Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Hindi

(C) अधिकतम प्रेरित $EMF$ (विद्युत वाहक बल) का सूत्र $e_0 = N B A \omega$ है।
दिया गया है: $N = 1$,$B = 10^{-2} \ T$,$r = 0.3 \ m$,$R = \pi^2 \ \Omega$,और आवृत्ति $\nu = \frac{200}{60} = \frac{10}{3} \ Hz$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi \nu = 2\pi \times \frac{10}{3} = \frac{20\pi}{3} \ rad/s$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.3)^2 = 0.09\pi \ m^2$ है।
अतः,$e_0 = 1 \times 10^{-2} \times 0.09\pi \times \frac{20\pi}{3} = 10^{-2} \times 0.03\pi \times 20\pi = 0.6 \times 10^{-2} \times \pi^2 \ V$ है।
अधिकतम धारा $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{0.6 \times 10^{-2} \times \pi^2}{\pi^2} = 0.6 \times 10^{-2} \ A = 6 \times 10^{-3} \ A = 6 \ mA$ है।

(D) मान लीजिए कि वर्गाकार फ्रेम के केंद्र की तार से दूरी $x$ है। फ्रेम की बाईं भुजा तार से $(x - a/2)$ दूरी पर है और दाईं भुजा $(x + a/2)$ दूरी पर है।
लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
बाईं भुजा (लंबाई $a$) में प्रेरित गतिक $emf$ $\varepsilon_1 = B_1 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x - a/2)} a V$ है।
दाईं भुजा (लंबाई $a$) में प्रेरित गतिक $emf$ $\varepsilon_2 = B_2 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + a/2)} a V$ है।
फ्रेम में प्रेरित कुल $emf$ $\varepsilon = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ है।
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{1}{x - a/2} - \frac{1}{x + a/2} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{2}{2x - a} - \frac{2}{2x + a} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{(2x + a) - (2x - a)}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{2a}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
अतः,$\varepsilon \propto \frac{1}{(2x - a)(2x + a)}$.

(D) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $r$ लूप की त्रिज्या है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
चूंकि $B$ स्थिर है,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \pi r^2) = -B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$।
दिया गया है: $B = 0.04\, T$,$r = 2\, cm = 0.02\, m$,और $\frac{dr}{dt} = -2\, mm/s = -2 \times 10^{-3}\, m/s$ (ऋणात्मक क्योंकि त्रिज्या घट रही है)।
मान रखने पर:
$\varepsilon = -(0.04) \cdot \pi \cdot 2 \cdot (0.02) \cdot (-2 \times 10^{-3})$
$\varepsilon = 0.04 \cdot \pi \cdot 0.04 \cdot 2 \times 10^{-3}$
$\varepsilon = 0.0032 \times 10^{-3} \cdot \pi\, V$
$\varepsilon = 3.2 \times 10^{-6} \cdot \pi\, V = 3.2\pi\, \mu V$.

(A) प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = B l v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ वेग सदिश के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटने वाले चालक की लंबाई है।
आयताकार या वर्गाकार लूप के लिए,जैसे ही यह चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है,चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली भुजा की लंबाई $l$ तब तक स्थिर रहती है जब तक कि पूरा लूप क्षेत्र से बाहर नहीं निकल जाता। इस प्रकार,प्रेरित emf स्थिर रहता है।
वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार लूप के लिए,वेग सदिश के लंबवत लूप की चौड़ाई लगातार बदलती रहती है जैसे-जैसे लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है। चूँकि लंबाई $l$ स्थिर नहीं है,इसलिए प्रेरित emf $\varepsilon = B l v$ स्थिर नहीं रहेगा।
अतः,वृत्ताकार और दीर्घवृत्ताकार लूप के लिए प्रेरित emf स्थिर नहीं रहेगा।

(B) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.025 \, T$
लूप की त्रिज्या,$r = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$
त्रिज्या के परिवर्तन की दर,$\frac{dr}{dt} = 1 \, mm \, s^{-1} = 1 \times 10^{-3} \, m \, s^{-1}$
लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A \cos \theta = B(\pi r^2) \cos 0^{\circ} = B \pi r^2$ है।
प्रेरित $emf$ का परिमाण फैराडे के नियम के अनुसार: $|\varepsilon| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$ है।
$|\varepsilon| = \frac{d}{dt}(B \pi r^2) = B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
मान रखने पर:
$|\varepsilon| = 0.025 \times \pi \times 2 \times (2 \times 10^{-2}) \times (1 \times 10^{-3})$
$|\varepsilon| = 0.025 \times \pi \times 4 \times 10^{-2} \times 10^{-3}$
$|\varepsilon| = 0.1 \times 10^{-2} \times 10^{-3} \times \pi = 10^{-1} \times 10^{-5} \times \pi = 10^{-6} \pi \, V$
$|\varepsilon| = \pi \, \mu V$.

