Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ અને $x=2 y$.
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{(2y)^2+y^2+z^2} = \sqrt{5y^2+z^2}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 5 \sqrt{2}$,તેથી $5y^2+z^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 50$.
$\vec{a}$ એ $z$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,$z$-અક્ષ પરનો ઘટક $z = |\vec{a}| \cos 135^{\circ}$ થાય.
$z = 5 \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -5$.
$z = -5$ ને સમીકરણ $5y^2+z^2 = 50$ માં મૂકતા:
$5y^2 + (-5)^2 = 50 \Rightarrow 5y^2 + 25 = 50 \Rightarrow 5y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5}$.
$x = 2y$ હોવાથી,$x = \pm 2 \sqrt{5}$ મળે.
આમ,$\vec{a} = \pm 2 \sqrt{5} \hat{i} \pm \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $2 \sqrt{5} \hat{i} + \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a$ એ $b = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $a = \lambda b$ થાય.
આપણને અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = 27$ આપેલ છે.
અદિશ ગુણાકારના સમીકરણમાં $a = \lambda b$ મૂકતા:
$(\lambda b) \cdot b = 27$
$\lambda (b \cdot b) = 27$
$\lambda |b|^2 = 27$
પ્રથમ,$|b|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|b|^2 = (3)^2 + (6)^2 + (6)^2 = 9 + 36 + 36 = 81$.
હવે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda (81) = 27$
$\lambda = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $a = \lambda b$,તેથી $|a| = |\lambda b| = |\lambda| |b|$ થાય.
$|b| = \sqrt{81} = 9$ ની ગણતરી કરીએ.
આમ,$|a| = |\frac{1}{3}| \times 9 = 3$.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{C} = -\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,અને $\vec{D} = 5 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ છે.
બાજુઓના સદિશોની ગણતરી:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = 6 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DA} = \vec{A} - \vec{D} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ હોવા માટે,સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોવી જોઈએ,એટલે કે $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ અને $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
અહીં,$\overrightarrow{AB} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$.
જેથી $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}$,તેથી આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.

(A) $\angle AOB$ નો દ્વિભાજક સદિશ $\vec{OD}$ એ $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશોના સરવાળાની દિશામાં હોય છે.
પ્રથમ,એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ શોધો:
$|\vec{OA}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
$\hat{a} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{-4\hat{i} + 3\hat{k}}{5}$
$|\vec{OB}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{196 + 4 + 25} = \sqrt{225} = 15$
$\hat{b} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15}$
દ્વિભાજકની દિશા $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b} = \frac{-12\hat{i} + 9\hat{k} + 14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}}{15} = \frac{2}{15}(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
તેથી $\vec{OD} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{OD}| = \sqrt{6}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \implies |\lambda| \sqrt{6} = \sqrt{6} \implies |\lambda| = 1$.
આમ,$\vec{OD} = \pm(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$.

(B) આપેલ છે કે,$|a| = |b| = 2$,$a \cdot b = 2$ અને $a + b + c = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a + b + c = 0 \implies a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|a + b|^2 = |-c|^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2^2 + 2^2 + 2(2) = |c|^2$.
$4 + 4 + 4 = |c|^2$.
$|c|^2 = 12$.
$|c| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.

(B) કારણ કે $u$ અને $v$ એ $\mathbb{R}^2$ માં અસમરેખ સદિશો છે,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે અને $\mathbb{R}^2$ માટે આધાર (basis) બનાવે છે. તેથી,$\mathbb{R}^2$ માં કોઈપણ સદિશને $u$ અને $v$ ના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે. વિધાન $(i)$ સાચું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$v$ પર $u$ નો લંબ પ્રક્ષેપ $w = \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $v$ નો અદિશ ગુણાંક છે. $w$ એ $v$ નો ગુણાંક હોવાથી,તેને $w = 0u + \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ તરીકે લખી શકાય છે. $w$ ને $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ સાથે $au + bv$ તરીકે લખવા માટે,$w$ પાસે $u$ ની દિશામાં શૂન્યતર ઘટક હોવો જરૂરી છે. જોકે,$w$ એ $u - w$ ને લંબ છે અને $w$ એ $v$ ને સમાંતર છે. $u$ અને $v$ અસમરેખ હોવાથી,$w$ ને $a \neq 0$ સાથે $au + bv$ તરીકે દર્શાવી શકાય નહીં. તેથી,વિધાન (ii) ખોટું છે.

