Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(C) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{C} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ થાય.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ થાય.
હવે,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = \hat{j}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
તેમજ,$(||u|-|v||)^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
સમાનતા $|u-v| = ||u|-|v||$ સાચી ઠરવા માટે,તેમના વર્ગો સમાન હોવા જોઈએ:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos \theta$,તેથી $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.
તેથી,$u$ અને $v$ સમાન દિશામાં હોવા જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે $\vec{OA}=\vec{a}$ અને $\vec{OB}=\vec{b}$.
કારણ કે $B$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી આપણી પાસે $\vec{OB} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{OC}}{2}$
$2\vec{b} = \vec{a} + \vec{OC}$
$\vec{OC} = 2\vec{b} - \vec{a}$.

(D) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
તે જ રીતે,ષટ્કોણની બીજી બાજુ માટે:
$\vec{FE} + \vec{ED} = \vec{FD}$
નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,વિકર્ણ $\vec{AC}$ એ વિકર્ણ $\vec{FD}$ ને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સદિશ $\vec{AB} + \vec{BC}$ એ $\vec{FE} + \vec{ED}$ ને સમાંતર છે.

(D) કેન્દ્ર $O$ વાળા નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,સદિશ $\vec{AO}$ એ કેન્દ્ર $O$ થી શિરોબિંદુ $A$ તરફનો નિર્દેશિત રેખાખંડ દર્શાવે છે.
નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\vec{AO}$ એ સદિશ $\vec{ED}$ અને $\vec{BC}$ ને સમાન છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$\vec{BC}$ સ્પષ્ટપણે આપેલ નથી,પરંતુ આપણે આપેલા સદિશોનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
નોંધો કે $\vec{AO} = \vec{ED} = \vec{BC}$.
તેથી,સદિશ $\vec{AO}$ એ $\vec{ED}$ ને સમાન છે.

(B) ધારો કે સદિશો $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ છે. આપણે $\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $\vec{OB}$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec{OB} = R\hat{j}$.
તો $\vec{OA} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
અને $\vec{OC} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} - \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}) + R\hat{j} + R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$
$\vec{R} = R(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + R(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{j}$
$\vec{R} = R(\frac{2}{\sqrt{2}})\hat{i} + R\hat{j} = \sqrt{2}R\hat{i} + R\hat{j}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{OA}$ અને $\vec{OC}$ નો સરવાળો $2R \cos(45^{\circ}) \hat{j} = \sqrt{2}R \hat{j}$ થાય છે.
તેમાં $\vec{OB} = R \hat{j}$ ઉમેરતા,કુલ પરિણામી સદિશ $(\sqrt{2} + 1)R \hat{j}$ મળે છે.
તેથી,તેનું મૂલ્ય $(\sqrt{2} + 1)R$ છે.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$B = 2\hat{i}+3\hat{j}$,$C = 5\hat{j}-2\hat{k}$,અને $D = -\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપણે બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = B - A = (2\hat{i}+3\hat{j}) - (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{BC} = C - B = (5\hat{j}-2\hat{k}) - (2\hat{i}+3\hat{j}) = -2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{CD} = D - C = (-\hat{j}+\hat{k}) - (5\hat{j}-2\hat{k}) = -6\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{DA} = A - D = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
અહીં બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો એકબીજાને સમાંતર નથી (એટલે કે,$\vec{AB} \neq k\vec{CD}$ અને $\vec{BC} \neq k\vec{DA}$),તેથી આ આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કે સમલંબ ચતુષ્કોણની શરતોનું પાલન કરતી નથી.
આમ,આ ચાર બિંદુઓ દ્વારા બનતી આકૃતિ એક સામાન્ય ચતુષ્કોણ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,આપણી પાસે $\vec{AB} = \vec{DC}$ અને $\vec{AD} = \vec{BC}$ છે.
કારણ કે $L$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{BL} = \frac{1}{2} \vec{BC}$ થાય.
$\triangle ABL$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{BC}$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં $\vec{BC} = \vec{AD}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{AD}$

(C) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ અને $\vec{b} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + m \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
તેઓ સમરેખ હોવા માટે,$\frac{1}{1} = \frac{2}{m} = \frac{m}{2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{1} = \frac{2}{m}$ પરથી,આપણને $m = 2$ મળે છે.
$\frac{1}{1} = \frac{m}{2}$ પરથી,આપણને $m = 2$ મળે છે.
બંને શરતો સમાન મૂલ્ય $m = 2$ આપે છે,તેથી $m$ નું માત્ર $1$ મૂલ્ય છે જેના માટે સદિશો સમરેખ છે.