(A) घूमते हुए लूप में प्रेरित $e.m.f.$ का मान $\varepsilon = N B A \omega \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे ही लूप एक पूर्ण चक्कर $(360^{\circ})$ पूरा करता है,$\sin(\omega t)$ का मान $180^{\circ}$ पर धनात्मक से ऋणात्मक और $360^{\circ}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है।
अतः,प्रेरित $e.m.f.$ की दिशा प्रति चक्कर दो बार बदलती है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान एक वक्र चालक में प्रेरित गतिकीय $emf$ उस सीधे चालक में प्रेरित $emf$ के बराबर होता है जो वक्र के दोनों सिरों को जोड़ता है।
अर्धवृत्ताकार रिंग $PQR$ की प्रभावी लंबाई इसके सिरों $P$ और $R$ के बीच की सीधी दूरी है,जो कि व्यास $l = 2r$ है।
प्रेरित $emf$ का मान $\varepsilon = Bvl = Bv(2r) = 2rBv$ है।
फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,नीचे की ओर वेग $v$ और अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए,धनात्मक आवेशों पर बल $R$ की ओर कार्य करता है। अतः,$R$ का विभव $P$ से अधिक है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र में $V$ वेग से गति करने वाले $a$ लंबाई के ऊर्ध्वाधर तार खंड के लिए,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = B l V$ है।
फ्रेम की दो ऊर्ध्वाधर भुजाएँ तार से $r_1 = x - a/2$ और $r_2 = x + a/2$ की दूरी पर हैं।
बाईं भुजा $(1)$ में प्रेरित $emf$ $\varepsilon_1 = B_1 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x - a/2)} a V = \frac{\mu_0 I a V}{\pi (2x - a)}$ है।
दाईं भुजा $(2)$ में प्रेरित $emf$ $\varepsilon_2 = B_2 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + a/2)} a V = \frac{\mu_0 I a V}{\pi (2x + a)}$ है।
फ्रेम में कुल प्रेरित $emf$ $\varepsilon_{net} = |\varepsilon_1 - \varepsilon_2| = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left( \frac{1}{2x - a} - \frac{1}{2x + a} \right)$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\varepsilon_{net} = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left( \frac{(2x + a) - (2x - a)}{(2x - a)(2x + a)} \right) = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left( \frac{2a}{(2x - a)(2x + a)} \right)$.
अतः,$\varepsilon_{net} \propto \frac{1}{(2x - a)(2x + a)}$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (e.m.f.) का सूत्र $\varepsilon = B l v$ है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,$l$ वेग सदिश के लंबवत चालक की लंबाई है और $v$ वेग है।
इस मामले में,लूप क्षैतिज रूप से चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करते हैं। लूप की ऊर्ध्वाधर भुजाएँ गतिमान चालक के रूप में कार्य करती हैं जो चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटती हैं।
मान लीजिए $l$ लूप की ऊर्ध्वाधर लंबाई है। प्रेरित e.m.f. इस ऊर्ध्वाधर लंबाई $l$ के समानुपाती होता है।
आकृति से,लूप $c$ और $d$ की ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई $2L$ है,जबकि लूप $a$ और $b$ की ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई $L$ है।
चूंकि सभी लूपों के लिए वेग $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए बड़ी ऊर्ध्वाधर भुजा वाले लूपों के लिए प्रेरित e.m.f. $\varepsilon$ अधिक होगा।
इसलिए,$\varepsilon_c = \varepsilon_d = B(2L)v$ और $\varepsilon_a = \varepsilon_b = B(L)v$।
इनकी तुलना करने पर,हमें $(\varepsilon_c = \varepsilon_d) > (\varepsilon_a = \varepsilon_b)$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ उत्तर-दक्षिण दिशा में रखी गई है और पूर्व की ओर गति कर रही है। वेग सदिश $\vec{v}$ पूर्व की दिशा में है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B_H \tan \phi$ है,जहाँ $B_H = 3 \times 10^{-4} \, T$ और $\phi = 53^\circ$ है।
अतः,$B_V = (3 \times 10^{-4}) \times (4/3) = 4 \times 10^{-4} \, T$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में गति करती हुई छड़ में प्रेरित emf $e = B_V v l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v = 10 \, cm/s = 0.1 \, m/s$ और $l = 0.25 \, m$ है।
मान रखने पर: $e = (4 \times 10^{-4} \, T) \times (0.1 \, m/s) \times (0.25 \, m) = 10^{-5} \, V$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 \, V = 10^6 \, \mu V$ होता है,इसलिए $e = 10^{-5} \times 10^6 \, \mu V = 10 \, \mu V$ होगा।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई डिस्क के केंद्र और रिम के बीच प्रेरित $emf$ $(E)$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
दिया गया है:
त्रिज्या $R = 0.1 \ m$
आवृत्ति $f = 10 \ rev/s$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1 \ T$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi \ rad/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20\pi) \times (0.1)^2$
$E = 0.1 \times 10\pi \times 0.01$
$E = 0.01\pi \ V$
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर:
$E = 0.01\pi \times 1000 \ mV = 10\pi \ mV$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = nBA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,कुंडली की अक्ष चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^o$ और $\phi_1 = nBA \cos 0^o = nBA$ है।
कुंडली को उसके व्यास के परितः $180^o$ घुमाने के बाद,नया कोण $\theta_2 = 180^o$ है,इसलिए $\phi_2 = nBA \cos 180^o = -nBA$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -nBA - nBA = -2nBA$ है।
प्रेरित आवेश $Q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{2nBA}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय प्रेरण $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{QR}{2nA}$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $e = Bv l_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_{eff}$ चालक की प्रभावी लंबाई है,जो इसके सिरों के बीच की सीधी दूरी है।
$L$ लंबाई के तार को अर्धवृत्त में मोड़ने पर,चाप की लंबाई $L = \pi R$ होती है,जहाँ $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
इसलिए,त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$ है।
अर्धवृत्त के दो सिरों के बीच प्रभावी लंबाई $l_{eff}$ अर्धवृत्त के व्यास के बराबर होती है,जो $2R$ है।
$R$ का मान रखने पर,हमें $l_{eff} = 2 \times (\frac{L}{\pi}) = \frac{2L}{\pi}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित emf $e = Bv \times (\frac{2L}{\pi}) = \frac{2BvL}{\pi}$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ $\varepsilon = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $B = 2.0\, T$,$l = 0.1\, m$,और $v = 0.5\, m/s$ है।
जब $5\,\Omega$ का प्रतिरोधक बाईं ओर गति करता है,तो प्रेरित $emf$ $\varepsilon = 2.0 \times 0.1 \times 0.5 = 0.1\, V$ होता है।
चूंकि $10\,\Omega$ का प्रतिरोधक स्थिर है,इसलिए इसमें प्रेरित $emf$ $0\, V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = 5\,\Omega + 10\,\Omega = 15\,\Omega$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0.1}{15} = \frac{1}{150}\, A$ है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करेगी।

