Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(D) सदिश $\overline{a}$ की दिशा में सदिश $\overline{b}$ का प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{प्रक्षेप} = \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b} = (2)(1) + (3)(-1) + (-4)(-1) = 2 - 3 + 4 = 3$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\overline{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\overline{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{3}{\sqrt{29}}$ है।

(D) माना $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{c}=\lambda(\overline{a} \times \overline{b})$,इसका अर्थ है कि $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ और $\overline{c} \cdot \overline{b} = 0$ है।
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|=1$ दिया गया है,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$|\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2+2(\overline{a} \cdot \overline{b}+\overline{b} \cdot \overline{c}+\overline{c} \cdot \overline{a}) = 1$ प्राप्त होता है।
मान $|\overline{a}|^2 = \frac{1}{3}$,$|\overline{b}|^2 = \frac{1}{2}$,$|\overline{c}|^2 = \frac{1}{6}$ और $\overline{c}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट $0$ रखने पर:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 0 + 0 = 1$.
$\frac{2+3+1}{6} + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = 1$.
$1 + 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \theta = 1$.
$2(\frac{1}{\sqrt{6}}) \cos \theta = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया है कि $\overline{v}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप = $\overline{w}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप।
चूंकि $|\overline{u}|=1$,प्रक्षेप का सूत्र $\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$ सरल होकर $\overline{v} \cdot \overline{u}$ हो जाता है।
अतः,$\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u} \Rightarrow (\overline{v} - \overline{w}) \cdot \overline{u} = 0 \dots (i)$.
साथ ही,$\overline{v}$ और $\overline{w}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\overline{v} \cdot \overline{w} = 0 \dots (ii)$.
हमें $|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2$ का मान ज्ञात करना है।
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |-\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$.
मान $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$ रखने पर और $(i)$ तथा $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$.
चूंकि $\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$,पद $2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) = 0$ हो जाता है।
अतः,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
इसलिए,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c}) \implies \vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \quad (i)$
$\vec{b} \perp (\vec{c}+\vec{a}) \implies \vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \quad (ii)$
$\vec{c} \perp (\vec{a}+\vec{b}) \implies \vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \quad (iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \quad (iv)$
अब,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ की लंबाई इस प्रकार है:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})}$
दिए गए मान $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5$ और $(iv)$ से प्राप्त परिणाम को रखने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{3^2+4^2+5^2 + 2(0)}$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
कोण $\angle ABC$,सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण है।
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|=0$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2 = 0^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
दिए गए मान $|\vec{u}|=3, |\vec{v}|=4, |\vec{w}|=5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2+4^2+5^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
$9+16+25+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
$50+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$।
$2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = -50$।
$\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u} = -25$।
प्रश्न के अनुसार मापांक (absolute value) लेने पर:
$|\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}| = |-25| = 25$।

(C) दिया गया है कि $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$,अतः $\overline{c}=-(\overline{a}+\overline{b})$ है।
मान लीजिए कि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\overline{c}|^2 = |-(\overline{a}+\overline{b})|^2 = |\overline{a}+\overline{b}|^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b})$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करते हुए: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$.
$49 = 34 + 30 \cos \theta$.
$15 = 30 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) माना शीर्षों $A$,$B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 3 \hat{j}$,$\vec{b} = 4 \hat{k}$ और $\vec{c} = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = |\vec{b} - \vec{a}| = |4 \hat{k} - 3 \hat{j}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$AC = |\vec{c} - \vec{a}| = |(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 3 \hat{j}| = |4 \hat{k}| = 4$.
इस प्रकार,$\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ को $5 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$BC$ पर स्थित बिंदु $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d}$ इस प्रकार है:
$\vec{d} = \frac{m \vec{c} + n \vec{b}}{m + n} = \frac{5(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 4(4 \hat{k})}{5 + 4}$.
$\vec{d} = \frac{15 \hat{j} + 20 \hat{k} + 16 \hat{k}}{9} = \frac{15 \hat{j} + 36 \hat{k}}{9}$.
$\vec{d} = \frac{15}{9} \hat{j} + \frac{36}{9} \hat{k} = \frac{5}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) दिया गया समीकरण $3 \bar{a}-\bar{b}+2 \bar{c}-4 \bar{d}=\overline{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $3 \bar{a}+2 \bar{c}=\bar{b}+4 \bar{d}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,$\frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{5}=\frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{5}$ प्राप्त होता है।
माना $\bar{r} = \frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{3+2} = \frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{1+4}$ है।
यह सदिश $\bar{r}$ उस बिंदु को दर्शाता है जो रेखाखंड $AC$ पर (इसे $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है) और रेखाखंड $BD$ पर (इसे $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है) स्थित है।
अतः,$\bar{r}$ रेखाखंडों $AC$ और $BD$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश है।