(B) ધારો કે $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a} = \bar{v}$.
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c}$ હોવાથી,$\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{c} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} \times \bar{b} = 0$.
આથી $(\bar{a} + \bar{c}) \times \bar{b} = 0$ મળે.
તે જ રીતે,$\bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a}$ પરથી,$(\bar{b} + \bar{a}) \times \bar{c} = 0$ મળે.
અને $\bar{c} \times \bar{a} = \bar{a} \times \bar{b}$ પરથી,$(\bar{c} + \bar{b}) \times \bar{a} = 0$ મળે.
જો $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{k}$ હોય,તો $\bar{a} \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = \bar{a} \times \bar{k}$.
$\bar{a} \times \bar{a} + \bar{a} \times \bar{b} + \bar{a} \times \bar{c} = \bar{a} \times \bar{k}$.
$\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{a} \times \bar{c} = -(\bar{c} \times \bar{a}) = -(\bar{a} \times \bar{b})$ હોવાથી,$\bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{k}$ મળે,તેથી $0 = \bar{a} \times \bar{k}$.
$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ શૂન્યતર અને અસમરેખ હોવાથી,આ દર્શાવે છે કે $\bar{k} = \bar{0}$.
તેથી,$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(p, 2^{p+2})$ અને $Q(q, 2^{q+2})$ છે.
આપેલ છે કે $OP = p\hat{i} + 2^{p+2}\hat{j}$ અને $OQ = q\hat{i} + 2^{q+2}\hat{j}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$OP \cdot \hat{i} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $p = -1$.
તેથી,$OP = -\hat{i} + 2^{-1+2}\hat{j} = -\hat{i} + 2\hat{j}$.
તે જ રીતે,$OQ \cdot \hat{i} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $q = 2$.
તેથી,$OQ = 2\hat{i} + 2^{2+2}\hat{j} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$.
હવે,$OQ - 4OP = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j}) = (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j} = 6\hat{i} + 8\hat{j}$.
તેનું માન $|OQ - 4OP| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ થાય.

(D) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 4\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{B} = 6\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$,અને $\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ છે.
આપણે બાજુઓ $AB$,$BC$,અને $CA$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = |2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$BC = |\vec{C} - \vec{B}| = |-5\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$CA = |\vec{A} - \vec{C}| = |3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}| = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
અહીં $AB = CA = 7$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે,જ્યાં $A$ એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ છે.
આપેલ છે કે $\vec{A} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$.
કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ $\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}$ એ $\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને આપણે $\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2})}{3} = \frac{\vec{A} + 2\vec{M}}{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{G} = \frac{(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) + 2(6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})}{3}$
$\vec{G} = \frac{-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} + 12\hat{i} + 4\hat{j} + 10\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = \frac{9\hat{i} + 9\hat{j} + 12\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને તેમના મધ્યબિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$,$\vec{B} = 4\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{D} = -\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}$.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે:
$M = \frac{\vec{B}+\vec{D}}{2} = \frac{(4-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (4-3)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
કારણ કે $M$ એ $AC$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} = M$.
$\vec{A}+\vec{C} = 2M = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{C} = (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}) = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$.
વિકર્ણ $AC$ ના ત્રિભાગ બિંદુઓ $T_1$ અને $T_2$ તેને અનુક્રમે $1:2$ અને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$T_1$ માટે ($1:2$ ગુણોત્તર):
$\vec{T_1} = \frac{1(\vec{C}) + 2(\vec{A})}{1+2} = \frac{1(\hat{i}+\hat{k}) + 2(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$.
$T_2$ માટે ($2:1$ ગુણોત્તર):
$\vec{T_2} = \frac{2(\vec{C}) + 1(\vec{A})}{2+1} = \frac{2(\hat{i}+\hat{k}) + 1(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{4\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}}{3}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સ્થાન સદિશ $\frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{q} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$R$ એ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે. બહારના વિભાજનનું સૂત્ર $\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m-n}$ છે.
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} - \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{1} = -3\hat{i}+3\hat{k}$.
$S$ એ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં અંદરની તરફ વિભાજન કરે છે. અંદરના વિભાજનનું સૂત્ર $\vec{s} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m+n}$ છે.
$\vec{s} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2+1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} + \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}}{3} = \frac{-\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}}{3}$.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$ છે.
મધ્યબિંદુ $= \frac{(-3\hat{i}+3\hat{k}) + (-\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k})}{2} = \frac{-\frac{10}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}}{2} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{OB} = \frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $B$ એ $AC$ ને $m:n = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{OB} = \frac{m\vec{OC} + n\vec{OA}}{m+n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{2\vec{OC} + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{2+1}$
$3(\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}) = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\hat{j} + \hat{k} = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$2\vec{OC} = \hat{j} + \hat{k} - \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$
$2\vec{OC} = -\hat{i}$
$\vec{OC} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$
તેથી,$C$ નો સ્થાન સદિશ $(-\frac{1}{2}, 0, 0)$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j}$ અને $\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ જે રેખાખંડ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેનો સ્થાન સદિશ:
$\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{p} = \frac{2(-3\hat{i} + 5\hat{j}) + 1(\hat{i} - 2\hat{j})}{2+1}$
$\vec{p} = \frac{-6\hat{i} + 10\hat{j} + \hat{i} - 2\hat{j}}{3}$
$\vec{p} = \frac{-5\hat{i} + 8\hat{j}}{3}$

