Static EMI (Time Varying Magnetic Field) Questions in Hindi

(B) वृत्ताकार क्षेत्र के बाहर $(r > a)$ बिंदु $P$ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम फैराडे के प्रेरण नियम का समाकल रूप में उपयोग करते हैं: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
बिंदु $P$ से गुजरने वाले $r$ त्रिज्या के एक संकेंद्रित वृत्ताकार पथ पर विचार करें। समरूपता के कारण,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण इस पथ पर स्थिर रहता है और $\vec{E}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है।
अतः,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$.
इस वृत्ताकार पथ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$ केवल $a$ त्रिज्या वाले उस क्षेत्र तक सीमित है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है: $\phi_B = B(t) \cdot (\pi a^2)$.
फैराडे का नियम लागू करने पर:
$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right|$
$E(2\pi r) = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$
$E = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$
चूंकि $a$ और $\frac{dB}{dt}$ स्थिर हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{1}{r}$ के अनुसार घटता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B(t) = B_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_0 = 0.01\,T$ और $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 100 = 200\pi\,rad/s$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B_0 \sin(\omega t) \cdot \pi r^2$ है।
अतः,$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt}(B_0 \sin(\omega t)) = -\pi r^2 B_0 \omega \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।
रिंग की परिधि पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ को $\oint E \cdot dl = \varepsilon$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt} \implies E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$ होता है।
चूँकि $\frac{dB}{dt} = B_0 \omega \cos(\omega t)$,अधिकतम प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E_{max} = \frac{r}{2} B_0 \omega$ है।
मान रखने पर: $E_{max} = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 200\pi = \pi \approx 3.14\,V/m$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न के संदर्भ में औसत प्रेरित emf दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए: $\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{B_0 A}{T/4} = 4 B_0 A f = 4 \times 0.01 \times \pi(1)^2 \times 100 = 4\pi$ प्राप्त होता है।
अतः $E = \frac{\varepsilon}{2\pi r} = \frac{4\pi}{2\pi(1)} = 2\,V/m$ प्राप्त होता है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,समय के साथ परिवर्तित होने वाला चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। प्रेरित विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप बनाती हैं।
कागज के अंदर की ओर निर्देशित और समय के साथ बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए,लेंज के नियम के अनुसार प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में होगा।
बिंदु $P$ पर,जो केंद्र के दाईं ओर है,विद्युत क्षेत्र रेखा की स्पर्श रेखा नीचे की ओर इंगित करती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E}$ प्रेरित विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में होगा।
अतः,बिंदु $P$ पर इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल दाईं ओर की दिशा में होगा।

(C) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ को $\oint E \cdot d\ell = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,$E(2\pi R) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$ होता है।
दिया गया है $B = 4t^2$,इसलिए $\frac{dB}{dt} = 8t$ है।
अतः,$E(2\pi R) = \pi R^2 (8t) \implies E = 4Rt$ प्राप्त होता है।
प्रेरित विद्युत क्षेत्र के कारण रिंग पर लगने वाला टॉर्क $\tau = (qE)R = q(4Rt)R = 4qR^2t$ है।
रिंग तब घूमना शुरू करती है जब प्रेरित विद्युत क्षेत्र के कारण टॉर्क अधिकतम स्थैतिक घर्षण टॉर्क से अधिक हो जाता है। घर्षण बल $f = \mu mg$ संपर्क बिंदु पर कार्य करता है,लेकिन रिंग के अपने केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए घर्षण द्वारा प्रदान किया गया टॉर्क $\tau_f = fR = \mu mgR$ है।
$t = 2 \, s$ पर,विद्युत क्षेत्र के कारण टॉर्क $\tau = 4qR^2(2) = 8qR^2$ है।
टॉर्क की तुलना करने पर: $8qR^2 = \mu mgR$।
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \frac{8qR}{mg}$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$,$\frac{dB}{dt} = -\alpha$ की दर से घट रहा है।
फैराडे के नियम के अनुसार,लूप में एक प्रेरित $EMF$ उत्पन्न होता है।
ऊपरी अर्धवृत्ताकार चाप $ACB$ और निचले अर्धवृत्ताकार चाप $ADB$ पर विचार करें।
समरूपता के कारण,दोनों अर्धवृत्ताकार चापों में प्रेरित $EMF$ का परिमाण समान है,जो $\mathcal{E} = \frac{1}{2} \pi R^2 \alpha$ है।
दोनों अर्धवृत्ताकार चाप बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर में जुड़ी बैटरी के रूप में कार्य करते हैं।
चूंकि $EMF$ समान हैं और दोनों अर्धवृत्ताकार पथों के प्रतिरोध समान $(R_{arc} = \pi R r)$ हैं,इसलिए $A$ और $B$ के बीच विभवांतर दोनों पथों के लिए समान रहता है।
परिणामस्वरूप,व्यास $AB$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है क्योंकि प्रेरित $EMF$ के सापेक्ष $A$ और $B$ के बीच कोई विभवांतर नहीं है।
अतः,तार $AB$ में धारा शून्य है।

(B) परिवर्तित चुंबकीय क्षेत्र वलय की परिधि के अनुदिश एक विद्युत क्षेत्र $E$ प्रेरित करता है। फैराडे के नियम के अनुसार,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi}{dt}$.
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt} = \pi r^2 R$.
अतः,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E = \frac{rR}{2}$ है।
वलय पर वितरित आवेश $Q$ पर लगने वाला बल $F = QE = Q \frac{rR}{2}$ है।
यह बल वलय के केंद्र के परितः एक बलाघूर्ण $\tau$ के रूप में कार्य करता है,जो इसे घुमाने का प्रयास करता है। वलय को संतुलन में रखने के लिए,घर्षण बल द्वारा उत्पन्न बलाघूर्ण को इसे संतुलित करना चाहिए। अधिकतम घर्षण बलाघूर्ण $\mu N r = \mu mgr$ है।
समीकरण करने पर,$\mu mgr \geq \frac{Qr^2R}{2}$,जिसे सरल करने पर $\mu \geq \frac{QrR}{2mg}$ प्राप्त होता है।