(B) मान लीजिए कि $H$ का स्थिति सदिश मूल बिंदु $\vec{0}$ है।
तब शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया समीकरण $a \vec{AH} + b \vec{BH} + c \vec{CH} = \vec{0}$ है।
चूंकि $H$ मूल बिंदु है,इसलिए $\vec{AH} = \vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$,$\vec{BH} = -\vec{b}$,और $\vec{CH} = -\vec{c}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $a(-\vec{a}) + b(-\vec{b}) + c(-\vec{c}) = \vec{0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c} = \vec{0}$।
हालाँकि,अंतःकेंद्र $I$ के स्थिति सदिश $\vec{i}$ की मानक परिभाषा $\vec{i} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a+b+c}$ है।
यदि $H$ अंतःकेंद्र है,तो $a(\vec{A}-\vec{H}) + b(\vec{B}-\vec{H}) + c(\vec{C}-\vec{H}) = \vec{0}$ होगा।
इसे सरल करने पर $(a+b+c)\vec{H} = a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}$ प्राप्त होता है,जो अंतःकेंद्र की परिभाषा है।
अतः,$H$,$\triangle ABC$ का अंतःकेंद्र है।

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4 \hat{\imath} + 7 \hat{\jmath} + 8 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 4 \hat{k}$,और $\vec{c} = 2 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 7 \hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को भुजाओं $AB$ और $AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना $D$ वह बिंदु है जहाँ $\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ से मिलता है। तब $D$,$BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 4\hat{\jmath} - 4\hat{k}$.
$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 1\hat{k}$.
$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
अनुपात $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{d} = \frac{AC \cdot \vec{b} + AB \cdot \vec{c}}{AC + AB} = \frac{3(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}) + 6(2\hat{\imath} + 5\hat{\jmath} + 7\hat{k})}{3 + 6} = \frac{18\hat{\imath} + 39\hat{\jmath} + 54\hat{k}}{9} = 2\hat{\imath} + \frac{13}{3}\hat{\jmath} + 6\hat{k} = \frac{1}{3}(6\hat{\imath} + 13\hat{\jmath} + 18\hat{k})$.

(B) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $(G)$,लंबकेंद्र $(H)$ और परिकेंद्र $(P)$ संरेख होते हैं,जो यूलर रेखा बनाते हैं।
$G$,रेखाखंड $PH$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
केंद्रक $G$ के स्थिति सदिश $\vec{g}$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{h} + 2 \cdot \vec{p}}{1 + 2}$
$\vec{g} = \frac{\vec{h} + 2\vec{p}}{3}$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$3\vec{g} = \vec{h} + 2\vec{p}$
पदों को $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2\vec{p} + 1\vec{h} - 3\vec{g} = 0$
इसे $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$,$y = 1$,और $z = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x, y, z) = (2, 1, -3)$।

(A) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ को $\lambda : 1$ और $CD$ को $\mu : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$AB$ पर एक बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{\lambda(-4 \vec{c}) + 1(6 \vec{a}-4 \vec{b}+4 \vec{c})}{\lambda+1} = \frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1}$ है।
$CD$ पर एक बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{\mu(\vec{a}+2 \vec{b}-5 \vec{c}) + 1(-\vec{a}-2 \vec{b}-3 \vec{c})}{\mu+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$ है।
$\vec{r}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$.
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{6}{\lambda+1} = \frac{\mu-1}{\mu+1}$ और $\frac{-4}{\lambda+1} = \frac{2 \mu-2}{\mu+1}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{6}{-4} = \frac{\mu-1}{2(\mu-1)} \Rightarrow -\frac{3}{2} = \frac{1}{2}$,जो दर्शाता है कि $\mu=1$.
$\mu=1$ को पहले समीकरण में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$a+b+c=0$ और $|a|=5, |b|=3, |c|=7$।
चूंकि $a+b+c=0$,इसलिए $a+b=-c$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = |-c|^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$।
अदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(5)^2 + (3)^2 + 2(5)(3) \cos \theta = (7)^2$।
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$।
$34 + 30 \cos \theta = 49$।
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$।
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ या $\theta = \frac{\pi}{3}$ रेडियन होगा।

