Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ છે,અને $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ એ વિકર્ણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$.
તેથી,$\vec{a} = \frac{\vec{d_1} + \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) + (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 10 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
બાજુ $\vec{a}$ ની લંબાઈ $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ છે.
તે જ રીતે,$\vec{b} = \frac{\vec{d_1} - \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) - (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
બાજુ $\vec{b}$ ની લંબાઈ $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$ છે.
$\sqrt{30}$ અને $\sqrt{29}$ ની સરખામણી કરતા,ટૂંકી બાજુ $\sqrt{29}$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{AB} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{AC} = \hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$.
ધારો કે $M$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાને સદિશ $\vec{AM}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$\triangle ABC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$A$ ની સાપેક્ષમાં $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ નો સ્થાન સદિશ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ સદિશોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}))$
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})$
$\vec{AM} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AM}$ નું માન છે:
$|\vec{AM}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (3)^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{1 + 4 + 9}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{14}$

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$.
$L$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
$M$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{c} + (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b})}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2}$.
હવે,$\vec{AL} = \vec{l} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$.
અને $\vec{AM} = \vec{m} - \vec{a} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2} - \vec{a} = \frac{2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2}$.
આનો સરવાળો કરતા,$\vec{AL} + \vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2} = \frac{3\vec{c} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AC}$.
આમ,$AL + AM = \frac{3}{2} AC$.

(C) $\triangle PQR$ માં,$L, M, N$ એ અનુક્રમે $PQ, QR, RP$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\overrightarrow{LM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR}$,$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PQ}$,અને $\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR}$.
વળી,$\overrightarrow{QM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{NL}$,$\overrightarrow{LN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{ML}$,$\overrightarrow{RN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{RP} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{ML}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{QM} + \overrightarrow{LN} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{RN} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
$= \overrightarrow{NL} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
કારણ કે $\overrightarrow{QL} = -\overrightarrow{LQ} = -\overrightarrow{MN}$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $\vec{0}$ થાય છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર બધા એક જ બિંદુ પર સંપાતી થાય છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ એ લંબકેન્દ્ર છે,તેથી તે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર પણ છે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \vec{0}$
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$
તેથી,$\vec{a}+\vec{b} = -\vec{c}$.

(A) ચતુષ્કોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સદિશ સંબંધો છે:
$SQ = SP + PQ = (a-b) + a = 2a - b$
$SM = SQ + QM = (2a - b) + \frac{b}{2} = 2a - \frac{b}{2}$
$SM = \frac{1}{2}(4a - b)$
આને $SM = m(4a - b)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $SX = \frac{4}{5}SM$,આપણે $SM$ માટેનું પદ મૂકીએ:
$SX = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(4a - b) = \frac{2}{5}(4a - b)$
આને $SX = n(4a - b)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = \frac{2}{5}$ મળે છે.
તેથી,$m + n = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5+4}{10} = \frac{9}{10}$.

(C) $\triangle PAC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{PA} + \vec{AC} = \vec{PC}$ ...$(i)$
$\triangle PBC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{PB} + \vec{BC} = \vec{PC}$ ...$(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{AC} + \vec{BC} = 2\vec{PC}$
કારણ કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{AC} = -\vec{BC}$,અથવા $\vec{AC} + \vec{BC} = 0$.
તેથી,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{PC}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
ધારો કે $P, Q, R, S$ એ બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી $P = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$,$Q = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$,$R = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$,$S = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}$.
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{P+R}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
$SQ$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{S+Q}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
બંને મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,તે બિંદુ $E$ છે.
તેથી $E$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
આથી $4\vec{e} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$.
કોઈપણ બિંદુ $O$ માટે,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OE}$ મળે છે.
તેથી $x = 4$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \quad \dots(i)$
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} \quad \dots(ii)$
કારણ કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\vec{AD} = \vec{BC}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$\vec{AC} - \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) - (-\vec{AB} + \vec{AD})$
$\vec{AC} - \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{AB} - \vec{BC}$
$\vec{AC} - \vec{BD} = 2\vec{AB}$

