Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
सबसे पहले,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ है।
अब,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$(1)(p) + (-1)(1) + (2)(q) = p - 1 + 2q = 0 \implies p + 2q = 1$ ... $(i)$
फिर,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$(2)(p) + (4)(1) + (1)(q) = 2p + 4 + q = 0 \implies 2p + q = -4$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$q = -4 - 2p$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p + 2(-4 - 2p) = 1$
$p - 8 - 4p = 1$
$-3p = 9 \implies p = -3$
$p = -3$ का मान $q = -4 - 2p$ में रखने पर:
$q = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$
अतः,$(p, q) = (-3, 2)$।

(B) माना $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि $(5 \overline{a} + 4 \overline{b})$ और $(\overline{a} - 2 \overline{b})$ एक-दूसरे पर लंब हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$(5 \overline{a} + 4 \overline{b}) \cdot (\overline{a} - 2 \overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 10(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 4(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 - 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
$|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ रखने पर,$5(1)^2 - 6(1)(1)\cos \theta - 8(1)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$5 - 6 \cos \theta - 8 = 0$
$-6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।

(B) माना $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि $\overline{c} = \overline{a} + 2\overline{b}$ और $\overline{d} = 5\overline{a} - 4\overline{b}$ परस्पर लंब हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$
$(\overline{a} + 2\overline{b}) \cdot (5\overline{a} - 4\overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 10(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 + 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
यहाँ $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ रखने पर:
$5(1) + 6 \cos \theta - 8(1) = 0$
$6 \cos \theta - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(C) माना $\overline{u} = 3 \overline{a} + 5 \overline{b}$ और $\overline{v} = 5 \overline{a} + 3 \overline{b}$.
$\overline{u} = 3(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 5(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (3+10)\hat{i} + (-6+15)\hat{j} + (9-5)\hat{k} = 13 \hat{i} + 9 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$\overline{v} = 5(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (5+6)\hat{i} + (-10+9)\hat{j} + (15-3)\hat{k} = 11 \hat{i} - \hat{j} + 12 \hat{k}$.
$\overline{u}$ और $\overline{v}$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{|\overline{u}| |\overline{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overline{u} \cdot \overline{v} = (13)(11) + (9)(-1) + (4)(12) = 143 - 9 + 48 = 182$.
$|\overline{u}| = \sqrt{13^2 + 9^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 81 + 16} = \sqrt{266}$.
$|\overline{v}| = \sqrt{11^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{121 + 1 + 144} = \sqrt{266}$.
$\cos \theta = \frac{182}{\sqrt{266} \cdot \sqrt{266}} = \frac{182}{266} = \frac{13}{19}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{19}\right)$.

(C) माना $\bar{r}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के समतल में एक सदिश है। तब,$\bar{r} = \bar{a} + m\bar{b}$ किसी अदिश $m$ के लिए।
$\bar{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + m(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+m)\hat{i} + (2-m)\hat{j} + (1+m)\hat{k}$.
$\bar{r}$ का $\bar{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{r} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ की गणना करें।
अब,$\bar{r} \cdot \bar{c} = (1+m)(1) + (2-m)(1) + (1+m)(-1) = 1+m + 2-m - 1-m = 2-m$.
अतः,$\frac{2-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 2-m = 1 \Rightarrow m = 1$.
$m=1$ को $\bar{r}$ के समीकरण में रखने पर:
$\bar{r} = (1+1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1+1)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
यदि हम प्रक्षेप को $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ के रूप में लेते हैं,तो $2-m = -1 \Rightarrow m = 3$.
$m=3$ के लिए,$\bar{r} = (1+3)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) सबसे पहले,हम सदिशों $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4-(-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\overline{AB}$ का $\overline{CD}$ पर सदिश प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश प्रक्षेप} = (\overline{AB} \cdot \hat{CD}) \hat{CD} = (\overline{AB} \cdot \overline{CD}) \frac{\overline{CD}}{|\overline{CD}|^2}$
अदिश गुणनफल $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ की गणना करें:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
परिमाण का वर्ग $|\overline{CD}|^2$ की गणना करें:
$|\overline{CD}|^2 = 3^2 + (-6)^2 + 2^2 = 9 + 36 + 4 = 49$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{सदिश प्रक्षेप} = (-1) \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{49} = -\frac{1}{49}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k})$

(C) माना $\overline{d} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
$\overline{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$
$\overline{d} = (2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}$.
चूंकि $\overline{d}$,$\overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$.
$(\hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot [(2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}] = 0$.
$1(2 + 2\lambda) + 3(3 + \lambda) + 0(2 - \lambda) = 0$.
$2 + 2\lambda + 9 + 3\lambda = 0$.
$5\lambda + 11 = 0$.
$\lambda = -\frac{11}{5}$.