(A) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $S$ पर है। शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं ताकि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ हो।
लंबकेंद्र $O^{\prime}$ का स्थिति सदिश $\vec{o^{\prime}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
अंतःकेंद्र $O$ का स्थिति सदिश $\vec{o} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c}$ है।
हमें $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = (\vec{a} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{b} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{c} - \vec{o^{\prime}})$ का मान ज्ञात करना है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o^{\prime}} = \vec{o^{\prime}} - 3\vec{o^{\prime}} = -2\vec{o^{\prime}}$.
यह त्रिभुज ज्यामिति में एक मानक गुण है जहाँ $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = 2\vec{O^{\prime}S}$,जहाँ $S$ परिकेंद्र है। दिए गए विकल्पों और त्रिभुज में सदिश संबंधों के संदर्भ में,सही व्यंजक $2\vec{O^{\prime}O}$ है।

(A) दिया गया है कि $\overline{u}$ की दिशा में $\overline{v}$ का प्रक्षेप = $\overline{u}$ की दिशा में $\overline{w}$ का प्रक्षेप।
अतः,$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$।
चूंकि $|\overline{u}|=1$,इसलिए $\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(\overline{v}-\overline{w}) \cdot \overline{u} = 0$।
साथ ही,$\overline{v} \perp \overline{w}$ है,इसलिए $\overline{v} \cdot \overline{w} = 0$।
अब,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}) \cdot (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w})$।
विस्तार करने पर:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$।
मान रखने पर:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$।
चूंकि $\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$ है,इसलिए वह पद शून्य हो जाएगा।
अतः,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$।
इस प्रकार,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}| = \sqrt{14}$।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
अंतर सदिश का परिमाण लें:
$|\bar{a} - \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 - 2(1)(1)\cos \theta = 2 - 2\cos \theta = 2(1 - \cos \theta) = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)$।
अतः,$|\bar{a} - \bar{b}| = 2\sin(\theta/2)$।
इसी प्रकार,योग सदिश के लिए:
$|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos \theta = 2 + 2\cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 2(2\cos^2(\theta/2)) = 4\cos^2(\theta/2)$।
अतः,$|\bar{a} + \bar{b}| = 2\cos(\theta/2)$।
अब,दोनों परिमाणों को विभाजित करने पर:
$\frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|} = \frac{2\sin(\theta/2)}{2\cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$।
इसलिए,$\tan(\theta/2) = \frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|}$।

(C) माना $\bar{d} = \bar{b} + \bar{c}$ है। $\bar{a}$ का $\bar{d}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\bar{d}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|} = 2 \times \frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ है।
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{d} = \bar{d} \cdot \bar{a}$ है,हम इस पद को निरस्त कर सकते हैं (यह मानते हुए कि $\bar{a} \cdot \bar{d} \neq 0$),जिससे $\frac{1}{|\bar{d}|} = \frac{2}{|\bar{a}|}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|\bar{a}| = 2|\bar{d}|$।
अब,$|\bar{d}|^2 = |\bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2|\bar{b}||\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{4})$ की गणना करें।
$|\bar{d}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 4^2 + 2(2 \sqrt{2})(4) \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 + 16 + 16 = 40$ है।
अतः,$|\bar{d}| = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ है।
अंत में,$|\bar{a}| = 2|\bar{d}| = 2(2 \sqrt{10}) = 4 \sqrt{10}$ है।

