Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Hindi

(B) $u$ वेग से बहते नदी के पानी में ऊर्ध्वाधर चुंबकीय क्षेत्र $B_v$ के माध्यम से $d$ दूरी पर प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B_v ud$ द्वारा दिया जाता है।
दो प्लेटों के बीच नदी के पानी का प्रतिरोध $R_w = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है,जहाँ $L = d$ (प्लेटों के बीच की दूरी) और $A = a \times b$ (प्लेटों का क्षेत्रफल) है। अतः,$R_w = \frac{\rho d}{ab}$।
परिपथ में कुल प्रतिरोध लोड प्रतिरोध $R$ और पानी के आंतरिक प्रतिरोध $R_w$ का योग है,इसलिए $R_{eq} = R + \frac{\rho d}{ab}$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,लोड प्रतिरोध $R$ से गुजरने वाली धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{B_v ud}{R + \frac{\rho d}{ab}}$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित emf $\varepsilon = Bvl \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ वेग सदिश के लंबवत चालक की लंबाई है।
$PQ$ खंड के लिए, ऊर्ध्वाधर लंबाई $L/3$ है। अतः, प्रेरित emf $\varepsilon_{PQ} = Bv(L/3)$ है। इसलिए, विकल्प $B$ सही है और विकल्प $A$ गलत है।
एक गतिमान चालक में, गतिज विद्युत क्षेत्र $E = v \times B$ होता है। ऊर्ध्वाधर खंड $RS$ के लिए, लंबाई $L$ है, इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर है, जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र गैर-शून्य है। अतः, विकल्प $C$ सही है।
$QP$ खंड के लिए, हालांकि यह एक क्षैतिज तार है, यह चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहा है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर लॉरेंट्ज़ बल के कारण तार के पदार्थ के भीतर गतिज विद्युत क्षेत्र $E = v \times B$ मौजूद होता है। अतः, $QP$ भाग में विद्युत क्षेत्र भी गैर-शून्य है। अतः, विकल्प $D$ सही है।
चूंकि प्रश्न में $\text{गलत}$ कथन पूछा गया है, इसलिए उत्तर $A$ है।

(B) तार से $r = a + x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (a + x)}$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ के धुरी बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के एक छोटे तत्व पर विचार करें।
इस तत्व का वेग $v = x\omega$ है।
इस छोटे तत्व पर प्रेरित $emf$ $d\varepsilon = B v dx = \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi (a + x)} \right) (x\omega) dx$ है।
$x = 0$ से $x = l$ तक समाकलन करने पर:
$\varepsilon = \int_0^l \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \frac{x}{a + x} dx = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \int_0^l \left( 1 - \frac{a}{a + x} \right) dx$.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \left[ x - a \ln(a + x) \right]_0^l$.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \left[ (l - a \ln(a + l)) - (0 - a \ln(a)) \right]$.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \left[ l - a \ln \left( \frac{a + l}{a} \right) \right]$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में $V$ वेग से गति करने वाले $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $e = B l V \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है। यहाँ,$PQ$ गैप वाले लूप के ऊर्ध्वाधर खंड की प्रभावी लंबाई $l = \frac{L}{4}$ है।
जब लूप $V$ वेग से दाईं ओर गति करता है,तो $\frac{L}{4}$ लंबाई के खंड में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $e = B \left( \frac{L}{4} \right) V = \frac{1}{4}BLV$ होता है।
फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम या लोरेंत्ज़ बल नियम $(F = q(v \times B))$ का उपयोग करते हुए,गतिमान चालक में धनात्मक आवेश ऊपरी टर्मिनल $P$ की ओर धकेले जाते हैं। इसलिए,$P$,$Q$ के सापेक्ष उच्च विभव पर है।

(C) $v$ वेग से गति करती छड़ में प्रेरित गतिकीय emf $\varepsilon_{\text{ind}} = Bvd$ है।
परिपथ में कुल emf $\varepsilon_{\text{net}} = \varepsilon - Bvd$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{\varepsilon - Bvd}{R}$ है।
छड़ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = IdB = \left(\frac{\varepsilon - Bvd}{R}\right)Bd$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m \frac{dv}{dt} = \frac{(\varepsilon - Bvd)Bd}{R}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{\varepsilon - Bvd} = \frac{B^2d^2}{mR} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $v$ और $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^v \frac{dv}{\varepsilon - Bvd} = \int_0^t \frac{B^2d^2}{mR} dt$.
$-\frac{1}{Bd} \ln\left(\frac{\varepsilon - Bvd}{\varepsilon}\right) = \frac{B^2d^2t}{mR}$.
$\ln\left(1 - \frac{Bvd}{\varepsilon}\right) = -\frac{B^2d^2t}{mR}$.
$1 - \frac{Bvd}{\varepsilon} = e^{-\frac{B^2d^2t}{mR}}$.
$v = \frac{\varepsilon}{Bd}\left(1 - e^{-\frac{B^2d^2t}{mR}}\right)$.

(B) गतिमान तार में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B = 0.5 \ T$,$\ell = 0.25 \ m$,और $v$ गति है।
अतः,$\varepsilon = 0.5 \times 0.25 \times v = 0.125v \ V$.
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{E - \varepsilon}{R} = \frac{10 - 0.125v}{2} \ A$ है।
तार पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = B I \ell = 0.5 \times I \times 0.25 = 0.125I \ N$ है।
चूंकि तार स्थिर गति से चल रहा है,इसलिए बाहरी बल को चुंबकीय बल को संतुलित करना चाहिए: $F_{ext} = F_m = 0.5 \ N$.
बल समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $0.5 = 0.125 \times \left( \frac{10 - 0.125v}{2} \right)$.
$0.5 \times 2 = 0.125 \times (10 - 0.125v) \implies 1 = 1.25 - 0.015625v$.
$0.015625v = 0.25 \implies v = \frac{0.25}{0.015625} = 16 \ m/s$.