(C) ત્રિકોણ $ABC$ માં,ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{u} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\vec{v} = \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ થાય.
તેથી,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{a}}{2} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ થાય.
આથી $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ મળે.
હવે,સદિશોનો સરવાળો $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,અને $\vec{c} = -13\hat{i}-11\hat{j}+4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{CB}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c} = 18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k}$.
હવે,$\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ માં $\lambda$ માટે ઉકેલો:
$3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} = \lambda (-18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}) = -6\lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
આમ,$-6\lambda = 1$,જે $\lambda = -\frac{1}{6}$ આપે છે.
આગળ,$\vec{AC} = \mu \vec{CB}$ માં $\mu$ માટે ઉકેલો:
$-15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k} = \mu (18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k})$.
ઘટકોને ભાગતા: $-15 = 18\mu \implies \mu = -\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}$.
અંતે,$\lambda + \mu = -\frac{1}{6} + (-\frac{5}{6}) = -\frac{6}{6} = -1$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
તેથી,$\overline{AB} = \bar{b} - \bar{a}$.
આપેલ છે કે $\overline{AC} = 3 \overline{AB} = 3(\bar{b} - \bar{a})$.
કારણ કે $\overline{AC} = \vec{c} - \vec{a}$,તેથી $\vec{c} - \vec{a} = 3\bar{b} - 3\bar{a}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c} = 3\bar{b} - 2\bar{a}$.
આપેલ છે કે $\overline{BD} = 2 \overline{BA} = 2(\bar{a} - \bar{b})$.
કારણ કે $\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$,તેથી $\vec{d} - \vec{b} = 2\bar{a} - 2\bar{b}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{d} = 2\bar{a} - \bar{b}$.
હવે,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (2\bar{a} - \bar{b}) - (3\bar{b} - 2\bar{a}) = 2\bar{a} - \bar{b} - 3\bar{b} + 2\bar{a} = 4\bar{a} - 4\bar{b}$.

(B) ધારો કે $\bar{u} = \bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}$ એ આંતરિક દ્વિભાજકની દિશામાં સદિશ છે. તેનું માન $|\bar{u}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ છે.
ધારો કે $\bar{b} = -2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$. તેનું માન $|\bar{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3$ છે.
$\bar{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{-2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}}{3} = -\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}$ છે.
ધારો કે $\hat{a} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ એ $\bar{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
આંતરિક દ્વિભાજક $\hat{a} + \hat{b}$ ની દિશામાં હોય છે. તેથી,$\hat{a} + \hat{b} = k\bar{u}$ કોઈ અદિશ $k > 0$ માટે.
$\hat{a} = k(\bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}) - (-\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}) = (k + \frac{2}{3})\bar{i} + (-7k + \frac{1}{3})\bar{j} + (2k - \frac{2}{3})\bar{k}$.
$|\hat{a}| = 1$ હોવાથી,$(k + \frac{2}{3})^2 + (-7k + \frac{1}{3})^2 + (2k - \frac{2}{3})^2 = 1$.
સાદુરૂપ આપતા $54k^2 - 6k = 0$ મળે,તેથી $k = \frac{1}{9}$ ($k > 0$ હોવાથી).
તેથી $x = k + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$.

(A) આપેલ સદિશો $\bar{a} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + 5\bar{k}$ અને $\bar{b} = -\bar{i} + 3\bar{j} + 3\bar{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\bar{c} = \bar{a} - \bar{b}$ શોધો:
$\bar{c} = (2 - (-1))\bar{i} + (-3 - 3)\bar{j} + (5 - 3)\bar{k} = 3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}$.
હવે,$\bar{c}$ નું માન શોધો:
$|\bar{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$\bar{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7}$ છે.
$28$ એકમ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $28 \times \hat{c}$ છે:
$28 \times \left( \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7} \right) = 4(3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}) = 12\bar{i} - 24\bar{j} + 8\bar{k}$.

