Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) माना $|a|=|b|=|c|=\lambda$ है।
चूंकि $a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ है।
अब,$|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$।
मान रखने पर,$|a+b+c|^2 = \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(0) = 3\lambda^2$।
अतः,$|a+b+c| = \sqrt{3}\lambda$।
माना $a$ और $a+b+c$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब,$\cos \theta = \frac{a \cdot (a+b+c)}{|a| |a+b+c|} = \frac{a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c}{|a| |a+b+c|} = \frac{|a|^2 + 0 + 0}{|a| |a+b+c|} = \frac{\lambda^2}{\lambda \cdot \sqrt{3}\lambda} = \frac{\lambda^2}{\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(C) सदिश $m$,$(2 \hat{i}+\hat{j})$ और $(\hat{j}-\hat{k})$ के साथ एक ही समतल में है।
अतः,$m = x(2 \hat{i}+\hat{j}) + y(\hat{j}-\hat{k}) = 2x \hat{i} + (x+y) \hat{j} - y \hat{k}$ है।
चूंकि $m$,$\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए:
$2x - (x+y) - y = 0 \Rightarrow x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$ है।
$x = 2y$ को $m$ के व्यंजक में रखने पर:
$m = 2(2y) \hat{i} + (2y+y) \hat{j} - y \hat{k} = 4y \hat{i} + 3y \hat{j} - y \hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m$ एक इकाई सदिश है,$|m| = 1$:
$\sqrt{(4y)^2 + (3y)^2 + (-y)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{16y^2 + 9y^2 + y^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{26y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$ है।
अतः,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$ है।
मूल बिंदु से समतल $r \cdot m = a \cdot m$ पर लंब की लंबाई $|a \cdot m|$ है।
$|a \cdot m| = |(\hat{i}-\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})| = \frac{1}{\sqrt{26}} |(1)(4) + (0)(3) + (-1)(-1)| = \frac{1}{\sqrt{26}} |4+1| = \frac{5}{\sqrt{26}}$ इकाई।

(B) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $A = 2a+3b-c$,$B = 3a+4b-2c$,$C = a-2b+3c$,और $D = a-6b+6c$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $r = A + t(B-A)$ है,जहाँ $t \in R$ है।
$r = (2a+3b-c) + t((3a+4b-2c) - (2a+3b-c))$
$r = (2a+3b-c) + t(a+b-c) = (2+t)a + (3+t)b + (-1-t)c$ ... $(i)$
$C$ और $D$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $r = C + s(D-C)$ है,जहाँ $s \in R$ है।
$r = (a-2b+3c) + s((a-6b+6c) - (a-2b+3c))$
$r = (a-2b+3c) + s(0a-4b+3c) = (1)a + (-2-4s)b + (3+3s)c$ ... (ii)
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम $a, b, c$ के गुणांकों की तुलना करते हैं क्योंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं:
$a$ के लिए: $2+t = 1 \Rightarrow t = -1$.
$b$ के लिए: $3+t = -2-4s \Rightarrow 3-1 = -2-4s \Rightarrow 2 = -2-4s \Rightarrow 4s = -4 \Rightarrow s = -1$.
$c$ के लिए जाँच: $-1-t = 3+3s \Rightarrow -1-(-1) = 3+3(-1) \Rightarrow 0 = 0$. यह सुसंगत है।
समीकरण $(i)$ में $t = -1$ रखने पर:
$r = (2-1)a + (3-1)b + (-1-(-1))c = a + 2b + 0c = a+2b$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $a+2b$ है।

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $a+b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a+b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2(a \cdot b) = -1$,इसलिए $a \cdot b = -1/2$ है।
अब,हमें $|a-b|^2$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ का उपयोग करते हुए,हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$|a-b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-1/2) = 1 + 1 + 1 = 3$.

(B) दिया गया है,$|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$।
चूंकि $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c})$,इसलिए $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \dots (i)$।
इसी प्रकार,$\vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \dots (ii)$।
और $\vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \dots (iii)$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0, \text{ और } \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$।
मान रखने पर,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 2(0 + 0 + 0) = 9 + 25 + 49 = 83$।
अंत में,$\sqrt{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $S$ है। तब शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$,जहाँ $R$ परित्रिज्या है।
लंबकेंद्र $O$ का स्थिति सदिश $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ ज्ञात करना है।
स्थिति सदिशों के संदर्भ में,यह $(\vec{a} - \vec{o}) + (\vec{b} - \vec{o}) + (\vec{c} - \vec{o})$ है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o}$.
चूंकि $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o}$.
चूंकि मूल बिंदु $S$ है,$\vec{o}$ सदिश $\vec{SO}$ है।
अतः,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = -2\vec{SO} = 2\vec{OS}$.

