूरी तरह अंदर होने पर शून्य मान,और बाहर निकलते समय एक धनात्मक स्थिर मान दिखाता है। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) एक इंडक्टर में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(emf)$ सूत्र $E = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
समय अंतराल के पहले आधे भाग में,धारा $I$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,प्रेरित $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है।
समय अंतराल के दूसरे आधे भाग में,धारा $I$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,प्रेरित $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ पहले ऋणात्मक स्थिर मान और उसके बाद धनात्मक स्थिर मान को दर्शाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित होता है।

(C) कॉइल में प्रेरित emf $E$,फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $E = -L \frac{di}{dt}$।
$1$. अंतराल $a$ के दौरान: धारा $i$ स्थिर है,इसलिए $\frac{di}{dt} = 0$। अतः,$E = 0$।
$2$. अंतराल $b$ के दौरान: धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है,इसलिए $\frac{di}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। चूंकि $E = -L \frac{di}{dt}$,इसलिए $E$ एक धनात्मक स्थिरांक होगा।
$3$. अंतराल $c$ के दौरान: धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए $\frac{di}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। अतः,$E = -L \frac{di}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक होगा।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ शून्य emf,फिर स्थिर धनात्मक emf और फिर स्थिर ऋणात्मक emf दिखाता है,वह सही निरूपण है।

(A) प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}Li^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संचय की दर $P = \frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^2) = Li(\frac{di}{dt})$ है।
$L-R$ परिपथ में,धारा $i$ का मान $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ के अनुसार बढ़ता है,जहाँ $i_0 = \frac{E}{R}$ है।
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L}e^{-Rt/L}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,शक्ति $P = L \cdot [i_0(1 - e^{-Rt/L})] \cdot [\frac{E}{L}e^{-Rt/L}] = Ei_0(e^{-Rt/L} - e^{-2Rt/L})$ प्राप्त होती है।
$t = 0$ पर,$i = 0$,इसलिए $P = 0$ है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$,$\frac{di}{dt} \to 0$,इसलिए $P \to 0$ है।
चूँकि दर $t = 0$ और $t = \infty$ दोनों पर शून्य है और बीच में धनात्मक है,इसलिए ग्राफ में एक शिखर (peak) होना चाहिए। अतः,चित्र $144-$a15 में दर्शाया गया वक्र सही है।

(C) जब स्विच $S$ को $t = 0$ पर बंद किया जाता है,तो $RL$ परिपथ में धारा $i$ का मान $0$ से शुरू होता है और समीकरण $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ के अनुसार बढ़ता है।
प्रेरक $L$ में प्रेरित emf $e$ को $e = L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा समीकरण का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$e = L \left( \frac{E}{L} e^{-Rt/L} \right) = E e^{-Rt/L}$।
$t = 0$ पर,$e = E$ (अधिकतम मान) और $i = 0$ होता है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$,$e \to 0$ और $i \to \frac{E}{R}$ होता है।
अतः,$e$ बनाम $t$ का ग्राफ एक चरघातांकीय क्षय वक्र है जो $t = 0$ पर $E$ से शुरू होता है और समय बढ़ने के साथ $0$ की ओर जाता है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित $emf$ का सूत्र $e = Bvl$ है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$v$ वेग है,और $l$ क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली भुजा की लंबाई है।
दिया गया है: $B = 0.6 \, T$,$v = 1 \, cm/s = 0.01 \, m/s$,$l = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
$1$. $t = 0$ से $t = 5 \, s$ तक,लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। प्रेरित $emf$ $e = Bvl = 0.6 \times 0.01 \times 0.05 = 3 \times 10^{-4} \, V$ है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है,जिसके परिणामस्वरूप $emf$ का मान ऋणात्मक होता है।
$2$. $t = 5 \, s$ से $t = 15 \, s$ तक,लूप पूरी तरह से एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है। चूंकि लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स स्थिर है,इसलिए प्रेरित $emf$ $e = 0$ है।
$3$. $t = 15 \, s$ से $t = 20 \, s$ तक,लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है। फ्लक्स में परिवर्तन प्रवेश चरण के विपरीत होता है,जिसके परिणामस्वरूप $e = +3 \times 10^{-4} \, V$ का प्रेरित $emf$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $D$ प्रवेश के दौरान ऋणात्मक $emf$,अंदर रहने पर शून्य $emf$ और बाहर निकलने पर धनात्मक $emf$ को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
जब चुंबक का उत्तरी ध्रुव कुंडली के पास आता है,तो कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है,जिससे एक ध्रुवता (जैसे,धनात्मक) का $e.m.f.$ प्रेरित होता है और गति का विरोध करने के लिए धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में बहती है।
जैसे ही चुंबक कुंडली के केंद्र से गुजरता है,फ्लक्स के परिवर्तन की दर क्षणिक रूप से शून्य हो जाती है,इसलिए प्रेरित $e.m.f.$ शून्य हो जाता है।
जैसे ही चुंबक दूर जाता है,फ्लक्स घटता है,जिससे विपरीत ध्रुवता (जैसे,ऋणात्मक) का $e.m.f.$ प्रेरित होता है और धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है।
जब चुंबक अपने दोलन के अंतिम छोर पर पहुँचता है,तो वह क्षणिक रूप से स्थिर होता है,इसलिए $e.m.f.$ शून्य होता है।
जैसे ही यह वापस लौटता है,यह प्रक्रिया उल्टी दिशा में दोहराई जाती है,जिससे दोलन के एक पूर्ण चक्र के दौरान $e.m.f.$ में सममित परिवर्तन होता है। इसके परिणामस्वरूप एक तरंग रूप (waveform) प्राप्त होता है जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों शिखर दिखाता है,जैसा कि पहले विकल्प में दर्शाया गया है।