(A) આપેલ છે કે $ABCDEF$ એક નિયમિત ષટ્કોણ છે જેમાં $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન મૂલ્યની હોય છે. તેથી,$\vec{ED} = \vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{FE} = \vec{BC} = \vec{b}$ થાય.
વળી,મુખ્ય વિકર્ણ $\vec{AD}$ એ $\vec{BC}$ ને સમાંતર છે અને તેનું મૂલ્ય $\vec{BC}$ કરતા બમણું છે. તેથી,$\vec{AD} = 2\vec{BC} = 2\vec{b}$ થાય.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.
હવે,$\triangle ACD$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{CD} = 2\vec{b}$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b})$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$

(D) ધારો કે નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O$ છે.
દરેક સદિશને ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
$\vec{BE} + \vec{BC} + \vec{EF} + \vec{BA} + \vec{CF} + \vec{AF}$
$= (\vec{OE} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OE}) + (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OC}) + (\vec{OF} - \vec{OA})$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\vec{OE} - \vec{OE} = 0$,$\vec{OC} - \vec{OC} = 0$,અને $\vec{OA} - \vec{OA} = 0$.
આથી સાદું રૂપ મળે છે: $3\vec{OF} - 3\vec{OB}$
$= 3(\vec{OF} - \vec{OB})$
$= 3\vec{BF}$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,ધારો કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ છે.
તે નિયમિત ષટ્કોણ હોવાથી,$\vec{CD} = \vec{AF} = \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ થાય.
વળી,$\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}$ થાય.
$\triangle CDE$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{DE}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{CE} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$ થાય.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $PQ + QR = (2\lambda^2 - 5)RP$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $PQ + QR = PR$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $PR = (2\lambda^2 - 5)RP$
આપણે જાણીએ છીએ કે $PR = -RP$,તેથી સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય: $-RP = (2\lambda^2 - 5)RP$
બંને બાજુ $RP$ વડે ભાગતા (ધારો કે $RP \neq 0$): $2\lambda^2 - 5 = -1$
$2\lambda^2 = 4$
$\lambda^2 = 2$
$\lambda = \pm \sqrt{2}$

(C) કારણ કે $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ થી સદિશોના સંદર્ભમાં,આપણી પાસે $\vec{PC} = \frac{\vec{PA} + \vec{PB}}{2}$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2\vec{PC} = \vec{PA} + \vec{PB}$ મળે છે.
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$.
આમ,સાચો સંબંધ $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$ છે.

(A) બે સદિશો $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$.
આપેલ છે કે $a = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ અને $b = 2 \hat{i} - \hat{j} + \beta \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$
$\frac{\alpha}{2} = -3$ પરથી,આપણને $\alpha = -6$ મળે છે.
$\frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$ પરથી,$-3\beta = -6$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2$.
આમ,$\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ એ માંગેલ કિંમતો છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપેલ દિશાઓ સાથેના ત્રિકોણ $ABC$ માટે:
$(i)$ ત્રિકોણના નિયમ દ્વારા,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$ મળે.
કારણ કે $\vec{AC} = -\vec{CA}$,તેથી $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$. આમ,$(i)$ સાચું છે.
(ii) ત્રિકોણના નિયમ પરથી,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$,જે સૂચવે છે કે $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$. આમ,(ii) સાચું છે.
(iii) આપણી પાસે $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ છે. વળી,$\vec{CB} = -\vec{BC}$,તેથી $\vec{BC} = -\vec{CB}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AC}$.
ફરીથી ગોઠવતા $\vec{AB} - \vec{CB} - \vec{AC} = 0$,અથવા $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0$ મળે. આમ,(iii) સાચું છે.
(iv) $(i)$ પરથી,$\vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{CA} = \vec{AC}$.
તેથી $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC} \neq \vec{0}$. આમ,(iv) ખોટું છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $(i)$ સાચું,(ii) સાચું,(iii) સાચું,(iv) ખોટું છે.