(B) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k}$,$\vec{b} = \overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}$,$\vec{c} = 2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k}$,અને $\vec{d} = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે: $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{a}}{2+1} = \frac{2(\overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}) + (\overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k})}{3} = \frac{3\overline{i} - 3\overline{k}}{3} = \overline{i} - \overline{k}$.
બિંદુ $Q$ એ $CD$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે: $\vec{q} = \frac{1\vec{d} - 2\vec{c}}{1-2} = \frac{(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}) - 2(2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k})}{-1} = \frac{-3\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}}{-1} = 3\overline{i} - 3\overline{j} - 3\overline{k}$.
ધારો કે બિંદુ $R$ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}$ છે,તે $PQ$ નું $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી $\vec{r} = \frac{k\vec{q} + 1\vec{p}}{k+1} \implies (k+1)(5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}) = k(3\overline{i}-3\overline{j}-3\overline{k}) + (\overline{i}-\overline{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x$-ઘટક: $5k+5 = 3k+1 \implies 2k = -4 \implies k = -2$.
આમ,ગુણોત્તર $-2:1$ છે.

(A) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,કેન્દ્ર $O$ એવું છે કે જેથી $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ અને $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\vec{a}$ થાય.
વળી,$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}$ અને $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$ થાય.
સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,બંધ બહુકોણની બાજુઓ પરના સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA} = 0$
કારણ કે $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$,તેથી આપણને મળે:
$\vec{a} + \vec{b} + \overrightarrow{CD} - \vec{a} + \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{CD} = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$ અને $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ પ્રમાણસર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = (6-\alpha)\hat{i} + (11-10)\hat{j} + (11-13)\hat{k} = (6-\alpha)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2}-6)\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} + (-8-11)\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} - 19\hat{k}$.
સમરેખતા માટે,$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta-11} = \frac{-2}{-19}$.
$\frac{1}{\beta-11} = \frac{2}{19}$ પરથી,આપણને $2(\beta-11) = 19 \Rightarrow 2\beta - 22 = 19 \Rightarrow 2\beta = 41 \Rightarrow 6\beta = 123$ મળે છે.
$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ પરથી,આપણને $19(6-\alpha) = -3 \Rightarrow 114 - 19\alpha = -3 \Rightarrow 19\alpha = 117$ મળે છે.
આમ,$(19\alpha - 6\beta)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$.

(D) આપેલ છે: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}$ ....$(i)$
આપેલ છે: $\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\beta \vec{a}$ ....(ii)
$(i)$ પરથી,$\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}-\vec{a}$.
આ કિંમત (ii) માં મુકતા: $(\alpha \vec{d}-\vec{a})+\vec{d}=\beta \vec{a}$.
પદોને ગોઠવતા: $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\alpha+1=0$ અને $\beta+1=0$ થાય,એટલે કે $\alpha=-1$ અને $\beta=-1$.
$(i)$ માં $\alpha=-1$ મુકતા: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = -\vec{d}$.
તેથી,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = \vec{0}$.
આમ,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}| = |\vec{0}| = 0$.

(A) ધારો કે $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ અને $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ એ અનુક્રમે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) = |\vec{a}| |\vec{b}| (\hat{a} + \hat{b})$.
કારણ કે $\hat{a} + \hat{b}$ એ એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ દ્વારા બનતા સમબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ છે,તે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક દર્શાવે છે.
આમ,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકને સમાંતર સદિશ છે.