(C) दिया गया है:
पंखों का फैलाव $(l)$ = $40\, m$
गति $(v)$ = $1080\, km\, h^{-1} = 1080 \times \frac{5}{18} = 300\, m\, s^{-1}$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $(B)$ = $1.75 \times 10^{-5} \, T$
विमान के पंखों के बीच प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र है:
$e = B \cdot l \cdot v$
मान रखने पर:
$e = (1.75 \times 10^{-5} \, T) \times (40\, m) \times (300\, m\, s^{-1})$
$e = 1.75 \times 10^{-5} \times 12000$
$e = 1.75 \times 0.12$
$e = 0.21\, V$
अतः,पंखों के सिरों के बीच विकसित emf $0.21\, V$ है।

(C) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi R^2$ लूप का क्षेत्रफल है।
दिया गया है $R = R_0 + t$,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi (R_0 + t)^2$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित e.m.f. $e = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
चूंकि $B$ स्थिर है,इसलिए $e = -B \frac{dA}{dt}$ होगा।
अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} [\pi (R_0 + t)^2] = 2\pi (R_0 + t)$.
अतः,प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = B \cdot 2\pi (R_0 + t) = 2\pi (R_0 + t)B$ है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,चूंकि क्षेत्रफल बढ़ रहा है,इसलिए पेज के अंदर की ओर चुंबकीय फ्लक्स बढ़ रहा है। इस परिवर्तन का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को पेज के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना होगा,जो वामावर्त दिशा में होता है।

(B) गतिमान कनेक्टर में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ $e = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 0.1\, T$,$l = 10\, cm = 0.1\, m$,और $v = 1\, m/s$.
$e = 0.1 \times 0.1 \times 1 = 0.01\, V$.
कनेक्टर $r = 1\, \Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध वाली बैटरी के रूप में कार्य करता है। $R_1 = 2\, \Omega$ और $R_2 = 3\, \Omega$ प्रतिरोध वाली लूप की दो भुजाएं इस बैटरी के समानांतर जुड़ी हुई हैं।
बाह्य परिपथ का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r + R_{eq} = 1 + 1.2 = 2.2\, \Omega$ है।
कनेक्टर में धारा $I = \frac{e}{R_{total}} = \frac{0.01}{2.2} = \frac{1}{220}\, A$ है।

(C) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$B$ चुंबकीय क्षेत्र में $v_0$ वेग से गति करने वाले $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon$ इस प्रकार है:
$\varepsilon = B l v_0$
यह emf संधारित्र $C$ के सिरों पर विभवांतर के स्रोत के रूप में कार्य करता है। चूंकि परिपथ संधारित्र के माध्यम से बंद है,इसलिए संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर प्रेरित emf के बराबर होगा,अर्थात $V_C = \varepsilon = B l v_0$।
चूंकि वेग $v_0$ स्थिर है,इसलिए प्रेरित emf $\varepsilon = B l v_0$ भी स्थिर रहता है। एक बार जब संधारित्र इस विभवांतर तक आवेशित हो जाता है,तो परिपथ से कोई अतिरिक्त आवेश प्रवाहित नहीं होता है क्योंकि संधारित्र स्थिर डीसी $(DC)$ धारा के लिए एक खुले परिपथ के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,प्रारंभिक क्षणिक चार्जिंग चरण के बाद चालक से गुजरने वाली धारा $I$ शून्य होती है।

(A) जब छड़ $P$ बाईं ओर गति करती है,तो रेल और दो छड़ों द्वारा बने लूप का क्षेत्रफल बढ़ जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,परिपथ में एक प्रेरित $EMF$ उत्पन्न होता है,जो प्रेरित धारा प्रवाहित करता है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,इस प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि यह अपने उत्पादन के कारण का विरोध करती है,जो कि लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि है।
फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए,छड़ $Q$ पर चुंबकीय बल को ऐसी दिशा में कार्य करना चाहिए जो लूप के क्षेत्रफल को कम करने की प्रवृत्ति रखे।
इसलिए,छड़ $Q$ बाईं ओर एक बल का अनुभव करेगी,अर्थात यह छड़ $P$ की ओर आकर्षित होगी।

(B) मान लीजिए कि त्रिभुज का शीर्ष मूल बिंदु पर है और $x$-अक्ष के साथ गति कर रहा है। समय $t$ पर चुंबकीय क्षेत्र के अंदर तार खंड की लंबाई $l = 2(vt) \tan(\pi / 4) = 2vt$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = B l v = B(2vt)v = 2Bv^2t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रेम का प्रतिरोध $R$ उसकी लंबाई के समानुपाती होता है,इसलिए क्षेत्र के अंदर के भाग का प्रतिरोध भी $t$ के समानुपाती होता है। मान लीजिए $R = k t$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
प्रेरित धारा $i = \varepsilon / R = (2Bv^2t) / (kt) = (2Bv^2) / k$,जो एक स्थिर मान है।
जैसे-जैसे फ्रेम प्रवेश करना जारी रखता है,क्षेत्र के अंदर तार की लंबाई बढ़ती है,लेकिन प्रतिरोध भी उसी अनुपात में बढ़ता है,जिससे धारा स्थिर रहती है जब तक कि पूरा फ्रेम क्षेत्र के अंदर न आ जाए।
इसलिए,धारा $i$ समय के साथ स्थिर रहती है जब तक कि फ्रेम पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर न हो,जिसके बाद यह शून्य हो जाती है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,स्थिर धारा को दर्शाने वाला ग्राफ विकल्प $(b)$ है।

