Energy Stored in a Capacitor Questions in Gujarati

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) $u$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $u = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}{E^2}$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,સ્થિતિમાન તફાવત $V$ અને અંતર $d$ સાથે આ સંબંધ ધરાવે છે: $E = \frac{V}{d}$.
આ $E$ ની કિંમત ઊર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $u = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}{\left( \frac{V}{d} \right)^2} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}\frac{{{V^2}}}{{{d^2}}}$.

(D) બેટરી દ્વારા કેપેસિટરને $V$ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $(W_b)$ નીચે મુજબ છે: $W_b = Q \cdot V = (CV) \cdot V = CV^2$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે: $U = \frac{1}{2} CV^2$.
તેથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા અને બેટરી દ્વારા થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર:
$\frac{U}{W_b} = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ઉર્જામાં થતો વધારો $\Delta E = E_{final} - E_{initial} = \frac{1}{2} C (V_{final}^2 - V_{initial}^2)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $C = 6 \ \mu F = 6 \times 10^{-6} \ F$,$V_{initial} = 10 \ V$,અને $V_{final} = 20 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta E = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (20^2 - 10^2)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times (400 - 100)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times 300$
$\Delta E = 900 \times 10^{-6} \ J = 9 \times 10^{-4} \ J$.

(A) જ્યારે કેપેસિટર્સને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં $Q$ અચળ હોવાથી,ઊર્જા $U$ એ કેપેસિટન્સ $C$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(U \propto \frac{1}{C})$.
તેથી,બે કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1}$
અહીં $C_1 = 2 \ \mu F$ અને $C_2 = 4 \ \mu F$ આપેલ છે:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{4 \ \mu F}{2 \ \mu F} = \frac{2}{1}$
આમ,સંગ્રહિત ઊર્જાનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્રની ઊર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$.
આપેલ છે: $u = 1.8 \times 10^{-9} \ J/m^3$ અને $\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ C^2/N \cdot m^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.8 \times 10^{-9} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times E^2$.
$1.8 \times 10^{-9} = 4.5 \times 10^{-12} \times E^2$.
$E^2 = \frac{1.8 \times 10^{-9}}{4.5 \times 10^{-12}}$.
$E^2 = \frac{1.8}{4.5} \times 10^3 = 0.4 \times 1000 = 400$.
$E = \sqrt{400} = 20 \ NC^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વાદળ અને પૃથ્વી એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બનાવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \times \text{Volume}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, $E = \frac{V}{d}$, જ્યાં $V = 10^5\ V$ અને $d = 0.75\ km = 750\ m$.
વાદળ અને પૃથ્વી વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V_{ol} = A \times d$ છે, જ્યાં $A = 25 \times 10^6\ m^2$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2 \times (A \times d) = \frac{1}{2} \epsilon_0 \frac{V^2 A}{d}$.
$U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{(10^5)^2 \times 25 \times 10^6}{750}$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \frac{10^{10} \times 25 \times 10^6}{750} = \frac{8.85 \times 25 \times 10^4}{1500} \approx 1475\ J$.

(B) જ્યારે $n$ કેપેસિટરો,જે દરેકનું કેપેસિટન્સ $C$ છે,તેમને $V$ વોલ્ટના વોલ્ટેજ સ્રોત સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ રહે છે.
એક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $U_i = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ ઊર્જા $U$ એ દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનો સરવાળો થશે:
$U = U_1 + U_2 + ... + U_n$
$U = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 + ... + \frac{1}{2}CV^2$ ($n$ વખત)
$U = n \times (\frac{1}{2}CV^2)$
$U = \frac{1}{2}nCV^2$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $W = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ થી વધારીને $Q' = 2Q$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ઊર્જા $W'$ નીચે મુજબ મળે:
$W' = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $W = \frac{Q^2}{2C}$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$W' = 4 \times \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = 4W$.
આમ,નવી સંગ્રહિત ઊર્જા $4W$ થશે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C}{2}$ થાય છે.
કેપેસિટર બેટરીથી અલગ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતની સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/2)} = \frac{Q^2}{C}$ છે.
થતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_2 - U_1 = \frac{Q^2}{C} - \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2C}$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા,જે તેને ચાર્જ કરવા માટે કરેલા કાર્યની બરાબર હોય છે,તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \frac{Q^2}{2C}$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $Q = 8 \times 10^{-18} \ C$
કેપેસિટન્સ $C = 800 \ \mu F = 800 \times 10^{-6} \ F = 8 \times 10^{-4} \ F$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times (8 \times 10^{-4})}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{16 \times 10^{-4}}$
$W = 4 \times 10^{-32} \ J$.

