Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(NONE) हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $|a|=2$,$|b|=3$,और $\theta = 120^{\circ}$।
$a \cdot b = (2)(3) \cos 120^{\circ} = 6 \times (-1/2) = -3$।
अब,हमें $\left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$ का परिमाण ज्ञात करना है।
माना $X = \left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$। तब $X^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)$।
$X^2 = \frac{1}{4}|a|^2 + \frac{1}{9}|b|^2 - 2 \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) (a \cdot b)$।
$X^2 = \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{9}(9) - \frac{1}{3}(-3)$।
$X^2 = 1 + 1 + 1 = 3$।
अतः,$X = \sqrt{3}$।

(D) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$ होती है।
दिया गया है कि $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 36$ और $|a| = 3$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$|a|^2 |b|^2 = 36$
$(3)^2 |b|^2 = 36$
$9 |b|^2 = 36$
$|b|^2 = \frac{36}{9} = 4$
$|b| = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$|b|$ का मान $2$ है।

(D) दिया गया है,$a \cdot b = 0$ और $(a + b)$,$a$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
दो सदिशों के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\cos 60^{\circ} = \frac{(a + b) \cdot a}{|a + b||a|}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a \cdot a + b \cdot a}{|a + b||a|}$
चूंकि $a \cdot b = 0$,इसलिए $b \cdot a = 0$ है।
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|a|^2}{|a + b||a|} = \frac{|a|}{|a + b|}$
$\Rightarrow |a + b| = 2|a|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|a + b|^2 = 4|a|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 4|a|^2$
चूंकि $a \cdot b = 0$:
$|a|^2 + |b|^2 = 4|a|^2$
$|b|^2 = 3|a|^2$
$|b| = \sqrt{3}|a|$

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,लैग्रेंज की सर्वसमिका के अनुसार $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ होता है।
यहाँ $|\vec{a}| = 16$ और $|\vec{b}| = 4$ दिया गया है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\sqrt{|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}} = \sqrt{|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}}$
$= |\vec{a}| |\vec{b}|$
$= (16) \times (4)$
$= 64$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = -2$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
इस मान को प्रक्षेप के सूत्र में रखने पर:
$\frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}{|\vec{b}|} = -2$
$|\vec{a}| \cos \theta = -2$
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ रखने पर:
$|\vec{a}| \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2$
$|\vec{a}| \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$
$|\vec{a}| = (-2) \times (-2)$
$|\vec{a}| = 4$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=144$ और $|\vec{a}|=4$ है।
हम सदिशों के लिए लैग्रेंज की सर्वसमिका जानते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$.
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$144 = (4)^{2} |\vec{b}|^{2}$.
$144 = 16 |\vec{b}|^{2}$.
$|\vec{b}|^{2} = \frac{144}{16} = 9$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $|\vec{b}| = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।
इसका अर्थ है कि $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ है।
हमें अदिश गुणनफल की गणना करनी है:
$(3\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) = 3\bar{a} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) + 2\bar{b} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b})$
$= 15(\bar{a} \cdot \bar{a}) - 18(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 12(\bar{b} \cdot \bar{b})$
$= 15|\bar{a}|^2 - 18(0) + 10(0) - 12|\bar{b}|^2$
$= 15(1)^2 - 12(1)^2$
$= 15 - 12 = 3$.

(D) दिया गया है कि,$ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta $ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $ \theta $ सदिशों के बीच का कोण है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$ 2 (|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta) = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
दोनों पक्षों को $ |\vec{a}| |\vec{b}| $ से विभाजित करने पर (शून्यतर सदिश मानते हुए):
$ 2 \cos \theta = 1 $.
$ \cos \theta = \frac{1}{2} $.
चूँकि $ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $,इसलिए कोण $ \theta = 60^{\circ} $ है।

(C) दिया गया है कि $a \perp b$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $a \cdot b = 0$ है।
चूंकि $(a+b) \perp (a+mb)$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(a+b) \cdot (a+mb) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$a \cdot a + m(a \cdot b) + (b \cdot a) + m(b \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$ और $b \cdot a = 0$ रखने पर:
$|a|^{2} + m(0) + 0 + m|b|^{2} = 0$
$|a|^{2} + m|b|^{2} = 0$
$m$ के लिए हल करने पर:
$m|b|^{2} = -|a|^{2}$
$m = -\frac{|a|^{2}}{|b|^{2}}$