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार तार के लिए गति का समीकरण:
$mg - iBl = ma$ .........$(i)$
$v$ वेग से गति करने वाले तार में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\varepsilon = Blv$ है। यह $EMF$ संधारित्र $C$ को आवेशित करता है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \varepsilon = Blv$ है।
संधारित्र पर आवेश $q = CV = CBlv$ है।
परिपथ में धारा $i$ आवेश के परिवर्तन की दर है:
$i = \frac{dq}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBl a$ .........$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$mg - (CBla)Bl = ma$
$mg - CB^2l^2a = ma$
$mg = a(m + CB^2l^2)$
$a = \frac{mg}{m + CB^2l^2}$

(C) स्लाइडिंग रॉड $PQ$ में प्रेरित गतिकीय इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(EMF)$ $\varepsilon = Bv\ell$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\varepsilon = 3\ T \times 5\ m/s \times 2\ m = 30\ V$ प्राप्त होता है।
रॉड $PQ$ एक $10\Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली $30\ V$ की बैटरी के रूप में कार्य करती है। यह बैटरी दो समानांतर शाखाओं से जुड़ी है,जिनमें से प्रत्येक में $10\Omega$ का प्रतिरोध है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10\Omega + (10\Omega \parallel 10\Omega) = 10\Omega + 5\Omega = 15\Omega$ है।
रॉड $PQ$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{30\ V}{15\Omega} = 2\ A$ है।
चूंकि दोनों समानांतर शाखाओं का प्रतिरोध समान ($10\Omega$ प्रत्येक) है,इसलिए धारा $I$ समान रूप से $I_1$ और $I_2$ में विभाजित हो जाती है।
अतः,$I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{2\ A}{2} = 1\ A$ है।
इस प्रकार,$I_1 = 1\ A, I_2 = 1\ A, I = 2\ A$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले किसी भी चालक में प्रेरित $emf$ का मान $\varepsilon = BvL_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L_{eff}$ वेग सदिश $\vec v$ के लंबवत चालक की प्रभावी लंबाई है।
चाप $PQ$ के लिए,प्रभावी लंबाई वेग $\vec v$ के लंबवत जीवा $PQ$ का प्रक्षेप है।
$P$ के निर्देशांक $(0, R)$ हैं और $Q$ के निर्देशांक $(R \sin 45^\circ, R \cos 45^\circ) = (R/\sqrt{2}, R/\sqrt{2})$ हैं।
वेग ($x$-अक्ष के अनुदिश) के लंबवत जीवा $PQ$ का प्रक्षेप $P$ और $Q$ के $y$-निर्देशांकों का अंतर है।
$L_{eff} = y_P - y_Q = R - \frac{R}{\sqrt{2}} = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
अतः,चाप $PQ$ पर प्रेरित $emf$ का मान $\varepsilon = BvR\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{BvR}{\sqrt{2}}(\sqrt{2} - 1)$ होगा।

(A) घूर्णन की धुरी से $x_1$ और $x_2$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{1}{2} B \omega (x_2^2 - x_1^2)$
मान लीजिए कि क्रमिक बिंदुओं के बीच की दूरी $d$ है। तो बिंदु मूल बिंदु से $0, d, 2d, 3d, \dots, 8d$ की दूरी पर हैं।
क्रमिक बिंदुओं $n$ और $(n-1)$ के बीच विभवांतर है:
$V_n = \frac{1}{2} B \omega [ (nd)^2 - ((n-1)d)^2 ]$
$V_n = \frac{1}{2} B \omega d^2 [ n^2 - (n^2 - 2n + 1) ]$
$V_n = \frac{1}{2} B \omega d^2 (2n - 1)$
$n = 1, 2, 3, \dots, 8$ के लिए,विभवांतर $(2(1)-1), (2(2)-1), (2(3)-1), \dots$ के समानुपाती है,जो $1, 3, 5, 7, \dots$ हैं।
यह श्रेणी $1, 3, 5, 7, \dots$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) है जिसका सार्व अंतर $2$ है।

(A) गतिमान चालक छड़ में प्रेरित $Emf$ $(\varepsilon)$ का सूत्र है: $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}_{eff}$.
दिया है:
वेग $\vec{v} = 2 \hat{i} \ m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \ T$
लंबाई $l = 5 \ m$,जो $x$-अक्ष के साथ $53^\circ$ का कोण बनाती है।
प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{l}_{eff}$ छड़ के एक सिरे से दूसरे सिरे तक का विस्थापन सदिश है:
$\vec{l}_{eff} = l \cos(53^\circ) \hat{i} + l \sin(53^\circ) \hat{j}$
$\vec{l}_{eff} = 5 \times (3/5) \hat{i} + 5 \times (4/5) \hat{j} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ m$.
अब,सदिश गुणन $(\vec{v} \times \vec{B})$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = (2 \hat{i}) \times (3 \hat{j} + 4 \hat{k})$
$= 6 (\hat{i} \times \hat{j}) + 8 (\hat{i} \times \hat{k})$
$= 6 \hat{k} - 8 \hat{j} \ V/m$.
अंत में,$\vec{l}_{eff}$ के साथ अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) करें:
$\varepsilon = (6 \hat{k} - 8 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$= (6 \times 0) + (-8 \times 4) + (0 \times 3)$
$= -32 \ V$.
अतः,प्रेरित $Emf$ का परिमाण $|\varepsilon| = 32 \ V$ है।

(A) छड़ में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\varepsilon = B l v$ है।
$x$ दूरी पर परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + 2 \lambda x$ है।
चूंकि धारा $i$ स्थिर है,हमारे पास $i = \frac{B l v}{R + 2 \lambda x}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{i(R + 2 \lambda x)}{B l}$।
$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = \frac{i}{B l} \cdot \frac{d}{dx}(R + 2 \lambda x) = \frac{2 \lambda i}{B l}$ प्राप्त होता है।
छड़ का त्वरण $a = v \frac{dv}{dx} = \left[ \frac{i(R + 2 \lambda x)}{B l} \right] \left( \frac{2 \lambda i}{B l} \right) = \frac{2 \lambda i^2 (R + 2 \lambda x)}{B^2 l^2}$ है।
छड़ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर,कुल बल $F - F_{mag} = ma$ है,जहाँ $F_{mag} = i l B$ है।
अतः,$F = i l B + ma = i l B + \frac{2m \lambda i^2}{B^2 l^2}(R + 2 \lambda x)$।