(B) સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
કેપેસિટરને ઉષ્મીય અવાહક બ્લોકમાં રહેલી અવરોધક કોઈલ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ કરવામાં આવતું હોવાથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત તમામ વિદ્યુત ઊર્જા બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = ms\Delta T$ છે.
સંગ્રહિત ઊર્જાને શોષાયેલી ઉષ્મા ઊર્જા સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2}CV^2 = ms\Delta T$
$V^2 = \frac{2ms\Delta T}{C}$
$V = \sqrt{\frac{2ms\Delta T}{C}}$

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે: $C = 40\ \mu F = 40 \times 10^{-6}\ F$,$V = 3000\ V$,અને $t = 2\ ms = 2 \times 10^{-3}\ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (3000)^2 = 20 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^6 = 180\ J$.
દર્દીને આપવામાં આવેલ પાવર $P = \frac{U}{t} = \frac{180\ J}{2 \times 10^{-3}\ s} = 90 \times 10^3\ W = 90\ kW$ થાય.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસિટરો માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C_1 = C_2 = 10 \ \mu F$ હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 10 \ \mu F + 10 \ \mu F = 20 \ \mu F = 20 \times 10^{-6} \ F$ થશે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C_{eq} = 20 \times 10^{-6} \ F$ અને $V = 200 \ V$:
$U = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-6}) \times (200)^2$
$U = 10 \times 10^{-6} \times 40000$
$U = 10 \times 10^{-6} \times 4 \times 10^4$
$U = 40 \times 10^{-2} = 0.4 \ J$.

(C) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવ્યું હોવાથી,પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતની સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે અંતર વધારીને $2d$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ થાય છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/2)} = \frac{Q^2}{C}$ છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i = \frac{Q^2}{C} - \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2C}$.
$Q = CV$ મૂકતા,આપણને મળે છે $W = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} C V^2$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $W = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) V^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$.

(B) પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (8 \times 10^{-2})^2 \approx 0.0201\,m^2$ અને અંતર $d = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$ છે.
ડાઈઈલેક્ટ્રિક સાથે કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{6 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.0201}{1 \times 10^{-3}} \approx 1.068 \times 10^{-9}\,F$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 150\,V$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times (1.068 \times 10^{-9}) \times (150)^2$.
$U = 0.5 \times 1.068 \times 10^{-9} \times 22500$.
$U \approx 1.2 \times 10^{-5}\,J$.

(B) આ તંત્રમાં બે કેપેસીટરો સમાંતર જોડાણમાં છે.
દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
બે કેપેસીટરો સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = 2 \times \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
તંત્રમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \varepsilon_0 A}{d} \right) V^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{d}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$,$A = 50 \times 10^{-4} \, m^2$,$d = 3 \times 10^{-3} \, m$,$V = 12 \, V$.
$U = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 50 \times 10^{-4} \times (12)^2}{3 \times 10^{-3}}$.
$U = \frac{8.854 \times 50 \times 144 \times 10^{-16}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{63748.8 \times 10^{-16}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2.125 \times 10^{-9} \, J$.
આમ,સંગ્રહિત ઊર્જા આશરે $2.1 \times 10^{-9} \, J$ છે.