(A) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक छोटी वृत्ताकार रिंग से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $d\phi_B$ है:
$d\phi_B = B \cdot dA = (B_0rt) \cdot (2\pi r dr) = 2\pi B_0 t r^2 dr$
$R/2$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षेत्र से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$ है:
$\phi_B = \int_0^{R/2} 2\pi B_0 t r^2 dr = 2\pi B_0 t \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{R/2} = 2\pi B_0 t \left( \frac{R^3}{24} \right) = \frac{\pi B_0 t R^3}{12}$
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ के लिए $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{d\phi_B}{dt}$:
$E(2\pi r) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi B_0 t R^3}{12} \right)$
$r = R/2$ पर:
$E(2\pi \cdot R/2) = \frac{\pi B_0 R^3}{12}$
$E(\pi R) = \frac{\pi B_0 R^3}{12}$
$E = \frac{B_0 R^2}{12}$

(A) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$r$ $(r > R)$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B(t) = B_0 + B_0 t$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = B_0$ है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार क्षेत्र से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B(\pi R^2)$ है।
अतः,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का परिमाण $\left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d}{dt} (B \pi R^2) \right| = \pi R^2 \frac{dB}{dt} = \pi R^2 B_0$ है।
$r$ दूरी पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ के लिए $E(2\pi r) = \pi R^2 B_0$ होता है,जिससे $E = \frac{R^2 B_0}{2r}$ प्राप्त होता है।
आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ है और त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ है।
$E$ का मान रखने पर,हमें $a = \frac{q}{m} \left( \frac{R^2 B_0}{2r} \right) = \frac{q B_0 R^2}{2mr}$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्ताकार क्षेत्र के केंद्र से $r$ दूरी पर ($r < R$ होने पर) प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को $\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,$E(2\pi r) = \pi r^2 \alpha$,जिससे $E = \frac{r \alpha}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रेरित विद्युत क्षेत्र की दिशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होती है।
मान लीजिए कि $2R$ लंबाई की छड़ को वृत्त के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा के रूप में रखा गया है। वृत्त का केंद्र $O$ है और छड़ का मध्य बिंदु $M$ है। छड़ स्पर्शरेखा रेखा पर $x = -R$ से $x = R$ तक फैली हुई है।
छड़ पर प्रेरित emf $\varepsilon = \int_{-R}^{R} \vec{E} \cdot d\vec{\ell}$ है।
मध्य बिंदु $M$ से $x$ दूरी पर छड़ के एक बिंदु के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r = \sqrt{R^2 + x^2}$ है। छड़ की दिशा में विद्युत क्षेत्र का घटक $E_x = E \sin \theta = E \frac{x}{r} = (\frac{r \alpha}{2}) \frac{x}{r} = \frac{\alpha x}{2}$ है।
इस प्रकार,$\varepsilon = \int_{-R}^{R} \frac{\alpha x}{2} dx = \frac{\alpha}{2} [\frac{x^2}{2}]_{-R}^{R} = 0$.
हालाँकि,प्रश्न का तात्पर्य केंद्र और सिरों के बीच विभवांतर के परिमाण से हो सकता है। केंद्र और स्पर्श बिंदु के बीच प्रेरित emf $\int_0^R E dr = \int_0^R \frac{r \alpha}{2} dr = \frac{R^2 \alpha}{4}$ है। चूंकि छड़ सममित है,इसलिए मध्य बिंदु और किसी भी सिरे के बीच विभवांतर $\frac{R^2 \alpha}{4}$ है।

(B) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ पृष्ठ के अंदर की ओर निर्देशित है और बढ़ रहा है,इसलिए प्रेरित विद्युत क्षेत्र रेखाएं चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करने के लिए वामावर्त $(A.C.W.)$ दिशा में संकेंद्रित वृत्त बनाएंगी (लेंज़ का नियम)।
बिंदु $P$ पर,जो बेलन के केंद्र के ऊपर स्थित है,वामावर्त विद्युत क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा बाईं ओर इंगित करती है।
विद्युत क्षेत्र $E$ में एक इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) पर लगने वाला बल $F = -eE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ बाईं ओर निर्देशित है,इसलिए इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल दाईं ओर होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन का तात्कालिक त्वरण दाईं ओर है।

(A) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$R$ त्रिज्या वाले बेलनाकार क्षेत्र के लिए,परिधि पर स्थित बिंदु $(r = R)$ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E = \frac{R}{2} \frac{dB}{dt}$ है।
बिंदु $P$ पर $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE = \frac{eR}{2} \frac{dB}{dt}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eR}{2m} \frac{dB}{dt}$ है।

