Energy Stored in a Capacitor Questions in Gujarati

(B) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરી દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = qV = CV^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $U = \frac{W}{2}$.
અહીં આપેલ કાર્ય $W = 200 \, J$ હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{200}{2} = 100 \, J$ થશે.
બાકીની $100 \, J$ ઉર્જા ચાર્જિંગ પ્રક્રિયા દરમિયાન સર્કિટમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કુલ કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે: $U = u \times V$.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે: $U = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (Ad)$.
તેથી,સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$ છે.

(D) કેપેસિટર સમાન બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
ચાર્જ-સમયના આલેખ પરથી,આપણે કેપેસિટર પર સંગ્રહિત મહત્તમ ચાર્જ $q$ જોઈ શકીએ છીએ. જેમ $t \to \infty$,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $q = CV$ સુધી પહોંચે છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કેપેસિટર $C_2$ માટે સ્થિર-સ્થિતિનો ચાર્જ $q_2$ એ કેપેસિટર $C_1$ ના ચાર્જ $q_1$ કરતા વધારે છે (એટલે કે $q_2 > q_1$).
$q = CV$ હોવાથી અને $V$ અચળ હોવાથી,$q \propto C$ થાય. તેથી,$C_2 > C_1$.
કેપેસિટર માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે,$U = \frac{1}{2} qV$ નો ઉપયોગ કરતા,$V$ અચળ હોવાથી અને $q_2 > q_1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $U_2 > U_1$.
આમ,$C_2 > C_1$ અને $U_2 > U_1$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 1 \ \mu F = 10^{-6} \ F$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 20 \ V$,અંતર $d = 1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d} = \frac{20}{10^{-6}} = 20 \times 10^6 \ V/m$ થાય.
ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $u = \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (20 \times 10^6)^2$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{12}$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 400 = 1770.8 \ J/m^3 \approx 1.8 \times 10^3 \ J/m^3$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2 d}{2 \epsilon_0 A}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ બમણું $(d' = 2d)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/2)} = 2 \times \frac{q^2}{2C} = 2U$ છે.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $2U$ થાય છે.

(B) કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને બદલવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $\Delta U = \frac{1}{2} C(V_f^2 - V_i^2).$
પ્રથમ કિસ્સામાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $15 \ V$ થી બદલાઈને $30 \ V$ થાય છે:
$W = \frac{1}{2} C(30^2 - 15^2) = \frac{1}{2} C(900 - 225) = \frac{1}{2} C(675) = 337.5 C.$
તેથી,$C = \frac{W}{337.5}.$
બીજા કિસ્સામાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $30 \ V$ થી બદલાઈને $60 \ V$ થાય છે:
$W' = \frac{1}{2} C(60^2 - 30^2) = \frac{1}{2} C(3600 - 900) = \frac{1}{2} C(2700) = 1350 C.$
$W'$ ના સમીકરણમાં $C = \frac{W}{337.5}$ ની કિંમત મૂકતા:
$W' = 1350 \times \left( \frac{W}{337.5} \right) = 4W.$

(A) ધારો કે એક પરિપથ છે જેમાં $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરને $V$ વોલ્ટેજની બેટરી દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થાય છે,ત્યારે તેના પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E_{\text{capacitor}} = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
આ ચાર્જ પૂરો પાડવા માટે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = QV = (CV)V = CV^2$ છે.
પરિપથમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જા એ બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય અને કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$E_{\text{loss}} = W - E_{\text{capacitor}} = CV^2 - \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} CV^2$.
બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઉર્જા $(W = CV^2)$ સાથે તેની સરખામણી કરતા:
$\text{Percentage loss} = \frac{E_{\text{loss}}}{W} \times 100\% = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} \times 100\% = 50\%$.
આમ,બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉર્જાના $50\%$ ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.

(A) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_i = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_i V = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી, વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ અંતર $d_f = 4d$.
અંતિમ કેપેસિટન્સ $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C_i}{4}$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C_i} = \frac{1}{2} C_i V^2 = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{Q^2}{2(C_i/4)} = 4 \left( \frac{Q^2}{2C_i} \right) = 4 U_i$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 4 U_i - U_i = 3 U_i$.
$U_i$ ની કિંમત મૂકતા, $W = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d} \right) = \frac{3 \epsilon_0 A V^2}{2d}$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વીજભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે મૂળ વીજભાર $Q$ છે. મૂળ ઉર્જા $U_1 = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વીજભાર $3 \ C$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વીજભાર $Q' = Q + 3$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $U_2 = \frac{(Q+3)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$.
$U_1$ અને $U_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{(Q+3)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
$(Q+3)^2 = 1.21 Q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$Q+3 = 1.1 Q$.
$3 = 1.1 Q - Q$.
$3 = 0.1 Q$.
$Q = \frac{3}{0.1} = 30 \ C$.
તેથી,કેપેસિટર પરનો મૂળ વીજભાર $30 \ C$ છે.