(B) નળાકાર કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{2\pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ છે.
$C$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2 \ln(b/a)}{2\pi \varepsilon_0 L}$ મળે છે.
અહીં $\ln(b/a)$,$\pi$,અને $\varepsilon_0$ અચળ હોવાથી,ઉર્જા $U$ એ $\frac{Q^2}{L}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $U \propto \frac{Q^2}{L}$.
ધારો કે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = 2Q$ અને નવી લંબાઈ $L' = 2L$ છે.
નવી ઉર્જા $U'$ એ $\frac{(Q')^2}{L'} = \frac{(2Q)^2}{2L} = \frac{4Q^2}{2L} = 2 \left( \frac{Q^2}{L} \right)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,ઉર્જા મૂળ ઉર્જા કરતા $2$ ગણી થશે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 4 \times 10^{-6} \ F$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 10000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 10^4$
$U = 2 \times 10^{-2} \ J$
$U = 0.02 \ J$
તેથી,કેપેસિટરને ડિસ્ચાર્જ કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $0.02 \ J$ છે.

(D) કેપેસિટરની સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ તેના પર કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}\ F) \times (10\ V)^2 = 3 \times 10^{-4}\ J$.
અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2} C V_2^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}\ F) \times (20\ V)^2 = 12 \times 10^{-4}\ J$.
કરેલું કાર્ય $W = \Delta U = U_f - U_i = (12 - 3) \times 10^{-4}\ J = 9 \times 10^{-4}\ J$.

(D) જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને અવરોધ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા અવરોધમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 4\ \mu F = 4 \times 10^{-6}\ F$
વોલ્ટેજ $V = 400\ V$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (400)^2$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 160000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^5$
$U = 3.2 \times 10^{-1} = 0.32\ J$.
આમ,ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા ઉર્જા $0.32\ J$ છે.

(D) કેપેસિટરનો વોલ્ટેજ $V_1$ થી $V_2$ કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i = \frac{1}{2} C (V_2^2 - V_1^2)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$W = \frac{1}{2} C (10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C (100 - 25) = \frac{1}{2} C (75) = 37.5 C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$W' = \frac{1}{2} C (15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C (225 - 100) = \frac{1}{2} C (125) = 62.5 C$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W'}{W} = \frac{62.5 C}{37.5 C} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
તેથી,$W' = 1.67\ W$.

(C) આપેલ બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1 \ \mu F + 1 \ \mu F = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$ થાય.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 200 \ V$ છે.
તંત્રમાં સંગ્રહિત કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6} \ F) \times (200 \ V)^2$ મળે.
$U = 10^{-6} \times 40000 = 0.04 \ J$.

(B) પરિપથ આકૃતિ પરથી,$C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને તેમનું સંયોજન $C_3$ સાથે સમાંતરમાં છે.
સૌ પ્રથમ,શ્રેણીમાં રહેલા $C_1$ અને $C_2$ નું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો:
$C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5\ \mu F$.
હવે,$C_{12}$ એ $C_3$ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$:
$C_{eq} = C_{12} + C_3 = 1.5 + 4 = 5.5\ \mu F$.
તંત્રમાં સંગ્રહિત કુલ ઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times 4 = 11 \times 10^{-6}\ J$.

(B) કેપેસિટર $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3}{2} C$ થાય છે.
કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા જેટલું હોય છે,જે $W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{2} C \right) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $C$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે લાગતું આકર્ષણ બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$
જ્યાં $Q$ એ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $A$ એ દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતભાર $Q$,કેપેસિટન્સ $C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$Q = CV$
વળી,સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \implies \varepsilon_0 A = Cd$
આ કિંમતોને બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{(CV)^2}{2(Cd)}$
$F = \frac{C^2 V^2}{2Cd}$
$F = \frac{CV^2}{2d}$