(D) दिया है: $|a|=3, |b|=4$ और कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $|4a+3b|^2 = (4a+3b) \cdot (4a+3b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24(a \cdot b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24|a||b| \cos \theta$.
मान रखने पर: $16(3)^2 + 9(4)^2 + 24(3)(4) \cos(120^{\circ})$.
$= 16(9) + 9(16) + 288 \times (-1/2)$.
$= 144 + 144 - 144 = 144$.
अतः,$|4a+3b| = \sqrt{144} = 12$.

(B) दिया गया है कि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = |\hat{b}| = |\hat{c}| = 1$ है।
दिया है $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) \cdot (\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0} = 0$।
अदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{b} \cdot \hat{b} + \hat{c} \cdot \hat{c} + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$।
चूँकि $|\hat{a}|^2 = \hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,इसलिए:
$1 + 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$।
$3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$।
$2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = -3$।
अतः,$\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} = -\frac{3}{2}$।

(A) दी गई शर्त है: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ ...$(i)$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ है।
माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
समीकरण $(i)$ से,हम लिख सकते हैं: $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\vec{a}+\vec{b})^2 = (-\vec{c})^2$।
विस्तार करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$।
मान रखने पर: $1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta = 1^2$।
$1 + 1 + 2 \cos \theta = 1$।
$2 + 2 \cos \theta = 1$।
$2 \cos \theta = -1$।
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$।

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ हैं।
माना $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ है।
अब,$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$ है।
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$ है।
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$ है।
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(1) + (-2)(-3) + (-6)(-5) = -1 + 6 + 30 = 35$ है।
$\cos A = \frac{35}{\sqrt{41} \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{41}}$ है।
अतः,$\cos^2 A = \frac{35}{41}$ है।

(D) माना कि $\overrightarrow{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
दिया गया है $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$,जिसका अर्थ है $a_1 = 1$ है।
आगे,$\overrightarrow{a} \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$ है।
इससे $2a_1 + a_2 = 1$ प्राप्त होता है। $a_1 = 1$ रखने पर,$2(1) + a_2 = 1$,अतः $a_2 = -1$ है।
अंत में,$\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$ है।
इससे $a_1 + a_2 + 3a_3 = 1$ प्राप्त होता है। $a_1 = 1$ और $a_2 = -1$ रखने पर,$1 - 1 + 3a_3 = 1$,अतः $3a_3 = 1$,जिसका अर्थ है $a_3 = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(3 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k})$ है।

(C) माना $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = \lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ है।
चूंकि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 0$
अदिश गुणनफल करने पर:
$(1)(\lambda) + (3)(-4) + (4)(1) = 0$
$\lambda - 12 + 4 = 0$
$\lambda - 8 = 0$
$\lambda = 8$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(3, -4, -4)$ हैं।
भुजाओं के सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
भुजाओं की लंबाई:
$c = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$
$a = |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
$b = |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$
समकोण त्रिभुज की शर्त $(a^2 + b^2 = c^2)$ की जाँच करने पर:
$a^2 + b^2 = 6 + 35 = 41$
$c^2 = 41$
चूँकि $a^2 + b^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$.
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{b}-\bar{c}|^2+|\bar{c}-\bar{a}|^2=15$.
यह $(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (|\bar{c}|^2+|\bar{a}|^2-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$ हो जाता है।
इकाई सदिश के परिमाण रखने पर: $(1+1-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (1+1-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$.
$6 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -\frac{9}{2}$.
अब,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 1 + 1 + 1 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
पिछले चरण से,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}$.
यह मान रखने पर: $|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = 3 - 2(-\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 + 9 + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12 + 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
अतः,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12$.