(A) रेडियो फ्रीक्वेंसी $(RF)$ चोक को उच्च-आवृत्ति संकेतों के लिए उच्च प्रतिबाधा (impedance) प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया जाता है,जबकि यह कम आवृत्ति या $DC$ संकेतों को गुजरने देता है।
यदि लोहे के कोर का उपयोग किया जाता है,तो उच्च आवृत्तियों पर एड़ी धारा हानि (eddy current losses) और हिस्टैरिसीस हानि (hysteresis losses) काफी बढ़ जाती है।
इसके अलावा,लोहे का कोर इंडक्टेंस को काफी बढ़ा देता है,जो उच्च-आवृत्ति अनुप्रयोगों के लिए वांछनीय नहीं है,जहाँ वांछित प्रतिबाधा विशेषताओं को बनाए रखने के लिए कम इंडक्टेंस की आवश्यकता होती है।
इसलिए,नुकसान को कम करने और उच्च आवृत्तियों पर स्थिर प्रदर्शन बनाए रखने के लिए $RF$ चोक में एयर कोर (air core) का उपयोग किया जाता है।

(B) एक प्रेरक (inductor) में प्रेरित वोल्टेज $V$ सूत्र $V = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ समय अंतराल $0 < t < T/2$ के लिए,धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए $i = kt$ (जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिर ढाल है)। इसलिए,$\frac{di}{dt} = k$। प्रेरित वोल्टेज $V_1 = -L(k) = -Lk$ है,जो एक ऋणात्मक स्थिर मान है।
$(2)$ समय अंतराल $T/2 < t < T$ के लिए,धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है,इसलिए $i = -kt + C$ (जहाँ ढाल $-k$ है)। इसलिए,$\frac{di}{dt} = -k$। प्रेरित वोल्टेज $V_2 = -L(-k) = Lk$ है,जो एक धनात्मक स्थिर मान है।
इस प्रकार,वोल्टेज ग्राफ पहले आधे भाग के लिए ऋणात्मक स्थिर मान और दूसरे आधे भाग के लिए धनात्मक स्थिर मान दिखाता है। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए प्लॉट के अनुरूप है।

(D) कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$,क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर से इस प्रकार संबंधित है: $e = B \cdot \frac{dA}{dt}$.
साथ ही,प्रेरित विद्युत वाहक बल और स्व-प्रेरकत्व $(L)$ के बीच का संबंध है: $e = L \cdot \frac{di}{dt}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $B \cdot \frac{dA}{dt} = L \cdot \frac{di}{dt}$.
दिए गए मान: $B = 1 \, T$,$\frac{dA}{dt} = \frac{5 \, m^2}{10^{-3} \, s} = 5000 \, m^2/s$,$\Delta i = (2 - 1) \, A = 1 \, A$,और $\Delta t = 2 \times 10^{-3} \, s$.
समीकरण में मान रखने पर: $1 \times 5000 = L \times \frac{1}{2 \times 10^{-3}}$.
$5000 = L \times 500$.
$L = \frac{5000}{500} = 10 \, H$.