(B) माना कि $\vec{a}$ बिंदुओं $A(-2,0,3)$ और $B(1,4,2)$ को मिलाने वाला सदिश है।
$\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
माना कि $\vec{b}$ उस रेखा के अनुदिश सदिश है जिसके दिक्-अनुपात $6, -2, 3$ हैं,अतः $\vec{b} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(6) + (4)(-2) + (-1)(3) = 18 - 8 - 3 = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,अदिश प्रक्षेप $\frac{7}{7} = 1$ है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि $(\bar{a}+2 \bar{b})$ और $(5 \bar{a}-4 \bar{b})$ एक-दूसरे पर लंब हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot (5 \bar{a}-4 \bar{b}) = 0$
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
$|\bar{a}|^2 = 1$ और $|\bar{b}|^2 = 1$ रखने पर:
$5(1) + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1) = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 3 = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta$,इसलिए:
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{3}$

(D) दिया गया है $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b} \times \overline{a} \implies (\overline{r} - \overline{b}) \times \overline{a} = \overline{0}$। इसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_1$ के लिए $(\overline{r} - \overline{b}) = k_1 \overline{a}$।
इसी प्रकार,$\overline{r} \times \overline{b} = \overline{a} \times \overline{b} \implies (\overline{r} - \overline{a}) \times \overline{b} = \overline{0}$। इसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_2$ के लिए $(\overline{r} - \overline{a}) = k_2 \overline{b}$।
पहले समीकरण से,$\overline{r} = \overline{b} + k_1 \overline{a} = (2\hat{j} - \hat{k}) + k_1(\hat{i} + \hat{j}) = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$।
दूसरे समीकरण से,$\overline{r} = \overline{a} + k_2 \overline{b} = (\hat{i} + \hat{j}) + k_2(2\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} + (1+2k_2)\hat{j} - k_2\hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$k_1 = 1$
$2+k_1 = 1+2k_2 \implies 2+1 = 1+2k_2 \implies 2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$
$-1 = -k_2 \implies k_2 = 1$।
$k_1=1$ को $\overline{r} = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$ में रखने पर,हमें $\overline{r} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\overline{r}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$ है।
अतः,$\frac{\overline{r}}{|\overline{r}|} = \frac{\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$।

(B) दिया गया है कि $\overline{a} \cdot(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b} \cdot(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c} \cdot(\overline{a}+\overline{b})=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{b} \cdot \overline{a}$,आदि।
अतः,$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$।
हम जानते हैं कि $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$।
दिए गए मान $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=8, |\overline{c}|=4$ और ऊपर प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1^2 + 8^2 + 4^2 + 2(0) = 1 + 64 + 16 = 81$।
इसलिए,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{81} = 9$।

(A) हमें व्यंजक $E = |(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ दिया गया है।
क्रॉस प्रोडक्ट पद का विस्तार करने पर:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{a}) + (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{b} \times \bar{b})$.
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और गुणधर्म $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{b}) - (-(\bar{a} \times \bar{b})) = 2(\bar{a} \times \bar{b})$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
$4$ कॉमन लेने पर:
$E = 4(|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2)$.
लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
अतः,$E = 4 |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
दिया गया है कि $|\bar{a}|=4$ और $|\bar{b}|=3$:
$E = 4 \times (4)^2 \times (3)^2 = 4 \times 16 \times 9 = 576$.