(B) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1, |\bar{c}|=1$.
चूंकि $\bar{a} \perp \bar{b}$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
दिया गया है $(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{c} \cdot \bar{b} - |\bar{c}|^2 = 0$.
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ और $|\bar{c}|^2 = 1$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
दिया गया है $\bar{c} = l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})$.
$\bar{a}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\bar{c} \cdot \bar{a} = l(\bar{a} \cdot \bar{a}) + m(\bar{b} \cdot \bar{a}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a} = l(1) + m(0) + 0 = l$.
$\bar{b}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\bar{c} \cdot \bar{b} = l(\bar{a} \cdot \bar{b}) + m(\bar{b} \cdot \bar{b}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{b} = l(0) + m(1) + 0 = m$.
इन मानों को $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$ में रखने पर,हमें $l - m = 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) \cdot (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) = 1$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}$ परस्पर लंबवत हैं,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}|\sin(90^{\circ}) = 1$.
अतः,$l^2 + m^2 + n^2(1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $n^2 = 1 - l^2 - m^2$.

(D) $\angle BAC$ ज्ञात करने के लिए,हमें सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = B - A = (5-0, 0-4, 12-(-3)) = (5, -4, 15)$
$\vec{AC} = C - A = (7-0, 24-4, 0-(-3)) = (7, 20, 3)$
इसके बाद,अदिश गुणन (dot product) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (5)(7) + (-4)(20) + (15)(3) = 35 - 80 + 45 = 0$
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle BAC = 90^{\circ}$।

(D) दिया गया है $\bar{a} = 4\bar{i} + 3\bar{j}$। चूँकि $\bar{b}$,$XOY$-समतल में $\bar{a}$ के लंबवत है,इसलिए $\bar{b}$ को $3\bar{i} - 4\bar{j}$ या $-3\bar{i} + 4\bar{j}$ की दिशा में होना चाहिए। मान लीजिए $\bar{b} = 3\bar{i} - 4\bar{j}$।
मान लीजिए $\bar{c} = x\bar{i} + y\bar{j}$।
$\bar{c}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = 1$ है,अतः $\frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$।
$\bar{c}$ का $\bar{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{c} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|} = 2$ है,अतः $\frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$।
समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $16x + 12y = 20$ और $9x - 12y = 30$।
दोनों को जोड़ने पर: $25x = 50 \implies x = 2$।
$x = 2$ को $4x + 3y = 5$ में रखने पर: $8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$।
अतः,$\bar{c} = 2\bar{i} - \bar{j}$।

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण अधिक कोण होता है यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (cx)(x) + (-6)(2) + (3)(2cx) = cx^2 - 12 + 6cx$।
हमें सभी वास्तविक $x$ के लिए $cx^2 + 6cx - 12 < 0$ की आवश्यकता है।
एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C < 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$x^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(A < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक $(D < 0)$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = c$,$B = 6c$,और $C = -12$ है।
शर्त $1$: $c < 0$।
शर्त $2$: $D = B^2 - 4AC = (6c)^2 - 4(c)(-12) = 36c^2 + 48c < 0$।
$12c(3c + 4) < 0$।
मूल $c = 0$ और $c = -4/3$ हैं।
असमिका के सत्य होने के लिए,$c$ को मूलों के बीच स्थित होना चाहिए: $-4/3 < c < 0$।
अतः,$c$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय $\left(-\frac{4}{3}, 0\right)$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{f}, \vec{g},$ और $\vec{h}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं।
अतः,$\vec{f} \cdot \vec{g} = \vec{g} \cdot \vec{h} = \vec{f} \cdot \vec{h} = 0$.
मान लीजिए $|\vec{f}| = |\vec{g}| = |\vec{h}| = k$.
अब,मान लीजिए $\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}$ और $\vec{h}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब,$(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| |\vec{h}| \cos \theta$.
चूंकि $\vec{f} \cdot \vec{h} = 0$ और $\vec{g} \cdot \vec{h} = 0$,हमें प्राप्त होता है $(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{h}|^2 = k^2$.
साथ ही,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + |\vec{h}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g} + \vec{g} \cdot \vec{h} + \vec{h} \cdot \vec{f}) = k^2 + k^2 + k^2 = 3k^2$.
अतः,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| = \sqrt{3}k$.
इन मानों को अदिश गुणनफल के सूत्र में रखने पर: $k^2 = (\sqrt{3}k)(k) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $\vec{c}$ और $\vec{d}$ लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।
$\vec{c}$ और $\vec{d}$ के मान रखने पर: $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $5|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8|\vec{b}|^2 = 0$।
$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ रखने पर: $5(1)^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1)^2 = 0$।
$5 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 = 0 \Rightarrow 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार: $|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$।
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AM}$ और $\overrightarrow{AN} = K \overrightarrow{AC}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{BN} \perp \overrightarrow{CM}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है,अर्थात $\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0$ है।
हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ है।
अब,$(K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$ है।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\frac{K}{3} (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) - K |\overrightarrow{AC}|^2 - \frac{1}{3} |\overrightarrow{AB}|^2 + (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 0$ है।
चूंकि $ABC$ भुजा $a$ वाला एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$ और $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos(60^{\circ}) = \frac{a^2}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K}{3} (\frac{a^2}{2}) - K a^2 - \frac{1}{3} a^2 + \frac{a^2}{2} = 0$ है।
$\frac{K a^2}{6} - K a^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{2}$ है।
$-\frac{5K a^2}{6} = -\frac{a^2}{6}$ है।
$K = \frac{1}{5}$।