(C) जब कुंजी (स्विच) खोली जाती है,तो परिपथ में धारा शून्य हो जाती है। प्रेरक (इंडक्टर) की उपस्थिति के कारण,धारा में तेजी से होने वाले परिवर्तन का विरोध करने के लिए एक बड़ा बैक $EMF$ $(e = -L \frac{di}{dt})$ प्रेरित होता है। यह प्रेरित $EMF$ लैंप से होकर बहने वाली धारा में क्षणिक वृद्धि का कारण बनता है,जिससे लैंप बंद होने से पहले एक पल के लिए तेजी से चमक उठता है।

(B) बाह्य परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है। बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच ब्रिज का प्रतिरोध $R_{ext} = 3 \, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = R_{loop} + R_{ext} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = Bvl$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $i = \frac{e}{R} = \frac{Bvl}{R}$.
दिया गया है $i = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$, $B = 2 \, Wb/m^2$, $l = 0.1 \, m$, और $R = 4 \, \Omega$.
मान रखने पर: $10^{-3} = \frac{2 \times v \times 0.1}{4}$.
$10^{-3} = \frac{0.2 \times v}{4} = 0.05 \times v$.
$v = \frac{10^{-3}}{0.05} = 0.02 \, m/sec = 2 \, cm/sec$.

(D) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = (B_0 e^{-t})(\pi r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ है।
$e = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi r^2 e^{-t}) = B_0 \pi r^2 e^{-t}$.
प्रतिरोध $R$ में व्यय होने वाली शक्ति $P = \frac{e^2}{R}$ है।
$e$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \frac{(B_0 \pi r^2 e^{-t})^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^{-2t}}{R}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,व्यय होने वाली शक्ति $P = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^0}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{R}$ है।

(C) मान लीजिए कि सोलेनोइड में $N$ फेरे हैं,प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है और तार की कुल लंबाई $l$ है।
सोलेनोइड का प्रेरकत्व $L$ इस प्रकार दिया जाता है:
$L = \frac{{{\mu _0}{N^2}A}}{{{l_0}}} = \frac{{{\mu _0}{N^2}\pi {r^2}}}{{{l_0}}}$ .... $(i)$
तार की कुल लंबाई $l$,एक फेरे की परिधि और फेरों की संख्या का गुणनफल है:
$l = N \times 2\pi r \Rightarrow N^2 r^2 = \frac{{{l^2}}}{{4{\pi ^2}}}$ .... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{{{\mu _0} \pi}}{{{l_0}}} \times \frac{{{l^2}}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{{\mu _0}{l^2}}}{{4\pi {l_0}}}$
$l$ के लिए हल करने पर:
$l^2 = \frac{{4\pi L{l_0}}}{{{\mu _0}}}$
$l = \sqrt {\frac{{4\pi L{l_0}}}{{{\mu _0}}}} $

(A) कुंडली में प्रेरित $emf$,$e = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $0 \leq t \leq \frac{T}{4}$ के लिए,$i-t$ ग्राफ धनात्मक नियत ढाल वाली एक सीधी रेखा है। इसलिए,$\frac{di}{dt} = \text{नियत} > 0$,जिसका अर्थ है कि $e = -L \frac{di}{dt} = \text{ऋणात्मक नियत}$.
$2$. $\frac{T}{4} \leq t \leq \frac{T}{2}$ के लिए,धारा $i$ नियत है। इसलिए,$\frac{di}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि $e = 0$.
$3$. $\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{3T}{4}$ के लिए,$i-t$ ग्राफ ऋणात्मक नियत ढाल वाली एक सीधी रेखा है। इसलिए,$\frac{di}{dt} = \text{नियत} < 0$,जिसका अर्थ है कि $e = -L \frac{di}{dt} = \text{धनात्मक नियत}$.
$4$. $\frac{3T}{4} \leq t \leq T$ के लिए,धारा $i$ शून्य है। इसलिए,$\frac{di}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि $e = 0$.
इस विश्लेषण के आधार पर,प्रेरित $emf$ बनाम समय का ग्राफ पहले अंतराल के लिए ऋणात्मक नियत मान,दूसरे के लिए शून्य,तीसरे के लिए धनात्मक नियत मान और अंतिम अंतराल के लिए शून्य दर्शाता है।