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $A$ પરનું પોટેન્શિયલ $0 \ V$ છે અને $C$ પર $10 \ V$ છે. ધારો કે નોડ $B$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_B$ છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફના કરંટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરના કુલ વિદ્યુતભારનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $10(V_B - 0) + 5(V_B - 0) + 4(V_B - 10) + 6(V_B - 10) = 0$.
$15V_B + 10V_B - 40 - 60 = 0 \implies 25V_B = 100 \implies V_B = 4 \ V$.
હવે,દરેક કેપેસિટર માટે ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C(V_{diff})^2$ ની ગણતરી કરો:
$10 \ \mu F$ માટે: $U = \frac{1}{2} \times 10 \times (4 - 0)^2 = 5 \times 16 = 80 \ \mu J$.
$5 \ \mu F$ માટે: $U = \frac{1}{2} \times 5 \times (4 - 0)^2 = 2.5 \times 16 = 40 \ \mu J$.
$4 \ \mu F$ માટે: $U = \frac{1}{2} \times 4 \times (4 - 10)^2 = 2 \times 36 = 72 \ \mu J$.
$6 \ \mu F$ માટે: $U = \frac{1}{2} \times 6 \times (4 - 10)^2 = 3 \times 36 = 108 \ \mu J$.
મહત્તમ ઉર્જા $6 \ \mu F$ ના કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(A) ધારો કે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને બેટરીનું વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $V$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થાય છે,ત્યારે પ્લેટો પર સંગૃહીત વિદ્યુતભાર $Q = CV$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગૃહીત ઊર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = Q \times V = (CV) \times V = CV^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગૃહીત ઊર્જા અને બેટરી દ્વારા થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{U}{W} = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ધરાવતા વિસ્તારમાં ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે:
$U = u \times V$
$U = (\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}) \times (Ad)$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} Ad$.

(D) આ આલેખ કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ $V$ (y-અક્ષ પર) અને વિદ્યુતભાર $q$ (x-અક્ષ પર) વચ્ચેનો ફેરફાર દર્શાવે છે.
$V-q$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કેપેસિટરને ચાર્જ કરવામાં થયેલ કાર્ય દર્શાવે છે,જે સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times q \times V$
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} qV$ હોવાથી,ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત ઉર્જા દર્શાવે છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $6 \, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ (ડાબી બાજુ) માં $3 \, \Omega$ અને $7 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ $A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો પોટેન્શિયલ: $V_{A} - V_{D} = \frac{3}{3+7} \times 6 = 1.8 \, V$.
શાખા $2$ (જમણી બાજુ) માં $2 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. $A$ ની સાપેક્ષે $B$ નો પોટેન્શિયલ: $V_{A} - V_{B} = \frac{2}{2+4} \times 6 = 2 \, V$.
કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત ($D$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે) $V_{DB} = |V_{A} - V_{B} - (V_{A} - V_{D})| = |2 - 1.8| = 0.2 \, V$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^{2}$ છે.
અહીં $C = 3 \, \mu F = 3 \times 10^{-6} \, F$ અને $V = 0.2 \, V$ આપેલ છે.
$U = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^{-6}) \times (0.2)^{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-6} \times 0.04 = 6 \times 10^{-8} \, J = 60 \times 10^{-9} \, J = 60 \, nJ$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ થાય છે.
કેપેસીટર અલગ કરેલું હોવાથી વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતની સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/2)} = \frac{Q^2}{C}$ છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{Q^2}{C} - \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2C}$.

(D) ભારિત ગોળાકાર વાહકમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $U = 4.5\, J$ અને $Q = 4\,\mu C = 4 \times 10^{-6}\, C$.
કિંમતો મૂકતા: $4.5 = \frac{(4 \times 10^{-6})^2}{2C} = \frac{16 \times 10^{-12}}{2C}$.
$C = \frac{16 \times 10^{-12}}{9} = 1.77 \times 10^{-12}\, F$.
ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ છે.
તેથી,$R = \frac{C}{4\pi\varepsilon_0} = C \times (9 \times 10^9)$.
$R = \frac{16 \times 10^{-12}}{9} \times 9 \times 10^9 = 16 \times 10^{-3}\, m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R = 16\, mm$.

(A) કેપેસીટરને ચાર્જ કર્યા પછી અલગ કરવામાં આવતું હોવાથી તેના પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_i = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$.
અંતિમ કેપેસીટન્સ $C_f = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$.
વિદ્યુતભાર $q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$.
કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલું કાર્ય $W = \Delta U = U_f - U_i = \frac{q^2}{2C_f} - \frac{q^2}{2C_i} = \frac{q^2}{2} \left( \frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(5 \times 10^{-6})^2}{2} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-6}} - \frac{1}{5 \times 10^{-6}} \right)$.
$W = \frac{25 \times 10^{-12}}{2} \left( \frac{5 - 2}{10 \times 10^{-6}} \right) = \frac{25 \times 10^{-12}}{2} \left( \frac{3}{10 \times 10^{-6}} \right)$.
$W = \frac{75 \times 10^{-12}}{20 \times 10^{-6}} = 3.75 \times 10^{-6}\,J$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા તેને ચાર્જ કરવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. કેપેસિટર માટે,વિદ્યુતભાર $q$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $q = CV$.
આલેખ $V$ અને $q$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
$V-q$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કરવામાં આવેલ કાર્ય દર્શાવે છે,જે કેપેસિટરમાં સ્થિતિ ઉર્જા $U$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
$\Delta OPM$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times q \times V$.
આમ,$U = \frac{1}{2} qV$ હોવાથી,$\Delta OPM$ નું ક્ષેત્રફળ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા દર્શાવે છે.