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ $a = |\overline{BC}| = 8$,$b = |\overline{CA}| = 7$,और $c = |\overline{AB}| = 10$ हैं।
हमें $\overline{AC}$ पर $\overline{AB}$ का प्रक्षेप ज्ञात करना है।
$\triangle ABC$ में,कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$ होता है।
मान रखने पर,$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos(A)$।
$64 = 49 + 100 - 140 \cos(A)$।
$64 = 149 - 140 \cos(A)$।
$140 \cos(A) = 149 - 64 = 85$।
$\cos(A) = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}$।
$\overline{AC}$ पर सदिश $\overline{AB}$ का प्रक्षेप $|\overline{AB}| \cos(A)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}$ इकाई।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
हमें समीकरण $|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{3}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ का उपयोग करने पर,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 3$ मिलता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ प्राप्त होता है।
$|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ मिलता है।
इसे सरल करने पर $2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ होता है,जिसका अर्थ है $2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
ज्ञात मान रखने पर,$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(A) दो सदिशों $\bar{p}$ और $\bar{q}$ के बीच का कोण अधिक कोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\bar{p} \cdot \bar{q} < 0$।
दिया गया है कि $\bar{p} = m \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\bar{q} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2m \hat{k}$।
अतः,$\bar{p} \cdot \bar{q} = (m)(1) + (-6)(2) + (3)(2m) = m - 12 + 6m = 7m - 12$।
कोण अधिक कोण होने के लिए,$7m - 12 < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $7m < 12$ या $m < \frac{12}{7}$।

(A) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$,और $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$ है।
चूँकि $\bar{d}$,$\bar{a}+\bar{b}$ और $2\bar{b}-\bar{c}$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\bar{d} = x(\bar{a}+\bar{b}) + y(2\bar{b}-\bar{c}) = x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}$ है।
$\bar{d} \cdot \bar{a} = 1$ दिया गया है,अतः:
$(x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot \bar{a} = x|\bar{a}|^2 + (x+2y)(\bar{b} \cdot \bar{a}) - y(\bar{c} \cdot \bar{a}) = x(1) + 0 - 0 = x$ है।
अतः,$x = 1$ है।
अब,$\bar{d} = \bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}$ है।
$|\bar{d}|^2 = \bar{d} \cdot \bar{d} = (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c})$ है।
$|\bar{d}|^2 = |\bar{a}|^2 + (1+2y)^2|\bar{b}|^2 + y^2|\bar{c}|^2 + 2(1+2y)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2y(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2y(1+2y)(\bar{b} \cdot \bar{c})$ है।
मान रखने पर:
$|\bar{d}|^2 = 1 + (1+4y+4y^2)(4) + y^2(1) + 0 - 0 - 2y(1+2y)(1)$ है।
$|\bar{d}|^2 = 1 + 4 + 16y + 16y^2 + y^2 - 2y - 4y^2$ है।
$|\bar{d}|^2 = 13y^2 + 14y + 5$ है।

(A) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 5$,$|\bar{b}| = 12$,और $|\bar{c}| = 13$ है।
चूंकि प्रत्येक सदिश अन्य दो के योग के लंबवत है,इसलिए:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{b} \cdot (\bar{a} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$
इन समीकरणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$,और $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ है।
अब,परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 5^2 + 12^2 + 13^2 + 2(0 + 0 + 0)$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 25 + 144 + 169 = 338$
अतः,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{338}$।

(C) दिया गया है $\overline{m} \times \overline{q} = \overline{r} \times \overline{q}$,जिसे हम $(\overline{m} - \overline{r}) \times \overline{q} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $(\overline{m} - \overline{r})$ सदिश $\overline{q}$ के समांतर है।
अतः,$\overline{m} - \overline{r} = t \overline{q}$ किसी अदिश $t$ के लिए,जिससे $\overline{m} = \overline{r} + t \overline{q}$ प्राप्त होता है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\overline{m} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}$.
हमें दिया गया है $\overline{m} \cdot \overline{p} = 0$,जहाँ $\overline{p} = 2 \hat{i} + \hat{k}$.
अतः,$((4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{k}) = 0$.
$2(4+t) + 0(-3+t) + 1(7+t) = 0$.
$8 + 2t + 7 + t = 0 \implies 3t + 15 = 0 \implies t = -5$.
$\overline{m}$ के व्यंजक में $t = -5$ रखने पर:
$\overline{m} = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k} = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(D) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{q} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{r} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{s} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम दो आसन्न भुजाओं $PQ$ और $QR$ की लंबाई की गणना करते हैं।
सदिश $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}$।
भुजा $PQ$ की लंबाई $|\vec{PQ}| = |2\hat{i}| = 2$ है।
सदिश $\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = -2\hat{j}$।
भुजा $QR$ की लंबाई $|\vec{QR}| = |-2\hat{j}| = 2$ है।
आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = |\vec{PQ}| \times |\vec{QR}| = 2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\bar{0}$ है।
योग का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर: $(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = \bar{0} \cdot \bar{0} = 0$.
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
वर्गों की गणना करने पर: $9 + 16 + 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$50 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = -50$.
अतः,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -25$.