(A) कुंडली से प्रवाहित कुल आवेश $q$,$i-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$q = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$q = \frac{1}{2} \times 0.1 \, s \times 4 \, A = 0.2 \, C$
फैराडे के नियम के अनुसार,आवेश $q$,चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi$ और प्रतिरोध $R$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$q = \frac{\Delta \phi}{R}$
इसलिए,फ्लक्स में परिवर्तन का परिमाण है:
$\Delta \phi = q \times R$
$\Delta \phi = 0.2 \, C \times 10 \, \Omega = 2 \, Wb$

(D) एक इंडक्टर में प्रेरित वोल्टेज $(V)$ सूत्र $V = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए $I-t$ ग्राफ से, धारा $t = 0$ से $t = T/2$ तक रैखिक रूप से बढ़ती है। इस अंतराल के दौरान, ढाल $\frac{dI}{dt}$ धनात्मक और स्थिर है। इसलिए, $V = -L \times (\text{positive constant}) = \text{negative constant}$.
$t = T/2$ से $t = T$ तक, धारा रैखिक रूप से घटती है। इस अंतराल के दौरान, ढाल $\frac{dI}{dt}$ ऋणात्मक और स्थिर है। इसलिए, $V = -L \times (\text{negative constant}) = \text{positive constant}$.
इस प्रकार, वोल्टेज $V$ पहले आधे भाग के लिए ऋणात्मक स्थिर और दूसरे आधे भाग के लिए धनात्मक स्थिर है। इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सही निरूपण एक स्क्वायर वेव है जहाँ वोल्टेज $0 < t < T/2$ के लिए ऋणात्मक है और $T/2 < t < T$ के लिए धनात्मक है, जो विकल्प $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(B) समय $t = 0$ पर,यानी स्विच बंद करने के तुरंत बाद,एक प्रेरक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह धारा में अचानक परिवर्तन का विरोध करता है। संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह शुरू में अनावेशित होता है।
परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर:
$1$. प्रेरक युक्त शाखाएं ओपन सर्किट बन जाती हैं।
$2$. केवल दो प्रतिरोधक $R$ समानांतर में प्रभावी रहते हैं।
$3$. बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $i = \frac{\varepsilon}{R_{eq}}$ है।
$4$. यहाँ $R_{eq} = R/2 = 4.5 \,\Omega$ लेने पर,$i = \frac{18}{4.5} = 4.0 \,A$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबक की गति,$v_1 = \frac{2\, m}{1\, s} = 2\, m/s$.
कुंडली की गति,$v_2 = \frac{1\, m}{0.5\, s} = 2\, m/s$.
चूंकि कुंडली और चुंबक दोनों एक ही दिशा में समान वेग से गति कर रहे हैं,इसलिए उनके बीच का सापेक्ष वेग शून्य है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf केवल तब उत्पन्न होता है जब कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है।
चूंकि सापेक्ष वेग शून्य है,इसलिए कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स समय के साथ स्थिर रहता है।
अतः,कुंडली में उत्पन्न प्रेरित emf $0\, V$ है।

(D) $z$-दिशा में धारा प्रवाहित करने वाले लंबे सीधे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं वृत्ताकार होती हैं और $x-y$ तल में स्थित होती हैं।
चूंकि वर्गाकार कुंडली $ABCD$ भी $x-y$ तल में स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक बिंदु पर कुंडली की सतह के स्पर्शरेखीय (tangential) होती हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कुंडली के तल के समानांतर हैं,इसलिए कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B$ हमेशा शून्य होता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Phi_B$ हर समय शून्य है,इसलिए प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = 0$ है,और परिणामस्वरूप कुंडली में प्रेरित धारा शून्य है।