(B) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ इकाई सदिश हैं।
अतः,$|a| = |b| = |c| = 1 \dots (i) $
हमें समीकरण $a+b+c = 0$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a+b+c|^2 = |0|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2}$

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $a$ और $b$ के लिए,$(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2} \sin^{2} \theta + |a|^{2} |b|^{2} \cos^{2} \theta$ होता है।
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए यह $|a|^{2} |b|^{2}$ में सरल हो जाता है।
दिए गए समीकरण $(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = 144$ से,हमें $|a|^{2} |b|^{2} = 144$ प्राप्त होता है।
यहाँ $|a| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|a|^{2} = 16$ प्रतिस्थापित करने पर:
$16 |b|^{2} = 144$.
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर,हमें $|b|^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$|b| = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$.
दिया है $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$1+1+1+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$3+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = -3/2$.
सदिश एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
अतः,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \times 1 \times \cos(120^{\circ}) = -1/2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-1/2)+2(-1/2)+(-1/2) = -3/2 - 2/2 - 1/2 = -6/2 = -3$.

(C) दिया गया है कि $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः $x, y, z$-अक्षों की धनात्मक दिशा में इकाई सदिश हैं।
$(a)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) + \hat{j} \times(\hat{k}+\hat{i}) + \hat{k} \times(\hat{i}+\hat{j})$
$= (\hat{k} - \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{i}) = \vec{0}$. यह कथन सत्य है।
$(b)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{i} + \hat{j} \times \hat{j} + \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$. यह कथन सत्य है।
$(c)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 + 1 + 1 = 3$. यह कथन असत्य है क्योंकि यह $\vec{0}$ के बराबर नहीं है।
$(d)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j}+\hat{k}) = (\hat{i} \cdot \hat{j} + \hat{i} \cdot \hat{k}) + (\hat{j} \cdot \hat{k} + \hat{j} \cdot \hat{i}) + (\hat{k} \cdot \hat{i} + \hat{k} \cdot \hat{j}) = 0 + 0 + 0 = 0$. यह कथन सत्य है।

(C) माना $\overrightarrow{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,अतः $a_{1} = 1$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,अतः $a_{1} + a_{2} = 1$ है। $a_{1} = 1$ रखने पर,हमें $1 + a_{2} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a_{2} = 0$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$,अतः $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ है। $a_{1} = 1$ और $a_{2} = 0$ रखने पर,हमें $1 + 0 + a_{3} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a_{3} = 0$ है।
अतः,$\overrightarrow{a} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$ है।

(C) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{a}$ का सदिश $\overrightarrow{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3)(2) + (-1)(3) + (5)(1) = 6 - 3 + 5 = 8$.
अब,सदिश $\overrightarrow{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
अतः,अभीष्ट प्रक्षेप $\frac{8}{\sqrt{14}}$ है।

(B) दिया गया है कि सदिशों $OA$ और $OB$ के परिमाण $|OA| = 5$ और $|OB| = 6$ हैं।
दोनों सदिशों के बीच का कोण $\theta = \angle BOA = 60^{\circ}$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $OA \cdot OB = |OA| |OB| \cos \theta$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$OA \cdot OB = 5 \times 6 \times \cos 60^{\circ}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$OA \cdot OB = 30 \times \frac{1}{2} = 15$.
अतः,$OA \cdot OB$ का मान $15$ है।

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|a-b|^2 = (a-b) \cdot (a-b) = |a|^2 - 2(a \cdot b) + |b|^2$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,इसलिए $|a-b|^2 = 1^2 - 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 2 - 2 \cos \theta$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $|a-b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|a-b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{|a-b|}{2}$।