(A) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है।
$R$ त्रिज्या वाले बेलनाकार क्षेत्र के लिए,जहाँ चुंबकीय क्षेत्र $B$,$\frac{dB}{dt}$ की दर से बदल रहा है,केंद्र से $r=R$ की दूरी पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
$E(2\pi R) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$
$E = \frac{R}{2} \frac{dB}{dt}$
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र अंदर की ओर है और बढ़ रहा है,लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करने के लिए वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में होगा।
परिधि पर बिंदु $P$ पर,यह दिशा बाईं ओर है।
प्रोटॉन पर बल $F = eE$ है।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ है।
$E$ का मान रखने पर:
$a = \frac{e}{m} \left( \frac{R}{2} \frac{dB}{dt} \right) = \frac{eR}{2m} \frac{dB}{dt}$ बाईं ओर।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
$I = I_0 \sin \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \mu_0 n I_0 \sin \omega t$ प्राप्त होता है।
फैराडे के प्रेरण नियम के अनुसार,परिनालिका के अंदर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए $(r < R)$,चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B = B \cdot A = (\mu_0 n I_0 \sin \omega t) (\pi r^2)$ है।
समाकल रूप लागू करने पर: $E(2 \pi r) = \frac{d}{dt} (\mu_0 n I_0 \pi r^2 \sin \omega t)$।
$E(2 \pi r) = \mu_0 n I_0 \pi r^2 \omega \cos \omega t$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\mu_0 n I_0 \omega r}{2} \cos \omega t$ प्राप्त होता है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $EMF$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $\oint E \cdot dl = \frac{d\phi_B}{dt}$.
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ रिंग के स्पर्शरेखीय है और रिंग की त्रिज्या $r$ है,इसलिए रेखीय समाकल $E(2\pi r)$ होगा।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = B \cdot A = B(\pi r^2)$ है।
इसलिए,$\frac{d\phi_B}{dt} = \pi r^2 \frac{dB}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dB}{dt} = x$,अतः $E(2\pi r) = \pi r^2 x$.
$E$ का मान ज्ञात करने पर,$E = \frac{\pi r^2 x}{2\pi r} = \frac{rx}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रेरित विद्युत क्षेत्र के लिए फैराडे के प्रेरण नियम के अनुसार,एक बंद लूप के चारों ओर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का रेखा समाकल,लूप द्वारा घिरे क्षेत्र से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
$a = 5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार क्षेत्र के बाहर $r = 10 \, cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,चुंबकीय फ्लक्स केवल $a$ त्रिज्या वाले क्षेत्र तक ही सीमित है।
अतः,$E(2\pi r) = \pi a^2 \frac{dB}{dt}$
$E = \frac{a^2}{2r} \frac{dB}{dt}$
दिया गया है: $a = 5 \times 10^{-2} \, m$,$r = 10 \times 10^{-2} \, m$,और $\frac{dB}{dt} = 4 \, T/s$.
मान रखने पर:
$E = \frac{(5 \times 10^{-2})^2 \times 4}{2 \times 10 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{25 \times 10^{-4} \times 4}{20 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{100 \times 10^{-4}}{20 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-2} = 0.05 \, V/m$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\alpha}{t^2}$ द्वारा दिया गया है,जो तल के अंदर की ओर है। जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण घटता जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में होने वाली इस कमी का विरोध करेगी। इसलिए,अंदर की ओर एक अतिरिक्त चुंबकीय क्षेत्र बनाने के लिए प्रेरित धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहेगी।
दक्षिणावर्त धारा के लिए,उच्च विभव वाली प्लेट पर धनात्मक आवेश जमा होगा। दक्षिणावर्त पथ का अनुसरण करते हुए,धारा प्लेट $B$ में प्रवेश करती है और प्लेट $A$ से बाहर निकलती है। इस प्रकार,प्लेट $A$ प्लेट $B$ के सापेक्ष निम्न विभव पर होगी,जिसका अर्थ है कि प्लेट $A$ ऋणात्मक आवेश $(-ve)$ प्राप्त करेगी।

(A) वर्गाकार फ्रेम की भुजा की लंबाई $a = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
वर्ग की एक भुजा $R = 10 \, cm = 0.1 \, m$ त्रिज्या वाले बेलनाकार क्षेत्र के व्यास पर स्थित है।
चुंबकीय क्षेत्र के अंदर का क्षेत्रफल $R = 10 \, cm$ त्रिज्या वाला एक अर्धवृत्त है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi R^2 = 0.5 \times 3.14 \times (0.1)^2 = 0.0157 \, m^2$.
प्रेरित $EMF$ $|e| = A \frac{dB}{dt} = 0.0157 \times 0.01 = 1.57 \times 10^{-4} \, V$.
प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R_{wire}} = \frac{1.57 \times 10^{-4}}{4} \approx 0.39 \times 10^{-4} = 3.9 \times 10^{-5} \, A$.

(A) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec E$ बदलते चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$ से $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ द्वारा संबंधित है।
वृत्ताकार क्षेत्र के अंदर एक बिंदु के लिए $(r < R)$: चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B = B \cdot (\pi r^2)$ है। अतः,$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt}$,जिससे $E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{dB}{dt}$ स्थिर है,इसलिए $E \propto r$ है।
वृत्ताकार क्षेत्र के बाहर एक बिंदु के लिए $(r > R)$: चुंबकीय फ्लक्स केवल $\pi R^2$ क्षेत्र तक सीमित है,इसलिए $\Phi_B = B \cdot (\pi R^2)$ होता है। अतः,$E(2\pi r) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$,जिससे $E = \frac{R^2}{2r} \frac{dB}{dt}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{dB}{dt}$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{r}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $r < R$ के लिए $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है और $r > R$ के लिए $1/r$ के अनुसार घटता है। यह परिवर्तन ग्राफ $A$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(A) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi(t) = B(t) \cdot A = A \cdot B_0 \sin(50 \pi t)$ है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \cdot B_0 \cdot (50 \pi) \cos(50 \pi t)$ है।
लूप में प्रवाहित धारा $I(t) = \frac{\varepsilon}{R} = -\frac{A \cdot B_0 \cdot 50 \pi}{R} \cos(50 \pi t)$ है।
लूप से प्रवाहित आवेश $q = \int_{0}^{t} I(t) dt = \frac{1}{R} [\Phi(0) - \Phi(t)]$ है।
$t = 0$ पर, $\Phi(0) = 0$ है।
$t = 10 \, ms = 0.01 \, s$ पर, $\Phi(0.01) = A \cdot B_0 \sin(0.5 \pi) = A \cdot B_0$ है।
मान रखने पर: $q = \frac{3.5 \times 10^{-3} \times 0.4}{10} = 0.14 \times 10^{-3} \, C = 0.14 \, mC$।