(B) અહીં આપેલ છે કે $|\vec{f}|=10, |\vec{g}|=14$ અને $|\vec{f}-\vec{g}|=15$.
ગુણધર્મ $|\vec{f}-\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$15^2 = 10^2 + 14^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 100 + 196 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 296 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$2(\vec{f} \cdot \vec{g}) = 296 - 225 = 71$.
હવે,આપણે $|\vec{f}+\vec{g}|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|\vec{f}+\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 10^2 + 14^2 + 71$
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 100 + 196 + 71 = 367$
તેથી,$|\vec{f}+\vec{g}| = \sqrt{367}$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$.
આપેલ સમીકરણ $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2+(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})^2+(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})^2=36$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$.
$|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=3$ મૂકતા:
$3(3+3+3) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$.
$27 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$.
હવે,$|2 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 12(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 8(\vec{a} \cdot \vec{c})$ ગણતરી કરતા જવાબ $75$ મળે છે.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = -3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
બાજુઓ માટેના સદિશોની ગણતરી:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-3-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-3-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-2-3)\hat{k} = -4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
માન (Magnitude) ની ગણતરી:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
બધી બાજુઓની લંબાઈ અલગ હોવાથી,બિંદુઓ વિષમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = 4 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{q} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{r} = 3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$PQ = |\vec{q} - \vec{p}| = |(2-4) \hat{i} + (2-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.
$PR = |\vec{r} - \vec{p}| = |(3-4) \hat{i} + (1-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-\hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
અહીં $PQ = PR$ હોવાથી,$\triangle PQR$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુ $P$ ના ખૂણાનો દ્વિભાજક એ પાયા $QR$ પરનો મધ્યગા પણ છે.
તેથી,ખૂણા $P$ ના દ્વિભાજકનું $QR$ સાથેનું છેદબિંદુ $A$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$A = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} = \frac{(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})}{2} = \frac{5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = \frac{5}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(A) ધારો કે $\vec{r}$ એ બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ છે.
બિંદુ $C$ એ $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું $m:n = 2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} = \frac{2(3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})}{2+3}$
$= \frac{(6 \hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) + (6 \hat{i}-9 \hat{j}+6 \hat{k})}{5} = \frac{12 \hat{i}-11 \hat{j}+2 \hat{k}}{5} = \frac{12}{5} \hat{i}-\frac{11}{5} \hat{j}+\frac{2}{5} \hat{k}$.
હવે,બિંદુ $P$ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે,તેનાથી $C$ નું અંતર $|\vec{r} - \vec{p}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} - \vec{p} = (\frac{12}{5}-2) \hat{i} + (-\frac{11}{5}+1) \hat{j} + (\frac{2}{5}-1) \hat{k} = \frac{2}{5} \hat{i} - \frac{6}{5} \hat{j} - \frac{3}{5} \hat{k}$.
અંતર $D = |\vec{r} - \vec{p}| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{6}{5})^2 + (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{36}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5}$.