(A) प्रेरित emf $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार $xy$-समतल के लंबवत है,इसलिए इसका लंबाई सदिश $\vec{L} = 2\hat{k} \ m$ है।
वेग $\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \ m/s$ है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j}) \ Wb/m^2$ है।
सबसे पहले,$\vec{v} \times \vec{B}$ का क्रॉस गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 2(\hat{i} \times \hat{i}) + 4(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{j} \times \hat{i}) + 6(\hat{j} \times \hat{j}) + 1(\hat{k} \times \hat{i}) + 2(\hat{k} \times \hat{j})$
$= 0 + 4\hat{k} - 3\hat{k} + 0 + \hat{j} - 2\hat{i} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
अब,$\vec{L}$ के साथ डॉट गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$\varepsilon = (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{k})$
$= (-2 \times 0) + (1 \times 0) + (1 \times 2) = 2 \ V$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का सूत्र $e = B \cdot l \cdot v$ है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,$l$ चालक की लंबाई है,और $v$ वेग है।
दिए गए मान $B = 4.0\,T$,$l = 30\,cm = 0.3\,m$,और $v = 10\,ms^{-1}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = 4.0 \times 0.3 \times 10 = 12\,V$.
गतिक $EMF$ के लिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,छड़ में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लगने वाला बल दक्षिणी सिरे की ओर होता है $(F = q(\vec{v} \times \vec{B}))$। चूंकि इलेक्ट्रॉन दक्षिणी सिरे पर जमा हो जाते हैं,इसलिए उत्तरी सिरा दक्षिणी सिरे के सापेक्ष धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।
चूंकि दक्षिणी सिरे का विभव $0\,V$ दिया गया है,इसलिए उत्तरी सिरे का विभव $V_N - V_S = 12\,V$ होगा,अतः $V_N = 12\,V$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान $R$ त्रिज्या वाले एक चालक छल्ले में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) $E = B \cdot (2R) \cdot v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2R$ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले छल्ले की प्रभावी लंबाई (व्यास) है।
$r$ त्रिज्या और $2v$ वेग वाले छल्ले $P$ के लिए:
$E_1 = B \cdot (2r) \cdot (2v) = 4Bvr$
$2r$ त्रिज्या और $v$ वेग वाले छल्ले $Q$ के लिए:
$E_2 = B \cdot (2 \cdot 2r) \cdot v = 4Bvr$
चूंकि छल्ले चालक सतह $S$ पर विपरीत दिशाओं में घूम रहे हैं,इसलिए प्रेरित emf श्रेणीक्रम में कार्य करते हैं। दोनों छल्लों के उच्चतम बिंदुओं के बीच विभवांतर प्रेरित emf का योग है:
विभवांतर $= E_1 + E_2 = 4Bvr + 4Bvr = 8Bvr$.

(B) लंबे,सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,एम्पीयर के नियम के अनुसार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
$l$ लंबाई की छड़ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत $\upsilon$ वेग से गति कर रही है। छड़ के सिरों के बीच प्रेरित $emf$ $(e)$ का सूत्र है:
$e = B l \upsilon$
समीकरण में $B$ का मान रखने पर:
$e = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) l \upsilon$
अतः,प्रेरित $emf$ है:
$e = \frac{\mu_0 \upsilon I l}{2 \pi r}$

(A) एक लंबे धारावाही तार से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0}I}{2\pi x}$ द्वारा दिया जाता है।
तार से $x$ दूरी पर छड़ पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस छोटे अवयव में प्रेरित गतिकीय emf $d\varepsilon = Bv dx = \left( \frac{{\mu _0}I}{2\pi x} \right) \upsilon dx$ है।
कुल प्रेरित emf $\varepsilon$ ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का $x = r$ से $x = r + l$ तक समाकलन करते हैं:
$\varepsilon = \int_{r}^{r+l} \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi x} dx$
$\varepsilon = \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi} \int_{r}^{r+l} \frac{1}{x} dx$
$\varepsilon = \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi} [\ln x]_{r}^{r+l}$
$\varepsilon = \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi} \ln \left( \frac{r+l}{r} \right)$.

(D) जब एक चालक लूप एक समान चुंबकीय क्षेत्र में इस प्रकार गति करता है कि वह पूरी तरह से क्षेत्र के अंदर रहता है,तो लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A$ स्थिर रहता है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ और लूप का क्षेत्रफल $A$ दोनों स्थिर हैं।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Phi$ स्थिर है,इसलिए $\frac{d\Phi}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = 0$ है।
परिणामस्वरूप,लूप में कोई धारा प्रेरित नहीं होती है और लूप की गति का विरोध करने वाला कोई चुंबकीय बल नहीं होता है।
इसलिए,लूप को एक समान वेग से ले जाने के लिए किया गया बाहरी कार्य शून्य है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) परिपथ में ऊष्मा उत्पन्न होने की दर $Q$ व्यय होने वाली शक्ति के बराबर होती है,जो $P = I^2 R = \frac{E^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
वैकल्पिक रूप से,बाहरी बल $F$ द्वारा प्रदान की गई यांत्रिक शक्ति $P = Fv$ है।
चूंकि छड़ एकसमान चाल से गति करती है,इसलिए बाहरी बल $F$ छड़ पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल $F_m = IlB$ के बराबर होना चाहिए।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E = Blv$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R} = \frac{Blv}{R}$ है।
चुंबकीय बल $F_m = IlB = (\frac{Blv}{R})lB = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ है।
प्रदान की गई शक्ति $P = Fv = (\frac{B^2 l^2 v}{R})v = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ है।
चूंकि $Q = P$,इसलिए $Q = Fv$ है।
अतः,$F = \frac{Q}{v}$।