(D) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{d_1} = 3 \hat{i} + \lambda \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{d_2} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \lambda & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(-6 - \lambda) = (3\lambda + 4) \hat{i} - 7 \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(3\lambda + 4)^2 + (-7)^2 + (-(6 + \lambda))^2} = \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101}$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{2} \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101} = \frac{\sqrt{117}}{2}$,इसलिए $10\lambda^2 + 36\lambda + 101 = 117$.
$10\lambda^2 + 36\lambda - 16 = 0 \implies 5\lambda^2 + 18\lambda - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5\lambda - 2)(\lambda + 4) = 0$.
अतः,$\lambda = -4$ या $\lambda = 0.4$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\lambda = -4$ सही उत्तर है।

(B) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$ है,जहाँ $h$ शीर्ष $A$ से डाला गया लंब है।
क्षेत्रफल के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}| = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{|\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|}{|\bar{c} - \bar{b}|}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $y = \log_7 x$ है। चूँकि $x > 0$ है,$y$ का मान $(-\infty, \infty)$ में कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
सदिश $\overline{a} = (cy) \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overline{b} = y \hat{i} + (3cy) \hat{j} - 4 \hat{k}$ हैं।
सदिशों के अधिक कोण बनाने के लिए,उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए: $\overline{a} \cdot \overline{b} < 0$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (cy)(y) + (2)(3cy) + (3)(-4) < 0$
$cy^2 + 6cy - 12 < 0$.
इस द्विघात व्यंजक के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए ऋणात्मक होने हेतु,$y^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(c < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर (discriminant) $D$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0$
$36c^2 + 48c < 0$
$12c(3c + 4) < 0$.
मूल $c = 0$ और $c = -4/3$ हैं। असमिका $c \in (-4/3, 0)$ के लिए सत्य है।
अतः,$c \in (-4/3, 0)$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है कि $|\overline{a}|=5$ और $|\overline{b}|=3$.
हम जानते हैं कि $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5 \sqrt{5} = 5 \times 3 \times \sin \theta$.
$5 \sqrt{5} = 15 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{2}{3}$.
चूंकि $\theta$ एक अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $\cos \theta = -\frac{2}{3}$.
अब,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = 5 \times 3 \times (-\frac{2}{3}) = 15 \times (-\frac{2}{3}) = -10$.

(C) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 2, |\bar{b}| = 3, |\bar{c}| = 4$ है।
चूंकि $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ है।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$ है।
चूंकि $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$,इसलिए $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ है।
अब,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$ है।
मान रखने पर: $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$ है।
अतः,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$ है।