(D) કોઈપણ સદિશ $z \in R^3$ ને રેખીય સંયોજન $z = au + bv + cw$ તરીકે દર્શાવવા માટે,સદિશોનો સમૂહ ${u, v, w}$ એ સમગ્ર સદિશ અવકાશ $R^3$ ને વ્યાપ્ત (span) કરવો જોઈએ.
કારણ કે $R^3$ એ $3$-પરિમાણીય અવકાશ છે,$R^3$ ને વ્યાપ્ત કરતા કોઈપણ $3$ સદિશોના સમૂહને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવું આવશ્યક છે.
જો સદિશો રેખીય રીતે અવલંબિત હોય,તો તેઓ એક સમતલમાં અથવા એક રેખા પર આવેલા હોય,અને તેથી તેઓ $R^3$ ના દરેક સદિશનું નિરૂપણ કરી શકે નહીં.
તેથી,શરત એ છે કે $u, v$ અને $w$ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.
આ વિકલ્પ મૂળ યાદીમાં આપવામાં આવ્યો ન હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{QO} + \vec{OR}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{PQ}$.
તે જ રીતે,$\vec{QO} + \vec{OR} = \vec{QR}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\vec{PQ} = \vec{QR}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સદિશ $\vec{QR}$ ને સમાન છે.
તેમની દિશા સમાન છે અને તેમના માન (magnitude) પણ સમાન હોવાથી $(|\vec{PQ}| = |\vec{QR}|)$,બિંદુ $Q$ એ રેખાખંડ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $O$ એ નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ નું કેન્દ્ર છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં,વિકર્ણો $AD$,$BE$ અને $CF$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે અને તે ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ કરતા બમણા હોય છે. ખાસ કરીને,$AD = 2BC$,$EB = 2FA$,અને $FC = 2AB$.
સદિશ સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ લો. તો $\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$,$\vec{DE} = -\vec{a}$,$\vec{EF} = -\vec{b}$,$\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{b}$.
$\vec{EB} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} - (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$.
$\vec{FC} = \vec{FA} + \vec{AB} + \vec{BC} = (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a}$.
સરવાળો $= \vec{AD} + \vec{EB} + \vec{FC} = 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{a} = 4\vec{a} = 4\vec{AB}$.
આપેલ છે કે $(3\lambda - 8)\vec{AB} = 4\vec{AB}$,તેથી $3\lambda - 8 = 4$,જે $3\lambda = 12$ આપે છે,તેથી $\lambda = 4$.