(D) આપેલ છે: $\vec{a}=(2x+y)\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k}$ અને $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-(x-y)\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ સદિશો છે,તેથી તેમના ઘટકો પ્રમાણસર છે:
$\frac{2x+y}{2} = \frac{3}{1} = \frac{9}{-(x-y)}$.
$\frac{2x+y}{2} = 3$ પરથી,આપણને $2x+y=6$ મળે છે $(i)$.
$\frac{3}{1} = \frac{9}{y-x}$ પરથી,આપણને $y-x=3$ અથવા $y=x+3$ મળે છે $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$2x+(x+3)=6 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$.
તેથી $y=1+3=4$.
અંતે,$x^3+27y^3 = (1)^3 + 27(4)^3 = 1 + 27(64) = 1 + 1728 = 1729$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{v} = 3 \vec{a}-2 \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = 3(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-2(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = (6-2) \hat{i} + (3-6) \hat{j} + (-3+10) \hat{k} = 4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{v}$ સદિશની દિશામાં છે,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{r} = x \vec{v} = x(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k})$ કોઈ અદિશ $x$ માટે.
આપેલ છે કે $|\vec{r}| = \sqrt{74}$,તેથી $|x| \sqrt{4^2+(-3)^2+7^2} = \sqrt{74}$.
$|x| \sqrt{16+9+49} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| \sqrt{74} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| = 1$.
કારણ કે $\vec{r}$ ની દિશા $\vec{v}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે,તેથી $x = -1$ લેવું પડે.
તેથી,$\vec{r} = -1(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) = -4 \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યકેન્દ્ર $G = \hat{i} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$,જ્યાં $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$3(1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) + (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$.
$3\hat{i} = (4+x)\hat{i} + (5+y)\hat{j} + (-3+z)\hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $4+x = 3 \Rightarrow x = -1$; $5+y = 0 \Rightarrow y = -5$; $-3+z = 0 \Rightarrow z = 3$.
આમ,$\vec{C} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,$AG^2 = |\vec{G} - \vec{A}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (0-1)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 1\hat{j} - 1\hat{k}|^2 = 1+1+1 = 3$.
$BG^2 = |\vec{G} - \vec{B}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-4)\hat{j} + (0+4)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 1+16+16 = 33$.
$CG^2 = |\vec{G} - \vec{C}|^2 = |(1+1)\hat{i} + (0+5)\hat{j} + (0-3)\hat{k}|^2 = |2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}|^2 = 4+25+9 = 38$.
તેથી,$AG^2 + BG^2 + CG^2 = 3 + 33 + 38 = 74$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}=-2 \hat{i}+9 \hat{j}-6 \hat{k}$ અને $\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો શોધો: $\vec{a}+\vec{b} = (-2+t) \hat{i} + (9-2) \hat{j} + (-6+6) \hat{k} = (t-2) \hat{i} + 7 \hat{j} + 0 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}|=25$,તેથી $\sqrt{(t-2)^2 + 7^2 + 0^2} = 25$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(t-2)^2 + 49 = 625$.
$(t-2)^2 = 625 - 49 = 576$.
વર્ગમૂળ લેતા,$t-2 = \pm 24$.
કિસ્સો $1$: $t-2 = 24 \Rightarrow t = 26$.
કિસ્સો $2$: $t-2 = -24 \Rightarrow t = -22$.
$t$ ની કિંમતોનો સરવાળો $26 + (-22) = 4$ થાય છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$,અને $\overrightarrow{OC} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{53}$.
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{66}$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{59}$.
અહીં $|\overrightarrow{AB}| \neq |\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{CA}|$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ અલગ છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{OB} = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = -\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,સદિશ $\overrightarrow{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (2-1)\hat{i} + (3-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મેળવીએ.
$\overrightarrow{BA}$ નું માન $|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ છે.
$\overrightarrow{BA}$ ની દિશામાં અને $\overrightarrow{AB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{BA}|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{26}}$ છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = -3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
$L$ એ $OA$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$L$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OL} = \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})$ છે.
$M$ એ $OB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OM} = \frac{3}{5} \vec{b} = \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$ છે.
$LP \parallel OB$ અને $PM \parallel OA$ હોવાથી,$OMPL$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OP} = \vec{OL} + \vec{OM}$ થાય.
$\vec{OP} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(-6 \hat{i}-6 \hat{j}+8 \hat{k} + 12 \hat{i}-12 \hat{j}-9 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(6 \hat{i}-18 \hat{j}-\hat{k})$.
$O$ થી $P$ નું અંતર $|\vec{OP}| = \frac{1}{5} \sqrt{6^2 + (-18)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{5} \sqrt{36 + 324 + 1} = \frac{\sqrt{361}}{5} = \frac{19}{5}$ થાય.

