Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) दिया गया सारणिक दो सदिश गुणनफलों के अदिश गुणनफल के लिए लैग्रेंज पहचान है,जिसे $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{d}) = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(2)(3) + (3)(2) + (-1)(\lambda) = 0$.
$6 + 6 - \lambda = 0$.
$12 - \lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 12$.

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
माना $\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
सदिशों का योग $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
$\vec{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+6^2+(-2)^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$ है।
$\vec{a}$ और $\hat{v}$ का अदिश गुणनफल $1$ है:
$\vec{a} \cdot \hat{v} = 1$
$\frac{(1)(2+\lambda) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\frac{\lambda+6}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\lambda+6 = \sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\lambda+6)^2 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$\lambda^2+12 \lambda+36 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$8 \lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(C) माना $\bar{s} = \bar{b} + \bar{c} = (2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\bar{s}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{s} = \frac{\bar{s}}{|\bar{s}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}}$.
दी गई शर्त के अनुसार $\bar{a} \cdot \hat{s} = 1$ है,इसलिए:
$(\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot \left( \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} \right) = 1$.
अंश में अदिश गुणनफल लेने पर:
$\frac{(2+\lambda) - 4 + 2}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
$\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 = \lambda^2 + 4\lambda + 12$.
$4\lambda = -12$.
$\lambda = -3$.

(D) दिया गया है कि $(\overline{a}-\overline{d}) \cdot(\overline{b}-\overline{c})=0$ और $(\overline{b}-\overline{d}) \cdot(\overline{c}-\overline{a})=0$ है।
इसे सदिशों के रूप में $\overline{AD} \cdot \overline{BC} = 0$ और $\overline{BD} \cdot \overline{CA} = 0$ लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $\overline{BD} \perp \overline{CA}$ है।
चूंकि $D$,$\triangle ABC$ के शीर्षलंबों $AD$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $D$,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है।

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
इसके बाद,सदिशों के परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{3}\right)$.

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ होता है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3 - 14 = -11$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
हमें समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
परिमाणों का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$ है।
इस प्रकार,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -3/2$ है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए परिमाणों $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 4^2 + 2^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9 + 16 + 4 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$।

(A) हमें दिए गए सदिश हैं: $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$।
सबसे पहले,हम सदिश $\lambda \vec{b} + \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\lambda \vec{b} + \vec{c} = \lambda (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + (\hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$
$= (\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}$।
चूंकि $\vec{a}$,$\lambda \vec{b} + \vec{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$\vec{a} \cdot (\lambda \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}) = 0$
$2(\lambda + 1) - 1(\lambda + 3) + 1(-2 \lambda - 1) = 0$
$2 \lambda + 2 - \lambda - 3 - 2 \lambda - 1 = 0$
$-\lambda - 2 = 0$
$\lambda = -2$।

(B) दिया गया है कि $|\vec{x}| = 1$,$|\vec{y}| = 1$,और $|\vec{x} + \vec{y}| = 1$ है।
समीकरण $|\vec{x} + \vec{y}| = 1$ का वर्ग करने पर,हमें $|\vec{x} + \vec{y}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$ का उपयोग करने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$ प्राप्त होता है।
$2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$,जिसका अर्थ है कि $2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = -1$,अतः $\vec{x} \cdot \vec{y} = -\frac{1}{2}$।
अब,हमें $|\vec{x} - \vec{y}|$ ज्ञात करना है।
$|\vec{x} - \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $|\vec{x} - \vec{y}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$।
अतः,$|\vec{x} - \vec{y}| = \sqrt{3}$।

(A) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$ है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a} = (2, -2, 1)$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
दिया गया है कि $\vec{b} = 2|\vec{a}|$,इसलिए $|\vec{b}| = 2 \times 3 = 6$.
भुजाओं के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
अब,इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखें:
$\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $9$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया समीकरण: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
डॉट गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ और $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$,और डॉट गुणन क्रमविनिमेय है $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ घटाने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
इसका अर्थ है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
चूंकि $\vec{a} \neq \vec{0}$ और $\vec{b} \neq \vec{0}$,दो शून्येतर सदिशों का डॉट गुणन शून्य तभी होता है जब वे एक दूसरे के लंबवत हों।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम इकाई सदिशों के गुणों को जानते हैं: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
साथ ही,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot (-\hat{j}) = -1$.
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $1 + (-1) + 1 + 0 = 1$.