(A) मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर वर्ग की भुजा की लंबाई $x$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B x^2$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(B x^2) = -2Bx \frac{dx}{dt}$।
चूंकि प्रत्येक भुजा वेग $v$ के साथ बाहर की ओर गति करती है,इसलिए भुजा की लंबाई में परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 2v$ है (क्योंकि भुजा के दोनों सिरे केंद्र से दूर जाते हैं)।
इस प्रकार,प्रेरित $EMF$ का परिमाण $e = 2Bx(2v) = 4Bxv$ है।
वर्ग बनाने वाले तार की कुल लंबाई $L = 4x$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = L \cdot r = 4xr$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{4Bxv}{4xr} = \frac{Bv}{r}$ है।

(C) मान लीजिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B \hat{k}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
खंड $AB$ के लिए,लंबाई सदिश $\vec{l}_{AB} = l_1 \hat{i}$ है।
विभवांतर $V_A - V_B = \int_A^B (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (B \hat{k}) \cdot (l_1 \hat{i}) = (-v_x B \hat{j} + v_y B \hat{i}) \cdot (l_1 \hat{i}) = v_y B l_1$.
अतः,$V_A - V_B = B v_y l_1$.
खंड $BC$ के लिए,लंबाई सदिश $\vec{l}_{BC} = l_2 \hat{j}$ है।
विभवांतर $V_B - V_C = \int_B^C (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (B \hat{k}) \cdot (l_2 \hat{j}) = (-v_x B \hat{j} + v_y B \hat{i}) \cdot (l_2 \hat{j}) = -v_x B l_2$.
अतः,$V_B - V_C = -B v_x l_2$.
दोनों विभवांतरों को जोड़ने पर:
$(V_A - V_B) + (V_B - V_C) = B v_y l_1 - B v_x l_2$.
$V_A - V_C = B(v_y l_1 - v_x l_2)$.
विभवांतर का परिमाण $|V_A - V_C| = B |v_x l_2 - v_y l_1|$ है।
इस प्रकार,विभवांतर $v_x l_2 - v_y l_1$ के समानुपाती है।

(A) छड़ का लंबाई सदिश $\vec{l} = 5 \cos 53^{\circ} \hat{i} + 5 \sin 53^{\circ} \hat{j} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
गतिमान चालक में प्रेरित $Emf$ $(e)$ का सूत्र $e = |(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}|$ होता है।
यहाँ $\vec{v} = 2\hat{i}$,$\vec{B} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{l} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{i}) \times (3\hat{j} + 4\hat{k}) = 6(\hat{i} \times \hat{j}) + 8(\hat{i} \times \hat{k}) = 6\hat{k} - 8\hat{j}$ ज्ञात करें।
अब,$\vec{l}$ के साथ अदिश गुणनफल करने पर:
$e = |(6\hat{k} - 8\hat{j}) \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j})| = |(6\hat{k} \cdot 3\hat{i}) + (6\hat{k} \cdot 4\hat{j}) + (-8\hat{j} \cdot 3\hat{i}) + (-8\hat{j} \cdot 4\hat{j})|$.
चूँकि $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,और $\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$:
$e = |0 + 0 + 0 - 32(1)| = |-32| = 32\,V$.

(B) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $L$ है। जैसे ही लूप $v$ वेग के साथ चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है, चुंबकीय क्षेत्र के अंदर लूप का क्षेत्रफल $A$ कम हो जाता है।
समय $t$ पर, चुंबकीय क्षेत्र के अंदर शेष त्रिभुज की ऊंचाई $(h - vt)$ है, जहाँ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}L$ त्रिभुज की कुल ऊंचाई है।
शीर्ष से $x$ दूरी पर त्रिभुज की चौड़ाई $w = 2x \tan(30^{\circ}) = \frac{2x}{\sqrt{3}}$ है।
समय $t$ पर क्षेत्र के अंदर का क्षेत्रफल $A$ अंदर बचे छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल है: $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2(h-vt)}{\sqrt{3}}\right) \times (h-vt) = \frac{(h-vt)^2}{\sqrt{3}}$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{B}{\sqrt{3}}(h-vt)^2$ है।
प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{B}{\sqrt{3}} \cdot 2(h-vt) \cdot (-v) = \frac{2Bv}{\sqrt{3}}(h-vt)$ है।
प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{2Bv}{\sqrt{3}R}(h-vt)$ है।
चूंकि $i$ समय $t$ का ऋणात्मक ढाल वाला एक रैखिक फलन है, इसलिए प्रेरित धारा बनाम समय का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा होगी।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B_0(1 + \frac{x}{a})\hat k$ है। लूप $xy$-समतल में $\vec V = V_0\hat i$ वेग से गति करता है।
भुजा $(1)$ के लिए $x = 0$ पर,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = B_0(1 + 0) = B_0$ है। प्रेरित $emf$ $e_1 = B_1 V_0 d = B_0 V_0 d$ है।
भुजा $(2)$ के लिए $x = d$ पर,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = B_0(1 + \frac{d}{a})$ है। प्रेरित $emf$ $e_2 = B_2 V_0 d = B_0(1 + \frac{d}{a}) V_0 d = B_0 V_0 d + \frac{B_0 V_0 d^2}{a}$ है।
भुजा $(3)$ और $(4)$ वेग सदिश के समानांतर हैं,इसलिए उनमें प्रेरित $emf$ शून्य होगा।
लूप में कुल प्रेरित $emf$ $e = |e_2 - e_1| = |(B_0 V_0 d + \frac{B_0 V_0 d^2}{a}) - B_0 V_0 d| = \frac{B_0 V_0 d^2}{a}$ है।