(D) આપેલા સદિશો $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=-5 \hat{i}+7 \hat{j}$,અને $\vec{c}=3 \hat{i}+y \hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} = (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+7 \hat{j}) + (3 \hat{i}+y \hat{j})$
$= (3+5+3) \hat{i} + (1-7+y) \hat{j} - 2 \hat{k}$
$= 11 \hat{i} + (y-6) \hat{j} - 2 \hat{k}$.
હવે,માન $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{11^2 + (y-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + (y-6)^2 + 4} = \sqrt{125 + (y-6)^2}$ શોધો.
આપેલ છે કે $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{141}$,તેથી:
$\sqrt{125 + (y-6)^2} = \sqrt{141}$
$125 + (y-6)^2 = 141$
$(y-6)^2 = 141 - 125 = 16$
$y-6 = \pm 4$.
આમ,$y_1 = 6+4 = 10$ અને $y_2 = 6-4 = 2$.
$|y_1-y_2| = |10-2| = 8$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}-\vec{b} = (1-2)\hat{i} + (2-(-3))\hat{j} + (-3-(-5))\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1+25+4} = \sqrt{30}$.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો. વિકલ્પ $B$ માટે,$|\vec{b}|-|\vec{a}| = \sqrt{38} - \sqrt{14} \approx 6.16 - 3.74 = 2.42$.
કારણ કે $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{30} \approx 5.47$,તેથી $5.47 > 2.42$.
આમ,$|\vec{a}-\vec{b}| > |\vec{b}|-|\vec{a}|$ સાચું છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{OB} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $C$ ને $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) - (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$\overrightarrow{OC} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) + t(3\hat{j}-4\hat{k}) = \hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $BC = 10$,તેથી $|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}| = 10$.
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (\hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) = (3t-3)\hat{j} + (4-4t)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = (3t-3)^2 + (4-4t)^2 = 10^2 = 100$.
$9(t-1)^2 + 16(1-t)^2 = 100 \Rightarrow 25(t-1)^2 = 100 \Rightarrow (t-1)^2 = 4$.
$t-1 = \pm 2$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = -1$.
$t=3$ માટે,$\overrightarrow{OC} = \hat{i} + (3(3)-1)\hat{j} + (2-4(3))\hat{k} = \hat{i} + 8\hat{j} - 10\hat{k}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = t \vec{b}$ જ્યાં $t < 0$ એક અદિશ છે.
ત્યારબાદ $t$ ઋણ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશાના સદિશો (unlike vectors) છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $|\vec{a}| = |t \vec{b}| = |t| |\vec{b}|$.
$t < 0$ હોવાથી,$|t|$ કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
જો $|t| > 1$ હોય,તો $|\vec{a}| > |\vec{b}|$.
જો $|t| = 1$ હોય,તો $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
જો $0 < |t| < 1$ હોય,તો $|\vec{a}| < |\vec{b}|$.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિરુદ્ધ દિશાના સદિશો છે અને તેમના માનાંક વચ્ચેનો સંબંધ $|t|$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે,જે $|\vec{a}| \geq |\vec{b}|$ અથવા $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ હોઈ શકે છે.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો સદિશ $\vec{c} = \lambda \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.
ધારો કે $x = \frac{1}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{30}}$ અને $y = \frac{1}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{59}}$.
તેથી $\vec{c} = \lambda (x \vec{a} + y \vec{b}) = \lambda (x(2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}) + y(3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}))$.
ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા,આપણને $\vec{c} = \lambda ((2x + 3y) \hat{i} + (7y - x) \hat{j} + (5x - y) \hat{k})$ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એ દ્વિભાજક પરનો સદિશ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. સેક્શન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને,$D, E, F$ ના સ્થાન સદિશો છે:
$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$,$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{a}}{3}$,$\vec{f} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$.
$AD$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{d} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{5}\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $P$ એ $BE$ પર પણ આવેલું છે,$\vec{p} = (1-m)\vec{b} + m\vec{e} = \frac{m}{3}\vec{a} + (1-m)\vec{b} + \frac{2m}{3}\vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1-t = \frac{m}{3}$,$\frac{3t}{5} = 1-m$,$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$.
$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$ પરથી,આપણને $3t = 5m$ મળે છે,તેથી $m = \frac{3t}{5}$.
$1-t = \frac{m}{3}$ માં મૂકતા,$1-t = \frac{t}{5}$ મળે,તેથી $t = \frac{5}{6}$.
પછી $m = \frac{1}{2}$.
$\vec{p}$ માટેના સમીકરણમાં $t = \frac{5}{6}$ મૂકતા:
$\vec{p} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.
હવે,$\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}) + \frac{1}{3}(\vec{c}-\vec{a}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
આમ,$x_1 = \frac{1}{2}$ અને $y_1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$x_1 + y_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.