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ है।
उनके परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$।
गुणधर्म $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $\theta = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(3) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण (magnitude) $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{10}{\sqrt{17}}$ प्राप्त होता है।

(B) दो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2) = 24 - 8 - 16 = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए निरपेक्ष मान $|\cos \theta|$,$0 \leq |\cos \theta| \leq 1$ को संतुष्ट करता है।
$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (जो कि ऋणेतर है) से गुणा करने पर,हमें $0 \leq |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{a}| |\vec{b}| \geq |\vec{a} \cdot \vec{b}|$। इसे कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के रूप में जाना जाता है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,हमें मिलता है $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$4 + 9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$38 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -38$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -19$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ है।
दिया गया समीकरण: $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 15$ है।
अदिश गुणन (dot product) के गुणधर्म $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$ है,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1$ होगा।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 15$ है।
$|\vec{x}|^2 = 16$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{x}| = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप सदिश का सूत्र: $\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\text{प्रक्षेप सदिश} = \frac{10}{14} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{5}{7} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{15}{7}\hat{i} - \frac{10}{7}\hat{j} + \frac{5}{7}\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हम इकाई सदिशों के क्रॉस गुणनफल के गुणों को जानते हैं:
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
$= (\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है:
$= 1 - 1 + 1 = 1$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,सही उत्तर $\cos^{-1}(1/3)$ है,जो विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ है।
दिया गया समीकरण $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 8$ है।
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 8$।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 8$।
$|\vec{x}|^2 = 9$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|\vec{x}| = 3$ (क्योंकि परिमाण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ इकाई सदिश हैं।
अतः,$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{a}-\vec{b}| = 1$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $1^2 = 1^2 + 1^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$.
$1 = 1 + 1 - 2(1)(1) \cos \theta$.
$1 = 2 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) हमें दिया गया है कि सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = 1$ है और सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = 2$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ दिया गया है।
दो सदिशों के अदिश गुणनफल का सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$1 = (1)(2) \cos \theta$
$1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ (या $60^{\circ}$) होगा।

(C) माना $\vec{u} = (a, 2)$ और $\vec{v} = (a, -2)$ है।
दिया गया है कि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
अदिश गुणन का सूत्र $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$ है।
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(a) + (2)(-2) = a^2 - 4$.
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + (-2)^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $a^2 - 4 = \sqrt{a^2 + 4} \cdot \sqrt{a^2 + 4} \cdot \cos(\frac{\pi}{3})$.
$a^2 - 4 = (a^2 + 4) \cdot \frac{1}{2}$.
$2(a^2 - 4) = a^2 + 4$.
$2a^2 - 8 = a^2 + 4$.
$a^2 = 12$.
$a = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(B) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (2)(2) + (-1)(2) = -1 + 4 - 2 = 1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$ होगा।
नोट: चूँकि दिए गए विकल्पों में $1/3$ नहीं है,और यदि $\vec{b}$ का परिमाण $\sqrt{6}$ माना जाए तो उत्तर $1/\sqrt{6}$ होगा,इसलिए विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि उनके बीच का कोण $\theta$ है,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$ होगा।
साथ ही,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$,इसलिए $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = \sin^2 \theta$ होगा।
अब,व्यंजक $\left|\frac{\bar{a} \cdot \bar{a}}{\bar{a} \cdot \bar{b}} \cdot \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{\bar{b} \cdot \bar{b}}\right| = \left|\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{1}\right| = 1$ है।
अतः,कुल व्यंजक $1 + \sin^2 \theta$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1 - \cos 2\theta$ है।

(A) $m \angle A$ ज्ञात करने के लिए,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ पर विचार करते हैं।
$\vec{AB} = B - A = (2 - 3, 3 - (-1)) = (-1, 4)$.
$\vec{AC} = C - A = (5 - 3, 1 - (-1)) = (2, 2)$.
दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(2) + (4)(2) = -2 + 8 = 6$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\cos A = \frac{6}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{34}}$.
अतः,$m \angle A = \cos^{-1} \frac{3}{\sqrt{34}}$।

(C) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
हमें $|\vec{b}| = 5$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ दिया गया है।
दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$.
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{4}$.

