Energy Stored in Inductor Questions in Hindi

(B) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} L i^2$ होता है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 50 \, mH = 50 \times 10^{-3} \, H = 0.05 \, H$.
धारा $i = 2 \, A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times (0.05 \, H) \times (2 \, A)^2$
$E = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 4$
$E = 0.05 \times 2$
$E = 0.1 \, J$.

(D) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा प्रेरित बैक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(e.m.f.)$ के विरुद्ध किए गए कार्य से प्राप्त होती है।
प्रेरक में प्रेरित $e.m.f.$ का मान $e = -L \frac{di}{dt}$ होता है।
इस बैक $e.m.f.$ के विरुद्ध $dt$ समय में धारा को $di$ तक बढ़ाने के लिए किया गया कार्य $dW = -e \cdot i \cdot dt$ है।
$e$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $dW = -(-L \frac{di}{dt}) \cdot i \cdot dt = L \cdot i \cdot di$।
कुल ऊर्जा $U$ ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से $i$ धारा तक समाकलन (integration) करते हैं:
$U = \int_0^i L \cdot i \cdot di = L \left[ \frac{i^2}{2} \right]_0^i = \frac{1}{2} L i^2$।

(A) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $i$ प्रेरक से बहने वाली धारा है।
यह ऊर्जा प्रेरक में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र से जुड़ी होती है।
इसलिए,ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र के रूप में संचित होती है।

(A) प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L I^2$ है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 50 \, mH = 50 \times 10^{-3} \, H$.
धारा $I = 4 \, A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-3}) \times (4)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-3} \times 16$
$U = 25 \times 16 \times 10^{-3}$
$U = 400 \times 10^{-3} \, J$
$U = 0.4 \, J$.

(B) एक प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ होता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $i$ विद्युत धारा है।
मान लीजिए प्रारंभिक धारा $i_1$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} L i_1^2$ है।
जब धारा को आधा कर दिया जाता है,तो नई धारा $i_2 = \frac{i_1}{2}$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} L i_2^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{i_1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{i_1^2}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} L i_1^2 \right) = \frac{1}{4} U_1$ होगी।
अतः,$U_2 = 0.25 U_1$। इसलिए,ऊर्जा पिछले मान की $0.25$ गुनी हो जाती है।

(C) एक प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L I^2$ होता है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 100\, mH = 100 \times 10^{-3}\, H = 0.1\, H$.
धारा $I = 1\, A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$U = 0.05\, J$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा $0.05\, J$ है।

(D) $100 \, V$ की बैटरी से जुड़ी कुंडली में प्रवाहित होने वाली धारा $i$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $i = \frac{V}{R} = \frac{100 \, V}{10 \, \Omega} = 10 \, A$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} L i^2$.
दिए गए मान $L = 5 \, H$ और $i = 10 \, A$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 100 = 250 \, J$.
अतः, कुंडली में संचित ऊर्जा $250 \, J$ है।

(A) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाले और $i$ धारा वहन करने वाले प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} L i^2$
दिया गया है:
$L = 40 \, mH = 40 \times 10^{-3} \, H$
$i = 2 \, A$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-3}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 40 \times 10^{-3} \times 4$
$U = 20 \times 10^{-3} \times 4 = 80 \times 10^{-3} \, J$
$U = 0.08 \, J$

(B) स्थिर अवस्था में कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ का मान $i = \frac{E}{R}$ होता है।
यहाँ $E = 100\, V$ और $R = 20\, \Omega$ दिया गया है,इसलिए $i = \frac{100}{20} = 5\, A$ होगा।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है।
$L = 5\, H$ और $i = 5\, A$ का मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times (5)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 25 = \frac{125}{2} = 62.50\, J$.