(C) दिया गया है कि $|a+b|^{2}+|a \cdot b|^{2}=144$ और $|a|=6$ है।
यहाँ दिए गए समीकरण को $|a|^{2}|b|^{2} = 144$ के रूप में मानते हुए,
$|6|^{2}|b|^{2} = 144$.
$36|b|^{2} = 144$.
$|b|^{2} = \frac{144}{36} = 4$.
अतः,$|b| = 2$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
हमें दिया गया है कि $\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}$ भी एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ रखने पर:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$।
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$।
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि चतुर्भुज $ABCD$ के लिए,$AB=a$,$BC=b$,$AD=b-a$ है।
चूंकि $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BM = \frac{b}{2}$ है।
$DM$ पर बिंदु $N$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर जहाँ $DN = \frac{4}{5} DM$ है,हमें $DN:NM = 4:1$ प्राप्त होता है।
सदिश निरूपण का उपयोग करने पर,$N$ का स्थिति सदिश $\vec{N} = \frac{1 \cdot \vec{D} + 4 \cdot \vec{M}}{5}$ है।
$5$ से गुणा करने पर,$5\vec{N} = \vec{D} + 4\vec{M}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{M} = \vec{B} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{B} + \frac{b}{2}$ और $\vec{D} = \vec{A} + (b-a)$ है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।
$5\vec{AN} = 4\vec{AM} + \vec{AD} = 4(a + \frac{b}{2}) + (b-a) = 4a + 2b + b - a = 3(a+b) = 3AC$ है।
अतः,$5 AN = 3 AC$।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को आसन्न भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $c:b$ के अनुपात में,जहाँ $c = |AB|$ और $b = |AC|$ है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = |(2-4)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (4-8)\hat{k}| = |-2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}| = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$.
$AC = |(2-4)\hat{i} + (5-7)\hat{j} + (7-8)\hat{k}| = |-2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$.
अतः,अनुपात $6:3 = 2:1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके $BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$.
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिए गए सदिश $\vec{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{OA}| = 3$ और $|\vec{OB}| = 6$.
आंतरिक कोण समद्विभाजक सदिश $\vec{OP} = \frac{|\vec{OB}|\vec{OA} + |\vec{OA}|\vec{OB}}{|\vec{OA}| + |\vec{OB}|} = \frac{6\vec{OA} + 3\vec{OB}}{9} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$.
$\vec{OP} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
$k^2 = |\vec{OP}|^2 = 2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2 = \frac{136}{9}$.
अतः,$9k^2 = 136$.

(D) बिंदु $P$ के स्थिति सदिश $\bar{x}$ के लिए दिए गए समीकरण:
$1$) $\bar{x} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{a} \cdot \bar{b} \implies (\bar{x} - \bar{a}) \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = 0$.
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{AP}$ भुजा $BC$ पर लंब है।
$2$) $\bar{x} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b} \cdot \bar{c} \implies (\bar{x} - \bar{b}) \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = 0$.
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{BP}$ भुजा $AC$ पर लंब है।
चूंकि $P$ एक ऐसा बिंदु है कि $\vec{AP} \perp BC$ और $\vec{BP} \perp AC$,इसलिए $P$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,$P$ त्रिभुज $ABC$ का लंबकेंद्र है।

(B) माना शीर्ष $A(2,3,5)$,$B(-1,3,2)$,और $C(3,5,-2)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = B - A = (-3, 0, -3)$.
$\vec{BC} = C - B = (4, 2, -4)$.
$\vec{CA} = A - C = (-1, -2, 7)$.
परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\vec{AB}| = 3\sqrt{2}$,$|\vec{BC}| = 6$,$|\vec{CA}| = 3\sqrt{6}$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - |\vec{BC}|^2}{2|\vec{AB}||\vec{AC}|}$.
यहाँ $\vec{AC} = (1, 2, -7)$,इसलिए $|\vec{AC}| = 3\sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{18 + 54 - 36}{2(3\sqrt{2})(3\sqrt{6})} = \frac{36}{36\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
इसी प्रकार,$\cos \beta = \frac{18 + 36 - 54}{2(3\sqrt{2})(6)} = 0$.
अतः $\beta = 90^\circ$ और $\sin^2 \beta = 1$.
चूंकि $\gamma = 90^\circ - \alpha$,इसलिए $\sin^2 \gamma = \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
योग $= \frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 2$.