(C) બે સદિશો $u$ અને $v$ સમાંતર ત્યારે કહેવાય જ્યારે તેઓ સમાન અથવા વિરુદ્ધ દિશા ધરાવતા હોય.
ગાણિતિક રીતે,આ શરતનો અર્થ એ છે કે એક સદિશ બીજા સદિશનો અદિશ ગુણાંક છે,એટલે કે $u = k v$,જ્યાં $k$ એ કોઈ શૂન્યતર અદિશ $k \in \mathbb{R}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,કેન્દ્ર $O$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈએ. શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણ હોવાથી,$\vec{AB} + \vec{AF} = \vec{AO}$ થાય.
તે જ રીતે,$\vec{CD} + \vec{EF} = \vec{CO}$ થાય.
તેથી,$\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{CD} + \vec{EF} = \vec{AO} + \vec{CO}$.
ષટ્કોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આ સરવાળો $\vec{BC} + \vec{DE}$ બરાબર થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $|u+v|^2 = 2(|u|^2+|v|^2)$.
ડાબી બાજુને $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરતા:
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = 2|u|^2 + 2|v|^2$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v) = 0$
આ પદાવલિ સદિશોના તફાવતના વર્ગ સમાન છે:
$|u - v|^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|u - v| = 0$
તેથી,$u - v = 0$,જેનો અર્થ છે કે $u = v$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) સદિશ $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે જો તેનું માન $1$ હોય,એટલે કે $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $a, b, c \in W$,જ્યાં $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ એ પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ છે.
કારણ કે $a^2, b^2, c^2 \ge 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $1$ થવા માટે એક ચલ $1$ હોવો જોઈએ અને બાકીના $0$ હોવા જોઈએ.
શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ એ $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,અને $(0, 0, 1)$ છે.
આમ,આવા કુલ $3$ એકમ સદિશો મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{t}$ એ શિરોબિંદુઓ $P, Q, R, S, T$ ના સ્થાન સદિશો છે.
આપેલ સદિશોનો સરવાળો $\vec{V} = \overline{PQ} + \overline{PT} + \overline{QR} + \overline{SR} + \overline{TS} + \overline{PS}$ છે.
સ્થાન સદિશો મૂકતા:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{p}) + (\vec{t} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) + (\vec{s} - \vec{r}) + (\vec{s} - \vec{t}) + (\vec{s} - \vec{p})$.
પદોને ગોઠવતા:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{q}) + (\vec{t} - \vec{t}) + (\vec{r} - \vec{r}) + (\vec{s} + \vec{s} + \vec{s}) - (\vec{p} + \vec{p} + \vec{p})$.
$\vec{V} = 3\vec{s} - 3\vec{p} = 3(\vec{s} - \vec{p})$.
કારણ કે $\vec{s} - \vec{p} = \overline{PS}$,તેથી $\vec{V} = 3\overline{PS}$ થાય.

(A) સ્થાન સદિશો $A, B$ અને $C$ ધરાવતા ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય જો સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોય,એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{AB} = k \vec{BC}$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે,ધારો કે $A = u-2v+3w$,$B = 2u+3v-4w$,અને $C = u-7v+10w$.
અહીં,$2A - B = 2(u-2v+3w) - (2u+3v-4w) = 2u-4v+6w - 2u-3v+4w = -7v+10w$.
આમ,$C = 2A - B$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C - A = A - B$,એટલે કે $\vec{AC} = \vec{BA}$,જે દર્શાવે છે કે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) આપેલ સદિશ $v = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $v$ નું માન શોધો:
$|v| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
$v$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{v}{|v|} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}}$ છે.
$v$ ની દિશામાં $\sqrt{7}$ માન ધરાવતો સદિશ $\sqrt{7} \times \hat{v}$ દ્વારા મળે છે:
$= \sqrt{7} \times \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{2}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) નિયમિત પંચકોણનો આંતરિક ખૂણો $\theta = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=5$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5} = \frac{3 \times 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$.
સદિશ $\vec{v} = (\sin \theta) \hat{i} + (\cos \theta) \hat{j} + (\tan \theta) \hat{k}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \tan^2 \theta}$ છે.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $|\vec{v}| = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$.