(D) બંને કેપેસિટર $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટેનું સૂત્ર $C_{eq} = C_1 + C_2$ છે.
અહીં,$C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$ થાય.
કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ તેમાં સંગ્રહિત ઉર્જા જેટલું હોય છે,જે $W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W = \frac{1}{2} \left( \frac{3C}{2} \right) V^2 = \frac{3}{4} CV^2$ મળે છે.

(D) $V-q$ આલેખમાં ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times q \times V$
આપણે જાણીએ છીએ કે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ એ કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત ઉર્જા જેટલું છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ એ કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત ઉર્જાના પ્રમાણમાં છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
$C$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$.
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$.
$U = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 Ad$.

(D) આપેલ કેપેસિટન્સ,$C = 12 \;pF = 12 \times 10^{-12} \;F$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત,$V = 50 \;V$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} C V^2$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \;F) \times (50 \;V)^2$
$E = 6 \times 10^{-12} \times 2500 \;J$
$E = 15000 \times 10^{-12} \;J$
$E = 1.5 \times 10^{-8} \;J$
તેથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $1.5 \times 10^{-8} \;J$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = 90 \,cm^{2} = 90 \times 10^{-4} \,m^{2}$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = 2.5 \,mm = 2.5 \times 10^{-3} \,m$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 400 \,V$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \,C^{2} \,N^{-1} \,m^{-2}$
$(a)$ કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_{0} A}{d} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 90 \times 10^{-4}}{2.5 \times 10^{-3}} = 3.186 \times 10^{-11} \,F$
સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times 3.186 \times 10^{-11} \times (400)^{2} = 2.55 \times 10^{-6} \,J$
$(b)$ કેપેસિટરનું કદ $V' = A \times d = 90 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 10^{-3} = 2.25 \times 10^{-5} \,m^{3}$
એકમ કદ દીઠ ઊર્જા $u = \frac{U}{V'} = \frac{2.55 \times 10^{-6}}{2.25 \times 10^{-5}} = 0.113 \,J \,m^{-3}$
સંબંધ: $u = \frac{U}{Ad} = \frac{\frac{1}{2} (\frac{\epsilon_{0} A}{d}) V^{2}}{Ad} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$