(A) दो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण होता है यदि उनका अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$ हो।
दिया गया है $\bar{a} = 2x^2 \hat{i} + 4x \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2x^2)(7) + (4x)(-2) + (1)(x) = 14x^2 - 8x + x = 14x^2 - 7x$।
कोण के अधिक कोण होने के लिए,हमें $14x^2 - 7x < 0$ की आवश्यकता है।
$7$ से विभाजित करने पर,हमें $2x^2 - x < 0$ प्राप्त होता है,जो $x(2x - 1) < 0$ है।
द्विघात समीकरण $x(2x - 1) = 0$ के मूल $x = 0$ और $x = \frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $x(2x - 1) < 0$ का मान $0 < x < \frac{1}{2}$ के लिए सत्य है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $\bar{b}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप = $\bar{c}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप,इसलिए $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ है।
इसका अर्थ है कि $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a}$,या $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$ है।
साथ ही,$\bar{b}, \bar{c}$ पर लंब है,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ है।
हमें $|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}|$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\bar{v} = \bar{a} + \bar{b} - \bar{c}$ है। तब $|\bar{v}|^2 = |\bar{a} + (\bar{b} - \bar{c})|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b} - \bar{c}|^2 + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} - \bar{c})$ है।
चूंकि $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$,इसलिए अंतिम पद $0$ होगा।
$|\bar{b} - \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2\bar{b} \cdot \bar{c} = 4^2 + 4^2 - 0 = 32$ है।
अतः,$|\bar{v}|^2 = |\bar{a}|^2 + 32 = 2^2 + 32 = 4 + 32 = 36$ है।
इसलिए,$|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}| = \sqrt{36} = 6$ है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c}+\bar{a}) = 0$,और $\bar{c} \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 0$ है।
इनका विस्तार करने पर,हमें $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$,और $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x = \bar{a} \cdot \bar{b}$,$y = \bar{b} \cdot \bar{c}$,और $z = \bar{c} \cdot \bar{a}$ है।
अतः $x+z=0$,$y+x=0$,और $z+y=0$ है।
इस प्रणाली को हल करने पर,हमें $x=y=z=0$ प्राप्त होता है।
अब,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 = 2^2 = 4$ है।
$|\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 6^2 = 36$ है।
$|\bar{c}+\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 = 4^2 = 16$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2) = 4 + 36 + 16 = 56$,इसलिए $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 28$ है।
अब $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 28 + 0 = 28$ है।
अतः,$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ है।

(B) माना $\vec{u} = \overline{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{v} = \overline{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = 15$ और $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ है।
$\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ है: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{-2 + 20 + 22}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$ है।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \frac{\sqrt{17}}{9}$ है।
जब $\vec{v}$ को $\alpha$ कोण से घुमाकर $\vec{v}'$ बनाया जाता है ताकि $\vec{v}' \perp \vec{u}$ हो,तो $\vec{v}'$ और $\vec{u}$ के बीच का नया कोण $90^\circ$ होता है।
इस प्रकार,$\alpha = |\theta - 90^\circ|$,इसलिए $\cos \alpha = \sin \theta = \frac{\sqrt{17}}{9}$ है।

(C) माना $\vec{a} = Cx \hat{i} - 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + 2Cx \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण अधिक कोण है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(Cx)(x) + (-6)(2) + (-3)(2Cx) < 0$।
$Cx^2 - 12 - 6Cx < 0$।
$Cx^2 - 6Cx - 12 < 0$।
सभी वास्तविक $x$ के लिए इस द्विघात व्यंजक को ऋणात्मक होने के लिए,$x^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(C < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर (discriminant) $D$ ऋणात्मक $(D < 0)$ होना चाहिए।
$D = (-6C)^2 - 4(C)(-12) = 36C^2 + 48C < 0$।
$12$ से भाग देने पर: $3C^2 + 4C < 0$।
$C(3C + 4) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $-\frac{4}{3} < C < 0$ हो।
अतः,$C$ का मान $(-\frac{4}{3}, 0)$ अंतराल में हो सकता है।

(B) दिए गए सदिश $\bar{a}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$,$\bar{b}=(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$,और $\bar{c}=(3 \hat{i}+\hat{j})$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ की गणना करें:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
चूंकि $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+1 \hat{j}+0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(D) दिए गए सदिश $\bar{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{c}=m\hat{i}+\hat{j}+n\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ और $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ होगा।
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ के लिए:
$(1)(m) + (-1)(1) + (2)(n) = 0$
$m - 1 + 2n = 0$
$m + 2n = 1$ ... $(i)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ के लिए:
$(2)(m) + (4)(1) + (1)(n) = 0$
$2m + n = -4$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$4m + 2n = -8$ ... $(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से $(i)$ को घटाने पर:
$(4m + 2n) - (m + 2n) = -8 - 1$
$3m = -9 \implies m = -3$।
$m = -3$ को $(i)$ में रखने पर:
$-3 + 2n = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$।
अतः,$(m, n) = (-3, 2)$।