(A) ધારો કે કેપેસિટર પરનો મૂળ વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને કેપેસિટન્સ $C$ છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારમાં $2 \text{ C}$ નો વધારો કરવામાં આવે, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q + 2$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{(Q + 2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \% $ નો વધારો થાય છે, તેથી $U' = U + 0.21U = 1.21U$.
$U$ અને $U'$ ના સમીકરણો મૂકતા, આપણને મળે છે: $\frac{(Q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ ને દૂર કરતા, $(Q + 2)^2 = 1.21Q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $Q + 2 = 1.1Q$ મળે છે.
પદોની ગોઠવણી કરતા, $0.1Q = 2$, જેનું સાદું રૂપ $Q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$ થાય છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i$ થી $V_f$ માં બદલવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = \Delta U = \frac{1}{2} C(V_f^2 - V_i^2)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$V_1 = 5 \ V$ થી $V_2 = 10 \ V$:
$W = \frac{1}{2} C(10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C(100 - 25) = \frac{75}{2} C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$V_2 = 10 \ V$ થી $V_3 = 15 \ V$:
$W' = \frac{1}{2} C(15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C(225 - 100) = \frac{125}{2} C$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{W'}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
તેથી,$W' = 1.67 \ W$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)^2 = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$.
હવે,$\sigma = \frac{q}{A}$ મૂકતા:
$u = \frac{(q/A)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 A^2}$.

(D) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_0 V_0$ છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ અંતર $d' = 3d$ છે.
અંતિમ કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} = \frac{C_0}{3}$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$ છે.
અંતિમ સ્થિતિઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C_0/3)} = \frac{3Q^2}{2C_0} = \frac{3}{2} C_0 V_0^2$ થાય.
કરેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = \frac{3}{2} C_0 V_0^2 - \frac{1}{2} C_0 V_0^2 = C_0 V_0^2$ મળે.
$C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મૂકતા,$W = \frac{\varepsilon_0 A V_0^2}{d}$ મળે છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
અહીં $C$ અચળ હોવાથી,$U \propto Q^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વીજભાર $Q_1$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1$ છે.
જ્યારે વીજભાર $3 \ C$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વીજભાર $Q_2 = Q_1 + 3$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $U_2 = U_1 + 44\% \text{ of } U_1 = 1.44 \ U_1$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $U \propto Q^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{Q_2}{Q_1} \right)^2$
$1.44 = \left( \frac{Q_1 + 3}{Q_1} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$1.2 = \frac{Q_1 + 3}{Q_1}$
$1.2 \ Q_1 = Q_1 + 3$
$0.2 \ Q_1 = 3$
$Q_1 = \frac{3}{0.2} = 15 \ C$.

(D) આ પરિપથમાં બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે જે અન્ય બે કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સૌ પ્રથમ,બે સમાંતર કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો:
$C_{\|} = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$
હવે,આ પરિપથ $2 \mu F$,$4 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવો છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{2 \mu F} = \frac{2 + 1 + 2}{4 \mu F} = \frac{5}{4 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{4}{5} \mu F = 0.8 \times 10^{-6} \,F$
સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (0.8 \times 10^{-6} \,F) \times (10 \,V)^2$
$U = 0.4 \times 10^{-6} \times 100 \,J = 40 \times 10^{-6} \,J = 400 \times 10^{-7} \,J$

(D) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$. શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર $q = CV = \frac{\varepsilon_0 A V}{d}$.
શરૂઆતની ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
નવું અંતર $d' = 4d$ છે,તેથી નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ થાય.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/4)} = \frac{4q^2}{2C} = 4U_i$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 4U_i - U_i = 3U_i$.
$U_i = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $W = 3 \times \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A V^2}{2d}$ મળે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ $V = A \times d$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે.
$U = u \times V = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (A d) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A d$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $W = \frac{1}{2} CV^2$ છે, જ્યાં $C$ એ કેપેસીટન્સ છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $W_1 = \frac{1}{2} CV_1^2$, જ્યાં $V_1 = 5 \,V$.
અંતિમ ઉર્જા $W_2 = \frac{1}{2} CV_2^2$, જ્યાં $V_2 = 15 \,V$.
અંતિમ ઉર્જા અને પ્રારંભિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{1}{2} CV_2^2}{\frac{1}{2} CV_1^2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{15}{5}\right)^2 = (3)^2 = 9$ મળે છે.
તેથી, ગુણોત્તર $9 : 1$ છે.