(D) लंबे तार से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_0}{2 \pi x}$ है।
चूंकि लूप छोटा है $(x >> a)$,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 i_0}{2 \pi x} (\pi a^2) = \frac{\mu_0 i_0 a^2}{2x}$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 i_0 a^2}{2x} \right) = \frac{\mu_0 i_0 a^2}{2x^2} \frac{dx}{dt} = \frac{\mu_0 i_0 a^2 v}{2x^2}$ है।
लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{r} = \frac{\mu_0 i_0 a^2 v}{2r x^2}$ है।
लूप में क्षयित शक्ति $P = i^2 r = \left( \frac{\mu_0 i_0 a^2 v}{2r x^2} \right)^2 r = \frac{(\mu_0 i_0 a^2 v)^2}{4r x^4}$ है।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{4 P r x^4}{(\mu_0 i_0 a^2)^2} \implies v = \frac{2 x^2}{\mu_0 i_0 a^2} \sqrt{Pr}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प सही नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(D) जब $l$ लंबाई की एक चालक छड़ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ के साथ अपने एक सिरे के परितः घूमती है,तो उसके सिरों के बीच प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) का सूत्र निम्नलिखित है:
$\epsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$
दिए गए चालक पहिये में,प्रत्येक छड़ केंद्र के परितः घूमने वाले एक व्यक्तिगत चालक के रूप में कार्य करती है। चूंकि सभी छड़ें केंद्र और रिम के बीच समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए प्रत्येक छड़ पर विभवांतर समान होता है।
इसलिए,केंद्र और रिम के बीच प्रेरित विभवांतर एक एकल छड़ में प्रेरित emf के बराबर होता है:
$\epsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$

$(C)$ गतिशील छड़ $PQ$ एक मोशनल $EMF$ स्रोत के रूप में कार्य करती है जहाँ $\varepsilon = Blv$ है। छड़ का प्रतिरोध $R$ है।
परिपथ में छड़ $PQ$ और दो समानांतर शाखाएं हैं, जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है।
दो समानांतर शाखाओं का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + R_p = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
छड़ $PQ$ से बहने वाली कुल धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{Blv}{3R/2} = \frac{2Blv}{3R}$ है।
चूंकि दोनों समानांतर शाखाओं का प्रतिरोध समान $R$ है, इसलिए धारा $I$ उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाती है।
अतः, $I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2Blv}{3R} = \frac{Blv}{3R}$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिकीय $e.m.f.$ का सूत्र $e = B l v$ होता है।
यहाँ,चुंबकीय क्षेत्र $B = 8 \times 10^{-5} \, T$ (ऊर्ध्वाधर घटक),
चालक की लंबाई (पटरियों के बीच की दूरी) $l = 2 \, m$,
और ट्रेन का वेग $v = 30 \, m \, s^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = (8 \times 10^{-5} \, T) \times (2 \, m) \times (30 \, m \, s^{-1})$
$e = 480 \times 10^{-5} \, V$
$e = 0.0048 \, V$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित गतिकीय विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = Bv\ell_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell_{eff}$ वेग सदिश के लंबवत चालक की प्रभावी लंबाई है।
इस मामले में,$L$ से $N$ तक की पूरी लंबाई एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वेग $v$ के साथ गति कर रही है।
चालक $LN$ की कुल लंबाई $LP$ खंड,वर्गाकार फ्रेम की भुजा और $QN$ खंड का योग है।
दिया गया है कि लंबाई $LP = \ell$,वर्ग की भुजा $\ell$ है,और $QN = \ell$,इसलिए कुल प्रभावी लंबाई $\ell_{eff} = \ell + \ell + \ell = 3\ell$ है।
अतः,$L$ और $N$ के बीच प्रेरित $EMF$ $e = B \cdot v \cdot (3\ell) = 3\,Bv\ell$ है।

(B) लोरेंत्ज़ बल के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चालक छड़ में मौजूद धनात्मक आवेश वाहक के लिए,वेग $v$ दाईं ओर है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ कागज के तल के अंदर की ओर है।
सदिश गुणन $(v \times B)$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,धनात्मक आवेश पर लगने वाले बल की दिशा सिरे $P$ की ओर होती है।
इसलिए,धनात्मक आवेश सिरे $P$ पर जमा हो जाते हैं,जिससे यह उच्च विभव पर हो जाता है,और ऋणात्मक आवेश सिरे $Q$ पर जमा हो जाते हैं,जिससे यह निम्न विभव पर हो जाता है।
अतः,सिरा $Q$ निम्न विभव पर है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिकीय $emf$ का सूत्र $\varepsilon = \vec{v} \cdot (\vec{B} \times \vec{l})$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,प्रेरित $emf$ का परिमाण $\varepsilon = B_{\perp} l v$ है,जहाँ $B_{\perp}$ छड़ की गति के तल के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र का घटक है।
इस मामले में,छड़ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले एक झुके हुए तल पर नीचे की ओर गति कर रही है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ ऊर्ध्वाधर है।
झुके हुए तल के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र का घटक $B \cos \theta$ है।
छड़ की लंबाई $l$ वेग $v$ के लंबवत है और यह $B \cos \theta$ घटक के भी लंबवत है।
इसलिए,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = (B \cos \theta) l v = B l v \cos \theta$ होगा।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली $r$ लंबाई की छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई के खंड $AO$ के लिए:
विभवांतर $V_O - V_A = \frac{1}{2} B \omega l^2$ है।
अतः,$V_A - V_O = -\frac{1}{2} B \omega l^2$।
$3l$ लंबाई के खंड $OC$ के लिए:
विभवांतर $V_O - V_C = \frac{1}{2} B \omega (3l)^2 = \frac{9}{2} B \omega l^2$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है: ${V_O} - {V_C} = \frac{9}{2}B\omega {l^2}$।