(A) वर्गाकार फ्रेम की भुजा की लंबाई $L = 80\, cm / 4 = 20\, cm = 0.2\, m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के भीतर वर्गाकार फ्रेम का क्षेत्रफल $r = 10\, cm = 0.1\, m$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (0.1)^2 = 0.005\pi\, m^2$.
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $E_{\text{ind}} = \frac{d\phi}{dt} = A \frac{dB}{dt}$.
दिया गया है $\frac{dB}{dt} = 0.010\, T/s$,इसलिए $E_{\text{ind}} = (0.005\pi) \times 0.01 = 5 \times 10^{-5} \pi\, V$.
प्रेरित धारा $i = \frac{E_{\text{ind}}}{R} = \frac{5 \times 10^{-5} \pi}{4.0} = 1.25 \times 10^{-5} \pi\, A$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$i \approx 1.25 \times 3.14 \times 10^{-5} \approx 3.925 \times 10^{-5}\, A$.
अतः,प्रेरित धारा लगभग $3.9 \times 10^{-5}\, A$ है।

(A) वर्गाकार फ्रेम की भुजा की लंबाई $L = 80\,cm / 4 = 20\,cm = 0.2\,m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $r = 10\,cm = 0.1\,m$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार क्षेत्र तक सीमित है।
वर्गाकार फ्रेम को इस प्रकार रखा गया है कि एक भुजा व्यास पर स्थित हो। इसका अर्थ है कि वृत्ताकार क्षेत्र का ठीक आधा भाग वर्गाकार फ्रेम के भीतर है।
फ्रेम के अंदर चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (0.1)^2 = 0.005\pi\,m^2$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \frac{dB}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dB}{dt} = 0.010\,T/s$,अतः $e = (0.005\pi) \times 0.010 = 5\pi \times 10^{-5}\,V$.
प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{5\pi \times 10^{-5}}{4.0} \approx \frac{5 \times 3.1416 \times 10^{-5}}{4} \approx 3.927 \times 10^{-5\,A}$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$i = 3.9 \times 10^{-5}\,A$.

(NONE) धारा $I$ की दिशा में बिंदु $A$ से $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - IR - L \frac{dI}{dt} - 10 = V_B$
दिया गया है $I = t + 2$,इसलिए $\frac{dI}{dt} = 1 \ A/s$.
$t = 0$ पर,$I = 0 + 2 = 2 \ A$.
मान $R = 3 \ \Omega$,$L = 1 \ H$,$I = 2 \ A$,और $\frac{dI}{dt} = 1 \ A/s$ रखने पर:
$V_A - (2)(3) - (1)(1) - 10 = V_B$
$V_A - 6 - 1 - 10 = V_B$
$V_A - 17 = V_B$
$V_A - V_B = 17 \ V$.

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 6t^2 - 5t + 1$,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 5t + 1) = 12t - 5$.
प्रेरित धारा $i$ का मान $i = \frac{|e|}{R} = \frac{1}{R} |\frac{d\phi}{dt}|$ है।
प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ और $t = 0.25 \, s$ पर:
$|\frac{d\phi}{dt}| = |12(0.25) - 5| = |3 - 5| = |-2| = 2 \, Wb/s$.
अतः,$i = \frac{2}{10} = 0.2 \, A$.

(A) वर्गाकार फ्रेम का क्षेत्रफल $A = l^2 = (0.2\,m)^2 = 0.04\,m^2$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र $\frac{dB}{dt} = -0.1\,T/s$ की दर से घट रहा है,इसलिए प्रेरित $EMF$ का परिमाण $|E| = A \times |\frac{dB}{dt}| = 0.04\,m^2 \times 0.1\,T/s = 0.004\,V$ है।
चूंकि $0.004\,V = 4\,mV$,इसलिए प्रेरित धारा $I = \frac{E}{R} = \frac{4\,mV}{1\,\Omega} = 4\,mA$ प्राप्त होती है।

(A) सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I(t) = \mu_{0} n I_{0} (t - t^{2})$ है।
$2R$ त्रिज्या वाली रिंग से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ सोलेनोइड के क्षेत्रफल $(R)$ तक सीमित है,इसलिए $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi R^{2}$ है।
$\phi = \pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (t - t^{2})$ है।
प्रेरित $EMF$ $V_{R} = -\frac{d\phi}{dt} = -\pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (1 - 2t) = \pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (2t - 1)$ है।
प्रेरित धारा $I_{R} = \frac{V_{R}}{R_{R}}$ है,जहाँ $R_{R}$ रिंग का प्रतिरोध है।
$t = 0.5$ पर,$V_{R} = \pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (2(0.5) - 1) = 0$ है।
चूंकि पद $(2t - 1)$ का चिह्न $t = 0.5$ पर बदल जाता है,इसलिए प्रेरित $EMF$ और प्रेरित धारा की दिशा $t = 0.5$ पर उलट जाती है।

(C) लूप का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल में से दो त्रिकोणीय कटआउट के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जा सकता है।
कुल क्षेत्रफल $A = (16 \; \text{cm} \times 4 \; \text{cm}) - 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \; \text{cm} \times 4 \; \text{cm}) = 64 \; \text{cm}^2 - 8 \; \text{cm}^2 = 56 \; \text{cm}^2 = 56 \times 10^{-4} \; \text{m}^2$.
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = \frac{B_f - B_i}{\Delta t} = \frac{500 - 1000}{5} \; \text{Gauss/s} = -100 \; \text{Gauss/s} = -100 \times 10^{-4} \; \text{T/s}$ है।
प्रेरित $EMF$ का परिमाण $\varepsilon = |\frac{d\Phi}{dt}| = |A \frac{dB}{dt}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\varepsilon = (56 \times 10^{-4} \; \text{m}^2) \times (100 \times 10^{-4} \; \text{T/s}) = 5600 \times 10^{-8} \; \text{V} = 56 \times 10^{-6} \; \text{V} = 56 \; \mu \text{V}$.