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ છે કે $L, M, N$ એ $BC, CA, AB$ ને અનુક્રમે $1:2, 2:3, 3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશો:
$L = \frac{1\vec{c} + 2\vec{b}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2\vec{b}}{3}$
$M = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{2+3} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{5}$
$N = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{3+5} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{8}$
બિંદુ $K$ એ $AB$ ને $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $K = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{5+3} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{8}$.
હવે,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AL} = L - A = \frac{2\vec{b} + \vec{c} - 3\vec{a}}{3}$
$\vec{BM} = M - B = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c} - 5\vec{b}}{5}$
$\vec{CN} = N - C = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
$\vec{CK} = K - C = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
આમ,$\left| \frac{\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN}}{\vec{CK}} \right| = \frac{1}{15}$.

(A) ધારો કે $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $7 \hat{i}-\hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓને જોડતી રેખાનું $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ દ્વારા $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = \frac{\lambda \vec{b} + 1 \vec{a}}{\lambda+1}$
$\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} = \frac{\lambda(7 \hat{i}-\hat{k})+(-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\lambda+1}$
$(\lambda+1)(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (7 \lambda-2) \hat{i}+3 \hat{j}+(5-\lambda) \hat{k}$
$\hat{i}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\lambda+1 = 7 \lambda-2$
$3 = 6 \lambda$
$\lambda = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda: 1 = 1: 2$ છે.