(N/A) કેપેસિટર તેની પ્લેટો વચ્ચેના સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે. કેપેસિટરને ચાર્જ કરતી વખતે,બાહ્ય બળ દ્વારા એક પ્લેટ પરથી બીજી પ્લેટ પર વિદ્યુતભાર લઈ જવા માટે કાર્ય કરવું પડે છે,જે પ્રવર્તમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતની વિરુદ્ધ હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે વિદ્યુતભારરહિત વાહકો $1$ અને $2$ લો.
વાહક $2$ થી વાહક $1$ પર થોડો-થોડો વિદ્યુતભાર સ્થાનાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયાની કલ્પના કરો. જેમ વિદ્યુતભાર સ્થાનાંતરિત થાય છે,તેમ વાહક $1$ ધન વિદ્યુતભારિત અને વાહક $2$ ઋણ વિદ્યુતભારિત બને છે.
વાહક $2$ થી વાહક $1$ પર ધન વિદ્યુતભાર સ્થાનાંતરિત કરવા માટે બાહ્ય કાર્ય કરવું પડે છે કારણ કે વાહક $1$ એ વાહક $2$ કરતા ઉચ્ચ વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર હોય છે.
ધારો કે જ્યારે વાહકો $1$ અને $2$ પર અનુક્રમે $Q'$ અને $-Q'$ વિદ્યુતભાર હોય ત્યારેની સ્થિતિનો વિચાર કરો.
વાહકો $1$ અને $2$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q'}{C}$ છે,જ્યાં $C$ એ તંત્રનું કેપેસિટન્સ છે.
જો નાનો વિદ્યુતભાર $\delta Q'$ વાહક $2$ થી $1$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો થયેલું કાર્ય $\delta W = V' \delta Q'$ છે.
$V'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\delta W = \frac{Q' \delta Q'}{C}$ મળે છે.
વાહક $2$ થી $1$ પર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ લાવવા માટે કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય $W$ એ નાના વિદ્યુતભાર સ્થાનાંતરણ માટેના કાર્યનું $0$ થી $Q$ સુધી સંકલન કરવાથી મળે છે:
$W = \int_{0}^{Q} \frac{Q'}{C} dQ' = \frac{1}{C} \left[ \frac{(Q')^2}{2} \right]_{0}^{Q} = \frac{Q^2}{2C}$.
કારણ કે $Q = CV$,સંગ્રહિત ઊર્જાને $U = \frac{1}{2}CV^2$ અથવા $U = \frac{1}{2}QV$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જાને ઉર્જા ઘનતા કહેવામાં આવે છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = \sigma A$ અને $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \frac{1}{2} \frac{(\sigma A)^2}{\epsilon_0 A / d} = \frac{1}{2} \frac{\sigma^2 A^2 d}{\epsilon_0 A} = \frac{1}{2} \frac{\sigma^2 A d}{\epsilon_0}$.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ હોવાથી,$\sigma = \epsilon_0 E$ થાય.
આ કિંમત $U$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \frac{(\epsilon_0 E)^2 A d}{\epsilon_0} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 (A d)$.
અહીં,$A d$ એ પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારનું કદ $V$ દર્શાવે છે.
તેથી,એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$:
$u = \frac{U}{V} = \frac{U}{A d} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$.

(B) કેપેસિટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે વિદ્યુત ઉર્જાને વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત કરે છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારો અલગ થાય છે,જે પ્લેટોની વચ્ચે વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે,$V$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
આ ઉર્જા પ્લેટોની વચ્ચેની જગ્યામાં વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(N/A) કેપેસિટન્સ $C$,વિદ્યુતભાર $Q$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ ધરાવતા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $(U)$ માટેના ત્રણ સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$1$. $U = \frac{1}{2} CV^2$
$2$. $U = \frac{Q^2}{2C}$
$3$. $U = \frac{1}{2} QV$
આ સૂત્રો $Q = CV$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

(N/A) ઉર્જા ઘનતા એટલે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
કેમ કે $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ અને $V = Ed$,તેથી $U = \frac{1}{2} (\frac{\epsilon_0 A}{d}) (Ed)^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 A d E^2$ થાય.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V_{vol} = Ad$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{U}{V_{vol}} = \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 A d E^2}{Ad} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ મળે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 5.0 \mu F = 5.0 \times 10^{-6} F$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 800 V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (5.0 \times 10^{-6} F) \times (800 V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5.0 \times 10^{-6} \times 640000$
$U = 2.5 \times 10^{-6} \times 6.4 \times 10^5$
$U = 16 \times 10^{-1} = 1.6 J$
આમ,વાહકને આપવામાં આવતી ઉર્જા $1.6 J$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે:
$U = u \times V$
$U = (\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}) \times (Ad)$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} Ad$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
$C$ અચળ હોવાથી,$U \propto q^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારમાં $2 \ C$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q' = q + 2$ થાય.
નવી ઉર્જા $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ થશે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $44 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી ઉર્જા $U_f = U_i + 0.44 \, U_i = 1.44 \, U_i$ થાય.
$U_f$ અને $U_i$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.44 \times \frac{q^2}{2C}$.
$(q+2)^2 = 1.44 \, q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$q + 2 = \sqrt{1.44} \, q$.
$q + 2 = 1.2 \, q$.
$0.2 \, q = 2$.
$q = \frac{2}{0.2} = 10 \ C$.