(A) जब एक चुंबक धात्विक वलय से होकर गिरता है,तो परिवर्तित चुंबकीय फ्लक्स वलय में एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करता है,जिससे प्रेरित धारा बहती है।
लेंज के नियम के अनुसार,यह प्रेरित धारा एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो गिरते हुए चुंबक की गति का विरोध करती है।
यह विरोधी बल ऊपर की ओर कार्य करता है,जिससे चुंबक का कुल नीचे की ओर त्वरण $a < g$ हो जाता है।
विरामावस्था से शुरू होने वाली वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
यदि चुंबक वलय के बिना मुक्त रूप से गिर रहा होता,तो $t = 1 \, s$ में तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1)^2 \approx 4.9 \, m$ ($g = 10 \, m/s^2$ का उपयोग करने पर $5 \, m$) होती।
चूंकि त्वरण $a$ का मान $g$ से कम है,इसलिए तय की गई दूरी $5 \, m$ से कम होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से केवल $4 \, m$ ही $5 \, m$ से कम है।

(A) जैसे-जैसे चालक लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है,लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा उस दिशा में बहेगी जो इस कमी का विरोध करे,जिसका अर्थ है कि यह उसी दिशा में (अंदर की ओर,$X$ द्वारा दर्शाया गया) चुंबकीय क्षेत्र बनाएगी।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,इसके लिए लूप में दक्षिणावर्त (clockwise) प्रेरित धारा की आवश्यकता होती है।
चूंकि धारा लूप के माध्यम से प्लेट $B$ से प्लेट $A$ की ओर बहती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन प्लेट $B$ पर जमा हो जाएंगे और प्लेट $A$ से दूर चले जाएंगे।
इसलिए,प्लेट $A$ धनात्मक रूप से आवेशित हो जाती है और प्लेट $B$ ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाती है।

(B) लेंज़ के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित धारा हमेशा उस चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
$(a)$ यदि $I' = 0$ हो और $P$,$Q$ की ओर गति करे,तो $Q$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,$Q$ ऐसी धारा प्रेरित करेगा जो $P$ के चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करे। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,यह प्रेरित धारा $I$ की विपरीत दिशा में होगी।
$(b)$ यदि $I = 0$ हो और $Q$,$P$ की ओर गति करे,तो $P$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,$P$ ऐसी धारा प्रेरित करेगा जो $Q$ के चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करे। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,यह प्रेरित धारा $I'$ की विपरीत दिशा में होगी। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
$(c)$ जब दो कुंडलियों में समान दिशा में धारा प्रवाहित होती है,तो वे समान दिशा में धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों की तरह व्यवहार करती हैं,जो एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं। इसलिए,वे एक-दूसरे के करीब आने की प्रवृत्ति रखती हैं,न कि दूर जाने की।

(A) चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = 20 \, mT/sec = 20 \times 10^{-3} \, T/sec$ है।
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = (1 \, cm)^2 = (10^{-2} \, m)^2 = 10^{-4} \, m^2$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार लूप में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$: $e = A \frac{dB}{dt} = 10^{-4} \times 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-6} \, V$ है।
वर्गाकार लूप का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 4 \times 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$ है।
लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R_{total}} = \frac{2 \times 10^{-6}}{16} = 0.125 \times 10^{-6} \, A = 1.25 \times 10^{-7} \, A$ है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,चूंकि पृष्ठ के अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र बढ़ रहा है,इसलिए प्रेरित धारा इस परिवर्तन का विरोध करने के लिए पृष्ठ के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी। अतः,प्रेरित धारा वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में प्रवाहित होगी।

(B) गतिमान इलेक्ट्रॉन एक धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2\pi}$ का निर्माण करता है।
इस धारा के कारण कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 e \omega}{4\pi R}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले छोटे लूप से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 e \omega}{4\pi R} \right) (\pi r^2) = \frac{\mu_0 e r^2 \omega}{4R}$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\mu_0 e r^2}{4R} \frac{d\omega}{dt}$ है।
चूंकि कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ है,इसलिए प्रेरित $e.m.f.$ का परिमाण $\varepsilon = \frac{\mu_0 e r^2 \alpha}{4R}$ होगा।