(B) રેખાખંડ $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (3, -2, 6)$ આપેલા છે.
પ્રથમ,આપણે દિશા સદિશનું માન શોધીએ: $\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
દિશા કોસાઇન $(l, m, n)$ મેળવવા માટે દિશા ગુણોત્તરને માન વડે ભાગતા: $l = \frac{3}{7}, m = \frac{-2}{7}, n = \frac{6}{7}$.
સદિશ $\vec{PQ}$ ની લંબાઈ $63$ છે,તેથી $\vec{PQ} = 63 \times (l, m, n) = 63 \times (\frac{3}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{6}{7}) = (27, -18, 54)$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે રેખા $X$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે દિશા કોસાઇન $l$ ઋણ હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે સદિશને $-1$ વડે ગુણીએ: $\vec{PQ} = (-27, 18, -54)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બિંદુ $P(5, -4, -3)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ના દિક્કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{a}{|\vec{r}|}$,$\cos \beta = \frac{b}{|\vec{r}|}$ અને $\cos \gamma = \frac{c}{|\vec{r}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ અનુક્રમે $X, Y, Z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{r}$ નું માન શોધો:
$|\vec{r}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ધન $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \alpha = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(B) સદિશ $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ ના દિક્કોસાઇન $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = -2 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશનું માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{1}{\sqrt{30}}, \frac{-5}{\sqrt{30}}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$r = 3p + 4q$ $(i)$
$2r = p - 3q$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $p = 2r + 3q$.
$p$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$r = 3(2r + 3q) + 4q$
$r = 6r + 9q + 4q$
$r - 6r = 13q$
$-5r = 13q$
$r = -\frac{13}{5}q$
અહીં અદિશ ગુણક ઋણ હોવાથી,$r$ અને $q$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
બંને બાજુ માન લેતા:
$|r| = |-\frac{13}{5}q| = \frac{13}{5}|q| = 2.6|q|$
$2.6 > 2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $|r| > 2|q|$.
આમ,$|r| > 2|q|$ અને $r, q$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(A) સદિશ $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માનની ગણતરી:
$M_1 = |\vec{a}_1| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$M_2 = |\vec{a}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$M_3 = |\vec{a}_3| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$M_4 = |\vec{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,જેનો અર્થ છે કે $M_3 < M_1 < M_4 < M_2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 5 \vec{c} - 10 \vec{d} = \vec{0}$.
પદોને એવી રીતે ગોઠવતા કે જેથી $\vec{a}, \vec{b}$ એક બાજુ અને $\vec{c}, \vec{d}$ બીજી બાજુ રહે:
$2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 10 \vec{d} - 5 \vec{c}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = 2 \vec{d} - \vec{c}$.
ડાબી બાજુને વિભાજન સૂત્ર $\frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m+n}$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{3 \vec{b} + 2 \vec{a}}{3+2} = \frac{2 \vec{d} - \vec{c}}{2-1}$.
આ બિંદુ $P$ દર્શાવે છે જે રેખાખંડ $AB$ પર અને રેખા $CD$ પર આવેલું છે.
બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
આમ,$\vec{c}$ અને $\vec{d}$ ને જોડતી રેખા,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$,$B = \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$,$C = 2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$,અને $D = \vec{a}-2\vec{b}+4\vec{c}$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા $\vec{r} = A + \lambda_1(B-A) = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_1(-2\vec{b}+2\vec{c}) = \vec{a} + (1-2\lambda_1)\vec{b} + (1+2\lambda_1)\vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$C$ અને $D$ માંથી પસાર થતી રેખા $\vec{r} = C + \lambda_2(D-C) = (2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_2(-\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}) = (2-\lambda_2)\vec{a} + (-1-\lambda_2)\vec{b} + (1+3\lambda_2)\vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,આપણે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવીએ:
$1 = 2-\lambda_2 \implies \lambda_2 = 1$.
$1-2\lambda_1 = -1-\lambda_2 = -1-1 = -2 \implies 2\lambda_1 = 3 \implies \lambda_1 = \frac{3}{2}$.
$\vec{c}$ નો સહગુણક તપાસતા: $1+2\lambda_1 = 1+2(\frac{3}{2}) = 4$ અને $1+3\lambda_2 = 1+3(1) = 4$. જે સમાન છે.
$\lambda_1 = \frac{3}{2}$ ને પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = \vec{a} + (1-2(\frac{3}{2}))\vec{b} + (1+2(\frac{3}{2}))\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{c}$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{2}|a-b|=\sin(\lambda \theta)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{4}|a-b|^2 = \sin^2(\lambda \theta)$.
$a$ અને $b$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|a|=1$ અને $|b|=1$.
$|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2|a||b|\cos \theta = 2 - 2\cos \theta$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{4}(2 - 2\cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{2}(2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \sin^2(\lambda \theta)$.
દલીલોની સરખામણી કરતા,$\lambda \theta = \frac{\theta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$4\lambda^2 = 4(\frac{1}{2})^2 = 4(\frac{1}{4}) = 1$.