(B) माना लंबकेंद्र का स्थिति सदिश $\bar{h}$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के लिए,केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $P$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\bar{g} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3}$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{g} = \frac{1(\bar{h}) + 2(\bar{p})}{1+2} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$ प्राप्त होता है।
$\bar{g}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$.
$\bar{h} + 2\bar{p} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{p} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{h} + 2\left(\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}\right) = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} + \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} = (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$.

(B) सबसे पहले,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें।
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}}{9}$ और $\hat{b} = \frac{12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{13}$ हैं।
आंतरिक कोण समद्विभाजक पर सदिश $\vec{v} = \lambda(\hat{a} + \hat{b})$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{13(4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}) + 9(12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})}{117} = \frac{(52 + 108) \hat{i} + (91 - 27) \hat{j} + (-52 + 36) \hat{k}}{117} = \frac{160 \hat{i} + 64 \hat{j} - 16 \hat{k}}{117} = \frac{16}{117}(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$.
मान लीजिए $\vec{c} = k(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$। इसका परिमाण $|\vec{c}| = |k| \sqrt{10^2 + 4^2 + (-1)^2} = |k| \sqrt{100 + 16 + 1} = |k| \sqrt{117} = |k| \sqrt{9 \times 13} = 3|k| \sqrt{13}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{c}| = 3 \sqrt{13}$,इसलिए $3|k| \sqrt{13} = 3 \sqrt{13}$,जिसका अर्थ है $k = 1$।
अतः,$\vec{c} = 10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$।

(C) दिया गया है $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $\theta = \frac{\pi}{3}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$.
मान लीजिए आसन्न भुजाएँ $\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ और $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ हैं।
विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{p} + \vec{q} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{p} - \vec{q} = \vec{a} + 4\vec{b}$ हैं।
लंबाई का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{d_1}|^2 = |3\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 9|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 9(4) + 4(9) + 12(3) = 108$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
$|\vec{d_2}|^2 = |\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 16|\vec{b}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 4 + 144 + 24 = 172$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
तुलना करने पर,छोटा विकर्ण $6\sqrt{3}$ है।

(C) माना $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ शीर्ष $A$ का स्थिति सदिश है।
माना $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3} = -\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$ त्रिभुज $BCD$ के केंद्रक का स्थिति सदिश है।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $\vec{G}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{G} = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3(\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3})] = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3 \vec{G}_{BCD}]$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [(7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}) + 3(-\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k} - 3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 9 \hat{k}]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [4 \hat{i} + 8 \hat{j} - 4 \hat{k}]$
$\vec{G} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$

(C) सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\vec{p} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (3)(-4) + (13)(3) = 2 - 12 + 39 = 29$ की गणना करें।
इसके बाद,परिमाण का वर्ग $|\vec{b}|^2 = (2)^2 + (-4)^2 + (3)^2 = 4 + 16 + 9 = 29$ की गणना करें।
अतः,$\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\vec{p} = \left( \frac{29}{29} \right) \vec{b} = \vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{b}$ के लंबवत $\vec{a}$ का घटक $\vec{x} = \vec{a} - \vec{p} = \vec{a} - \vec{b}$ है।
$\vec{x} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 13\hat{k}) - (2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (1-2)\hat{i} + (3+4)\hat{j} + (13-3)\hat{k} = -\hat{i} + 7\hat{j} + 10\hat{k}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 5$ और $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 4 \sqrt{3}$ है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(4 \sqrt{3})^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(0 + 0 + |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \theta)$.
$48 = 4 + 9 + 25 + 2(5)(2) \cos \theta$.
$48 = 38 + 20 \cos \theta$.
$10 = 20 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(B) $\triangle ABC$ में,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b} \dots (i)$
$\triangle ADC$ में,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$. दिया गया है $\overrightarrow{DA} = \vec{a} - \vec{b}$,इसलिए $\overrightarrow{AD} = -(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$.
अतः,$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{a}$.
$M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{\vec{b}}{2}$.
$\triangle BDM$ में,$\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BD}$. चूँकि $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{b} - 2\vec{a}$,इसलिए $\overrightarrow{DM} = \frac{\vec{b}}{2} - (\vec{b} - 2\vec{a}) = 2\vec{a} - \frac{\vec{b}}{2} = \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2}$.
दिया गया है $\overrightarrow{DX} = \frac{4}{5}\overrightarrow{DM} = \frac{4}{5} \left( \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2} \right) = \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5}$.
अब,$\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DX} = (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{5\vec{b} - 5\vec{a} + 8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{3}{5}(\vec{a} + \vec{b})$.
चूँकि $\overrightarrow{AX} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$,इसलिए सदिश $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AC}$ समांतर हैं और एक उभयनिष्ठ बिंदु $A$ साझा करते हैं।
अतः,बिंदु $A, X$ और $C$ संरेख हैं।