(D) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d \Phi}{d t} = -A \frac{d B}{d t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ लूप का क्षेत्रफल है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
$1$. $0 < t < t_{1}$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए $\frac{d B}{d t} > 0$ है। अतः,$\varepsilon = -A \frac{d B}{d t}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है।
$2$. $t_{1} < t < t_{2}$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ स्थिर है,इसलिए $\frac{d B}{d t} = 0$ है। अतः,$\varepsilon = 0$ है।
$3$. $t > t_{2}$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ समय के साथ रैखिक रूप से घटता है,इसलिए $\frac{d B}{d t} < 0$ है। अतः,$\varepsilon = -A \frac{d B}{d t}$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ ऋणात्मक स्थिर $emf$,उसके बाद शून्य $emf$,और फिर धनात्मक स्थिर $emf$ दर्शाता है,वह विकल्प $D$ है।

(A) तार से $x$ दूरी पर लूप में $dx$ चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार करें। इस दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ है।
इस पट्टी से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $d\phi$ है:
$d\phi = B \cdot dA = \frac{\mu_0 I}{2\pi x} (b \cdot dx) = \frac{\mu_0 I b}{2\pi x} dx$
लूप से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi$ ज्ञात करने के लिए $x = d$ से $x = d+a$ तक समाकलन करने पर:
$\phi = \int_{d}^{d+a} \frac{\mu_0 I b}{2\pi x} dx = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} [\ln x]_{d}^{d+a} = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right)$
दिया गया है $I = I_0 e^{-t/\tau}$,इसलिए फ्लक्स $\phi(t) = \frac{\mu_0 b I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) e^{-t/\tau}$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित $emf$,$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 b I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) e^{-t/\tau} \right]$
$\varepsilon = -\frac{\mu_0 b I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) \left( -\frac{1}{\tau} \right) e^{-t/\tau}$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 b I_0 e^{-t/\tau}}{2\pi \tau} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) = \frac{\mu_0 b I}{2\pi \tau} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right)$

(C) $z$-अक्ष के अनुदिश धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $x-y$ तल में वृत्ताकार लूप होती हैं,जिनका केंद्र तार पर होता है।
चूंकि वर्गाकार कुंडली $ABCD$ को $x-y$ तल में रखा गया है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पूरी तरह से कुंडली के तल के भीतर स्थित होती हैं।
अतः,कुंडली पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$,कुंडली के तल के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि यह कुंडली के क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ (जो $z$-अक्ष के अनुदिश है) के लंबवत है।
कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = \int \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{A} = \int B dA \cos 90^{\circ} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स हर समय शून्य रहता है,इसलिए कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और प्रेरित धारा शून्य होती है।

(A) जब समान दिशा में $i$ धारा ले जाने वाले दो समान समाक्षीय वृत्ताकार लूप एक-दूसरे के करीब आते हैं,तो प्रत्येक लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रत्येक लूप में प्रेरित धारा ऐसी दिशा में प्रवाहित होगी जो इस चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करे।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं एक ही दिशा में हैं,इसलिए प्रेरित धारा फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए मूल धारा $i$ के विपरीत दिशा में प्रवाहित होगी।
इसलिए,प्रत्येक लूप में कुल धारा कम हो जाएगी।

(C) लूप में प्रेरित गतिकीय विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $B = 2 \, Wb \cdot m^{-2}$,$l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,और $v$ वेग है।
अतः,$\varepsilon = 2 \times 0.1 \times v = 0.2 v \, V$.
$3 \, \Omega$ के पांच प्रतिरोधों का नेटवर्क एक व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है। चूंकि सभी प्रतिरोध समान हैं,ब्रिज संतुलित है और मध्य प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। ब्रिज का प्रभावी प्रतिरोध $R_{bridge} = \frac{(3+3) \times (3+3)}{(3+3) + (3+3)} = 3 \, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{loop} + R_{bridge} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ है।
दी गई स्थिर धारा $I = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$ के लिए,ओम के नियम का उपयोग करते हुए: $I = \frac{\varepsilon}{R_{total}}$.
$10^{-3} = \frac{0.2 v}{4}$.
$0.2 v = 4 \times 10^{-3}$.
$v = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.2} = 20 \times 10^{-3} \, m \cdot s^{-1} = 0.02 \, m \cdot s^{-1} = 2 \, cm \cdot s^{-1}$.