(A) સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $w$ ને તે જ સમતલના બે સદિશો $u$ અને $v$ ના સુરેખ સંયોજન $w = au + bv$ તરીકે દર્શાવવા માટે,સદિશો $u$ અને $v$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.
બે સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ એકબીજાને સમાંતર ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ અદિશ $k$ માટે $u = k \cdot v$ અથવા $v = k \cdot u$ લખી શકાય નહીં.
તેથી,શરત એ છે કે $u$ અને $v$ માંથી કોઈ પણ એક બીજાનો અદિશ ગુણક ન હોય.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{q} = \bar{a}-\bar{b}$,અને $\vec{r} = \bar{a}+k\bar{b}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{q} - \vec{p} = (\bar{a}-\bar{b}) - (\bar{a}+\bar{b}) = -2\bar{b}$.
$\vec{BC} = \vec{r} - \vec{q} = (\bar{a}+k\bar{b}) - (\bar{a}-\bar{b}) = (k+1)\bar{b}$.
કારણ કે $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ બંને સદિશ $\bar{b}$ ના અદિશ ગુણક છે,તેથી તેઓ $k$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સમાંતર છે.
ચોક્કસ રીતે,$k \neq -1$ માટે $\vec{AB} = \left( \frac{-2}{k+1} \right) \vec{BC}$ થાય છે.
જો $k = -1$ હોય,તો $\vec{BC} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $C$ એ બિંદુ $B$ પર સંપાતી થાય છે,અને બિંદુઓ હજુ પણ સમરેખ ગણાય છે.
આમ,$k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$B = 5 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $C = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$|AB| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$.
$|AC| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,લંબકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{10}{3}\hat{i} + \frac{10}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}$.
તેથી,$x=y=z$.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{OA} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ અને $\vec{OB} = \vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$.
સદિશ $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -3\vec{b}+2\vec{c}$.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે:
$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 1\vec{OB}}{4} = \frac{4\vec{a}+\vec{b}+6\vec{c}}{4}$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે:
$\vec{OQ} = \frac{3\vec{OA} - 1\vec{OB}}{2} = \frac{2\vec{a}+5\vec{b}}{2}$.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{9\vec{b}-6\vec{c}}{4} = \frac{3}{4}(3\vec{b}-2\vec{c})$.
તેથી,$|PQ| = \frac{3}{4}|AB|$,જેનો અર્થ છે કે $4|PQ| = 3|AB|$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\vec{AB} = \vec{DC}$ અને $\vec{AD} = \vec{BC}$ છે.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ મળે.
$\triangle ABD$ માં,$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ મળે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AD} - \vec{AB})$
અહીં $\vec{BC} = \vec{AD}$ હોવાથી,$\vec{BC}$ ની જગ્યાએ $\vec{AD}$ મૂકતા:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2 \vec{AD}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્નમાં $\vec{AC} - \vec{BD}$ પૂછવામાં આવ્યું હોવું જોઈએ,જેનું મૂલ્ય $2 \vec{AB}$ થાય છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$P, Q, R$ એ $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,તેમના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,અને $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$ છે.
હવે,સદિશો $PC$ અને $BQ$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{PC} = \vec{c} - \vec{p} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2}$
$\vec{BQ} = \vec{q} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}$
તેથી,$\vec{PC} - \vec{BQ} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} - \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$PQ = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
$AR = \vec{r} - \vec{a} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
આમ,$PC - BQ = PQ = AR$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ છે.
$G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ થાય.
આથી,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ મળે.
હવે,સદિશોનો સરવાળો $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ ને સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = 0$.

(D) કેન્દ્ર $O$ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,આપણી પાસે નીચેના સદિશ સંબંધો છે:
$\vec{AB} = \vec{ED}$ અને $\vec{AF} = \vec{CD}$.
હવે,સરવાળો $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF}$ ધ્યાનમાં લો.
સંબંધો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{S} = \vec{ED} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{CD}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\vec{S} = (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{AD}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$ અને $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.
તેથી,$\vec{S} = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} = 3 \vec{AD}$.
કારણ કે $O$ એ નિયમિત ષટ્કોણનું કેન્દ્ર છે,$\vec{AD} = 2 \vec{AO}$.
આમ,$\vec{S} = 3(2 \vec{AO}) = 6 \vec{AO}$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$ અને $\vec{b} = 7\bar{i}-\bar{k}$ છે.
ધારો કે $P$ એ $AB$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી $\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$.
$-2\bar{i}+3\bar{j}+5\bar{k} = \frac{m(7\bar{i}-\bar{k}) + n(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{m+n}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $x: -2(m+n) = 7m + n \implies 9m = -3n \implies m/n = -1/3$.
આમ,$P$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ નું તે જ ગુણોત્તર $1:3$ માં અંદરની તરફ વિભાજન કરે છે.
$\vec{q} = \frac{1\vec{b} + 3\vec{a}}{1+3} = \frac{(7\bar{i}-\bar{k}) + 3(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{4} = \frac{10\bar{i}+6\bar{j}+8\bar{k}}{4} = 2.5\bar{i}+1.5\bar{j}+2\bar{k}$.
અદિશ ઘટકોનો સરવાળો $2.5 + 1.5 + 2 = 6$ થાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{e}$.
$F$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{f}$.
આપણે સરવાળો $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AD}$ શોધવાનો છે.
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\vec{S} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{a})$
$\vec{S} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$\vec{S} = 2(\vec{b} + \vec{d}) - 2(\vec{a} + \vec{c})$
મધ્યબિંદુના સંબંધો મૂકતા:
$\vec{S} = 2(2\vec{f}) - 2(2\vec{e})$
$\vec{S} = 4\vec{f} - 4\vec{e} = 4(\vec{f} - \vec{e}) = 4\vec{EF}$.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a} = 2 \bar{b}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના ઘટકો મૂકતા:
$(x + 2y - 3) \bar{i} + (2x - y + 3) \bar{j} = 2[(3x - 2y) \bar{i} + (x - y + 1) \bar{j}]$
$\bar{i}$ અને $\bar{j}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) x + 2y - 3 = 2(3x - 2y) \implies x + 2y - 3 = 6x - 4y \implies 5x - 6y = -3$
$2) 2x - y + 3 = 2(x - y + 1) \implies 2x - y + 3 = 2x - 2y + 2 \implies y = -1$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = -1$ મૂકતા:
$5x - 6(-1) = -3 \implies 5x + 6 = -3 \implies 5x = -9 \implies x = -9/5$
આપણે $y - 5x$ શોધવાનું છે:
$y - 5x = -1 - 5(-9/5) = -1 + 9 = 8$.