(B) माना $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
दिया गया है $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b}$,अतः:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
$(4y - 3z) \hat{i} - (4x - 2z) \hat{j} + (3x - 2y) \hat{k} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$4y - 3z = 1$ $(1)$
$4x - 2z = 2 \Rightarrow 2x - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 1$ $(2)$
$3x - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 3x - 1 \Rightarrow y = \frac{3x - 1}{2}$ $(3)$
दिया गया है $\overline{r} \cdot \overline{c} = 3$,अतः $x + y - z = 3$ $(4)$
$(2)$ और $(3)$ को $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + \frac{3x - 1}{2} - (2x - 1) = 3$
$2x + 3x - 1 - 4x + 2 = 6$
$x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5$
$x=5$ का मान $(2)$ और $(3)$ में रखने पर:
$z = 2(5) - 1 = 9$
$y = \frac{3(5) - 1}{2} = 7$
अतः,$\overline{r} = 5 \hat{i} + 7 \hat{j} + 9 \hat{k}$
$|\overline{r}| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155}$

(B) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$.
दिया गया समीकरण: $\overline{a} + 2\overline{c} = -2\overline{b}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overline{a} + 2\overline{c}|^2 = |-2\overline{b}|^2$
$|\overline{a}|^2 + 4|\overline{c}|^2 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4|\overline{b}|^2$
चूंकि $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$,इसलिए:
$1 + 4(1) + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4(1)$
$5 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4$
$4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = -1$
$\overline{a} \cdot \overline{c} = -\frac{1}{4}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \theta = \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = -\frac{1}{4}$.
तब $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
अंत में,$|\overline{a} \times \overline{c}| = |\overline{a}||\overline{c}| \sin \theta = (1)(1) \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) हमें व्यंजक $(a \vec{b} + b \vec{a}) \cdot (a \vec{b} - b \vec{a})$ दिया गया है।
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम इसका विस्तार करते हैं:
$= (a \vec{b}) \cdot (a \vec{b}) - (a \vec{b}) \cdot (b \vec{a}) + (b \vec{a}) \cdot (a \vec{b}) - (b \vec{a}) \cdot (b \vec{a})$
$= a^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - ab (\vec{b} \cdot \vec{a}) + ab (\vec{a} \cdot \vec{b}) - b^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
चूंकि अदिश गुणन क्रमविनिमेय है,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,इसलिए मध्य के पद कट जाएंगे:
$= a^2 |\vec{b}|^2 - b^2 |\vec{a}|^2$
यदि $a = |\vec{a}|$ और $b = |\vec{b}|$ है,तो:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
चूंकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ (मानते हुए कि $\theta$ न्यून कोण है)।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \frac{1}{\sqrt{26}} = 7$.

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण अधिक कोण होता है यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
दिया गया है $\vec{a} = 2\lambda^2 \hat{i} + 4\lambda \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + \lambda \hat{k}$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\lambda^2)(7) + (4\lambda)(-2) + (1)(\lambda) < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 8\lambda + \lambda < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 7\lambda < 0$
$\Rightarrow 7\lambda(2\lambda - 1) < 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $\lambda = 0$ और $\lambda = \frac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,व्यंजक $7\lambda(2\lambda - 1)$ का मान $\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,$\lambda$ का मान $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ में स्थित है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
हमें $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=1$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = 1^2$
$|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2+2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 1$
चूंकि $\bar{b} \perp \bar{c}$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
साथ ही,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \alpha = \cos \alpha$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}||\bar{c}| \cos \beta = \cos \beta$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$1+1+1+2(\cos \alpha + 0 + \cos \beta) = 1$
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = -2$
$\cos \alpha + \cos \beta = -1$

(B) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में किसी भी सदिश $\vec{V}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\vec{V} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
$\vec{V} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}$.
$\vec{V}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $\vec{c} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \vec{V} \cdot \vec{c} = 1$.
$((1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = 1$.
$(1+\lambda) - (1-\lambda) - (1+\lambda) = 1$.
$1 + \lambda - 1 + \lambda - 1 - \lambda = 1$.
$\lambda - 1 = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान $\vec{V}$ में रखने पर:
$\vec{V} = (1+2)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$.
इसका अर्थ है कि $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$.
अतः,$\vec{c} - \vec{a} = \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,इसलिए $\vec{c} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$.
दिया गया है कि $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,तो $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
इन मानों को रखने पर: $6 + \lambda(4) = 0 \Rightarrow 4\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
अब,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{b})$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\vec{r} = t\vec{a} + u\vec{b}$ जहाँ $t$ और $u$ अदिश हैं।
$\vec{r} = t(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + u(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (t+u)\hat{i} + (t-u)\hat{j} + (t+u)\hat{k} \dots (i)$
दिया गया है कि $\vec{r}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
$\vec{r} \cdot \vec{c} = (t+u)(1) + (t-u)(-1) + (t+u)(-1) = t+u - t+u - t-u = u-t$.
अतः,$\frac{u-t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow u-t = 1 \Rightarrow u = t+1$.
समीकरण $(i)$ में $u = t+1$ रखने पर:
$\vec{r} = (t + t + 1)\hat{i} + (t - (t + 1))\hat{j} + (t + t + 1)\hat{k}$
$\vec{r} = (2t+1)\hat{i} - \hat{j} + (2t+1)\hat{k}$.