(C) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ વક્ર $y = 2^{x+2}$ પર આવેલા છે.
બિંદુ $P$ માટે,$\overline{OP} \cdot \hat{i} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $P$ નો $x$-યામ $x_P = -1$ છે.
વક્રના સમીકરણમાં $x_P = -1$ મૂકતા: $y_P = 2^{-1+2} = 2^1 = 2$.
આમ,$P = (-1, 2)$ અને $\overline{OP} = -\hat{i} + 2\hat{j}$.
બિંદુ $Q$ માટે,$\overline{OQ} \cdot \hat{i} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $Q$ નો $x$-યામ $x_Q = 2$ છે.
વક્રના સમીકરણમાં $x_Q = 2$ મૂકતા: $y_Q = 2^{2+2} = 2^4 = 16$.
આમ,$Q = (2, 16)$ અને $\overline{OQ} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$.
હવે,$\overline{OQ} - 4\overline{OP}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{OQ} - 4\overline{OP} = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 2\hat{i} + 16\hat{j} + 4\hat{i} - 8\hat{j}$
$= (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j}$
$= 6\hat{i} + 8\hat{j}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a+3 b+4 c=x(a-2 b+3 c)+y(a+5 b-2 c)+z(6 a+14 b+4 c)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a+3 b+4 c=a(x+y+6 z)+b(-2 x+5 y+14 z)+c(3 x-2 y+4 z)$.
$a, b, c$ અસમતલીય સદિશો હોવાથી,બંને બાજુના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x+y+6 z=1$ ...$(i)$
$-2 x+5 y+14 z=3$ ...(ii)
$3 x-2 y+4 z=4$ ...(iii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 1 - y - 6z$.
(ii) માં કિંમત મૂકતા: $-2(1-y-6z) + 5y + 14z = 3 \implies -2 + 2y + 12z + 5y + 14z = 3 \implies 7y + 26z = 5$ ...(iv).
(iii) માં કિંમત મૂકતા: $3(1-y-6z) - 2y + 4z = 4 \implies 3 - 3y - 18z - 2y + 4z = 4 \implies -5y - 14z = 1$ ...$(v)$.
(iv) અને $(v)$ ઉકેલતા: (iv) ને $5$ વડે અને $(v)$ ને $7$ વડે ગુણતા: $35y + 130z = 25$ અને $-35y - 98z = 7$.
સરવાળો કરતા: $32z = 32 \implies z = 1$.
$(v)$ માં $z=1$ મૂકતા: $-5y - 14(1) = 1 \implies -5y = 15 \implies y = -3$.
$(i)$ માં $y=-3, z=1$ મૂકતા: $x - 3 + 6(1) = 1 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.
આમ,$x+y+z = -2 - 3 + 1 = -4$.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ હોય જો કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = p\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + q\hat{j} - 3\hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$p = \lambda(1) \implies p = \lambda$
$-2 = \lambda(q) \implies -2 = \lambda q$
$5 = \lambda(-3) \implies \lambda = -\frac{5}{3}$
$\lambda = -\frac{5}{3}$ ની કિંમત અન્ય સમીકરણોમાં મૂકતા:
$p = -\frac{5}{3}$
$-2 = (-\frac{5}{3})q \implies q = -2 \times (-\frac{3}{5}) = \frac{6}{5}$
આમ,$p = -\frac{5}{3}$ અને $q = \frac{6}{5}$.

(B) આપેલ છે કે સદિશો $a$ અને $b$ સમરેખ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $b = \lambda a$,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને મળે $|b| = |\lambda| |a|$.
પ્રથમ,સદિશ $a$ નું માન શોધીએ:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આપેલ છે કે $|b| = 21$,તેથી કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$21 = |\lambda| \times 7$.
$|\lambda| = \frac{21}{7} = 3$.
આમ,$\lambda = \pm 3$.
હવે $\lambda$ ની કિંમત $b$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$b = \pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) = \pm(6\hat{i} + 9\hat{j} + 18\hat{k})$.