(N/A) आयताकार लूप का क्षेत्रफल $A = 8 \; cm \times 2 \; cm = 16 \; cm^2 = 16 \times 10^{-4} \; m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = 0.02 \; T \, s^{-1}$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार लूप में प्रेरित emf $e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \frac{dB}{dt}$ है।
मान रखने पर: $e = (16 \times 10^{-4} \; m^2) \times (0.02 \; T \, s^{-1}) = 0.32 \times 10^{-4} \; V$ है।
$R = 1.6 \; \Omega$ प्रतिरोध वाले लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{0.32 \times 10^{-4} \; V}{1.6 \; \Omega} = 2 \times 10^{-5} \; A$ है।
ऊष्मा के रूप में क्षयित शक्ति $P = i^2 R = (2 \times 10^{-5} \; A)^2 \times 1.6 \; \Omega = 4 \times 10^{-10} \times 1.6 \; W = 6.4 \times 10^{-10} \; W$ है।
इस शक्ति का स्रोत वह बाहरी एजेंट (पावर सप्लाई) है जो विद्युत चुंबक में धारा को कम करके चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन कर रहा है।

(D) जब चुंबकीय क्षेत्र को बंद किया जाता है,तो बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स एक विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है। फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित $EMF$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ है।
$r \leq a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B = B \cdot \pi r^2$ है।
$r$ त्रिज्या पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E(2\pi r) = \frac{d}{dt}(B_0 \pi r^2) = \pi r^2 \frac{dB_0}{dt}$ है।
अतः,$E = \frac{r}{2} \frac{dB_0}{dt}$।
रिम पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = R(qE)$ है,जहाँ $q = \lambda (2\pi R)$ है।
कुल टॉर्क $\tau = \int R E dq = 2\pi R^2 \lambda E$ है।
$r=a$ पर $E$ का मान रखने पर और आवेग $\int \tau dt = \Delta L = I\omega$ का उपयोग करने पर,जहाँ $I = MR^2$ है:
$\int (2\pi R^2 \lambda) \frac{a}{2} \frac{dB_0}{dt} dt = MR^2 \omega$।
$\pi R^2 \lambda a B_0 = MR^2 \omega$।
$\omega = \frac{\pi a^2 \lambda B_0}{MR}$।

(B) नहीं,$emf$ प्रेरित करने के लिए सापेक्ष गति एक पूर्ण शर्त नहीं है। फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,जब भी किसी परिपथ से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है,तो $emf$ प्रेरित होता है। चुंबकीय फ्लक्स में यह परिवर्तन कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है:
$1$. स्थिर कुंडली के सापेक्ष चुंबक को गति कराकर (सापेक्ष गति)।
$2$. स्थिर चुंबक के सापेक्ष कुंडली को गति कराकर (सापेक्ष गति)।
$3$. कुंडली और चुंबक दोनों को स्थिर रखकर,समय के साथ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता में परिवर्तन करके (उदाहरण के लिए,प्राथमिक कुंडली में प्रत्यावर्ती धारा का उपयोग करके),जो बिना किसी भौतिक सापेक्ष गति के पास की द्वितीयक कुंडली में $emf$ प्रेरित करता है।

(N/A) फैराडे ने अनेक प्रयोगों द्वारा यह सत्यापित किया कि जब चालक स्थिर होता है और चुंबकीय क्षेत्र बदल रहा होता है,तो $emf$ प्रेरित होता है।
स्थिर चालक के मामले में,इसके आवेशों पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F} = q[\overrightarrow{E} + (\vec{v} \times \overrightarrow{B})]$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चालक स्थिर है,$\vec{v} = 0$,इसलिए बल $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$ होता है।
अतः,आवेश पर लगने वाला कोई भी बल केवल विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ के कारण ही उत्पन्न होना चाहिए।
इसलिए,प्रेरित $emf$ या प्रेरित धारा के अस्तित्व को समझाने के लिए,हमें यह निष्कर्ष निकालना होगा कि समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
इस प्रेरित विद्युत क्षेत्र की विशेषताएं:
$1$. स्थिर आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र (जो संरक्षी होता है) के विपरीत,समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र द्वारा उत्पन्न प्रेरित विद्युत क्षेत्र असंरक्षी होता है।
$2$. प्रेरित विद्युत क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएं बंद लूप बनाती हैं।
$3$. यह स्थिर आवेशों पर बल लगाता है,जो स्थिर चालक में प्रेरित $emf$ का मूल कारण है।

(N/A) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec B \cdot \vec A = B A \cos(0^\circ) = B A$ है।
$B = B_0 \cos(\omega t)$ और $A = \pi a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\phi = B_0 \pi a^2 \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।
प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} (B_0 \pi a^2 \cos(\omega t)) = B_0 \pi a^2 \omega \sin(\omega t)$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega t)$ है।
$1$. $t = \frac{\pi}{2\omega}$ पर:
$I = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega \cdot \frac{\pi}{2\omega}) = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R}$.
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स घट रहा है,लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में प्रवाहित होगी। $(a, 0, 0)$ पर,धारा $+\hat j$ दिशा में है।
$2$. $t = \frac{\pi}{\omega}$ पर:
$I = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega}) = 0$.
$3$. $t = \frac{3\pi}{2\omega}$ पर:
$I = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega \cdot \frac{3\pi}{2\omega}) = -\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R}$.
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में प्रवाहित होती है। $(a, 0, 0)$ पर,धारा $-\hat j$ दिशा में है।

(N/A) मान लीजिए कि समय $t$ पर तार $AB$ स्थिति $x$ पर है। लूप का क्षेत्रफल $A = x \cdot d$ है।
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = (B_0 \sin(\omega t)) \cdot (x d)$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (emf) $\varepsilon$ है:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [B_0 d x \sin(\omega t)]$
गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$\varepsilon = -B_0 d [\frac{dx}{dt} \sin(\omega t) + x \frac{d}{dt} \sin(\omega t)]$
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए:
$\varepsilon = -B_0 d [v \sin(\omega t) + x \omega \cos(\omega t)]$
प्रेरित धारा $I$ का परिमाण:
$I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{B_0 d}{R} [v \sin(\omega t) + x \omega \cos(\omega t)]$
तार $AB$ पर चुंबकीय बल $F_m = I L B = I d (B_0 \sin(\omega t))$ है।
तार को स्थिर वेग से गतिमान रखने के लिए,एक बाहरी बल $F_{ext}$ इस प्रकार लगाया जाना चाहिए कि $F_{ext} = F_m$ (परिमाण में)।
$F_{ext} = \frac{B_0^2 d^2}{R} [v \sin(\omega t) + x \omega \cos(\omega t)] \sin(\omega t)$.