(B) ધારો કે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને બેટરીનું e.m.f. $V$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થાય છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ હોય છે.
કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q = CV$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} qV$ છે.
બેટરી દ્વારા $q$ વિદ્યુતભાર પૂરો પાડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = qV = CV^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{U}{W} = \frac{\frac{1}{2} qV}{qV} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$U = u \times V = (\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોટેન્શિયલને $V_i$ થી $V_f$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $\Delta U = \frac{1}{2} C (V_f^2 - V_i^2)$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$W = \frac{1}{2} C (10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C (100 - 25) = \frac{75}{2} C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$W_2 = \frac{1}{2} C (15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C (225 - 100) = \frac{125}{2} C$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W_2}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
તેથી,$W_2 = 1.67 W$.

(A) કેપેસિટરની ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ અને અંતર $d$ સાથે $E = \frac{V}{d}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}}$ મળે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે: $C = 48 \mu F = 48 \times 10^{-6} \ F$,$q_1 = 0.1 \ C$,$q_2 = 0.5 \ C$.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q_2^2}{2C} - \frac{q_1^2}{2C} = \frac{1}{2C} (q_2^2 - q_1^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2 \times 48 \times 10^{-6}} ((0.5)^2 - (0.1)^2)$
$\Delta U = \frac{1}{96 \times 10^{-6}} (0.25 - 0.01)$
$\Delta U = \frac{0.24}{96 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{0.24 \times 10^6}{96} = \frac{240000}{96} = 2500 \ J$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ છે.
અહીં,કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને અંતર $d$ સાથે $V = E d$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \right) (E d)^{2}$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \right) (E^{2} d^{2})$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} A d$.

(B) બંને કેપેસિટર બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સમતુલ્ય કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{3C}{2} \right) V^2$
$W = \frac{3}{4} CV^2$

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) $u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V = Ad$ છે.
તેથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = u \times V = \left( \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} \right) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$ થાય.

(C) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
પ્રથમ કેપેસીટર માટે આપેલ છે: $C_1 = 900 \mu F$ અને $V_1 = 100 \ V$.
પ્રથમ કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2$ છે.
જ્યારે આ ઉર્જા $C_2 = 100 \mu F$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બીજા કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, ત્યારે ધારો કે નવું પોટેન્શિયલ $V_u$ છે.
કુલ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત થતી હોવાથી, $U_1 = U_2$, જ્યાં $U_2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 900 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times V_u^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $900 \times 100^2 = 100 \times V_u^2$.
$V_u^2 = \frac{900 \times 10000}{100} = 90000$.
$V_u = \sqrt{90000} = 300 \ V$.

(A) કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U$ જેટલું હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $W = U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $Q = 8 \times 10^{-18} \text{ C}$
કેપેસિટન્સ $C = 800 \mu\text{F} = 800 \times 10^{-6} \text{ F} = 8 \times 10^{-4} \text{ F}$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times 8 \times 10^{-4}}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{16 \times 10^{-4}}$
$W = 4 \times 10^{-32} \text{ J}$.

(A) આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 12 \text{ pF} = 12 \times 10^{-12} \text{ F}$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 50 \text{ V}$
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U$ શોધવાનું સૂત્ર:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \text{ F}) \times (50 \text{ V})^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 15000 \times 10^{-12} \text{ J}$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ J}$
$U = 1.5 \times 10^{-8} \text{ J}$
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $1.5 \times 10^{-8} \text{ J}$ છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 12 \ pF = 12 \times 10^{-12} \ F$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 50 \ V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \ F) \times (50 \ V)^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500 \ J$
$U = 15000 \times 10^{-12} \ J$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12} \ J$
$U = 1.5 \times 10^{-8} \ J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 5 \mu \text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4 \text{ V}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 0.6 \text{ Vs}^{-1}$.
કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $U$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{1}{2}C \cdot 2V \cdot \frac{dV}{dt} = CV \frac{dV}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dU}{dt} = (5 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (4 \text{ V}) \times (0.6 \text{ Vs}^{-1})$.
$\frac{dU}{dt} = 20 \times 0.6 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \mu \text{W}$.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C V^{2} \dots (i)$
જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ (Slope):
$\text{Slope} = \tan \theta = \frac{Q}{V} = \frac{120 \mu C}{10 \text{ V}} = 12 \mu F \dots (ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે કેપેસિટન્સ $C = \frac{Q}{V}$ છે,તેથી:
$C = 12 \mu F = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$
હવે,$C = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને $V = 10 \text{ V}$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^{2}$
$U = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 6 \times 10^{-4} \text{ J} = 600 \times 10^{-6} \text{ J} = 600 \mu J$
આમ,કેપેસિટન્સ $12 \mu F$ છે અને સંગ્રહિત ઉર્જા $600 \mu J$ છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_2 = q + 2 \text{ C}$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1 = \frac{q^2}{2C}$ અને અંતિમ ઉર્જા $U_2 = \frac{(q+2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$.
$U_1$ અને $U_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ ને દૂર કરતા,આપણને $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $q + 2 = 1.1 q$.
પદોને ગોઠવતા: $1.1 q - q = 2$,જે $0.1 q = 2$ આપે છે.
તેથી,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$.