(A) શરત $|a + b| = |a| + |b|$ ત્યારે જ સાચી પડે જો સદિશો $a$ અને $b$ એક જ દિશામાં હોય,એટલે કે તેઓ સમરેખ હોય અને સમાન દિશા ધરાવતા હોય.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $k > 0$ માટે $a = k b$ થાય.
આપેલ $a = \hat{i} + x \hat{j} + \hat{k}$ અને $b = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ માટે,આપણે ઘટકોની સરખામણી કરીએ:
$\frac{1}{1} = \frac{x}{1} = \frac{1}{1}$.
આના પરથી,આપણને $x = 1$ મળે છે.
અહીં $k = 1 > 0$ હોવાથી,$x = 1$ માટે શરત સંતોષાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x a + y b + z c = 0$ માં સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$x(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + z(8 \hat{i} + 13 \hat{j} + 9 \hat{k}) = 0$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2y + 8z = 0$ $(i)$
$2x + 3y + 13z = 0$ $(ii)$
$3x + y + 9z = 0$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ કરતા: $(2x + 4y + 16z) - (2x + 3y + 13z) = 0 \Rightarrow y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$.
$y = -3z$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x + 2(-3z) + 8z = 0 \Rightarrow x - 6z + 8z = 0 \Rightarrow x + 2z = 0 \Rightarrow x = -2z$.
હવે,$\frac{xy}{z^2}$ ની કિંમત શોધતા:
$\frac{xy}{z^2} = \frac{(-2z)(-3z)}{z^2} = \frac{6z^2}{z^2} = 6$.

(A) ધારો કે સદિશો $a$ અને $b$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OADC$ ની બાજુઓ $\vec{OA}$ અને $\vec{OD}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. વિકર્ણ $\vec{OC} = a+b$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. તો $a$ અને $a+b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OADC$ માં,$OA = |a|$ અને $OD = AC = |b|$ છે.
$C$ માંથી $OA$ ને લંબાવેલી રેખા $OB$ પર લંબ દોરવાથી બનતો ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle ABC$ માં,$AB = |b| \cos 2\theta$ અને $BC = |b| \sin 2\theta$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBC$ માં,$\tan \theta = \frac{BC}{OB} = \frac{|b| \sin 2\theta}{|a| + |b| \cos 2\theta}$.
દ્વિ-ખૂણાના સૂત્રો $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{|b| \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}{|a| + |b| \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}$
$\tan \theta = \frac{2|b| \tan \theta}{|a|(1 + \tan^2 \theta) + |b|(1 - \tan^2 \theta)}$
$a$ અને $b$ અસમરેખ હોવાથી,$\theta \neq 0$,તેથી $\tan \theta \neq 0$. $\tan \theta$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{2|b|}{|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta}$
$|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta = 2|b|$
$|a|(1 + \tan^2 \theta) - |b|(1 + \tan^2 \theta) = 0$
$(|a| - |b|)(1 + \tan^2 \theta) = 0$
$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \neq 0$ હોવાથી,$|a| - |b| = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|a| = |b|$.

(D) આપેલ છે કે,$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OD}=\vec{d}$.
કારણ કે $OA \parallel CB$ અને $\frac{OA}{CB}=2$,તેથી $\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
કારણ કે $OD \parallel AB$ અને $\frac{OD}{AB}=\frac{1}{3}$,તેથી $\vec{AB} = 3\vec{OD} = 3\vec{d}$.
હવે,આપણે જરૂરી સરવાળાને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{d}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{d} - \vec{a}$.
$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{DC}$.
પંચકોણની ભૂમિતિ પરથી,$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + 3\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}$.
વળી,$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) - \vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d}$.
આનો સરવાળો કરતા: $\vec{AD} + \vec{OC} + \vec{DC} = (\vec{d} - \vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d})$.
$= (-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a}) + (\vec{d} + 3\vec{d} + 2\vec{d}) = 0\vec{a} + 6\vec{d} = 6\vec{d}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં $D, E$ અને $F$ અનુક્રમે $AB, AC$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુઓના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{D} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{E} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
$\overrightarrow{F} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
હવે,આપણે સદિશો $\overrightarrow{BE}$ અને $\overrightarrow{AF}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{A} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$= \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
કારણ કે $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{DC}$

(D) સદિશ $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલો હોય જો તેના દિક-કોસાઇન સમાન હોય,એટલે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$.
આનો અર્થ એ છે કે દિક-ગુણોત્તરના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $|a| = |b| = |c|$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ માટે,$\vec{v} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
દિક-ગુણોત્તર $a=4, b=4, c=4$ છે.
તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ છે.
દિક-કોસાઇન $\left(\frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ છે.
બધા દિક-કોસાઇન સમાન હોવાથી,સદિશ $4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલો છે.