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,बहुत लंबे धारावाही तार से $r$ दूरी पर स्थित बंद आयताकार लूप $ABCD$ पर $dr$ मोटाई और $l$ लंबाई वाला एक छोटा क्षेत्रफल अवयव लें।
बहुत लंबे धारावाही तार के कारण इस पट्टी पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस पट्टी से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स:
$d\phi = B \cdot da = B \cdot l \cdot dr = \frac{\mu_0 I l}{2 \pi r} dr$
$ABCD$ लूप से जुड़ा कुल फ्लक्स:
$\phi = \int_{x_0}^{x} \frac{\mu_0 I l}{2 \pi r} dr = \frac{\mu_0 I l}{2 \pi} [\ln r]_{x_0}^{x} = \frac{\mu_0 I l}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित $emf$:
$\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 I l}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right) \right] = \frac{\mu_0 l}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right) \frac{dI}{dt}$
चूंकि $\frac{dI}{dt} = \lambda$,इसलिए प्रेरित $emf$:
$\varepsilon = \frac{\mu_0 l \lambda}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$
प्रेरित धारा $I_{ind}$:
$I_{ind} = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\mu_0 l \lambda}{2 \pi R} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$

(A) दिया गया है: तार की कुल लंबाई $L = 30 \, cm = 0.3 \, m$। चूंकि यह एक वर्गाकार लूप है,भुजा की लंबाई $a = L/4 = 0.3/4 = 0.075 \, m = 7.5 \, cm$ है।
तार का व्यास $d = 4 \, mm$,इसलिए त्रिज्या $r = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$ है।
प्रतिरोधकता $\rho = 1.23 \times 10^{-8} \, \Omega m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $dB/dt = 0.032 \, T s^{-1}$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = a^2 = (0.075)^2 = 5.625 \times 10^{-3} \, m^2$ है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = |d\phi/dt| = A(dB/dt) = (5.625 \times 10^{-3}) \times 0.032 = 1.8 \times 10^{-4} \, V$ है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho (L/A_{wire}) = \rho (L / (\pi r^2)) = (1.23 \times 10^{-8} \times 0.3) / (\pi \times (2 \times 10^{-3})^2) = (3.69 \times 10^{-9}) / (4\pi \times 10^{-6}) \approx 2.937 \times 10^{-4} \, \Omega$ है।
प्रेरित धारा $i = \varepsilon / R = (1.8 \times 10^{-4}) / (2.937 \times 10^{-4}) \approx 0.613 \, A$ है।
अतः,प्रेरित धारा $0.61 \, A$ के करीब है।

(B) कुंडली $C_{2}$ के केंद्र पर धारा $I$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N_{2} I}{2 R_{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली $C_{1}$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A_{1} \cdot N_{1} = \left( \frac{\mu_{0} N_{2} I}{2 R_{2}} \right) (\pi r_{1}^{2}) N_{1}$ है।
मान रखने पर: $N_{1} = 500$,$r_{1} = 0.01\; m$,$N_{2} = 200$,$R_{2} = 0.2\; m$,$\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$.
$\phi = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 200 \times (5t^{2} - 2t + 3)}{2 \times 0.2} \times \pi \times (0.01)^{2} \times 500$.
$\phi = \frac{4\pi^{2} \times 10^{-7} \times 200 \times 500 \times 10^{-4}}{0.4} \times (5t^{2} - 2t + 3) = (10\pi^{2} \times 10^{-6}) \times (5t^{2} - 2t + 3)$.
प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -10\pi^{2} \times 10^{-6} \times (10t - 2)$ है।
$t = 1\; s$ पर,$\varepsilon = -10\pi^{2} \times 10^{-6} \times (10(1) - 2) = -80\pi^{2} \times 10^{-6}\; V$.
परिमाण लेने पर,$|\varepsilon| = 80\pi^{2} \times 10^{-6}\; V = 80\pi^{2} \times 10^{-3}\; mV \approx 80 \times 9.87 \times 10^{-3} \approx 0.789\; mV$.
दिया गया है कि $|\varepsilon| = \frac{4}{x} = 0.5\; mV$ (यदि $\pi^{2} \approx 10$ लें),तो $x = 8$।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) का परिमाण चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$|\epsilon| = \left| \frac{d\phi_{B}}{dt} \right|$
दिया गया है $\phi_{B}(t) = 10t^{2} + 20t$ ($mWb$ में),
$|\epsilon| = \frac{d}{dt}(10t^{2} + 20t) = 20t + 20$ ($mV$ में)
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा $i$ इस प्रकार है:
$|i| = \frac{|\epsilon|}{R} = \frac{20t + 20}{2} = 10t + 10$ ($mA$ में)
$t = 5\,s$ पर:
$|i| = 10(5) + 10 = 50 + 10 = 60\,mA$.