(B) આપેલ સદિશો $\overline{BC} = \bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k}$ અને $\overline{CA} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,તેથી $\overline{AB} = -(\overline{BC} + \overline{CA})$.
$\overline{AB} = -(\bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k} + 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = -(7\bar{i} + \bar{j} + 0\bar{k}) = -7\bar{i} - \bar{j}$.
હવે,બાજુઓના માન (magnitude) શોધો:
$|\overline{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{CA}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overline{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
પરિમિતિ = $|\overline{AB}| + |\overline{BC}| + |\overline{CA}| = 5\sqrt{2} + 3 + 7 = 10 + 5\sqrt{2} = 5(2 + \sqrt{2})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{D} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{(2+1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-2)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{k}$.
$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{E} = \frac{\vec{C}+\vec{A}}{2} = \frac{(1+1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2+1)\hat{k}}{2} = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (-\frac{3}{2} - 0)\hat{j} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}))\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DE}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે તેનું માન શોધીએ: $|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{10}{4} + 1} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DE}|} = \frac{-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}}{\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
બિંદુ $C$ એ $AB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{c} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{3+2} = \frac{3(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})}{5}$
$\vec{c} = \frac{(3+4)\hat{i} + (6-6)\hat{j} + (-9+2)\hat{k}}{5} = \frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k}$
બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - (\frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k})$
$\overrightarrow{CD} = (3 - \frac{7}{5}) \hat{i} + (-1 - 0) \hat{j} + (2 + \frac{7}{5}) \hat{k} = \frac{8}{5} \hat{i} - \hat{j} + \frac{17}{5} \hat{k} = \frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$
$\overrightarrow{CD}$ નું માન $|\overrightarrow{CD}| = \frac{1}{5} \sqrt{8^2 + (-5)^2 + 17^2} = \frac{1}{5} \sqrt{64 + 25 + 289} = \frac{1}{5} \sqrt{378} = \frac{1}{5} \sqrt{9 \times 42} = \frac{3 \sqrt{42}}{5}$ છે.
$\overrightarrow{CD}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} = \frac{\frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})}{\frac{3 \sqrt{42}}{5}} = \frac{1}{3 \sqrt{42}} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$ થાય.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ છે.
ધારો કે $D$ એ $OA$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$ થાય. કારણ કે $0 < \frac{1}{2} < 1$,તેથી $D$ એ રેખાખંડ $OA$ પર આવેલું છે.
ધારો કે $E$ એ $OB$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{b}$ થાય. કારણ કે $0 < \frac{1}{3} < 1$,તેથી $E$ એ રેખાખંડ $OB$ પર આવેલું છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{OE}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ODCE$ નો વિકર્ણ દર્શાવે છે.
જેમ કે $D$ એ $OA$ પર છે અને $E$ એ $OB$ પર છે,તેથી આખો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ODCE$ એ ત્રિકોણ $OAB$ ની અંદર આવેલો છે.
તેથી,બિંદુ $C$ એ $\triangle OAB$ ની અંદર આવેલું છે.