(B) मान लीजिए कि $a, 2a, 3a$ परिमाण वाले सदिश मूल बिंदु $O$ पर मिलने वाले घन के तीन आसन्न फलकों के विकर्णों के अनुदिश हैं।
मान लीजिए कि घन के किनारे निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं। तीन आसन्न फलकों के विकर्णों को $(\hat{i}+\hat{j})$,$(\hat{j}+\hat{k})$,और $(\hat{k}+\hat{i})$ दिशाओं के सदिशों के रूप में दर्शाया जा सकता है।
इन दिशाओं को सामान्यीकृत करने पर,सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{v_1} = a \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_2} = 2a \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_3} = 3a \frac{\hat{k}+\hat{i}}{\sqrt{2}}$.
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$ है:
$\vec{R} = \frac{a}{\sqrt{2}} [(\hat{i}+\hat{j}) + 2(\hat{j}+\hat{k}) + 3(\hat{k}+\hat{i})] = \frac{a}{\sqrt{2}} (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k})$.
परिमाण $|\vec{R}|$ इस प्रकार है:
$|\vec{R}| = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{16 + 9 + 25} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{50} = \frac{a}{\sqrt{2}} (5\sqrt{2}) = 5a$.

(D) माना $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ है।
$M, BC$ का मध्य बिंदु है,अतः $\vec{M} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
$N, CD$ का मध्य बिंदु है,अतः $\vec{N} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$।
अब,$\overline{AM} + \overline{AN} = \vec{M} + \vec{N} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$।
$= \frac{\vec{b} + \vec{d} + 2\vec{c}}{2}$।
$\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{\vec{c} + 2\vec{c}}{2} = \frac{3\vec{c}}{2} = \frac{3}{2} \overline{AC}$।

(B) मान लीजिए कि $A, B, C,$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ और $\vec{d}$ हैं।
दिया गया है $\vec{BC} = \lambda \vec{AD}$,इसलिए $\vec{c} - \vec{b} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) \dots (i)$.
हमें $\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BD}$ दिया गया है।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b})$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a})$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,$\vec{x} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) + 1(\vec{d} - \vec{a})$.
अतः,$\vec{x} = (\lambda + 1)(\vec{d} - \vec{a})$.
चूंकि $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,इसलिए $\vec{x} = (\lambda + 1) \vec{AD}$.
इसकी तुलना $\vec{x} = p \vec{AD}$ से करने पर,हमें $p = \lambda + 1$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ है।
$\triangle CAD$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB}$ प्राप्त होता है।
अब,हम अदिश गुणनफल $\vec{CA} \cdot \vec{CD}$ की गणना करते हैं:
$\vec{CA} \cdot \vec{CD} = \vec{CA} \cdot (\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB})$
$= |\vec{CA}|^2 + \frac{1}{2} (\vec{CA} \cdot \vec{AB})$
$= b^2 + \frac{1}{2} |\vec{CA}| |\vec{AB}| \cos(\pi - A)$
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \cos A$
$\triangle ABC$ में कोज्या नियम (cosine rule) के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)$
$= b^2 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4}$
$= \frac{4b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{4}$
$= \frac{1}{4}(a^2 + 3b^2 - c^2)$.