(C) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} CV^2$
આપેલ છે:
કેપેસીટન્સ $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10 \text{ V}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 500 \times 10^{-6} \text{ J}$
$U = 500 \mu J$

(C) $6 \mu F$ અને $3 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$C_1 = 2 \mu F$.
આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_1$ એ $2 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સિસ્ટમનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + 2 \mu F = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ થાય.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
અહીં $V = 2 \text{ V}$ આપેલ છે,તેથી $U = \frac{1}{2} \times 4 \mu F \times (2 \text{ V})^2 = 2 \times 4 = 8 \mu J$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ છે.
અહીં $\frac{1}{2}$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,$C V^{2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ ઉર્જા $(U)$ ના પારિમાણિક સૂત્રને સમાન થાય.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[Work] = [Force \times Displacement] = [MLT^{-2} \times L] = [ML^{2} T^{-2}]$ છે.
તેથી,$C V^{2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{2} T^{-2} A^{0}]$ થાય.

(D) કેપેસિટન્સ અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $W = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = 2Q$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $W' = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C} = 4W$ છે.
કરવું પડતું વધારાનું કાર્ય એ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,જે $\Delta W = W' - W$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta W = 4W - W = 3W$ મળે છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
પોટેન્શિયલ $V = 6 \text{ kV} = 6 \times 10^3 \text{ V}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (10^{-5} \text{ F}) \times (6 \times 10^3 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 36 \times 10^6$
$U = 18 \times 10^1 \text{ J} = 180 \text{ J}$.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $180 \text{ J}$ છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $C \propto \frac{1}{d}$.
જો અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{C}{2}$ થશે.
નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' = \frac{1}{2} C' V^2$ છે.
$C' = \frac{C}{2}$ મૂકતા,આપણને $E' = \frac{1}{2} (\frac{C}{2}) V^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} C V^2) = \frac{E}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલું હોય ત્યારે તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર અવરોધક કોઈલ દ્વારા સંપૂર્ણપણે ડિસ્ચાર્જ થાય છે,ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા બ્લોકમાં ઉષ્મા $\Delta H$ તરીકે મુક્ત થાય છે.
સિસ્ટમ થર્મલી અલગ હોવાથી,બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ કેપેસિટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા જેટલી હોય છે: $\Delta H = \frac{1}{2} C V^2$.
બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $\Delta H = m s \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
$\Delta H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} C V^2 = m s \Delta T$
$V^2 = \frac{2 m s \Delta T}{C}$
$V = \left(\frac{2 m s \Delta T}{C}\right)^{1 / 2}$

(B) વિદ્યુતભારિત પદાર્થમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે. તેથી,$E \propto q^2$ થાય.
ધારો કે મૂળ વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને મૂળ ઉર્જા $E_1 = E$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $2 \ C$ વધારવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q_2 = q + 2$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $E_2$ માં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $E_2 = E + 0.21E = 1.21E$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.21E}{E} = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
$1.21 = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $1.1 = \frac{q+2}{q}$.
$1.1q = q + 2$.
$0.1q = 2$.
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વીજભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વીજભાર $q_i = q$ છે અને અંતિમ વીજભાર $q_f = q + 2$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ અને અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_f = U_i + 0.21 U_i = 1.21 U_i$.
ઉર્જાના પદો મૂકતા: $\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ દૂર કરતા,આપણને $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $q + 2 = 1.1 q$.
પદોને ગોઠવતા: $1.1 q - q = 2$,જેનું સાદું રૂપ $0.1 q = 2$ થાય છે.
તેથી,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.