(B) यह दिया गया है कि चुंबकीय फ्लक्स पेज से बाहर की ओर बढ़ रहा है,लेंज के नियम के अनुसार,दक्षिणावर्त दिशा में एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है। लूप के चारों ओर emf $\oint E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ है।
पथ $1$ के लिए,जो सोलेनोइड को घेरता है,$a$ से $b$ तक विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल $\int_{a}^{b} E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ है। इसलिए,$V_{b}-V_{a} = -\int_{a}^{b} E \cdot ds = -\varepsilon_{0}$ प्राप्त होता है।
पथ $2$ के लिए,जो सोलेनोइड को नहीं घेरता है,घिरा हुआ चुंबकीय फ्लक्स शून्य है। अतः,इस पथ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल शून्य है,जिसका अर्थ है $\int_{a}^{b} E \cdot ds = 0$। इसलिए,$V_{a}-V_{b} = -\int_{b}^{a} E \cdot ds = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रिंग से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = B \cdot A = (B_0 \sin \omega t)(\pi a^2)$ है।
रिंग में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (emf) $E = -\frac{d\phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi a^2 \sin \omega t) = -B_0 \pi a^2 \omega \cos \omega t$ है।
लूप में धारा $I = \frac{E}{R} = -\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \cos \omega t$ है। अतः,धारा $\omega$ आवृत्ति के साथ दोलन करती है।
जूल हीटिंग हानि $P = I^2 R = \frac{B_0^2 \pi^2 a^4 \omega^2}{R^2} \cos^2 \omega t \cdot R = \frac{B_0^2 \pi^2 a^4 \omega^2}{R} \cos^2 \omega t$ है। इसलिए,ऊष्मा हानि $a^4$ के समानुपाती है।
रिंग के एक छोटे खंड $dl$ पर चुंबकीय बल $dF = I(dl \times B)$ है। चूंकि धारा परिधि के साथ बहती है और चुंबकीय क्षेत्र रिंग के तल के लंबवत है,बल $dF$ त्रिज्यीय रूप से बाहर या अंदर की ओर कार्य करता है। इसका परिमाण $dF = I B dl = (\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \cos \omega t) (B_0 \sin \omega t) dl = \frac{B_0^2 \pi a^2 \omega}{R} \sin \omega t \cos \omega t dl$ है।
प्रति इकाई लंबाई बल $\frac{dF}{dl} = \frac{B_0^2 \pi a^2 \omega}{R} \sin \omega t \cos \omega t$ है,जो $B_0^2$ के समानुपाती है।
रिंग की समरूपता के कारण,रिंग पर कुल बल शून्य है।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, एक कुंडली में प्रेरित emf $(\varepsilon)$ को $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\phi$ कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स है।
चुंबकीय फ्लक्स को $\phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक स्थिर कुंडली के लिए, क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ स्थिर रहता है। इसलिए, फ्लक्स केवल तभी बदलता है यदि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ समय के साथ बदलता है।
अतः, समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र एक स्थिर कुंडली में emf प्रेरित करता है।

(B) कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(\varepsilon)$ $\varepsilon = N A \frac{dB}{dt}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है और $A = \pi r^2$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है $N' = 4N$ और $r' = r/2$, नया क्षेत्रफल $A' = \pi (r/2)^2 = A/4$ होगा।
नया प्रेरित $EMF$ $\varepsilon' = N' A' \frac{dB}{dt} = (4N) (A/4) \frac{dB}{dt} = N A \frac{dB}{dt} = \varepsilon$ होगा।
यदि प्रतिरोध $R$ को स्थिर माना जाए, तो $P = \varepsilon^2 / R$ के अनुसार शक्ति समान रहेगी। अतः सही विकल्प $(b)$ है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d \phi}{d t}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या $(r < R)$ के वृत्ताकार पथ के लिए,$A = \pi r^2$ क्षेत्रफल से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \pi r^2$ है।
वृत्ताकार पथ के अनुदिश प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ और $EMF$ के बीच संबंध $\varepsilon = \oint E \cdot dl = E(2 \pi r)$ है।
इन मानों को फैराडे के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$E(2 \pi r) = -\frac{d}{d t} (B \pi r^2)$
$E(2 \pi r) = -\pi r^2 \frac{d B}{d t}$
केवल परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{r}{2} \frac{d B}{d t}$

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: $n = 50\,turns/cm = 5000\,turns/m$,$I = I_0 \sin(\omega t)$,जहाँ $I_0 = 2.5\,A$ और $\omega = 700\,rad\,s^{-1}$ है।
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = (2.0\,cm)^2 = (0.02\,m)^2 = 4 \times 10^{-4}\,m^2$ है।
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = \mu_0 n I A$ है।
प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0 n A \frac{dI}{dt} = -\mu_0 n A I_0 \omega \cos(\omega t)$ है।
प्रेरित emf का आयाम $\varepsilon_0 = \mu_0 n A I_0 \omega$ है।
मान रखने पर:
$\varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7}) \times (5000) \times (4 \times 10^{-4}) \times (2.5) \times (700)$.
$\varepsilon_0 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 700$.
$\varepsilon_0 = 4 \times 22 \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 100$.
$\varepsilon_0 = 44 \times 10^{-4}\,V$.
अतः,$x = 44$.

(B) दिया गया है: नली की लंबाई $L = 10 \ m$,नली की त्रिज्या $r_1 = 0.3 \ m$.
लूप का प्रतिरोध $R = 0.005 \ \Omega$,लूप की त्रिज्या $r_2 = 0.1 \ m$.
नली में धारा $I = I_0 \cos(300t)$,अतः कोणीय आवृत्ति $\omega = 300 \ rad/s$.
एक लंबी परिनालिका (नली) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है। $n=1/L$ मानते हुए,$B = \frac{\mu_0 I}{L}$.
मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10}$.
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(r_2)^2 = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(0.1)^2 = \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000}$.
प्रेरित emf $e = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000} \right] = \frac{300 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{1000} = 0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{0.005} = 60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = i \cdot A = (60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)) \cdot (\pi (0.1)^2) = 60 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t) \cdot 0.01 = 0.6 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर,$M \approx 0.6 \cdot 10 \mu_0 I_0 \sin(300t) = 6 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$N \mu_0 I_0 \sin(300t)$ से तुलना करने पर,हमें $N = 6$ प्राप्त होता है।