(A) जब $l$ लंबाई की एक चालक छड़ $V$ वेग से अपनी लंबाई के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चलती है,तो छड़ में एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = VBl$ उत्पन्न होता है।
फ्लेमिंग के दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि छड़ का ऊपरी सिरा उच्च विभव पर और निचला सिरा निम्न विभव पर होता है।
इसलिए,धारा ऊपरी सिरे से निचले सिरे की ओर प्रतिरोध $R$ वाले बाहरी परिपथ से होकर बहती है। दिए गए चित्र में,ऊपरी सिरा $A$ से और निचला सिरा $B$ से जुड़ा है।
इस प्रकार,धारा प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $A$ से $B$ की ओर बहती है।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर प्रेरित $EMF$ के बराबर होता है,जो $V = IR = VBl$ है।

(B) चालक छड़ में प्रेरित गतिकीय $emf$ का सूत्र $\varepsilon = \vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ है।
यहाँ,छड़ का लंबाई सदिश $\vec{l} = 5\hat{j} \, m$ है।
छड़ का वेग सदिश $\vec{v} = 1\hat{i} \, m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k} \, T$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $(\vec{v} \times \vec{B})$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \hat{i} \times (3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}) = 3(\hat{i} \times \hat{i}) + 4(\hat{i} \times \hat{j}) + 2(\hat{i} \times \hat{k}) = 0 + 4\hat{k} - 2\hat{j}$.
अब,अदिश गुणनफल $\vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ की गणना करें:
$\varepsilon = 5\hat{j} \cdot (4\hat{k} - 2\hat{j}) = 5(4)(\hat{j} \cdot \hat{k}) - 5(2)(\hat{j} \cdot \hat{j}) = 0 - 10 = -10$.
प्रेरित $emf$ का परिमाण $|\varepsilon| = 10 \, V$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $V = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ चालक की वह लंबाई है जो चुंबकीय क्षेत्र $B$ और वेग $v$ दोनों के लंबवत है।
स्थिति $(i)$ में,$\ell = 8\, cm$ लंबाई वाली भुजा चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति कर रही है। अतः,$ab$ के सिरों पर उत्पन्न वोल्टेज $V_1 = B \ell v = B(8\, cm)v$ है।
स्थिति $(ii)$ में,$b = 2\, cm$ लंबाई वाली भुजा चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति कर रही है। अतः,$ab$ के सिरों पर उत्पन्न वोल्टेज $V_2 = B b v = B(2\, cm)v$ है।
स्थिति $(i)$ और स्थिति $(ii)$ में वोल्टेज का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{B(8\, cm)v}{B(2\, cm)v} = \frac{8}{2} = 4$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में $v$ गति से चलने वाली चालक छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ छड़ की लंबाई है।
$R$ प्रतिरोध वाले परिपथ में ऊष्मा क्षय की दर (शक्ति) $P = \frac{E^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$E$ का व्यंजक रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P = \frac{(B \ell v)^2}{R} = \frac{B^2 \ell^2 v^2}{R}$.
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि शक्ति $P$ गति के वर्ग के समानुपाती है,अर्थात $P \propto v^2$.
यदि छड़ की गति दोगुनी कर दी जाए $(v' = 2v)$,तो ऊष्मा क्षय की नई दर $P'$ होगी:
$P' = \frac{B^2 \ell^2 (2v)^2}{R} = 4 \times \frac{B^2 \ell^2 v^2}{R} = 4P$.
अतः,ऊष्मा क्षय की दर प्रारंभिक मान की चार गुना हो जाएगी।

(C) लूप के क्षेत्रफल के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ का घटक $B \cos \theta$ है।
तार में प्रेरित गतिकीय $emf$ $\varepsilon = B l v \cos \theta$ है।
परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v \cos \theta}{R}$ है।
तार पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = I l B$ है। यह बल क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
नत समतल (inclined plane) की दिशा में इस चुंबकीय बल का घटक $F_{m, \text{parallel}} = F_m \cos \theta = (I l B) \cos \theta = \frac{B^2 l^2 v \cos^2 \theta}{R}$ है।
तार के स्थिर गति से फिसलने के लिए,ढलान की दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए। ढलान की दिशा में गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ है।
बलों को बराबर करने पर: $mg \sin \theta = \frac{B^2 l^2 v \cos^2 \theta}{R}$.
$B$ के लिए हल करने पर: $B^2 = \frac{mgR \sin \theta}{v l^2 \cos^2 \theta} \implies B = \sqrt{\frac{mgR \sin \theta}{v l^2 \cos^2 \theta}}$.

(D) मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत है) के बीच का कोण $\theta$ है।
कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कुंडली अचर कोणीय वेग $\omega$ से घूमती है,इसलिए $\theta = \omega t$ होगा।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ का मान $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
प्रेरित $emf$ तब अधिकतम होता है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो,जो $\omega t = 90^{\circ}$ पर होता है।
जब $\omega t = 90^{\circ}$ होता है,तो क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है,जिसका अर्थ है कि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में घूम रही छड़ के एक छोटे अवयव $dx$ में प्रेरित गतिकीय $e.m.f.$ $de = Bv\,dx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v = \omega x$ घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर अवयव का रैखिक वेग है।
अतः,$de = B(\omega x)dx$.
छड़ के एक आधे भाग में ($x = 0$ से $x = l$ तक) प्रेरित $e.m.f.$ $e = \int_{0}^{l} B\omega x\,dx = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2}B\omega l^2$ है।
चूंकि छड़ अपने लंब समद्विभाजक के परितः घूम रही है,यह विपरीत ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी दो छड़ों की तरह कार्य करती है।
दोनों सिरों के बीच विभवांतर $V_{AB} = e - e = 0$ है।
इसलिए,छड़ के दो सिरों के बीच प्रेरित $e.m.f.$ शून्य है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली $r$ लंबाई की छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई के खंड $AO$ के लिए:
$|V_A - V_O| = \frac{1}{2} B \omega l^2$.
$3l$ लंबाई के खंड $OC$ के लिए:
$|V_O - V_C| = \frac{1}{2} B \omega (3l)^2 = \frac{1}{2} B \omega (9l^2) = \frac{9}{2} B \omega l^2$.
चूंकि छड़ घूम रही है,इसलिए खंड $AO$ और $OC$ में प्रेरित $EMF$ बिंदु $O$ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं। अतः,$A$ और $C$ के बीच विभवांतर है:
$|V_A - V_C| = |(V_A - V_O) + (V_O - V_C)| = |\frac{1}{2} B \omega l^2 - \frac{9}{2} B \omega l^2| = |-4 B \omega l^2| = 4 B \omega l^2$.
इन परिणामों की दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर:
विकल्प $A$ सही है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि $|V_O - V_C| = \frac{9}{2} B \omega l^2$ होता है,न कि $\frac{7}{2} B \omega l^2$।
विकल्प $C$ सही है।
विकल्प $D$ सही है।