(C) स्थायी-अवस्था (steady-state) $D.C.$ परिपथ में, प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है (शून्य प्रतिरोध)।
सबसे पहले, ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में बहने वाली स्थायी धारा $i$ की गणना करें:
$i = \frac{V}{R} = \frac{10 \text{ V}}{2 \text{ }\Omega} = 5 \text{ A}$.
एक प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} L i^2$.
दिए गए मान $L = 2 \text{ H}$ और $i = 5 \text{ A}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 1 \times 25 = 25 \text{ J}$.
अतः, कुंडली में संचित चुंबकीय ऊर्जा $25 \text{ J}$ है।

(A) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} L I^2$।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 100 \, mH = 100 \times 10^{-3} \, H = 0.1 \, H$।
धारा $I = 10 \, A$।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (0.1) \times (10)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 100$
$U = 0.1 \times 50$
$U = 5 \, J$।
अतः,प्रेरक में संचित ऊर्जा $5 \, J$ है।

(C) स्थायी अवस्था (steady state) में, प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है (शून्य प्रतिरोध)।
परिपथ में बहने वाली धारा $i$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $i = \frac{V}{R} = \frac{10 \text{ V}}{2 \text{ }\Omega} = 5 \text{ A}$।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है।
मान $L = 2 \text{ H}$ और $i = 5 \text{ A}$ रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 1 \times 25 = 25 \text{ J}$।

(C) $L$ प्रेरकत्व वाले प्रेरक में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
दिया गया है:
$U = 25\, mJ = 25 \times 10^{-3}\, J$
$I = 60\, mA = 60 \times 10^{-3}\, A = 6 \times 10^{-2}\, A$
सूत्र में मान रखने पर:
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (6 \times 10^{-2})^{2}$
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times 36 \times 10^{-4}$
$25 \times 10^{-3} = L \times 18 \times 10^{-4}$
$L = \frac{25 \times 10^{-3}}{18 \times 10^{-4}}$
$L = \frac{250}{18} = 13.888...\, H \approx 13.89\, H$.

(C) कुंडली के सिरों पर विभवांतर $V = L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $L = 2\,H$ और $\frac{di}{dt} = 4\,A/s$ दिया गया है,इसलिए:
$V = (2)(4) = 8\,V$.
प्रेरक में प्रति इकाई समय में संचित ऊर्जा,प्रेरक को दी गई शक्ति $P$ है,जो $P = V \cdot i$ द्वारा दी जाती है।
$V = 8\,V$ और $i = 2\,A$ का मान रखने पर:
$P = (8)(2) = 16\,J/s$.

(A) प्रेरक एक निष्क्रिय इलेक्ट्रॉनिक घटक है जो अपने चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत करता है जब इसमें से विद्युत धारा प्रवाहित होती है। संग्रहीत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ प्रेरकत्व है और $I$ धारा है। अतः,कथन $(a)$ सही है।
संधारित्र एक निष्क्रिय इलेक्ट्रॉनिक घटक है जो अपनी प्लेटों के बीच विभवांतर द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत करता है। संग्रहीत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C$ धारिता है और $V$ वोल्टेज है। अतः,कथन $(b)$ सही है।
कथन $(c)$ और $(d)$ गलत हैं क्योंकि प्रेरक विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत नहीं करते हैं (आदर्श रूप से) और संधारित्र चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत नहीं करते हैं।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) जब किसी कुंडली से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,एक प्रेरक (inductor) या धारावाही कुंडली से जुड़ी ऊर्जा उस धारा द्वारा निर्मित चुंबकीय क्षेत्र में संचित होती है।
एक संधारित्र (capacitor) के विपरीत,जो विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा संचित करता है,एक प्रेरक चुंबकीय क्षेत्र के रूप में ऊर्जा को संचित करता है।
इसलिए,धारावाही कुंडली में ऊर्जा केवल चुंबकीय क्षेत्र के रूप में संचित होती है।