(D) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d}_1 = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d}_2 = \vec{a} - \vec{b}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{d}_1 = (2+1)\hat{i} + (4+2)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{d}_2 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
माना विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{||\vec{d}_1|| ||\vec{d}_2||}$ है।
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (3)(1) + (6)(2) + (-2)(-8) = 3 + 12 + 16 = 31$.
$||\vec{d}_1|| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$||\vec{d}_2|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{31}{7 \sqrt{69}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{31}{7 \sqrt{69}}\right)$।

(B) दिए गए सदिश $\vec{f} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{g} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$\vec{f}$ का $\vec{g}$ पर प्रक्षेप सदिश का सूत्र $\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{g}}{|\vec{g}|^2} \right) \vec{g}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{f} \cdot \vec{g} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(3) = 2 - 1 + 3 = 4$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{g}$ के परिमाण का वर्ग $|\vec{g}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \frac{4}{14} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = \frac{2}{7} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
$\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन की गणना करें: $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश का सूत्र $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(-2) + (3)(1) = 2 - 6 + 3 = -1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-1}{6} (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{6} (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$।

(B) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{u} = 2 \vec{a}$ और $\vec{v} = \frac{\vec{b}}{2}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{(2 \vec{a}) \cdot (\frac{\vec{b}}{2})}{|2 \vec{a}| |\frac{\vec{b}}{2}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)(\sqrt{2}) + (2)(-\sqrt{2}) + (4)(0) = -4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = -6 \sqrt{2}$ की गणना करें।
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{-6 \sqrt{2}}{6 \times 2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta = 135^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ और $\cos \theta = \frac{4}{21}$.
सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के अनुसार,$4 = 7 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{4}{21}$.
$4 = |\vec{b}| \cdot \frac{4}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = 3$.
विकल्प $(d)$ की जाँच करने पर: $\vec{a} + \vec{b} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$.

(B) माना $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + t(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (2 + 6t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (-2 - 3t)\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{c}|$ के न्यूनतम होने के लिए,$|\vec{c}|^2$ का न्यूनतम होना आवश्यक है।
माना $f(t) = |\vec{c}|^2 = (2 + 6t)^2 + (-1 + 2t)^2 + (-2 - 3t)^2$.
$f(t) = (4 + 24t + 36t^2) + (1 - 4t + 4t^2) + (4 + 12t + 9t^2) = 49t^2 + 32t + 9$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(t) = 98t + 32 = 0$.
$t = -\frac{32}{98} = -\frac{16}{49}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न का उद्देश्य प्रक्षेप या किसी विशिष्ट अदिश गुणनफल को न्यूनतम करना है,तो सामान्यतः $t = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$ और $|\vec{b}|^2 = 49$ की गणना करने पर,$t = -\frac{16}{49}$ प्राप्त होता है। यदि सदिश $\vec{b}$ में त्रुटि हो और वह $4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ हो,तो $t = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होगा।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
दिया गया है $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$।
$1 + 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,जिसका अर्थ है $2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
अब,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 3$।
अतः,$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
सर्वसमिका $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{4}$।
इसलिए,$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अंत में,$2|\vec{a} + \vec{b}| \cos \frac{\theta}{2} = 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$।

(A) दिया गया है कि $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+\vec{b}) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$,जो सरल होकर $6|\vec{a}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} \dots (i)$.
साथ ही,$(\vec{a}+4 \vec{b}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,जो सरल होकर $-|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3}$.
$18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 = 28|\vec{b}|^2 - 7|\vec{a}|^2$,इसलिए $25|\vec{a}|^2 = 43|\vec{b}|^2$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}| = \sqrt{\frac{43}{25}} |\vec{b}| = \frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|$.
$|\vec{a}|^2 = \frac{43}{25} |\vec{b}|^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{57}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{19}{25} |\vec{b}|^2$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$,हमें प्राप्त होता है $\cos \theta = \frac{\frac{19}{25} |\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|) |\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{5\sqrt{43}}\right)$.