(B) जब एक धातु की डिस्क अपने तल के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में घूमती है,तो डिस्क के केंद्र और रिम के बीच एक गतिक विद्युत वाहक बल $(emf)$ प्रेरित होता है।
लोरेंत्ज़ बल के नियम के अनुसार,घूमती हुई डिस्क में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लगने वाला बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
जब डिस्क कोणीय वेग $\omega$ के साथ कागज के तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में घूमती है,तो केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित आवेश वाहक का वेग $\vec{v}$ स्पर्शरेखीय होता है। परिणामी बल इलेक्ट्रॉनों को केंद्र $(P)$ की ओर और धनात्मक आवेशों को किनारे $(Q)$ की ओर धकेलता है।
यह केंद्र और किनारे के बीच एक विभवांतर पैदा करता है,जो एक बैटरी की तरह कार्य करता है। परिणामस्वरूप,बाहरी प्रतिरोध $R$ के माध्यम से किनारे $(Q)$ से केंद्र $(P)$ की ओर विद्युत धारा प्रवाहित होती है।

(D) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,कुंडली का तल क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश क्षेत्र के समानांतर है। अतः,$\theta = 0^{\circ}$ और $\phi_i = BA \cos 0^{\circ} = BA$.
$90^{\circ}$ घूमने के बाद,कुंडली का तल क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश क्षेत्र के लंबवत है। अतः,$\theta = 90^{\circ}$ और $\phi_f = BA \cos 90^{\circ} = 0$.
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = |\phi_f - \phi_i| = BA$ है।
$90^{\circ}$ घूमने में लगा समय $\Delta t = \frac{\pi/2}{\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$ है।
औसत प्रेरित $e.m.f.$ $\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{BA}{\pi / (2\omega)} = \frac{2BA\omega}{\pi}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) धुरी $A$ से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा खंड लें।
इस छोटे खंड पर प्रेरित गतिकीय e.m.f. $de = Bv dx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v = \omega x$ है।
$v$ का मान रखने पर,हमें $de = B(\omega x) dx$ प्राप्त होता है।
मध्य बिंदु $C$ ($A$ से $L/2$ दूरी पर) और सिरे $B$ ($A$ से $L$ दूरी पर) के बीच कुल e.m.f. $e$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का समाकलन करते हैं:
$e = \int_{L/2}^{L} B\omega x dx = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{L/2}^{L}$
$e = \frac{B\omega}{2} \left( L^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2 \right) = \frac{B\omega}{2} \left( L^2 - \frac{L^2}{4} \right)$
$e = \frac{B\omega}{2} \left( \frac{3L^2}{4} \right) = \frac{3B\omega L^2}{8}$

(A) छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = BvL$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\varepsilon = 4.0 \times 20 \times 1.0 = 80\, V$ प्राप्त होता है।
फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,कागज के तल के अंदर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र में दाईं ओर गति करने वाली छड़ के लिए,प्रेरित धारा छड़ के अंदर $Q$ से $P$ की ओर प्रवाहित होती है।
इस प्रकार,बिंदु $P$ धनात्मक टर्मिनल के रूप में और बिंदु $Q$ ऋणात्मक टर्मिनल के रूप में कार्य करता है।
चूंकि प्लेट $A$,$P$ से और प्लेट $B$,$Q$ से जुड़ी है,इसलिए प्लेट $A$ धनावेशित हो जाती है और प्लेट $B$ ऋणावेशित हो जाती है।
संधारित्र पर आवेश $q = C\varepsilon$ है।
$q = 10 \times 10^{-6} \times 80 = 800 \times 10^{-6}\, C = 800\, \mu C$।
अतः,$q_A = + 800\, \mu C$ और $q_B = - 800\, \mu C$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $\omega$ कोणीय वेग के साथ घूमने वाली $l$ लंबाई की छड़ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग पर किसी भी बिंदु $X$ के लिए,धुरी बिंदु $O$ के सापेक्ष विभवांतर $V_X - V_O = \frac{1}{2} B \omega r_{OX}^2$ है,जहाँ $r_{OX}$ बिंदु $O$ से $X$ तक की सीधी दूरी है।
बिंदुओं $P$ और $R$ के लिए,$O$ से दूरी $r_{OP} = r_{OR} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ है।
अतः,$V_P - V_O = V_R - V_O = \frac{1}{2} B \omega (\sqrt{2}a)^2 = B \omega a^2$ है।
चूँकि $B, \omega, a^2 > 0$,इसलिए $V_P = V_R > V_O$ प्राप्त होता है।
बिंदु $Q$ के लिए,$O$ से दूरी $r_{OQ} = 2a$ है।
अतः,$V_Q - V_O = \frac{1}{2} B \omega (2a)^2 = 2 B \omega a^2$ है।
अब,$V_Q - V_P = (V_Q - V_O) - (V_P - V_O) = 2 B \omega a^2 - B \omega a^2 = B \omega a^2$ है।
चूँकि $V_P - V_O = B \omega a^2$,इसलिए $V_Q - V_P = V_P - V_O$ सिद्ध होता है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ के साथ एक सिरे के परितः घूमने वाली $l$ लंबाई की छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,रिंग बिंदु $O$ के परितः घूमती है। $O$ से गुजरने वाली $l$ लंबाई की कोई भी जीवा एक घूमती हुई छड़ के रूप में कार्य करती है।
दूरी $OP = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ है। अतः,$V_P - V_O = \frac{1}{2} B \omega (\sqrt{2}a)^2 = B \omega a^2$ है।
दूरी $OQ = 2a$ है। अतः,$V_Q - V_O = \frac{1}{2} B \omega (2a)^2 = 2 B \omega a^2$ है।
इनकी विकल्पों से तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(C) गतिशील छड़ $PQ$ एक प्रेरित $emf$ $\varepsilon = Blv$ के स्रोत के रूप में कार्य करती है,जिसका आंतरिक प्रतिरोध $R$ है।
परिपथ में यह $emf$ स्रोत श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध $R$ के साथ जुड़ा है,जो फिर समानांतर में दो अन्य शाखाओं से जुड़ा है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है।
मान लीजिए $Q$ पर विभव $V_Q$ है और $P$ पर विभव $V_P$ है। परिपथ का कुल प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोध $R$ और दो समानांतर शाखाओं के समतुल्य प्रतिरोध $R/2$ का योग है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{R \times R}{R + R} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.
छड़ से बहने वाली कुल धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{Blv}{3R/2} = \frac{2Blv}{3R}$.
चूंकि दो समानांतर शाखाओं का प्रतिरोध समान $R$ है,इसलिए धारा $I$ उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाती है: $I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2Blv}{3R} = \frac{Blv}{3R}$.
अतः,$I_1 = I_2 = \frac{Blv}{3R}$ और $I = \frac{2Blv}{3R}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित $emf$ $(e)$ का सूत्र $e = Bvl \sin(\theta)$ है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$v$ वेग है,$l$ चालक की लंबाई है,और $\theta$ वेग सदिश तथा चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
यहाँ,वेग पूर्व की ओर है और चुंबकीय क्षेत्र उत्तर की ओर है,इसलिए वे परस्पर लंबवत हैं $(\theta = 90^\circ)$।
दिया गया है: $B = 5.0 \times 10^{-5} \text{ T}$,$v = 1.5 \text{ m/s}$,$l = 2 \text{ m}$।
$e = (5.0 \times 10^{-5}) \times 1.5 \times 2 = 15 \times 10^{-5} \text{ V}$।
$mV$ में बदलने के लिए,$10^3$ से गुणा करें: $e = 15 \times 10^{-5} \times 10^3 \text{ mV} = 15 \times 10^{-2} \text{ mV} = 0.15 \text{ mV}$।