(A) छड़ ऊर्ध्वाधर है और पूर्व की ओर क्षैतिज रूप से गति करती है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का एक क्षैतिज घटक $B_H$ और एक ऊर्ध्वाधर घटक $B$ होता है।
नति कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{B}{B_H}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $B$ ऊर्ध्वाधर घटक है और $B_H$ क्षैतिज घटक है।
इससे हमें $B_H = \frac{B}{\tan \theta} = B \cot \theta$ प्राप्त होता है।
जब छड़ क्षैतिज घटक $B_H$ के लंबवत $v$ वेग से गति करती है,तो प्रेरित $emf$ $e = B_H v l$ द्वारा दिया जाता है।
$B_H$ का मान रखने पर,हमें $e = (B \cot \theta) v l = Blv \cot \theta$ प्राप्त होता है।

(A) जब पहिया क्षैतिज तल में घूमता है, तो पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(B_v)$ के कारण $emf$ प्रेरित होता है।
ऊर्ध्वाधर घटक $B_v = B \sin \delta$ है, जहाँ $B = 10^{-4} \, T$ और $\delta = 30^{\circ}$.
$B_v = 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 0.5 \times 10^{-4} \, T$.
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 120}{60} = 4\pi \, rad/s$.
केंद्र और रिम के बीच प्रेरित $emf$ का सूत्र $e = \frac{1}{2} B_v \omega \ell^2$ है।
मान रखने पर: $e = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-4}) \times (4\pi) \times (0.5)^2$.
इस गणना के अनुसार परिणाम $\frac{\pi}{8} \times 10^{-4} \, V$ प्राप्त होता है। यदि प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करें तो उत्तर $\frac{\pi}{4} \, V$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाली चालक छड़ में प्रेरित गतिकीय इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(EMF)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$e = B l v_{\perp} = B l v \sin \theta$
दिया गया है:
$l = 1\,m$
$v = 4\,m/s$
$B = 2\,T$
$\theta = 30^o$
मान रखने पर:
$e = 2 \times 1 \times 4 \times \sin(30^o)$
$e = 8 \times 0.5 = 4\,V$
छड़ में धनात्मक आवेशों पर लॉरेंट्ज़ बल $(F = q(v \times B))$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,वेग सदिश $v$,छड़ $AB$ के साथ $30^o$ के कोण पर है। छड़ के लंबवत वेग का घटक $v \sin(30^o)$ है। चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है। दाएं हाथ का नियम लागू करने पर,धनात्मक आवेशों पर बल $B$ से $A$ की ओर कार्य करता है। इसलिए,$A$ पर विभव $B$ से अधिक है,जिसका अर्थ है $V_A - V_B = 4\,V$.

(A) दिया गया है: भुजा की लंबाई $l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,गति $v = 1 \ cm/s = 0.01 \ m/s$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.6 \ T$,चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र की चौड़ाई $w = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
प्रेरित $emf$ का मान $e = Bvl$ होता है जब लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश कर रहा हो या बाहर निकल रहा हो,और जब लूप पूरी तरह से क्षेत्र के अंदर होता है तो $e = 0$ होता है (क्योंकि चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है)।
$emf$ की गणना:
$e = 0.6 \times 0.01 \times 0.05 = 0.0003 \ V = 3 \times 10^{-4} \ V$.
$(a)$ $t = 2 \ s$ पर,लूप आंशिक रूप से क्षेत्र के अंदर है (तय की गई दूरी = $2 \ cm < 5 \ cm$),इसलिए $e = 3 \times 10^{-4} \ V$.
$(b)$ $t = 10 \ s$ पर,लूप $10 \ cm$ आगे बढ़ चुका है। चूंकि सामने का किनारा $t = 0$ पर प्रवेश कर चुका था,$t = 10 \ s$ पर पूरा लूप चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है (क्योंकि $5 \ cm < 10 \ cm < 20 \ cm$)। अतः,फ्लक्स स्थिर है और $e = 0$.
$(c)$ $t = 22 \ s$ पर,सामने का किनारा $22 \ cm$ चल चुका है। चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई $20 \ cm$ है,इसलिए सामने का किनारा क्षेत्र से बाहर निकल चुका है। पिछला किनारा क्षेत्र के अंदर $22 - 5 = 17 \ cm$ पर है। लूप क्षेत्र से बाहर निकल रहा है,इसलिए $e = 3 \times 10^{-4} \ V$.