(C) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$।
अतः $|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ है।
दिया गया है $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 7$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ का मान रखने पर:
$14 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{b}|^2 = 7$।
$14 - |\vec{b}|^2 = 7$।
$|\vec{b}|^2 = 7$।
अतः,$|\vec{b}| = \sqrt{7}$।

(C) मान लीजिए कि $1$ इकाई भुजा वाला एक घन है। शीर्षों को चित्र में दिखाए अनुसार $3D$ निर्देशांक प्रणाली में लें।
मान लीजिए कि दो विकर्ण $\vec{OA}$ और $\vec{BC}$ हैं।
निर्देशांक $O(0,0,0)$,$A(1,1,1)$,$B(1,0,0)$,और $C(0,1,1)$ हैं।
सदिश $\vec{OA} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$ है।
सदिश $\vec{BC} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$ है।
दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$ है।
$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
हमें समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}|^2 = 1, |\vec{b}|^2 = 1, |\vec{c}|^2 = 1$ का मान रखने पर:
$1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(C) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में एक सदिश $\vec{v}$ को $\vec{v} = m\vec{a} + n\vec{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{v} = m(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + n(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (m+n)\hat{i} + (m-n)\hat{j} + (m+n)\hat{k}$.
$\vec{v}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{v} \cdot \vec{c} = (m+n)(1) + (m-n)(-1) + (m+n)(-1) = m+n - m+n - m-n = n-m$.
परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{n-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies n-m = 1$,अर्थात $n = m+1$.
$n = m+1$ को $\vec{v}$ में रखने पर: $\vec{v} = (2m+1)\hat{i} - \hat{j} + (2m+1)\hat{k}$.
यदि $m=1$ लिया जाए,तो $\vec{v} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबकोणीय होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$
$2 + 2\lambda + 3 = 0$
$5 + 2\lambda = 0$
$2\lambda = -5$
$\lambda = -\frac{5}{2}$

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
दो सदिशों के योग के परिमाण के गुण का उपयोग करते हुए:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \frac{\pi}{3}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$,जो $1$ से अधिक है,इसलिए $|\vec{a} + \vec{b}|$ का मान $1$ से अधिक है।

(D) दिया गया है $\alpha=\hat{i}-3 \hat{j}$ और $\beta=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$।
चूंकि $\beta_1$,$\alpha$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\beta_1 = \lambda \alpha = \lambda(\hat{i}-3 \hat{j}) = \lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}$।
हमारे पास $\beta = \beta_1 + \beta_2$ है,इसलिए $\beta_2 = \beta - \beta_1 = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) - (\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}$।
चूंकि $\beta_2$,$\alpha$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\beta_2 \cdot \alpha = 0$।
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j}) = 0$।
$(1-\lambda)(1) + (2+3\lambda)(-3) + (-1)(0) = 0$।
$1 - \lambda - 6 - 9\lambda = 0$।
$-5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\beta_1 = -\frac{1}{2}(\hat{i} - 3\hat{j}) = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प गणना किए गए परिणाम से मेल नहीं खाता है।