(C) मान लीजिए $\vec{a'}, \vec{b'}, \vec{c'}$ क्रमशः शीर्षों $A', B', C'$ के स्थिति सदिश हैं।
चूंकि शीर्षों से होकर सम्मुख भुजाओं के समानांतर रेखाएं खींची गई हैं,इसलिए $A$,$B'C'$ का मध्य-बिंदु है,$B$,$A'C'$ का मध्य-बिंदु है,और $C$,$A'B'$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\vec{a} = \frac{\vec{b'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{b'} + \vec{c'} = 2\vec{a}$
$\vec{b} = \frac{\vec{a'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{c'} = 2\vec{b}$
$\vec{c} = \frac{\vec{a'} + \vec{b'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{b'} = 2\vec{c}$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}) = 2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\Delta A'B'C'$ का केंद्रक $G' = \frac{\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\vec{b}+\vec{c}=-\vec{a}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (-\vec{a}) \cdot (-\vec{a})$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos \theta = 7^2$।
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$।
$34 + 30 \cos \theta = 49$।
$30 \cos \theta = 15$।
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$ है।
चूंकि $a, b$ और $c$ वाले तल के लंबवत है,इसलिए $a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$ है।
$b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $b \cdot c = |b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ पर विचार करें।
मान रखने पर: $|a+b+c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + \frac{1}{2} + 0)$।
$|a+b+c|^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$।
अतः,$|a+b+c| = \sqrt{4} = 2$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$।
इसका विस्तार करने पर $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=4$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2+(3)^2+(4)^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$1+9+16+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$26+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -26$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -13$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-7 \hat{k}$ और $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल से,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) \vec{r} \cdot \vec{a} = 2x + 3y + z = 9$
$2) \vec{r} \cdot \vec{b} = 4x + y = 7$
$3) \vec{r} \cdot \vec{c} = x - 3y - 7z = 6$
समीकरण $(2)$ से,$y = 7 - 4x$ प्राप्त होता है।
$y$ का मान $(1)$ और $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1) \Rightarrow 2x + 3(7 - 4x) + z = 9 \Rightarrow 2x + 21 - 12x + z = 9 \Rightarrow -10x + z = -12 \Rightarrow z = 10x - 12$
$(3) \Rightarrow x - 3(7 - 4x) - 7(10x - 12) = 6$
$x - 21 + 12x - 70x + 84 = 6$
$-57x + 63 = 6$
$-57x = -57 \Rightarrow x = 1$
अब,$y$ और $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y = 7 - 4(1) = 3$
$z = 10(1) - 12 = -2$
अतः,$(x, y, z) = (1, 3, -2)$.

(C) माना परिवृत्त का केंद्र मूल बिंदु $O$ है और त्रिज्या $R$ है। शीर्ष $A, B, C, D$ को सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$ है।
दिया गया है कि $(AB)^2 + (CD)^2 = 4R^2$ है।
हम जानते हैं कि $(AB)^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ और $(CD)^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2 = 2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$।
$4R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$।
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 0$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।

(D) दिया गया है कि $|\vec{a}|=13, |\vec{b}|=5$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=60$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
मान रखने पर: $60 = 13 \times 5 \times \cos \theta = 65 \cos \theta$।
अतः,$\cos \theta = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}$।
अब,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{5}{13}$।
हम यह भी जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ होता है।
मान रखने पर: $|\vec{a} \times \vec{b}| = 13 \times 5 \times \frac{5}{13} = 25$।