(B) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b} = \lambda \vec{c} \quad \dots(i)$ और $\vec{b}+\vec{c} = \mu \vec{a} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{a}-\vec{c} = \lambda \vec{c} - \mu \vec{a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+\mu)\vec{a} = (1+\lambda)\vec{c}$.
चूंकि दो सदिश संरेख हैं,मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख हैं,तो $\vec{b} = k\vec{a}$.
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $|k\vec{a}| = |\vec{a}| \Rightarrow |k|=1$,अतः $k=1$ या $k=-1$.
यदि $k=1$ है,तो $\vec{b}=\vec{a}$,तो $\vec{a}+\vec{a} = 2\vec{a}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है,इसलिए $\vec{c} = \pm \vec{a}$.
यदि $\vec{c} = -\vec{a}$ है,तो $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{a}+\vec{a}-\vec{a} = \vec{a} \neq 0$. हालाँकि,संरेखता की शर्तों से $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ प्राप्त होता है.
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ सूत्र का उपयोग करते हुए.
चूंकि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$,इसलिए $0 = 2+2+2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$.
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -6$.
इस प्रकार,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -3$.

(D) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$।
यहाँ दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = \sqrt{2}$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(C) दिया गया है: $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
मान रखने पर: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{\sqrt{26}})^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$.
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times (\pm \frac{1}{\sqrt{26}}) = \pm 7$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2+5^2+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$,जहाँ $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$9+25+2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34+30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49-34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b}$.
हम जानते हैं कि $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$,इसलिए $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b} = -\vec{b} \times (2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें मिलता है $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \vec{b} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
इसका अर्थ है $(\vec{a}+\vec{b}) \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
इसका मतलब है कि सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ सदिश $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ के समानांतर है।
माना $\vec{a}+\vec{b} = \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a}+\vec{b}| = |\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = |\lambda| \sqrt{4+9+16} = |\lambda| \sqrt{29}$.
दिया गया है $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{29}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,जिससे $\lambda = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a}+\vec{b} = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
अब,अदिश गुणनफल की गणना करते हैं: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$.
$= \pm((2)(-7) + (3)(2) + (4)(3)) = \pm(-14 + 6 + 12) = \pm 4$.
इसलिए,एक संभावित मान $4$ है।

(C) दिया गया है कि $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$,$\vec{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
सबसे पहले,$(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ की गणना करें:
$\vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$
अब,$\vec{c} = 3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल लें:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2-\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(3+\lambda) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
साथ ही,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$ मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(C) दी गई शर्त: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$.
पहली समानता पर विचार करें: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS}$.
उभयनिष्ठ सदिशों को बाहर निकालने पर: $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = \overrightarrow{OS} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR})$.
इसका अर्थ है: $(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS}) \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = 0$.
चूंकि $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{SP}$ और $\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{RQ}$,इसलिए हमें $\overrightarrow{SP} \cdot \overrightarrow{RQ} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{QR}$.
इसी प्रकार,समानता के अन्य भागों पर विचार करने पर,हमें $\overrightarrow{QS} \perp \overrightarrow{PR}$ और $\overrightarrow{RS} \perp \overrightarrow{PQ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S$ त्रिभुज $PQR$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $S$ लंबकेंद्र है।