(A) तार $PQ$ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.0 \, T$ में $v = 5 \, cm/s = 0.05 \, m/s$ के स्थिर वेग से गति करता है।
जब स्विच $S$ को मध्य पटरी से जोड़ा जाता है, तो परिपथ ऊपरी पटरी और मध्य पटरी के माध्यम से पूरा हो जाता है।
ऊपरी पटरी और मध्य पटरी के बीच तार $PQ$ की लंबाई $\ell = 2 \, cm = 0.02 \, m$ है।
इस खंड में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = B v \ell$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\varepsilon = 1.0 \times 0.05 \times 0.02 = 0.001 \, V = 1 \, mV$ प्राप्त होता है।
$10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक में धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1 \times 10^{-3} \, V}{10 \, \Omega} = 10^{-4} \, A = 0.1 \, mA$ है।

(A) दिया गया है: गति $v = 1 \, cm/s = 0.01 \, m/s$, भुजा की लंबाई $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.6 \, T$.
$(a) \, t = 2 \, s$ पर: लूप $x = v \times t = 1 \, cm/s \times 2 \, s = 2 \, cm$ की दूरी तक क्षेत्र में प्रवेश कर चुका है। प्रेरित $emf$ $E = Bvl = 0.6 \, T \times 0.01 \, m/s \times 0.05 \, m = 3 \times 10^{-4} \, V$ है।
$(b) \, t = 10 \, s$ पर: लूप $10 \, cm$ क्षेत्र के अंदर चला गया है। चूंकि पूरा लूप अब एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर है, इसलिए लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है। अतः, प्रेरित $emf$ $E = -d\phi/dt = 0$ है।
$(c) \, t = 22 \, s$ पर: अगला किनारा $22 \, cm$ आगे बढ़ चुका है। चूंकि क्षेत्र $20 \, cm$ चौड़ा है, इसलिए अगला किनारा क्षेत्र से $2 \, cm$ बाहर है। पिछला किनारा अभी भी क्षेत्र के अंदर है। प्रेरित $emf$ $E = Bvl = 0.6 \, T \times 0.01 \, m/s \times 0.05 \, m = 3 \times 10^{-4} \, V$ है।

(A) दिया गया है: लंबाई $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.0 \, T$,वेग $v = 20 \, cm/s = 0.2 \, m/s$,कोण $\theta = 60^\circ$.
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिकीय $emf$ का सूत्र $E = B v l \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और तार की लंबाई के बीच का कोण है।
मान रखने पर:
$E = 1.0 \times 0.2 \times 0.1 \times \sin 60^\circ$
$E = 0.02 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$E = 0.01 \times 1.732$
$E = 0.01732 \, V$
$E = 17.32 \times 10^{-3} \, V$.
अतः,प्रेरित $emf$ लगभग $17 \times 10^{-3} \, V$ है।

(C) छड़ में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\varepsilon = B v L$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 0.5 \, T$,$v = 0.2 \, m/s$,$L = 0.1 \, m$.
$\varepsilon = (0.5 \, T) \times (0.2 \, m/s) \times (0.1 \, m) = 0.01 \, V$.
गतिकीय $EMF$ के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर,छड़ का ऊपरी सिरा धनात्मक और निचला सिरा ऋणात्मक हो जाता है। परिणामस्वरूप,संधारित्र की प्लेट $A$ धनावेशित और प्लेट $B$ ऋणावेशित हो जाती है।
संधारित्र पर आवेश $q = C \varepsilon$ है।
$q = (20 \times 10^{-6} \, F) \times (0.01 \, V) = 0.2 \times 10^{-6} \, C = 0.2 \, \mu C$.
अतः,$q_A = +0.2 \, \mu C$ और $q_B = -0.2 \, \mu C$ होगा।

(B) जैसे ही छड़ $v$ वेग के साथ पटरियों पर नीचे की ओर चलती है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ बदलता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = B l v$ है।
परिपथ में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = i l B = \left( \frac{B l v}{R} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ है,जो पटरियों के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करता है।
पटरियों पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F_g = mg \sin \theta$ है।
टर्मिनल चाल पर,छड़ पर कुल बल शून्य होता है,इसलिए $F_g = F_m$.
$mg \sin \theta = \frac{B^2 l^2 v}{R}$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें टर्मिनल चाल $v = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 l^2}$ प्राप्त होती है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में घूम रही $n$ फेरों वाली कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = nBA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $e.m.f.$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
$\phi$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,$e = -\frac{d}{dt}(nBA \cos(\omega t)) = nBA\omega \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
प्रेरित $e.m.f.$ $(e_0)$ का अधिकतम मान तब होता है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो।
अतः,$e_0 = nBA\omega$।

(B) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B_0 \pi r^2 e^{-t/\tau}$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} (B_0 \pi r^2 e^{-t/\tau}) = \frac{B_0 \pi r^2}{\tau} e^{-t/\tau}$।
ऊष्मा के रूप में व्यय होने वाली तात्कालिक शक्ति $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{\tau^2 R} e^{-2t/\tau}$ है।
उत्पन्न कुल ऊष्मा $H$,$t = 0$ से $t = \infty$ तक शक्ति का समाकलन है:
$H = \int_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon^2}{R} dt = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{\tau^2 R} \int_{0}^{\infty} e^{-2t/\tau} dt$।
समाकलन का मान: $\int_{0}^{\infty} e^{-2t/\tau} dt = \left[ -\frac{\tau}{2} e^{-2t/\tau} \right]_{0}^{\infty} = 0 - (-\frac{\tau}{2}) = \frac{\tau}{2}$।
अतः,$H = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{\tau^2 R} \cdot \frac{\tau}{2} = \frac{\pi^2 r^4 B_0^2}{2\tau R}$।

(A) पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-5}\,T$ है। ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B \sin \theta = 5 \times 10^{-5} \times (2/3) \approx 3.33 \times 10^{-5}\,T$ है。
क्षैतिज घटक $B_H = B \cos \theta = B \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = 5 \times 10^{-5} \times \sqrt{1 - 4/9} = 5 \times 10^{-5} \times \sqrt{5}/3 \approx 3.73 \times 10^{-5}\,T$ है。
विमान के निचले और ऊपरी हिस्से (ऊंचाई $h = 5\,m$) के बीच वोल्टेज $V_B$ के लिए, विमान क्षैतिज रूप से चलता है, इसलिए ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ ऊंचाई को काटता है: $V_B = B_V \cdot v \cdot h = (3.33 \times 10^{-5}) \times 240 \times 5 = 0.04\,V = 40\,mV$.
पंखों के सिरों (फैलाव $w = 15\,m$) के बीच वोल्टेज $V_W$ के लिए, विमान पूर्व की ओर चलता है, इसलिए क्षैतिज घटक $B_H$ (जो उत्तर-दक्षिण है) पंखों को काटता है: $V_W = B_H \cdot v \cdot w = (3.73 \times 10^{-5}) \times 240 \times 15 \approx 0.134\,V = 134\,mV \approx 135\,mV$.
प्रेरित $EMF$ $(\vec{v} \times \vec{B})$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, वेग पूर्व की ओर और चुंबकीय क्षेत्र उत्तर की ओर होने के कारण, धनात्मक आवेशों पर बल पायलट की बाईं ओर कार्य करता है।