(C) परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है। जब धारा $I$ की दिशा उलट दी जाती है,तो चुंबकीय क्षेत्र $B$ की दिशा उलट जाती है,लेकिन इसका परिमाण समान रहता है।
चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।
चूंकि ऊर्जा घनत्व चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण के वर्ग $(B^2)$ पर निर्भर करता है,इसलिए $B$ का चिह्न ऊर्जा घनत्व को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,परिनालिका में संचित कुल चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा,$U = u \times V$ (जहाँ $V$ आयतन है),अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,कारण में कहा गया है कि ऊर्जा घनत्व चुंबकीय क्षेत्र के समानुपाती है,जो गलत है क्योंकि यह चुंबकीय क्षेत्र के वर्ग $(B^2)$ के समानुपाती होता है।
इस प्रकार,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(N/A) प्रेरक (inductor) में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U_{B} = \frac{1}{2} L I^{2}$ द्वारा दी जाती है।
सोलेनोइड के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I$ है,जहाँ $n = N/l$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
अतः,$I = \frac{B}{\mu_{0} n}$।
सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L = \mu_{0} n^{2} A l$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U_{B} = \frac{1}{2} (\mu_{0} n^{2} A l) \left(\frac{B}{\mu_{0} n}\right)^{2} = \frac{1}{2} (\mu_{0} n^{2} A l) \left(\frac{B^{2}}{\mu_{0}^{2} n^{2}}\right) = \frac{B^{2} A l}{2 \mu_{0}}$।
$(b)$ चुंबकीय ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u_{B} = \frac{U_{B}}{V} = \frac{U_{B}}{A l} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ है।
समांतर प्लेट संधारित्र में संचित स्थिर-वैद्युत ऊर्जा घनत्व $u_{E} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ है।
दोनों ही स्थितियों में,ऊर्जा घनत्व क्षेत्र की तीव्रता के वर्ग ($B^{2}$ या $E^{2}$) के समानुपाती होता है। ये समीकरण सामान्य हैं और अंतरिक्ष के किसी भी क्षेत्र के लिए मान्य हैं जहाँ विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र मौजूद हैं।

(A) प्रेरक एक निष्क्रिय विद्युत घटक है जो विद्युत धारा प्रवाहित होने पर अपने चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत करता है,जिसे इसके स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब प्रेरक में धारा $I$ बदलती है,तो लेंज के नियम के अनुसार एक पश्च विद्युत वाहक बल (back emf) $\varepsilon$ प्रेरित होता है,जो धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। इस पश्च emf का परिमाण $|\varepsilon| = L \frac{dI}{dt}$ होता है।
प्रेरक में धारा $I$ स्थापित करने के लिए,इस पश्च emf के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। कार्य करने की दर इस प्रकार है:
$\frac{dW}{dt} = |\varepsilon| I = L I \frac{dI}{dt}$
धारा को $0$ से $I$ तक बढ़ाने के लिए किए गए कुल कार्य $W$ को ज्ञात करने के लिए इस व्यंजक का समाकलन करने पर:
$W = \int dW = \int_{0}^{I} L I' dI' = L \left[ \frac{I'^2}{2} \right]_{0}^{I} = \frac{1}{2} LI^2$
यह किया गया कार्य प्रेरक में चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में संग्रहीत होता है:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
यह व्यंजक किसी कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ के अनुरूप है,जहाँ $L$ विद्युत जड़त्व (electrical inertia) के रूप में कार्य करता है।

(A) प्रेरक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिरोध नगण्य है,इसलिए लागू वोल्टेज $V$ प्रेरित $EMF$ $\varepsilon$ के बराबर है,अतः $V = L \frac{dI}{dt}$।
दिया गया है $V = 3t$ और $L = 2\, H$,इसलिए $3t = 2 \frac{dI}{dt}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $dI = \frac{3}{2} t \, dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 4\, s$ और $I = 0$ से $I = I_f$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{I_f} dI = \int_{0}^{4} \frac{3}{2} t \, dt$
$I_f = \frac{3}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{3}{4} (16) = 12\, A$।
कुंडली में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I_f^2$ द्वारा दी जाती है।
$U = \frac{1}{2} \times 2 \times (12)^2 = 144\, J$।