(B) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $p = 5a + 2b$ और $q = a - 3b$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = p + q$ और $d_2 = p - q$ द्वारा दिए जाते हैं।
$d_1 = (5a + 2b) + (a - 3b) = 6a - b$
$d_2 = (5a + 2b) - (a - 3b) = 4a + 5b$
दिया गया है $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$,और $a$ तथा $b$ के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $a \cdot b = |a||b| \cos 45^{\circ} = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
अब,पहले विकर्ण की लंबाई:
$|d_1| = |6a - b| = \sqrt{(6a - b) \cdot (6a - b)} = \sqrt{36|a|^2 + |b|^2 - 12(a \cdot b)}$
$|d_1| = \sqrt{36(8) + 9 - 12(6)} = \sqrt{288 + 9 - 72} = \sqrt{225} = 15$.
अब,दूसरे विकर्ण की लंबाई:
$|d_2| = |4a + 5b| = \sqrt{(4a + 5b) \cdot (4a + 5b)} = \sqrt{16|a|^2 + 25|b|^2 + 40(a \cdot b)}$
$|d_2| = \sqrt{16(8) + 25(9) + 40(6)} = \sqrt{128 + 225 + 240} = \sqrt{593}$.
अतः,विकर्णों की लंबाई $15$ और $\sqrt{593}$ है।

(B) दिया गया है कि $\overline{e_1}$ और $\overline{e_2}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{e_1}| = 1$ और $|\overline{e_2}| = 1$ है।
दिया गया है कि $|\overline{e_1} + \overline{e_2}| = \sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overline{e_1} + \overline{e_2}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(\overline{e_1} + \overline{e_2}) \cdot (\overline{e_1} + \overline{e_2}) = 3$।
$|\overline{e_1}|^2 + |\overline{e_2}|^2 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$।
$1 + 1 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$।
$2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 1 \implies \overline{e_1} \cdot \overline{e_2} = \frac{1}{2}$।
अब,हम $(2 \overline{e_1} - 5 \overline{e_2}) \cdot (3 \overline{e_1} + \overline{e_2})$ का अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$= 6(\overline{e_1} \cdot \overline{e_1}) + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 15(\overline{e_2} \cdot \overline{e_1}) - 5(\overline{e_2} \cdot \overline{e_2})$।
$= 6|\overline{e_1}|^2 - 13(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 5|\overline{e_2}|^2$।
$= 6(1) - 13(\frac{1}{2}) - 5(1)$।
$= 6 - 6.5 - 5 = -5.5 = -\frac{11}{2}$।

(B) दिया गया है कि,$\vec{a}=\frac{3}{2} \hat{k}$ और $\vec{b}=\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{2} = \hat{i}+\hat{j}-\frac{1}{2} \hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{a}+\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}) \hat{k} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{a}-\vec{b} = -\hat{i}-\hat{j}+(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}) \hat{k} = -\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ की गणना करें।
मान लीजिए $\vec{u} = \vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a}-\vec{b}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।

(A) बिंदुओं $u$ और $v$ के स्थिति सदिश क्रमशः $(2, 1)$ और $(3, -5)$ दिए गए हैं।
बिंदुओं $(x_1, y_1) = (2, 1)$ और $(x_2, y_2) = (3, -5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 1 = \frac{-5 - 1}{3 - 2}(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6x + 12 \Rightarrow 6x + y = 13$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन से बिंदु समीकरण $6x + y = 13$ को संतुष्ट करते हैं:
$P\left(\frac{5}{2}, -2\right)$ के लिए: $6\left(\frac{5}{2}\right) + (-2) = 15 - 2 = 13$. (संतुष्ट करता है)
$Q\left(\frac{7}{3}, -1\right)$ के लिए: $6\left(\frac{7}{3}\right) + (-1) = 14 - 1 = 13$. (संतुष्ट करता है)
$R\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ के लिए: $6\left(\frac{9}{4}\right) + 0 = \frac{27}{2} = 13.5 \neq 13$. (संतुष्ट नहीं करता है)
अतः,केवल बिंदु $P$ और $Q$ रेखा पर स्थित हैं।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
व्यंजक $|a - b|^2$ पर विचार करें:
$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$,इसलिए:
$|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2(1 - \cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$|a - b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$|a - b|^2 = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|a - b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$
अतः,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} |a - b|$.