(C) मान लीजिए $\vec{u} = \sqrt{P^2-4} \hat{i} + P \hat{j} + \sqrt{P^2+4} \hat{k}$ और $\vec{v} = \tan A \hat{i} + \tan B \hat{j} + \tan C \hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{P^2-4} \tan A + P \tan B + \sqrt{P^2+4} \tan C = 6P$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,$\vec{u}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{P^2-4})^2 + P^2 + (\sqrt{P^2+4})^2} = \sqrt{P^2-4 + P^2 + P^2+4} = \sqrt{3P^2} = \sqrt{3} |P|$।
अतः,$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = \sqrt{3} |P| \sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} \cos \theta = 6P$ है।
चूंकि $|P| \geq 2$,इसलिए $\sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} = \frac{6P}{\sqrt{3} P \cos \theta} = 2\sqrt{3} \sec \theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C = (2\sqrt{3})^2 \sec^2 \theta = 12 \sec^2 \theta$ है।
चूंकि $\sec^2 \theta \geq 1$,इसलिए न्यूनतम मान $12(1) = 12$ है।

(A) दिया गया है कि $a \times b = 2(a \times c)$,जिसे हम $a \times (b - 2c) = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि सदिश $(b - 2c)$,$a$ के समांतर है।
चूंकि $b - 2c = \lambda a$,हम इसके परिमाण का वर्ग ज्ञात करते हैं:
$|b - 2c|^2 = |b|^2 + 4|c|^2 - 4(b \cdot c)$.
यहाँ $|b| = 4$,$|c| = 1$,और $b$ तथा $c$ के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ है,इसलिए $b \cdot c = |b||c| \cos \theta = 4 \times 1 \times \frac{1}{4} = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|b - 2c|^2 = 4^2 + 4(1)^2 - 4(1) = 16 + 4 - 4 = 16$.
चूंकि $b - 2c = \lambda a$,इसलिए $|\lambda a|^2 = 16$,जिसका अर्थ है $\lambda^2 |a|^2 = 16$.
$|a| = 1$ होने के कारण,$\lambda^2 = 16$,अतः $\lambda = \pm 4$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $4$ है।

(D) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(\lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$2 \lambda^2 + 3 \lambda + 5 = 0$
इस द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31$ है।
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए $\lambda$ का कोई भी वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,वास्तविक मानों का समुच्चय $\phi$ है।

(A) दिया है $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\bar{b} = \sqrt{2} \hat{i} + 3 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \hat{k}$.
यहाँ $|\bar{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3 \sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{2 + 18 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(45^{\circ})$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_1(\sqrt{2}) + a_2(3 \sqrt{2}) + a_3(4) = \sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3$.
अतः,$\sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3 = |\bar{a}| \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} |\bar{a}|$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\sqrt{2}(a_1 + 3a_2 - 3|\bar{a}|) + 4a_3 = 0$.
चूंकि $a_1, a_2, a_3$ और $|\bar{a}|$ परिमेय हैं,समीकरण को संतुष्ट करने के लिए अपरिमेय भाग शून्य होना चाहिए और परिमेय भाग भी शून्य होना चाहिए।
अतः,$4a_3 = 0 \Rightarrow a_3 = 0$.
चूंकि $a_3 = 0$,सदिश $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j}$ $XY$-समतल में स्थित है।

(A) दिया गया है: $a = 4 \hat{i} + 6 \hat{j}$ और $b = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$a$ का $b$ पर प्रक्षेप सदिश $c = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b = (4 \hat{i} + 6 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 18$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ज्ञात करें।
अतः,$c = \left( \frac{18}{25} \right) b$.
अब,परिमाण $|c| = \left| \frac{18}{25} \right| |b| = \frac{18}{25} \times \sqrt{3^2 + 4^2} = \frac{18}{25} \times 5 = \frac{18}{5}$ ज्ञात करें।
इसलिए,$c = \frac{18}{25} b$ और $|c| = \frac{18}{5}$ है।

(C) हम जानते हैं कि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है।
अतः,$(\vec{a}+t \vec{b}) \cdot (\vec{a}-t \vec{b}) = 0$
वितरण नियम का उपयोग करके अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$|\vec{a}|^2 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,इसलिए मध्य पद कट जाएंगे:
$|\vec{a}|^2 - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
दिए गए मान $|\vec{a}|=2$ और $|\vec{b}|=3$ रखने पर:
$2^2 - t^2(3^2) = 0$
$4 - 9t^2 = 0$
$9t^2 = 4$
$t^2 = \frac{4}{9}$
$t = \pm \frac{2}{3}$
चूंकि $t$ एक धनात्मक अदिश है,इसलिए $t = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।