(A) कुंडली में संतुलन धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V}{R} = \frac{10 \, V}{4 \, \Omega} = 2.5 \, A$.
एक प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र है: $E = \frac{1}{2} L I^2$.
दिए गए मान $L = 2 \, H$ और $I = 2.5 \, A$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 2 \times (2.5)^2 = 6.25 \, J$.
इसे $.......... \times 10^{-2} \, J$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$E = 625 \times 10^{-2} \, J$.
अतः,मान $625$ है।

(A) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 4\,\mu H = 4 \times 10^{-6}\,H$
धारा $i = 2\,A$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 4$
$U = 8 \times 10^{-6}\,J$
चूंकि $10^{-6}\,J = 1\,\mu J$,इसलिए ऊर्जा $8\,\mu J$ है।

(B) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है:
स्व-प्रेरकत्व $L = 3 \ mH = 3 \times 10^{-3} \ H$।
धारा $I = 2 \ A$।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^{-3} \ H) \times (2 \ A)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times 4$
$U = 6 \times 10^{-3} \ J$
चूंकि $1 \ mJ = 10^{-3} \ J$,इसलिए संचित ऊर्जा $6 \ mJ$ है।

(D) $LR$ परिपथ में संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} LI^2$ ...$(i)$
दिया गया है कि धारा को आधा कर दिया जाता है,इसलिए नई धारा $I^{\prime}$ होगी:
$I^{\prime} = \frac{I}{2}$
इस मान को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,नई ऊर्जा $E^{\prime}$ होगी:
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L (I^{\prime})^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I}{2}\right)^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I^2}{4}\right)$
$E^{\prime} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} LI^2\right)$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E^{\prime} = \frac{1}{4} E$
अतः,संचित ऊर्जा मूल ऊर्जा की $(1/4)$ गुना हो जाएगी।

(D) जब धारा अपने स्थिर मान $I_0$ तक पहुँच जाती है,तो प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I_0^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,स्थिर धारा $I_0$ परिपथ के लिए ओम के नियम द्वारा निर्धारित होती है: $I_0 = \frac{V}{R}$।
चूँकि दोनों परिपथों में समान $e.m.f.$ $V = 10 \ V$ और समान प्रतिरोध $R = 40 \ \Omega$ है,इसलिए स्थिर धारा $I_0$ दोनों परिपथों के लिए समान है।
अतः,परिपथ $A$ और परिपथ $B$ में संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_A}{U_B} = \frac{\frac{1}{2} L_A I_0^2}{\frac{1}{2} L_B I_0^2} = \frac{L_A}{L_B}$ होगा।
दिया गया है कि $L_A = 10 \ H$ और $L_B = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 0.01 \ H$।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{10}{0.01} = 1000$ है।

(C) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 5 \mu H = 5 \times 10^{-6} \ H$ और धारा $I = 2 \ A$।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (2)^2$।
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 4$।
$U = 10 \times 10^{-6} \ J = 10 \mu J$।

(C) प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र है: $E = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है: ऊर्जा $E = 64 \times 10^{-3} \ J$ और धारा $I = 80 \ mA = 80 \times 10^{-3} \ A$।
प्रेरकत्व $L$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{2E}{I^2}$।
मान रखने पर: $L = \frac{2 \times 64 \times 10^{-3}}{(80 \times 10^{-3})^2}$।
$L = \frac{128 \times 10^{-3}}{6400 \times 10^{-6}} = \frac{128 \times 10^{-3}}{6.4 \times 10^{-3}} = \frac{128}{6.4} = 20 \ H$।

(B) दिया गया है: धारा $I = 4 \ A$,फेरों की संख्या $N = 400$,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$.
चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $N\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व है।
सबसे पहले,स्व-प्रेरकत्व $L$ की गणना करें:
$L = \frac{N\phi}{I} = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{4} = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3 \ H$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} LI^2$ है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (4)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 16$
$U = 0.3 \times 8 = 2.4 \ J$.