(D) स्थिर सिरे से $x$ दूरी पर छड़ के एक छोटे अवयव $dx$ में प्रेरित $e.m.f.$ $de = Bv dx = B(\omega x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ के सिरों के बीच कुल प्रेरित $e.m.f.$ ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का समाकलन केंद्र से छड़ के आंतरिक सिरे (दूरी $2l$) से बाहरी सिरे (दूरी $2l + l = 3l$) तक करते हैं।
$e = \int_{2l}^{3l} B\omega x dx$
$e = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2l}^{3l}$
$e = \frac{B\omega}{2} [(3l)^2 - (2l)^2]$
$e = \frac{B\omega}{2} [9l^2 - 4l^2]$
$e = \frac{5B\omega l^2}{2}$

(A) तार के टर्मिनल वेग तक पहुँचने के लिए,उसका त्वरण शून्य होना चाहिए।
टर्मिनल वेग पर,ऊपर की ओर कार्य करने वाला चुंबकीय बल नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_m = mg$
$I l B = mg$
चूंकि प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B l v_0$ है,जहाँ $v_0$ टर्मिनल वेग है,प्रेरित धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v_0}{R}$
इसे बल संतुलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{B l v_0}{R} \right) l B = mg$
$\frac{B^2 l^2 v_0}{R} = mg$
$v_0$ के लिए हल करने पर:
$v_0 = \frac{mgR}{B^2 l^2}$

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान छड़ में प्रेरित $e.m.f.$ का सूत्र $\varepsilon = B_{\perp} \ell v$ है,जहाँ $B_{\perp}$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $(B_v)$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक और क्षैतिज घटक $(B_H)$ तथा नमन कोण $(\delta)$ के बीच संबंध $B_v = B_H \tan \delta$ है।
दिया गया है: $B_H = 3 \times 10^{-4} \ T$,$\delta = \tan^{-1}(4/3)$,$\ell = 0.25 \ m$,और $v = 10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$.
मान रखने पर:
$B_v = (3 \times 10^{-4}) \times (4/3) = 4 \times 10^{-4} \ T$.
अब,$e.m.f.$ की गणना करते हैं:
$\varepsilon = B_v \ell v = (4 \times 10^{-4}) \times 0.25 \times 0.1$.
$\varepsilon = 1 \times 10^{-4} \times 0.1 = 10^{-5} \ V$.
$\mu V$ में बदलने पर:
$\varepsilon = 10 \times 10^{-6} \ V = 10 \ \mu V$.