(B) जब एक धात्विक शीट चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति करती है,तो धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉन चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल $F_m = q(v \times B)$ का अनुभव करते हैं।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र में ऊपर की ओर गति करने वाले धनात्मक आवेश के लिए,बल दाईं ओर कार्य करता है। इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन बाईं सतह पर धकेल दिए जाते हैं,जिससे वह ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाती है,और दाईं सतह पर धनात्मक आवेश जमा हो जाता है।
यह आवेश पृथक्करण दाईं से बाईं ओर एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र $E$ उत्पन्न करता है।
स्थिर अवस्था में,चुंबकीय बल विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है: $qE = qvB$,जिससे $E = vB$ प्राप्त होता है।
दो विपरीत आवेशित प्लेटों (शीट की सतहों) के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ सतह आवेश घनत्व का परिमाण है।
$E$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\sigma}{\epsilon_0} = vB$,इसलिए $\sigma = \epsilon_0 vB$।
चूंकि बाईं सतह ऋणात्मक रूप से आवेशित है और दाईं सतह धनात्मक रूप से आवेशित है,इसलिए हमारे पास $\sigma_1 = -\epsilon_0 vB$ और $\sigma_2 = \epsilon_0 vB$ है।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
गतिमान चालक में प्रेरित $e.m.f.$ $e = \int B v \, dr$ द्वारा दिया जाता है।
$x_1 = 10\, cm = 0.1\, m$ की दूरी पर बाईं भुजा के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 1}{0.1} = 2 \times 10^{-6}\, T$ है।
बाईं भुजा में प्रेरित $e.m.f.$ $e_1 = B_1 l v = (2 \times 10^{-6}) \times (0.1) \times (10) = 2 \times 10^{-6}\, V = 2\,\mu V$ है।
$x_2 = x_1 + l = 0.1 + 0.1 = 0.2\, m$ की दूरी पर दाईं भुजा के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 1}{0.2} = 1 \times 10^{-6}\, T$ है।
दाईं भुजा में प्रेरित $e.m.f.$ $e_2 = B_2 l v = (1 \times 10^{-6}) \times (0.1) \times (10) = 1 \times 10^{-6}\, V = 1\,\mu V$ है।
कुल प्रेरित $e.m.f.$ $e = e_1 - e_2 = 2\,\mu V - 1\,\mu V = 1\,\mu V$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का सूत्र $\varepsilon = Bvl$ होता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$v$ वेग है,और $l$ चुंबकीय क्षेत्र और वेग सदिश दोनों के लंबवत चालक की लंबाई है।
यहाँ,वेग सदिश $\vec{v} = 6\hat{j} \, m/s$ है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 0.1\hat{k} \, T$ है।
प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का मान $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B} = (6\hat{j}) \times (0.1\hat{k}) = 0.6\hat{i} \, V/m$ है।
$x-$ अक्ष के लंबवत फलकों के बीच विभवांतर $V$ (जो $d = 2\, cm = 0.02\, m$ की दूरी पर हैं) $V = E \times d$ है।
$V = 0.6 \, V/m \times 0.02 \, m = 0.012 \, V$.
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर,हमें $V = 0.012 \times 1000 \, mV = 12 \, mV$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित $emf$ का सूत्र $e = B \ell v \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि तार उत्तर-पूर्व से दक्षिण-पश्चिम दिशा में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के लंबवत तार की प्रभावी लंबाई $\ell \sin 45^{\circ}$ होगी।
दिया गया है: $B = 0.3 \times 10^{-4}\,Wb/m^2$,$\ell = 10\,m$,$v = 5.0\,m/s$,और $\theta = 45^{\circ}$.
$emf = B \ell v \sin 45^{\circ}$
$emf = (0.3 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$emf = \frac{15 \times 10^{-4}}{1.414} \approx 10.6 \times 10^{-4} = 1.06 \times 10^{-3}\,V \approx 1.1 \times 10^{-3}\,V$.

(D) चुंबकीय बल (लॉरेंट्ज़ बल) के कारण पट्टी की गति एक अवमंदित आवर्ती गति है, जो अवमंदन बल के रूप में कार्य करती है।
अवमंदन बल $F_d = -B \ell I = -B \ell \left( \frac{B \ell v}{R} \right) = -\frac{B^2 \ell^2}{R} v$ है।
इसे अवमंदन बल के समीकरण $F_d = -bv$ के साथ तुलना करने पर, हमें अवमंदन नियतांक $b = \frac{B^2 \ell^2}{R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $B = 0.1\, T$, $\ell = 0.1\, m$, $R = 10\, \Omega$, $m = 0.05\, kg$, $k = 0.5\, N/m$.
$b = \frac{(0.1)^2 \times (0.1)^2}{10} = \frac{10^{-2} \times 10^{-2}}{10} = 10^{-5}\, kg/s$.
आयाम के क्षय के लिए समय नियतांक $\tau = \frac{2m}{b} = \frac{2 \times 0.05}{10^{-5}} = \frac{0.1}{10^{-5}} = 10^4\, s$ है।
समय $t = \tau$ के बाद, आयाम $A = A_0 e^{-1}$ हो जाता है।
दोलनों की संख्या $N = \frac{t}{T_0}$, जहाँ $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{0.5}} = 2\pi \sqrt{0.1} = \frac{2\pi}{\sqrt{10}}$.
$N = \frac{10^4}{2\pi / \sqrt{10}} = \frac{10^4 \times \sqrt{10}}{2\pi} \approx \frac{10000 \times 3.162}{6.28} \approx 5035$.
अतः, $N$ का मान $5000$ के करीब है।