(C) दिया गया है $\overline{R} \times \overline{B} = \overline{C} \times \overline{B}$,जिसे हम $(\overline{R} - \overline{C}) \times \overline{B} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $(\overline{R} - \overline{C})$ सदिश $\overline{B}$ के समांतर है,अतः किसी अदिश $k$ के लिए $\overline{R} - \overline{C} = k\overline{B}$।
अतः,$\overline{R} = \overline{C} + k\overline{B}$।
दिया गया है $\overline{R} \cdot \overline{A} = 0$,इसमें $\overline{R}$ का मान रखने पर:
$(\overline{C} + k\overline{B}) \cdot \overline{A} = 0
\Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + k(\overline{B} \cdot \overline{A}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overline{A} \cdot \overline{C} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) = 2(4) + 0(-3) + 1(7) = 8 + 7 = 15$।
$\overline{A} \cdot \overline{B} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 0(1) + 1(1) = 2 + 1 = 3$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$15 + k(3) = 0
\Rightarrow 3k = -15
\Rightarrow k = -5$।
अब,$\overline{R}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{R} = \overline{C} - 5\overline{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})
= (4-5)\hat{i} + (-3-5)\hat{j} + (7-5)\hat{k}
= -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.

(C) दिया गया है: $|\vec{a}| = \sqrt{27}$,$|\vec{b}| = 7$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$।
अतः,$\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{35}{\sqrt{27} \times 7} = \frac{5}{\sqrt{27}}$।
अब,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$।
इसलिए,$\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{27}}$ (मानते हुए कि $\theta$ न्यून कोण है)।
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = \sqrt{27} \times 7 \times \sqrt{\frac{2}{27}} = 7 \sqrt{2}$।

(D) दिया गया है: $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
सबसे पहले,$\overline{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overline{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
अब,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ ज्ञात करें:
$\overline{a} \times \overline{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ है।
दिया गया है कि $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|=3$ और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
सूत्र $|\overline{u} \times \overline{v}| = |\overline{u}||\overline{v}| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 = 3 \times |\overline{c}| \times \sin 30^{\circ} \Rightarrow 3 = 3 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} \Rightarrow |\overline{c}| = 2$.
अब,शर्त $|\overline{c}-\overline{a}|=3$ का उपयोग करने पर:
$|\overline{c}-\overline{a}|^2 = 9 \Rightarrow |\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
मान रखने पर: $2^2 + 3^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 4 + 9 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$13 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{c} = 2$.

(C) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \neq 0$ है।
हम जानते हैं कि $\overline{a} \cdot \overline{p} = \overline{a} \cdot \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$ है।
इसी प्रकार,$\overline{b} \cdot \overline{q} = \overline{b} \cdot \frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$ है।
और $\overline{c} \cdot \overline{r} = \overline{c} \cdot \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{c} \overline{a} \overline{b}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$2 \overline{a} \cdot \overline{p} + \overline{b} \cdot \overline{q} + \overline{c} \cdot \overline{r} = 2(1) + 1 + 1 = 4$।

(B) दिया गया है,$\bar{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों $(2 \bar{a}+\bar{b})$ और $(\bar{a}+2 \bar{b})$ की गणना करें:
$2 \bar{a}+\bar{b} = 2(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$.
$\bar{a}+2 \bar{b} = (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 5 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$.
अब,उनके परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें:
$|2 \bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{4^2+(-1)^2+5^2} = \sqrt{42}$.
$|\bar{a}+2 \bar{b}| = \sqrt{5^2+4^2+1^2} = \sqrt{42}$.
डॉट प्रोडक्ट (अदिश गुणन) ज्ञात करें:
$(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b}) = (4)(5) + (-1)(4) + (5)(1) = 20 - 4 + 5 = 21$.
सूत्र $\cos \theta = \frac{(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})}{|2 \bar{a}+\bar{b}| |\bar{a}+2 \bar{b}|}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) मान लीजिए $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\bar{c}=\hat{a}+2 \hat{b}$ और $\bar{d}=5 \hat{a}-4 \hat{b}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$\bar{c} \cdot \bar{d} = 0$
$(\hat{a}+2 \hat{b}) \cdot (5 \hat{a}-4 \hat{b}) = 0$
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}|=1$ और $|\hat{b}|=1$,और $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$ होगा।
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