(C) प्रेरक (कुंडली) में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} L I^2$ है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $I$ धारा है।
मान लीजिए प्रारंभिक धारा $I_1 = I$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ है।
यदि धारा को $50 \%$ कम कर दिया जाता है,तो नई धारा $I_2 = I - 0.5 I = 0.5 I = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
कुंडली में संचित नई ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} L (I_2)^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I}{2})^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I^2}{4}) = \frac{1}{4} E_1$ होगी।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_1 - E_2 = E_1 - \frac{1}{4} E_1 = \frac{3}{4} E_1$ है।
चूंकि $\frac{3}{4} = 0.75$,इसलिए ऊर्जा में $75 \%$ की कमी होगी।

(B) एक प्रेरक (कुंडली) में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} L I^2$ होता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $E \propto I^2$ है।
प्रारंभ में,जब धारा $I$ है,तो ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ है।
जब धारा को घटाकर $I' = I/2$ कर दिया जाता है,तो नई ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{4} E_1$ हो जाती है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_1 - E_2$ है।
$E_2$ का मान रखने पर,हमें $\Delta E = E_1 - \frac{E_1}{4} = \frac{3E_1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है:
$U = 25 \ mJ = 25 \times 10^{-3} \ J$
$I = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
प्रेरकत्व $L$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{2U}{I^2}$
मान रखने पर:
$L = \frac{2 \times 25 \times 10^{-3}}{(50 \times 10^{-3})^2}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2500 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-3}}$
$L = 20 \ H$.

(A) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाली कुंडली में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र: $E = \frac{1}{2} LI^2$ है।
माना प्रारंभिक धारा $I_1$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} LI_1^2$ है।
माना नई धारा $I_2 = \frac{I_1}{2}$ है और नई ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} LI_2^2$ है।
दोनों ऊर्जाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{2} LI_2^2}{\frac{1}{2} LI_1^2} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2$।
$I_2 = \frac{I_1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{I_1 / 2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$E_2 = \frac{E_1}{4}$।

(B) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है।
जब एक कुंडली को $E$ $EMF$ और $R$ प्रतिरोध वाली बैटरी से जोड़ा जाता है,तो स्थिर अवस्था में धारा $i = \frac{E}{R}$ होती है।
मान रखने पर: $E = 10 \ V$,$L = 4 \ H$,और $R = 5 \ \Omega$.
सबसे पहले,स्थिर धारा की गणना करें: $i = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$.
अब,संचित ऊर्जा की गणना करें: $U = \frac{1}{2} \times 4 \ H \times (2 \ A)^2$.
$U = 2 \times 4 \ J = 8 \ J$.

(C) एक प्रेरक (inductor) अपने माध्यम से बहने वाली विद्युत धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के रूप में ऊर्जा का संचय करता है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ है,जहाँ $L$ प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $I$ इसमें बहने वाली विद्युत धारा है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $N$ फेरों वाली कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$,संबंध $N\phi = LI$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $\phi$ प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स है।
अतः,प्रेरकत्व $L = \frac{N\phi}{I}$ है।
प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}LI^2$ होता है।
ऊर्जा के सूत्र में $L$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{N\phi}{I} \right) I^2$.
इसे सरल करने पर,हमें $U = \frac{1}{2} N\phi I$ या $U = \frac{N\phi I}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} LI^2$ है।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 100 mH = 100 \times 10^{-3} H = 0.1 H$ और धारा $I = 1 A$।
मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$E = 0.05 J$.