(B) $1.$ फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$.
$R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ स्पर्शरेखीय होता है।
$E(2\pi R) = -\frac{d}{dt}(B \cdot \pi R^2) = -\pi R^2 \frac{dB}{dt}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $1$ सेकंड में $0$ से $B$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{dB}{dt} = B$.
अतः,प्रेरित विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{R}{2} \frac{dB}{dt} = \frac{BR}{2}$ है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$,कोणीय संवेग $J$ से $M = \gamma J$ द्वारा संबंधित है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण में परिवर्तन $\Delta M = \gamma \Delta J$ है।
प्रेरित विद्युत क्षेत्र एक टॉर्क $\tau = r \times F = R(QE) = R Q (\frac{R}{2} \frac{dB}{dt}) = \frac{QR^2}{2} \frac{dB}{dt}$ उत्पन्न करता है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta J = \int \tau dt = \int_0^1 \frac{QR^2}{2} \frac{dB}{dt} dt = \frac{QR^2}{2} B$.
चूंकि प्रेरित विद्युत क्षेत्र गति का विरोध करता है (लेंज का नियम),टॉर्क ऋणात्मक है,इसलिए $\Delta J = -\frac{BQR^2}{2}$.
अतः,$\Delta M = -\gamma \frac{BQR^2}{2}$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 0.1 \ m^2$ और $B = 20 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right)$ दिया गया है।
अतः,$\phi = 0.1 \times 20 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) = 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \text{ Wb}$।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$e = -\frac{d}{dt} \left[ 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \right] = -2 \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \times \frac{2 \pi}{3} = -\frac{4 \pi}{3} \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} \right)$।
$t = 0.5 \ s$ पर,emf का परिमाण $|e| = \left| -\frac{4 \pi}{3} \cos \left( \frac{2 \pi \times 0.5}{3} \right) \right| = \frac{4 \pi}{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$ होगा।
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = 0.5$,इसलिए $|e| = \frac{4 \pi}{3} \times 0.5 = \frac{2 \pi}{3} \text{ volt}$ प्राप्त होता है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र $O$ से $r > a$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,हम $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार पथ मानते हैं।
इस वृत्ताकार पथ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$ केवल $a$ त्रिज्या वाले क्षेत्र तक सीमित है,जहाँ चुंबकीय क्षेत्र $B(t)$ मौजूद है।
अतः,$\phi_B = B(t) \cdot \pi a^2$.
वृत्ताकार पथ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$,$EMF$ के साथ $\varepsilon = \oint E \cdot dl = E(2\pi r)$ संबंध रखता है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right| = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
$E$ के लिए हल करने पर: $E = \frac{\pi a^2}{2\pi r} \left| \frac{dB}{dt} \right| = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,जब भी किसी कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है,तो उसमें e.m.f. प्रेरित होता है।
ट्रांसफार्मर में,प्राथमिक कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित होती है,जो एक प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
यह प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र लोहे की क्रोड के माध्यम से द्वितीयक कुंडली से जुड़ा होता है।
जैसे-जैसे चुंबकीय क्षेत्र समय के साथ बदलता है,द्वितीयक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स भी बदलता है।
इसलिए,द्वितीयक कुंडली में प्रेरित प्रत्यावर्ती e.m.f. मुख्य रूप से परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र के कारण होता है।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ के परिवर्तन की दर के ऋणात्मक मान के बराबर होता है:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$
$A = \pi r^2$ क्षेत्रफल वाली रिंग से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = (B_0 + \alpha t) \cdot \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को $emf$ के सूत्र में रखने पर:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} [\pi r^2 (B_0 + \alpha t)]$
चूंकि $\pi$ और $r$ स्थिरांक हैं:
$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t)$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t) = 0 + \alpha = \alpha$
अतः,प्रेरित $emf$ है:
$\varepsilon = -\pi r^2 \alpha$

(D) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 25$, त्रिज्या $r = 1.8 \times 10^{-2} \text{ m}$, प्रतिरोध $R = 5 \Omega$, चुंबकीय क्षेत्र $B(t) = (0.2t - 0.05t^2) \text{ T}$.
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (1.8 \times 10^{-2})^2 \approx 1.017 \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
प्रेरित emf $\varepsilon = -N A \frac{dB}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0.2t - 0.05t^2) = 0.2 - 0.1t$ की गणना करने पर।
अतः, $\varepsilon = -25 \times 1.017 \times 10^{-3} \times (0.2 - 0.1t) = -0.025425 \times (0.2 - 0.1t)$.
$t = 3 \text{ s}$ पर, $\varepsilon = -0.025425 \times (0.2 - 0.3) = -0.025425 \times (-0.1) = 0.0025425 \text{ V}$.
शक्ति क्षय $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{(0.0025425)^2}{5} \approx \frac{6.464 \times 10^{-6}}{5} \approx 1.29 \times 10^{-6} \text{ W} = 1.29 \mu\text{W}$.
यह मान $1.25 \mu\text{W}$ के सबसे निकट है।

(A) प्रश्न के अनुसार,तार की त्रिज्या $\frac{r}{2}$ हो जाती है,इसलिए इसकी लंबाई $4l$ होगी और इसका प्रतिरोध $16R$ हो जाएगा। कुंडली में फेरों की संख्या दोगुनी की गई है,इसलिए तार की लंबाई को समायोजित करने के लिए इसकी त्रिज्या दोगुनी होनी चाहिए। कुंडली का क्षेत्रफल $4$ गुना हो जाएगा।
अब,कुंडली में प्रेरित धारा $P$ है,
$\therefore \quad P_1=\frac{V_1^2}{R}$
समीकरण $(i)$ और (ii) से,हमें प्राप्त होता है
$P_2=\frac{\left(8 V_1\right)^2}{16 R} \Rightarrow P_2=\frac{64 V_1^2}{16 R}$
$P_2=\frac{4 V_1^2}{R}$
अतः अनुपात,$P_1: P_2=\frac{V_1^2}{R}: \frac{4 V_1^2}{R}$ या $P_1: P_2=1: 4$.