(C) पटरियों के संपर्क में छड़ की लंबाई $\ell = \frac{d}{\sin \theta}$ है।
छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v = B \left( \frac{d}{\sin \theta} \right) v$ है।
छड़ का प्रतिरोध $R_{rod} = r \ell = r \left( \frac{d}{\sin \theta} \right)$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_{rod} = R + \frac{rd}{\sin \theta}$ है।
परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{Bdv}{\sin \theta (R + \frac{rd}{\sin \theta})}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = I \ell B = I \left( \frac{d}{\sin \theta} \right) B$ है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $F_m = \left( \frac{Bdv}{\sin \theta (R + \frac{rd}{\sin \theta})} \right) \left( \frac{d}{\sin \theta} \right) B = \frac{B^2 d^2 v}{\sin^2 \theta (R + \frac{rd}{\sin \theta})}$ प्राप्त होता है।
छड़ को स्थिर गति से चलाने के लिए,बाहरी बल $F$ को चुंबकीय बल $F_m$ को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $F = F_m = \frac{B^2 d^2 v / \sin^2 \theta}{R + rd / \sin \theta}$।

(A) एक लुढ़कती हुई वलय को जमीन के साथ संपर्क बिंदु के परितः $\omega$ कोणीय वेग से घूमती हुई $2R$ लंबाई की छड़ के रूप में माना जा सकता है। वलय के व्यास पर प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega (2R)^2 = 2B \omega R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों वलय समान हैं और समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ लुढ़क रही हैं,इसलिए प्रत्येक वलय $\varepsilon = 2B \omega R^2$ के $EMF$ वाली बैटरी के रूप में कार्य करती है।
परिपथ विन्यास को देखने पर,दोनों $EMF$ स्रोत विपरीत दिशा में जुड़े हुए हैं। इसलिए,बिंदु $A$ और बिंदु $C$ के बीच कुल विभवांतर $\varepsilon - \varepsilon = 0$ होगा।

(D) जब चालक $v$ वेग के साथ नीचे गिरता है,तो इसके सिरों पर प्रेरित $emf$ $E = Blv$ उत्पन्न होता है।
चूंकि चालक $R$ प्रतिरोध से जुड़ा है,इसलिए परिपथ में प्रेरित धारा $I = E/R = Blv/R$ प्रवाहित होती है।
इस धारा के कारण,चालक पर ऊपर की दिशा में चुंबकीय बल $F_m = IlB$ कार्य करता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $F_m = (Blv/R) \cdot lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ प्राप्त होता है।
चालक पर दो बल कार्य कर रहे हैं: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर चुंबकीय बल $F_m$।
टर्मिनल चाल तब प्राप्त होती है जब चालक पर कुल बल शून्य हो जाता है,अर्थात जब ऊपर की ओर चुंबकीय बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है:
$mg = F_m$
$mg = \frac{B^2l^2v}{R}$
$v$ के लिए हल करने पर,हमें टर्मिनल चाल प्राप्त होती है:
$v = \frac{mgR}{B^2l^2}$

(A) गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का सूत्र है: $e = (\overrightarrow v \times \overrightarrow B) \cdot \overrightarrow \ell$.
सबसे पहले,सदिश गुणन $(\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ की गणना करें:
$(\overrightarrow v \times \overrightarrow B) = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat i(0 - 2) - \hat j(0 - 1) + \hat k(4 - 3) = -2\hat i + \hat j + \hat k$.
चूंकि तार $x-y$ तल के लंबवत है,इसलिए इसका लंबाई सदिश $z$-अक्ष की दिशा में है: $\overrightarrow \ell = 2\hat k\,m$.
अब,$\overrightarrow \ell$ के साथ अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) करें:
$e = (-2\hat i + \hat j + \hat k) \cdot (2\hat k) = 0 + 0 + (1 \times 2) = 2\,V$.

(A) चालक छड़ $PQ$ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = BvL$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $e = 4.0\, T \times 20\, m/s \times 1.0\, m = 80\, V$.
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$P$ पर विभव $Q$ की तुलना में अधिक होगा क्योंकि छड़ में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लगने वाला बल $Q$ की ओर निर्देशित होता है (क्योंकि $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$)।
अतः,संधारित्र की प्लेट $A$ उच्च विभव $P$ से जुड़ी है,और प्लेट $B$ निम्न विभव $Q$ से जुड़ी है।
संधारित्र पर आवेश $q = CV$ है।
मानों को रखने पर: $q = 10\, \mu F \times 80\, V = 800\, \mu C$.
चूंकि प्लेट $A$ उच्च विभव पर है,इसलिए $q_A = +800\, \mu C$ और $q_B = -800\, \mu C$ होगा।

(B) छड़ एक भौतिक लोलक के रूप में दोलन करती है। अधिकतम कोणीय वेग $\omega$ माध्य स्थिति पर होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ छोटे $\alpha$ के लिए $h = \frac{l}{2}(1 - \cos \alpha) \approx \frac{l \alpha^2}{4}$ होता है।
सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
अतः,$mg \frac{l \alpha^2}{4} = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$.
सरल करने पर,$\frac{g \alpha^2}{4} = \frac{l}{6} \omega^2$,जिससे $\omega^2 = \frac{6g \alpha^2}{4l} = \frac{3g \alpha^2}{2l}$,अर्थात $\omega = \alpha \sqrt{\frac{3g}{2l}}$.
घूर्णन करती छड़ में प्रेरित $emf$ का सूत्र $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $\varepsilon = \frac{1}{2} B l^2 (\alpha \sqrt{\frac{3g}{2l}}) = \frac{1}{2} B \alpha \sqrt{\frac{3g l^4}{2l}} = B \alpha \sqrt{\frac{3}{8} g l^3}$.

(C) कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta_1 = 0^o$ है। अतः,$\phi_1 = NBA \cos 0^o = NBA$.
अपने व्यास के परितः $90^o$ घुमाने के बाद,कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर हो जाता है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta_2 = 90^o$ है। अतः,$\phi_2 = NBA \cos 90^o = 0$.
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = NBA$ है।
प्रेरित आवेश $q = \frac{\Delta \phi}{R} = \frac{NBA}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N = 500$,$B = 0.25 \,Wb/m^2$,$A = 0.04 \,m^2$,और $R = 25 \,\Omega$.
$q = \frac{500 \times 0.25 \times 0.04}{25} = \frac{5}{25} = 0.2 \,C$.