(A) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाले प्रेरक (inductor) में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
दिया गया है:
$L = 200 \ mH = 200 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ H$
$I = 4 \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (4)^2$
$U = 0.1 \times 16$
$U = 1.6 \ J$
अतः,आवश्यक ऊर्जा $1.6 \ J$ है।

(B) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} LI^2$ ।
दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 0.5 \ mH = 0.5 \times 10^{-3} \ H$ और धारा $I = 2 \ A$ ।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-3}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10^{-3} \times 4$
$U = 0.5 \times 2 \times 10^{-3}$
$U = 1 \times 10^{-3} \ J = 0.001 \ J$ ।

(D) एक परिनालिका में संग्रहीत चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
परिनालिका के लिए,स्व-प्रेरकत्व $L = \mu_0 n^2 Al$ है और चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 nI$ है,जिसका अर्थ है $I = \frac{B}{\mu_0 n}$।
इन मानों को ऊर्जा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$U_B = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) \left( \frac{B}{\mu_0 n} \right)^2 = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) \left( \frac{B^2}{\mu_0^2 n^2} \right) = \frac{B^2 Al}{2 \mu_0}$।
प्रति इकाई आयतन चुंबकीय ऊर्जा $(u_B)$ को कुल ऊर्जा को आयतन $(V = Al)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$u_B = \frac{U_B}{V} = \frac{B^2 Al / (2 \mu_0)}{Al} = \frac{B^2}{2 \mu_0}$।

(A) $L$ प्रेरकत्व और $I$ धारा वाली परिनालिका में संचित चुंबकीय ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{1}{2} L I^2$
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 2 \ H$
धारा $I = 1 \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 2 \times (1)^2$
$E = 1 \times 1 = 1 \ J$
अतः,परिनालिका में संचित चुंबकीय ऊर्जा $1 \ J$ है।

(B) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक प्रेरक में संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
यह ऊर्जा प्रेरक से प्रवाहित होने वाली धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र में संचित होती है।

(A) दिया गया है:
धारा $I = 4 \ mA = 4 \times 10^{-3} \ A$
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 32 \times 10^{-6} \ Wb$ (या $T \ m^2$)
सबसे पहले,$\phi = L \cdot I$ सूत्र का उपयोग करके स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ की गणना करें:
$L = \frac{\phi}{I} = \frac{32 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-3}} = 8 \times 10^{-3} \ H$
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है:
$U = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$U = 4 \times 10^{-3} \times 16 \times 10^{-6}$
$U = 64 \times 10^{-9} \ J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
इसका अर्थ है कि $U \propto I^2$ है।
माना प्रारंभिक धारा $I_1 = 2 \ A$ और अंतिम धारा $I_2 = 3 \ A$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_2$ और प्रारंभिक ऊर्जा $U_1$ का अनुपात:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$
अतः,$U_2 = 2.25 \ U_1$ है।
संचित ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि:
$\Delta U \% = \left( \frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \%$
$\Delta U \% = \left( \frac{2.25 \ U_1 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \% = (1.25 \times 100) \% = 125 \%$

(A) $L$ प्रेरकत्व वाली कुंडली जिसमें $i$ स्थिर धारा प्रवाहित हो रही है,उसमें संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} L i^2$
यह ऊर्जा प्रेरक (inductor) से प्रवाहित होने वाली धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र से जुड़ी होती है।
अतः,कुंडली में संचित ऊर्जा चुंबकीय ऊर्जा के रूप में होती है।

(A) दिया गया है,प्रेरकत्व $L = 50 mH = 50 \times 10^{-3} H = 5 \times 10^{-2} H$.
धारा $I = 4 A$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} L I^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times (4)^2$.
$E = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-2} \times 16$.
$E = 5 \times 10^{-2} \times 8 = 40 \times 10^{-2} J = 0.4 J$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$
चूंकि ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है $(u_B = \frac{U}{V})$,इसलिए आयतन $V$ में संचित कुल ऊर्जा $U$ होगी:
$U = u_B \times V$
$L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले सोलेनोइड का आयतन $V = A \times L$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$U = \left( \frac{B^2}{2 \mu_0} \right) \times (A L) = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 AL$