$\theta = 108^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $|\sec 108^{\circ}|$ મળે છે.
કારણ કે $\sec 108^{\circ} = \sec(180^{\circ} - 72^{\circ}) = -\sec 72^{\circ} = -\operatorname{cosec} 18^{\circ}$,તેથી માન $|-\operatorname{cosec} 18^{\circ}| = |\operatorname{cosec} 18^{\circ}|$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $A$ ઉગમબિંદુ હોય,તો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ છે. મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AG} = \frac{(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})}{3}$
$\vec{AG} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
હવે,માન $|\vec{AG}|$ ની ગણતરી કરતા: $|\vec{AG}| = \sqrt{2^2 + (\frac{4}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{88}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 22}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{22}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{OA} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$
$\vec{OB} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$
$\vec{OC} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો છે:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\beta - \alpha) \hat{i} + (\gamma - \beta) \hat{j} + (\alpha - \gamma) \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (\gamma - \beta) \hat{i} + (\alpha - \gamma) \hat{j} + (\beta - \alpha) \hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = (\alpha - \gamma) \hat{i} + (\beta - \alpha) \hat{j} + (\gamma - \beta) \hat{k}$
હવે,આ બાજુઓના માન શોધીએ:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$
કારણ કે $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}|$ છે,તેથી આ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન હોવાથી,માન શૂન્ય નથી.
આમ,બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ છે.
$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$E$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$ છે.
હવે,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}$.
અને $\vec{EB} = \vec{b} - \vec{e} = \vec{b} - \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\vec{AD} + \vec{EB} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a} + 2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2} = \frac{3\vec{b}-3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AB}$.
તેથી,$2(\vec{AD}+\vec{EB}) = 2 \times \frac{3}{2} \vec{AB} = 3 \vec{AB}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ છે.
પદાવલિ $E = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$E = (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c}^2 + \vec{a}^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a})$ મળે.
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ હોવાથી,આ $E = 6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
માન મૂકતા,$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$,તેથી $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -3$.
આમ,$E$ ની મહત્તમ કિંમત $6 - (-3) = 9$ છે.
તેથી,$k = 9$.
અંતે,$k(2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{b}|^2 - 4|\vec{c}|^2) = 9(2(1) + 3(1) - 4(1)) = 9(2 + 3 - 4) = 9(1) = 9$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{r}_A$ અને $\vec{r}_B$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{r}_A = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $m:n = 2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $C$ નો સ્થાન સદિશ: $\vec{r}_C = \frac{m \vec{r}_B + n \vec{r}_A}{m+n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + 1 (\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c})}{2+1}$.
$\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}}{3}$.
અંશને સરખાવતા: $3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c} = 2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
$2 \vec{r}_B = (3 \bar{a}-\bar{a}) + (4 \bar{b}+2 \bar{b}) + (-5 \bar{c}-3 \bar{c})$.
$2 \vec{r}_B = 2 \bar{a} + 6 \bar{b} - 8 \bar{c}$.
$\vec{r}_B = \bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$.
આમ,$B$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$ છે.