(B) आसन्न भुजाओं $\overline{a}$ और $\overline{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overline{a} \times \overline{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करते हैं:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\alpha & 1 \\ 1 & \alpha & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3\alpha - \alpha) - \hat{j}(9 - 1) + \hat{k}(3\alpha + \alpha) = -4\alpha \hat{i} - 8 \hat{j} + 4\alpha \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{(-4\alpha)^2 + (-8)^2 + (4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$ है।
क्षेत्रफल $8\sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8\sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$।
$32\alpha^2 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$।
अब,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b} = (3\hat{i} - \alpha\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \alpha\hat{j} + 3\hat{k}) = 3(1) - \alpha(\alpha) + 1(3) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$।
$\alpha^2 = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\overline{a} \cdot \overline{b} = 6 - 4 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $|\overline{a}| = 2, |\overline{b}| = 3, |\overline{c}| = 4$.
चूँकि $\overline{a} \perp (\overline{b}+\overline{c})$,इसलिए $\overline{a} \cdot (\overline{b}+\overline{c}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
चूँकि $\overline{b} \perp (\overline{c}+\overline{a})$,इसलिए $\overline{b} \cdot (\overline{c}+\overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} = 0$.
चूँकि $\overline{c} \perp (\overline{a}+\overline{b})$,इसलिए $\overline{c} \cdot (\overline{a}+\overline{b}) = 0 \Rightarrow \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$.
अब,योग के परिमाण का वर्ग लें:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
अतः,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{29}$.

(D) दिया गया है कि $|\overline{A}|=3, |\overline{B}|=4, |\overline{C}|=5$ है।
चूंकि $\overline{A} \perp (\overline{B}+\overline{C})$,इसलिए $\overline{A} \cdot (\overline{B}+\overline{C}) = 0 \Rightarrow \overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot \overline{C} = 0$ है।
चूंकि $\overline{B} \perp (\overline{C}+\overline{A})$,इसलिए $\overline{B} \cdot (\overline{C}+\overline{A}) = 0 \Rightarrow \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot \overline{A} = 0$ है।
चूंकि $\overline{C} \perp (\overline{A}+\overline{B})$,इसलिए $\overline{C} \cdot (\overline{A}+\overline{B}) = 0 \Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + \overline{C} \cdot \overline{B} = 0$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A}) = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = |\overline{A}|^2 + |\overline{B}|^2 + |\overline{C}|^2 + 2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A})$ पर विचार करें।
मान रखने पर,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0 = 9 + 16 + 25 = 50$ है।
अतः,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}| = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0), A(\bar{a}+2\bar{b}), B(\bar{a}-2\bar{b})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OA} = \bar{a}+2\bar{b}$ और $\vec{OB} = \bar{a}-2\bar{b}$.
$\vec{OA} \times \vec{OB} = (\bar{a}+2\bar{b}) \times (\bar{a}-2\bar{b})$
$= \bar{a} \times \bar{a} - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) - 4(\bar{b} \times \bar{b})$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= 0 - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 0 = -4(\bar{a} \times \bar{b})$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(\bar{a} \times \bar{b})| = 2 |\bar{a} \times \bar{b}|$.
चूंकि $\bar{a} \perp \bar{b}$,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.
क्षेत्रफल $= 2 \times 6 = 12 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) दी गई शर्त के अनुसार,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$,$\overline{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(\overline{b}+\lambda \overline{a}) \cdot \overline{c} = 0$.
सबसे पहले,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$ की गणना करें:
$\overline{b}+\lambda \overline{a} = (-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}$.
अब,$\overline{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$((-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$3(-1+2\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(1+3\lambda) = 0$.
$-3 + 6\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$8\lambda - 1 = 0$.
$8\lambda = 1$.
$\lambda = \frac{1}{8}$.

(A) चूंकि सदिश $\overline{a}$,$\overline{b}$ और $\overline{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ और $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$।
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ के लिए:
$(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$\lambda - 1 + 2\mu = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1 \quad ...(i)$
$\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$ के लिए:
$(2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$2\lambda + 4 + \mu = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4 \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$4\lambda + 2\mu = -8 \quad ...(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(4\lambda + 2\mu) - (\lambda + 2\mu) = -8 - 1$
$3\lambda = -9 \implies \lambda = -3$।
$\lambda = -3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-3 + 2\mu = 1
2\mu = 4
\mu = 2$।
अतः,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$।