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
साथ ही,$a+2b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+2b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+2b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,$|a|^2 + 4|b|^2 + 4(a \cdot b) = 1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$1^2 + 4(1)^2 + 4|a||b| \cos \theta = 1$।
$1 + 4 + 4 \cos \theta = 1$।
$5 + 4 \cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $4 \cos \theta = -4$,इसलिए $\cos \theta = -1$।
इसका मतलब है कि $\theta = \pi$ है।
अब,हम व्यंजक $\sin \theta + \cos^3 \theta + \tan^5 \theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\theta = \pi$ रखने पर: $\sin \pi + \cos^3 \pi + \tan^5 \pi = 0 + (-1)^3 + 0 = -1$।

(D) दिया गया है कि $a$,$b$,और $c$ शून्येतर सदिश हैं और इनमें से कोई भी दो संरेख नहीं हैं।
चूंकि $a + 2b$,$c$ के साथ संरेख है,इसलिए $a + 2b = m c$ होगा,जहाँ $m$ एक शून्येतर अदिश है $(i)$।
चूंकि $b + 3c$,$a$ के साथ संरेख है,इसलिए $b + 3c = n a$ होगा,जहाँ $n$ एक शून्येतर अदिश है $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ से,$b = n a - 3c$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2(n a - 3c) = m c$
$a + 2n a - 6c = m c$
$(1 + 2n) a = (m + 6) c$
चूंकि $a$ और $c$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 + 2n = 0 \Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$m + 6 = 0 \Rightarrow m = -6$
$m = -6$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 2b = -6c$
$a + 2b + 6c = 0$.

(B) दिया गया है $|u+v|=|u-v|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|u+v|^2 = |u-v|^2$
$(u+v) \cdot (u+v) = (u-v) \cdot (u-v)$
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = |u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v)$
$2(u \cdot v) = -2(u \cdot v)$
$4(u \cdot v) = 0$
$u \cdot v = 0$
चूंकि दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए सदिश $u$ और $v$ लंबवत हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
साथ ही,$a+b$ भी एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर:
$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1$
$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$
$2 + 2(a \cdot b) = 1$
$2(a \cdot b) = -1$
$a \cdot b = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $a$ और $b$ के बीच का कोण है:
$(1)(1) \cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 120^{\circ}$ है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) मान लीजिए $p$,$a$ और $b$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश इकाई सदिश है। चूँकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,सदिश $a+b$,$a$ और $b$ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।
अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $p = \lambda(a+b)$।
चूँकि $p$ एक इकाई सदिश है,$|p| = 1$।
$|p|^2 = \lambda^2 |a+b|^2 = 1$।
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 4 \cos^2 (\theta / 2)$।
अतः,$\lambda^2 (4 \cos^2 (\theta / 2)) = 1$।
$\lambda = \frac{1}{2 \cos (\theta / 2)}$।
इसलिए,$p = \frac{a+b}{2 \cos (\theta / 2)}$।

(B) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
माना $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}}$.
$\vec{a}$ और $\hat{u}$ का अदिश गुणनफल $1$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \hat{u} = 1$.
$\frac{(\lambda + 2)(1) + (6)(1) + (-2)(1)}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 2 + 6 - 2}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 6}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\lambda + 6 = \sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda + 6)^2 = (\lambda + 2)^2 + 40$.
$\lambda^2 + 12\lambda + 36 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 + 40$.
$12\lambda + 36 = 4\lambda + 44$.
$8\lambda = 8$.
$\lambda = 1$.