(A) हमें दिया गया है $|\vec{a}|=5$,$|\vec{b}|=13$,और $|\vec{a} \times \vec{b}|=25$।
सूत्र $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$25 = 5 \times 13 \sin \theta$
$25 = 65 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$।
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,कोण $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है,जहाँ $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 13 \times (-\frac{12}{13}) = -60$।

(A) सबसे पहले,हम सदिश $\overline{PQ}$ और $\overline{AB}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{PQ} = (3 - (-2)) \hat{i} + (2 - 1) \hat{j} + (5 - 3) \hat{k} = 5 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$\overline{AB} = (7 - 4) \hat{i} + (-5 - (-3)) \hat{j} + (-1 - 5) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overline{PQ}$ का $\overline{AB}$ पर सदिश प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश प्रक्षेप} = \frac{(\overline{PQ} \cdot \overline{AB}) \overline{AB}}{|\overline{AB}|^2}$
अदिश गुणनफल $\overline{PQ} \cdot \overline{AB}$ की गणना करें:
$\overline{PQ} \cdot \overline{AB} = (5)(3) + (1)(-2) + (2)(-6) = 15 - 2 - 12 = 1$
परिमाण का वर्ग $|\overline{AB}|^2$ की गणना करें:
$|\overline{AB}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$
अतः,सदिश प्रक्षेप है:
$\frac{1}{49}(3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k})$

(D) दिया गया है कि $\bar{a}$ सदिश $\bar{b}+\bar{c}$ पर लंब है,$\bar{b}$ सदिश $\bar{c}+\bar{a}$ पर लंब है,और $\bar{c}$ सदिश $\bar{a}+\bar{b}$ पर लंब है।
अतः,हमारे पास है:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \quad (1)$
$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0 \quad (2)$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0 \quad (3)$
समीकरणों $(1), (2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
अब,योग के परिमाण का वर्ग लें:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
दिए गए मानों $|\bar{a}|=2, |\bar{b}|=3, |\bar{c}|=4$ और डॉट प्रोडक्ट के योग के लिए $0$ रखने पर:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
अतः,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$.

(D) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,और $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$.
इनका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ . . . $(1)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$ . . . $(2)$
$\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ . . . $(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$,और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
हम जानते हैं कि $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
दिए गए मान $|\bar{a}| = 5, |\bar{b}| = 4, |\bar{c}| = 3$ और डॉट गुणनफल का योग $0$ रखने पर:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = (5)^2 + (4)^2 + (3)^2 + 0 = 25 + 16 + 9 = 50$.

(A) दिए गए सदिश $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\bar{c}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
चूंकि $\bar{a}+\lambda \bar{b}$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$.
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 0$.
$(2-\lambda)(-3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(2) = 0$.
$-6 + 3\lambda + 2 + 2\lambda + 6 + 2\lambda = 0$.
$7\lambda + 2 = 0$.
$7\lambda = -2$.
$\lambda = -\frac{2}{7}$.

(C) हमें सर्वसमिका $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$ दी गई है।
यह दिया गया है कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 144$,इसलिए $|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 = 144$ है।
चूंकि $|\bar{a}| = 4$ है,इसलिए $|\bar{a}|^2 = 16$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $16 |\bar{b}|^2 = 144$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर,$|\bar{b}|^2 = \frac{144}{16} = 9$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $|\bar{b}| = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta = 25$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$(5)(13) \sin \theta = 25$।
अतः,$65 \sin \theta = 25$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$।
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$,$\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$।
अब,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$ है।
मान रखने पर,$\overline{a} \cdot \overline{b} = (5)(13) \left(-\frac{12}{13}\right) = -60$।

(A) दिया गया है $\bar{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,और $\bar{c}=\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$।
सबसे पहले,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$
$= (1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}$।
चूंकि $\bar{a}+\lambda \bar{b}$,$\bar{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}) = 0$
$(1+3 \lambda)(1) + (2-\lambda)(3) + (-3+2 \lambda)(1) = 0$
$1 + 3 \lambda + 6 - 3 \lambda - 3 + 2 \lambda = 0$
$4 + 2 \lambda = 0$
$2 \lambda = -4$
$\lambda = -2$।