(B) બે સદિશો $\vec{u} = x_1 \vec{a} + y_1 \vec{b}$ અને $\vec{v} = x_2 \vec{a} + y_2 \vec{b}$ સમરેખ હોય જો અને માત્ર જો તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$,જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ છે.
આપેલ સદિશો $(\lambda-1) \vec{a} + 2 \vec{b}$ અને $3 \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકોના ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$\frac{\lambda-1}{3} = \frac{2}{\lambda}$
$\lambda(\lambda-1) = 6$
$\lambda^2 - \lambda - 6 = 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$
આમ,$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યો $\lambda = 3$ અને $\lambda = -2$ છે.
તેથી,$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ $\{-2, 3\}$ છે.

(D) બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ જે $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે તે વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{r} = \frac{2(\overrightarrow{OB}) + 1(\overrightarrow{OA})}{2+1} = \frac{2(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + 1(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{3}$
$= \frac{2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k} + \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{3} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}}{3} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
હવે,સદિશ $\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{OC} - \vec{r} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{PC}$ નું માન $|\overrightarrow{PC}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\overrightarrow{PC}$ ની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે:
$l = \frac{3}{7}, m = \frac{2}{7}, n = \frac{6}{7}$
તેથી,$l + 3m + 2n = \frac{3}{7} + 3(\frac{2}{7}) + 2(\frac{6}{7}) = \frac{3 + 6 + 12}{7} = \frac{21}{7} = 3$

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 1, -1)$,$B(\lambda, 5, 4)$,$C(-4, 3, 2)$,અને $D(-1, -2, 3)$ છે.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = (\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = -6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = -3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{AB} = x \overrightarrow{AC} + y \overrightarrow{AD}$,તેથી ઘટકોને સરખાવતા:
$(\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} = x(-6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \lambda - 2 = -6x - 3y$
$2) 4 = 2x - 3y$
$3) 5 = 3x + 4y$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
$x = \frac{31}{17}$ અને $y = -\frac{2}{17}$ મળે છે.
હવે $x$ અને $y$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\lambda - 2 = -6(\frac{31}{17}) - 3(-\frac{2}{17}) = \frac{-180}{17}$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
અંતે,$17(\lambda + 9) = 17(-\frac{146}{17} + 9) = -146 + 153 = 7$.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1 = \alpha + \beta + 2\gamma$ $(1)$
$-2 = \alpha + 2\beta - \gamma$ $(2)$
$5 = \alpha + 3\beta + \gamma$ $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $3 = 2\alpha + 5\beta \implies 2\alpha + 5\beta = 3$ $(4)$
$(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $7 = \beta + 2\gamma \implies \beta + 2\gamma = 7$ $(5)$
$(1)$ પરથી,$\alpha + \beta + 2\gamma = 1$. આમાં $(5)$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha + 7 = 1 \implies \alpha = -6$.
$\alpha = -6$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $2(-6) + 5\beta = 3 \implies -12 + 5\beta = 3 \implies 5\beta = 15 \implies \beta = 3$.
$\beta = 3$ ને $(5)$ માં મૂકતા: $3 + 2\gamma = 7 \implies 2\gamma = 4 \implies \gamma = 2$.
હવે,$\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 = (-6)^2 - (3)^2 + (2)^2 = 36 - 9 + 4 = 31$.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ધારો કે $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{0}$ છે. તો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{B} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{C} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{AG} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{4\hat{i} + 6\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ થાય.
હવે,માનનો વર્ગ $|\overrightarrow{AG}|^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{16 + 36 + 25}{9} = \frac{77}{9}$ ગણો.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{27}{7}(\overrightarrow{AG})^2 + 5 = \frac{27}{7} \times \frac{77}{9} + 5 = 3 \times 11 + 5 = 33 + 5 = 38$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$,$\vec{B} = -4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}$,અને $\vec{C} = x \bar{a}-9 \bar{b}+z \bar{c}$ છે.
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{BC}$ નો અદિશ ગુણક હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) - (\bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}) = -5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (x\bar{a}-9\bar{b}+z\bar{c}) - (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) = (x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c}$ મેળવો.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,$\vec{AB} = k \vec{BC}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$-5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c} = k((x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c})$.
$\bar{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $7 = -14k \Rightarrow k = -1/2$.
$\bar{a}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-5 = k(x+4) \Rightarrow -5 = -1/2(x+4) \Rightarrow 10 = x+4 \Rightarrow x = 6$.
$\bar{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-9 = k(z+6) \Rightarrow -9 = -1/2(z+6) \Rightarrow 18 = z+6 \Rightarrow z = 12$.
અંતે,$2x - z = 2(6) - 12 = 12 - 12 = 0$.