(A) ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બે એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
સદિશ $\bar{v} = \alpha \bar{a} + \bar{b}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ની દિશામાં રહેલા એકમ સદિશોના સરવાળાની દિશામાં હોવો જોઈએ.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો પોતે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ છે.
ખૂણાનો દુભાજક સદિશ $\hat{a} + \hat{b} = \bar{a} + \bar{b}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$\alpha \bar{a} + \bar{b} = k(\bar{a} + \bar{b})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા (કારણ કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સમાંતર નથી,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે),આપણને $\alpha = k$ અને $1 = k$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\overline{AB}$ ના દિકગુણોત્તરો $1, -1, 2$ છે. ધારો કે સદિશ $\overline{AB} = k(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overline{AB}| = |k| \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = |k| \sqrt{6}$.
આપેલ છે કે $|\overline{AB}| = 2\sqrt{6}$,તેથી $|k|\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \implies |k| = 2$.
આમ,$\overline{AB} = 2(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ અથવા $\overline{AB} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
કારણ કે $\overline{OB} = \overline{OA} + \overline{AB}$,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી $|\overline{OB}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
કિસ્સો $2$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
તેથી $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$|\overline{OB}| = \sqrt{35}$.

(C) આપેલ સદિશ સમીકરણ:
$(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) = x(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) + z(-2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$2x + y - 2z = 3$ $(1)$
$3x - 2y + z = -1$ $(2)$
$-x + 2y - 2z = 2$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + y - 2z) - (-x + 2y - 2z) = 3 - 2$
$3x - y = 1 \implies y = 3x - 1$
$y = 3x - 1$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3x - 2(3x - 1) + z = -1$
$3x - 6x + 2 + z = -1 \implies z = 3x - 3$
$y$ અને $z$ ની કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + (3x - 1) - 2(3x - 3) = 3$
$2x + 3x - 1 - 6x + 6 = 3$
$-x + 5 = 3 \implies x = 2$
હવે,$y$ અને $z$ શોધીએ:
$y = 3(2) - 1 = 5$
$z = 3(2) - 3 = 3$
આમ,ત્રિપુટી $(x, y, z) = (2, 5, 3)$ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $P, Q, R, S$ ના સ્થાન સદિશો:
$\vec{p} = -\bar{a} + 4\bar{b} - 3\bar{c}$
$\vec{q} = 3\bar{a} + 2\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{r} = -3\bar{a} + 8\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{s} = -3\bar{a} + 2\bar{b} + \bar{c}$
સ્થાનંતર સદિશોની ગણતરી:
$\overline{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PR} = \vec{r} - \vec{p} = -2\bar{a} + 4\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PS} = \vec{s} - \vec{p} = -2\bar{a} - 2\bar{b} + 4\bar{c}$
$\overline{PQ} = x\overline{PR} + y\overline{PS}$ માટે:
$4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c} = (-2x - 2y)\bar{a} + (4x - 2y)\bar{b} + (-2x + 4y)\bar{c}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x + y = -2$ અને $2x - y = -1$
બંનેનો સરવાળો કરતા $3x = -3 \implies x = -1$,તેથી $y = -1$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y) = (-1, -1)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{b}$ છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{PR} = 5 \overrightarrow{PQ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}$ અને $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p} = 5(\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p})$
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = 5(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} - 5\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{r} = 5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$
આમ,$R$ નો સ્થાન સદિશ $5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$ છે.

(B) ધારો કે બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને વિભાજન સૂત્ર દ્વારા $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $t$ એક અદિશ છે.
જો આપણે રેખાખંડના મધ્યબિંદુને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $t = \frac{1}{2}$ લેતા.
મધ્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{2\hat{i}}{2} = \hat{i}$.
આમ,મધ્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\hat{i}$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સદિશ $\vec{a} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક વિકર્ણ તેની પાસપાસેની બાજુઓના સરવાળા દ્વારા મળે છે,$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$.
$\vec{d_1} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k} = 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
આ વિકર્ણને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{d_1} = \frac{\vec{d_1}}{|\vec{d_1}|}$ છે.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
તેથી,$\hat{d_1} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{4\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે સ્થાન સદિશો $A = \hat{i} + x\hat{j} + 3\hat{k}$,$B = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$,અને $C = y\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{AB} = t\vec{BC}$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\vec{AB} = t\vec{BC}$ ને સરખાવતા:
$2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k} = t(y-3)\hat{i} - 6t\hat{j} - 12t\hat{k}$.
$\hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4 = -12t \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$.
$\hat{j}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4 - x = -6t = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \Rightarrow x = 2$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$t(y - 3) = 2 \Rightarrow -\frac{1}{3}(y - 3) = 2 \Rightarrow y - 3 = -6 \Rightarrow y = -3$.
આમ,$(x, y) = (2, -3)$.

(D) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 4$,અને $|\bar{a}+\bar{b}| = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
કિંમતો મૂકતા: $5^2 = 3^2 + 4^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$25 = 9 + 16 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies 25 = 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies \bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકબીજાને લંબ છે.
હવે,આપણે $|\bar{a}-\bar{b}|$ શોધવાનું છે.
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2(0) = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $5^2 + 8^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 11^2$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$25 + 64 + 2(5)(8) \cos \theta = 121$.
$89 + 80 \cos \theta = 121$.
$80 \cos \theta = 121 - 89 = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{80} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{5}\right)$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ પરના આપેલ સદિશો $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ અને $\overrightarrow{BC} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (2+6)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-6+3)\hat{k} = 8\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$.
બાજુઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિમિતિ = $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{AC}| = 7 + 7 + \sqrt{74} = 14 + \sqrt{74}$.

(B) સદિશોના માન $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ અને $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ છે.
$\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{a} = \frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ અને $\hat{b} = \frac{1}{7}(-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજક સદિશ $\lambda(\hat{a} + \hat{b}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3} + \frac{-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}}{7} \right)$ દ્વારા મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા: $\lambda \left( \frac{7\hat{i} + 14\hat{j} - 14\hat{k} - 6\hat{i} - 9\hat{j} + 18\hat{k}}{21} \right) = \frac{\lambda}{21}(\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{42}$,તેથી $\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{1^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{42}$.
$\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{42} = \sqrt{42} \implies |\lambda| = 21$.
$\lambda = 21$ લેતા,આપણને $\overrightarrow{OC} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ મળે છે.