(A) दिया गया है कि $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$ है।
हम इसे $\overline{a}+\overline{b}=-\overline{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |-\overline{c}|^2$,जिसका अर्थ है कि $|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |\overline{c}|^2$.
डॉट प्रोडक्ट के गुण $|\overline{u}+\overline{v}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + 2|\overline{u}||\overline{v}| \cos \theta$ का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करने पर:
$|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = |\overline{c}|^2$.
दिए गए मान $|\overline{a}|=3, |\overline{b}|=5, |\overline{c}|=7$ रखने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ होगा।

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो।
दिया गया है कि $(\vec{a}+k \vec{b}) \perp (\vec{a}-k \vec{b})$,इसलिए:
$(\vec{a}+k \vec{b}) \cdot (\vec{a}-k \vec{b}) = 0$
$|\vec{a}|^2 - k^2 |\vec{b}|^2 = 0$
दिए गए मान $|\vec{a}|=4$ और $|\vec{b}|=5$ रखने पर:
$(4)^2 - k^2 (5)^2 = 0$
$16 - 25k^2 = 0$
$25k^2 = 16$
$k^2 = \frac{16}{25}$
$k = \pm \frac{4}{5}$

(C) दिया गया है कि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ है।
अदिश गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$( \bar{x} - \hat{a} ) \cdot ( \bar{x} + \hat{a} ) = |\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2$ होता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $|\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2 = 8$।
चूंकि $|\hat{a}| = 1$,इसलिए $|\bar{x}|^2 - 1^2 = 8$।
$|\bar{x}|^2 - 1 = 8$।
$|\bar{x}|^2 = 9$।
चूंकि सदिश का परिमाण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|\bar{x}| = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+\lambda\vec{b}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $(\vec{a}+\lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
सबसे पहले,$\vec{a}+\lambda\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a}+\lambda\vec{b} = (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$.
अब,$\vec{c} = 3\hat{i}+\hat{j}$ के साथ अदिश गुणनफल लें:
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}) \cdot (3\hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$(1-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$.
$3 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$5 - \lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 5$.

(C) सदिश $\bar{a}$ का सदिश $\bar{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-2)(-1) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश $\bar{b}$ का परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{5}{\sqrt{6}}$ है।

(B) दिए गए सदिश $\bar{a}=2 \lambda^2 \hat{i}+4 \lambda \hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$।
चूंकि $|\bar{a}| > 0$ और $|\bar{b}| > 0$,इसलिए $\cos \theta < 0$ का अर्थ है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2 \lambda^2)(7) + (4 \lambda)(-2) + (1)(\lambda) = 14 \lambda^2 - 8 \lambda + \lambda = 14 \lambda^2 - 7 \lambda$।
अतः,$14 \lambda^2 - 7 \lambda < 0$।
$7 \lambda (2 \lambda - 1) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\lambda$ का मान $0$ और $\frac{1}{2}$ के बीच हो।
इसलिए,$\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$।

(D) माना शीर्षों $A$,$B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4\hat{i}-2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
हमें $\angle ABC$ ज्ञात करना है,जो सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ की गणना करें।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$ ज्ञात करें।
चूंकि $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए ये सदिश एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) अदिश त्रिगुणन गुणनफल के गुणधर्म $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C})$ का उपयोग करने पर:
$(\overrightarrow{a} \times \hat{j}) \cdot (2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = \overrightarrow{a} \cdot \{\hat{j} \times (2 \hat{j} - 3 \hat{k})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(\hat{j} \times \hat{j}) - 3(\hat{j} \times \hat{k})\}$
चूँकि $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ है:
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(0) - 3(\hat{i})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot (-3 \hat{i})$
$= -3(\overrightarrow{a} \cdot \hat{i})$
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 4$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= -3(4) = -12$

(C) परिणामी बल $\overrightarrow{F}$ व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\overrightarrow{F} = (2 \hat{i}-5 \hat{j}+6 \hat{k}) + (-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ द्वारा दिया जाता है:
$\overrightarrow{d} = (6 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) - (4 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}) = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$
किया गया कार्य $W$, बल और विस्थापन सदिशों का अदिश गुणनफल है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k})$
$W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(-1) = 2 - 12 - 5 = -15 \text{ unit}$

(D) दिया गया है,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
$\therefore \overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\overrightarrow{c}|^2 = (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$
चूँकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है:
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$49 = 34 + 30 \cos \theta$
$15 = 30 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.