(B) माना कि सदिश $a$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान न्यून कोण $\alpha$ बनाता है।
चूंकि दिक् कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ हैं,हमारे पास संबंध $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
मान रखने पर,$3 \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,सदिश $a$ के दिक् अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं,इसलिए हम $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
सदिश $b$ का सदिश $a$ पर प्रक्षेप $\frac{b \cdot a}{|a|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $b \cdot a = (5\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5(1) + 7(1) - 1(1) = 5 + 7 - 1 = 11$।
सदिश $a$ का परिमाण $|a| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
इसलिए,प्रक्षेप $\frac{11}{\sqrt{3}}$ है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\mu \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश लंबकोणीय हैं,उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\mu) + (\lambda)(1) + (2)(-1) = 0$
$\mu + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda + \mu = 2 \Rightarrow \mu = 2 - \lambda$ (समीकरण $1$)
दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}|$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$
$1^2 + \lambda^2 + 2^2 = \mu^2 + 1^2 + (-1)^2$
$1 + \lambda^2 + 4 = \mu^2 + 1 + 1$
$\lambda^2 + 3 = \mu^2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में $\mu = 2 - \lambda$ रखने पर:
$\lambda^2 + 3 = (2 - \lambda)^2$
$\lambda^2 + 3 = 4 - 4\lambda + \lambda^2$
$3 = 4 - 4\lambda$
$4\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{4}$
अब,$\mu = 2 - \lambda$ का उपयोग करके $\mu$ ज्ञात करें:
$\mu = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
अतः,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{1}{4}, \frac{7}{4}\right)$।

(A) दिया गया है कि,$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$।
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$।
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$।
हम इसे $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = (-\vec{c}) \cdot (-\vec{c})$।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$।
दिए गए मान $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$।
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$।
$34 + 30 \cos \theta = 49$।
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$।
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया है कि प्रत्येक सदिश शेष दो के योग के लंबवत है:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ $(1)$
$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ $(2)$
$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ $(3)$
समीकरणों $(1), (2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
अब,परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
दिए गए मानों और डॉट गुणनफल के योग को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
साथ ही,$a + b + c = 0$,जिसका अर्थ है $a + b = -c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(a + b) \cdot (a + b) = (-c) \cdot (-c)$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1^2$.
$2 + 2(a \cdot b) = 1$.
$2(a \cdot b) = -1$,इसलिए $a \cdot b = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,हमारे पास है $1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ का अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
सूत्र में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
यह मानते हुए कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ शून्य-सदिश नहीं हैं,हम दोनों पक्षों को $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ से विभाजित कर सकते हैं।
इससे $\cos \theta = -1$ प्राप्त होता है।
$\theta$ का वह मान जिसके लिए $\cos \theta = -1$ होता है,वह $\theta = 180^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है,$|a+b| = |a-b|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a+b|^2 = |a-b|^2$
$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$
$4(a \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$a$ और $b$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\vec{a} + \lambda\vec{b}$,$\vec{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
सबसे पहले,$\vec{a} + \lambda\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} + \lambda\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}$
अब,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल लें:
$((1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(1 + \lambda)(1) + (2 - \lambda)(1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$
$1 + \lambda + 2 - \lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$4 + 4\lambda = 0$
$4\lambda = -4$
$\lambda = -1$

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $a+b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b| = 1$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर,$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 + 2(a \cdot b) = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2(a \cdot b) = -1$,या $a \cdot b = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ होता है,इसलिए $1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(A) दिया गया है कि $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 144$ और $|a| = 4$ है।
हम जानते हैं कि $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ और $|a \cdot b| = |a||b| \cos \theta$ होता है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|a|^2|b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2|b|^2 \cos^2 \theta = 144$
$|a|^2|b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 144$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है,इसलिए:
$|a|^2|b|^2 = 144$
यहाँ $|a| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|a|^2 = 16$ होगा।
$16 \times |b|^2 = 144$
$|b|^2 = \frac{144}{16} = 9$
$|b| = \sqrt{9} = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $|a+b|=|a-b|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a+b|^2 = |a-b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $a \cdot a + b \cdot b + 2(a \cdot b) = a \cdot a + b \cdot b - 2(a \cdot b)$.
समीकरण को सरल करने पर: $2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$,जिसका अर्थ है कि $4(a \cdot b) = 0$.
अतः,$a \cdot b = 0$.
चूंकि दो गैर-शून्य सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य तभी होता है जब वे लंबवत हों,इसलिए $a$ और $b$ लंबवत हैं।

(C) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Component} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$।
माना $\vec{a} = \hat{i}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(2) = 1$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$।
अतः,$\hat{i}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\frac{1}{\sqrt{6}}$ होगा।
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ प्राप्त होता है।