(D) मान लीजिए मूल बिंदु $A$ पर है। तब $\vec{A} = 0$,$\vec{B} = u$,और $\vec{C} = v$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ का स्थिति सदिश $\vec{D} = \frac{u+v}{2}$ है।
$\triangle ABD$ में,मान लीजिए $M$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। शीर्ष $B$ से होकर जाने वाली माध्यिका $BM$ है।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{0 + \frac{u+v}{2}}{2} = \frac{u+v}{4}$ है।
सदिश $\overrightarrow{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{u+v}{4} - u = \frac{u+v-4u}{4} = \frac{v-3u}{4}$ है।
माध्यिका की लंबाई $|\overrightarrow{BM}| = |\frac{v-3u}{4}| = \frac{|v-3u|}{4}$ होगी।

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $d$,$b$ और $c$ के समतल में है। अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $d = b + \lambda c$ होगा।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$d = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 + \lambda)\hat{j} - (1 + 2\lambda)\hat{k}$.
$d$ का $a$ पर प्रक्षेप $\frac{|d \cdot a|}{|a|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$a \cdot d$ की गणना करें:
$a \cdot d = 2(1 + \lambda) - 1(2 + \lambda) + 1(-1 - 2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$.
इसके बाद,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
अतः,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
इस प्रकार,$|-\lambda - 1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-\lambda - 1 = 2$ या $-\lambda - 1 = -2$.
यदि $-\lambda - 1 = 2$ है,तो $\lambda = -3$.
$d$ में $\lambda = -3$ रखने पर:
$d = (1 - 3)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} - (1 - 6)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
यह विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(B) बिंदुओं $A(a+2b-5c)$ और $B(-a-2b-3c)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = A + \lambda_1(B-A)$ है।
$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(-2a-4b+2c) = (a+2b-5c) + \lambda_1'(a+2b-c)$ जहाँ $\lambda_1' = -2\lambda_1$ है।
सरलता के लिए,$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(a+2b-c)$ $(i)$ लें।
बिंदुओं $C(-4c)$ और $D(6a-4b+4c)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = C + \lambda_2(D-C)$ है।
$r = -4c + \lambda_2(6a-4b+8c) = -4c + 2\lambda_2(3a-2b+4c)$ (ii)।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$(1+\lambda_1)a + (2+2\lambda_1)b + (-5-\lambda_1)c = (6\lambda_2)a + (-4\lambda_2)b + (-4+8\lambda_2)c$।
$a, b, c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1+\lambda_1 = 6\lambda_2$,$2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,$-5-\lambda_1 = -4+8\lambda_2$।
पहले दो समीकरणों से: $2(1+\lambda_1) = 2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,इसलिए $2(6\lambda_2) = -4\lambda_2 \implies 16\lambda_2 = 0 \implies \lambda_2 = 0$।
अतः $\lambda_1 = -1$। प्रतिच्छेदन बिंदु $r = -4c + 0 = -4c$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$\mu = -3$ के लिए,विकल्प $B$ देता है $r = (3a+6b-c) - 3(a+2b+c) = 3a+6b-c-3a-6b-3c = -4c$। इस प्रकार,विकल्प $B$ में दी गई रेखा प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।

(D) माना $P, Q, R$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ हैं।
चूंकि $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,$M$ का स्थिति सदिश $\vec{m} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ है।
चूंकि $C$,$PM$ का मध्य-बिंदु है,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{\vec{p} + \vec{m}}{2} = \frac{\vec{p} + \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}}{2} = \frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4}$ है।
रेखा $QC$,$Q$ और $C$ से होकर गुजरती है। रेखा $QC$ का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{q} + t(\vec{c} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}}{4})$ है।
रेखा $PR$,$P$ और $R$ से होकर गुजरती है। रेखा $PR$ का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + s(\vec{r} - \vec{p}) = (1-s)\vec{p} + s\vec{r}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $N$ के लिए $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $t = \frac{4}{3}$ और $s = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{n} = (1 - \frac{1}{3})\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{r} = \frac{2\vec{p} + \vec{r}}{3}$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$N$,$QC$ को $t : (1-t) = \frac{4}{3} : (1 - \frac{4}{3}) = 4 : -1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
इसलिए,$\overrightarrow{QN} = 4\overrightarrow{QC}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{|\overrightarrow{QN}|}{|\overrightarrow{CN}|} = 4$।