(D) $1$. प्रतिरोध नेटवर्क का विश्लेषण करें: यह नेटवर्क $1\, \Omega, 2\, \Omega, 1\, \Omega, 2\, \Omega$ की भुजाओं और बीच में $3\, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। चूँकि $\frac{1}{1} = \frac{2}{2}$,यह एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है। बीच वाले $3\, \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। ब्रिज का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{(1+2)(1+2)}{(1+2)+(1+2)} = \frac{3 \times 3}{3+3} = 1.5\, \Omega$ है।
$2$. प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(EMF)$ की गणना करें: गतिक $EMF$ $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$B = 1\, T$,$\ell = 5\, cm = 0.05\, m$,और $v = 1\, cm/s = 0.01\, m/s$ है। अतः,$\varepsilon = 1 \times 0.05 \times 0.01 = 5 \times 10^{-4}\, V$.
$3$. कुल प्रतिरोध की गणना करें: कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{loop} + R_{eq} = 1.7\, \Omega + 1.5\, \Omega = 3.2\, \Omega$.
$4$. धारा की गणना करें: धारा $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{5 \times 10^{-4}}{3.2} \approx 1.5625 \times 10^{-4}\, A = 156.25\, \mu A$ है। दिए गए विकल्पों में से,$150\, \mu A$ सबसे निकटतम मान है।

(B) जब लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,तो लूप में $emf$ प्रेरित होता है। यह तब होता है जब लूप चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में प्रवेश करता है और जब वह चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से बाहर निकलता है।
$1$. जब लूप का अगला सिरा $a$ चौड़ाई वाले चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो $emf$ तब तक प्रेरित होता है जब तक कि क्षेत्र की पूरी $a$ चौड़ाई लूप द्वारा कवर नहीं हो जाती। इस चरण के दौरान लूप द्वारा तय की गई दूरी $a$ है। लिया गया समय $t_1 = \frac{a}{v}$ है।
$2$. जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र के अंदर होता है (क्योंकि $b > a$),तो लूप से जुड़ा फ्लक्स स्थिर रहता है,इसलिए कोई $emf$ प्रेरित नहीं होता है।
$3$. जब लूप का पिछला सिरा चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से बाहर निकलना शुरू करता है,तो फ्लक्स फिर से बदलना शुरू हो जाता है,और $emf$ तब तक प्रेरित होता है जब तक कि लूप पूरी तरह से क्षेत्र से बाहर नहीं निकल जाता। इस चरण के दौरान लूप द्वारा तय की गई दूरी $a$ है। लिया गया समय $t_2 = \frac{a}{v}$ है।
अतः,वह कुल समय जिसके लिए $emf$ प्रेरित होता है,$t = t_1 + t_2 = \frac{a}{v} + \frac{a}{v} = \frac{2a}{v}$ है।

(B) गतिमान चालक छड़ के सिरों के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के सूत्र का उपयोग करते हैं,जो $\vec{\varepsilon} = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार:
$1$. वेग सदिश $\vec{v}$ दाईं ओर निर्देशित है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ पृष्ठ के अंदर की ओर है (जिसे $\otimes$ द्वारा दर्शाया गया है)।
$3$. क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत,यानी छड़ पर बिंदु $P$ की ओर ऊपर की दिशा में होती है।
मुक्त इलेक्ट्रॉनों (जो ऋणात्मक आवेशित होते हैं) पर लगने वाला बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है,और चूंकि $q$ ऋणात्मक है,इसलिए इलेक्ट्रॉन $\vec{v} \times \vec{B}$ की विपरीत दिशा में बल का अनुभव करेंगे।
अतः,इलेक्ट्रॉन $Q$ सिरे पर जमा हो जाएंगे,जिससे वह ऋणात्मक रूप से आवेशित (निम्न विभव) हो जाएगा,जबकि $P$ सिरा धनात्मक रूप से आवेशित (उच्च विभव) हो जाएगा।
इस प्रकार,सिरा $Q$ निम्न विभव पर है।

(A) छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B v L$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\varepsilon = 4.0 \times 2 \times 1.0 = 8.0\, V$.
संधारित्र में संचित आवेश $Q = C \varepsilon$ है।
$Q = 10 \times 10^{-6}\, F \times 8.0\, V = 80 \times 10^{-6}\, C = 80\,\mu C$.
गतिक $EMF$ के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,छड़ $PQ$ में धनात्मक आवेशों पर बल $Q$ से $P$ की ओर निर्देशित होता है। इस प्रकार,$P$ धनात्मक टर्मिनल के रूप में और $Q$ ऋणात्मक टर्मिनल के रूप में कार्य करता है।
यह संधारित्र की प्लेट $A$ को धनावेशित और प्लेट $B$ को ऋणावेशित बनाता है।
इसलिए,$q_A = + 80\,\mu C$ और $q_B = - 80\,\mu C$।

(C) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $R = R_0 + t$,इसलिए फ्लक्स $\phi = B \pi (R_0 + t)^2$ होगा।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $e.m.f.$ का परिमाण $|\varepsilon| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$ है।
$|\varepsilon| = \left| \frac{d}{dt} [B \pi (R_0 + t)^2] \right| = B \pi \cdot 2(R_0 + t) \cdot \frac{d}{dt}(R_0 + t) = 2\pi B (R_0 + t)$.
जैसे-जैसे समय के साथ त्रिज्या $R$ बढ़ती है,लूप का क्षेत्रफल बढ़ता है। इससे पृष्ठ के अंदर की ओर जाने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी,जिसका अर्थ है कि प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ से बाहर की ओर होना चाहिए। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,यह वामावर्त (anticlockwise) प्रेरित धारा को दर्शाता है।