Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (3, 0, 2)$ અને $\vec{b} = (0, 2, k)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિક-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $|\cos \theta| = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $|\cos \theta| = \frac{|(3)(0) + (0)(2) + (2)(k)|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2} \sqrt{0^2 + 2^2 + k^2}} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
આપેલ છે કે $|\cos \theta| = \frac{6}{13}$,તેથી $\frac{6}{13} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{36}{169} = \frac{4k^2}{13(4 + k^2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{9}{13} = \frac{k^2}{4 + k^2}$.
$9(4 + k^2) = 13k^2 \Rightarrow 36 + 9k^2 = 13k^2 \Rightarrow 4k^2 = 36 \Rightarrow k^2 = 9$.
આમ,$k = \pm 3$.

(A) બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
બિંદુ $A$ એ $B$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા પર હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{B A}$ ને $\overrightarrow{B A} = t \vec{v} = t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $t$ કોઈ અદિશ છે.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{B A}| = 18$,તેથી $|t| \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 18$.
$|t| \sqrt{4 + 1 + 4} = 18 \Rightarrow |t| \sqrt{9} = 18 \Rightarrow 3|t| = 18 \Rightarrow |t| = 6$.
આમ,$t = 6$ અથવા $t = -6$.
$A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \vec{b} + \overrightarrow{B A} = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ છે.
$t = 6$ માટે: $\vec{a} = (3 + 12) \hat{i} + (1 - 6) \hat{j} + (-1 + 12) \hat{k} = 15 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$.
$t = -6$ માટે: $\vec{a} = (3 - 12) \hat{i} + (1 + 6) \hat{j} + (-1 - 12) \hat{k} = -9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સ્થાન સદિશ $-9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$ છે.

(B) ધારો કે સદિશ $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ છે.
સદિશ $v = 19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}$ એ $a$ અને $b = 6 \hat{i} + 8 \hat{j}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તે તેમના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ:
$\lambda \left( \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} \right) = v$
અહીં $|b| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$,તેથી $\frac{b}{|b|} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j}}{10} = \frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}$.
આમ,$\frac{a}{|a|} = \frac{19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}}{\lambda} - (\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}) = (\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5}) \hat{i} + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5}) \hat{j} + \frac{5}{\lambda} \hat{k}$.
કારણ કે $\frac{a}{|a|}$ એકમ સદિશ છે,તેનું માન $1$ થાય:
$(\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5})^2 + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5})^2 + (\frac{5}{\lambda})^2 = 1$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{361}{\lambda^2} - \frac{114}{5\lambda} + \frac{9}{25} + \frac{484}{\lambda^2} - \frac{176}{5\lambda} + \frac{16}{25} + \frac{25}{\lambda^2} = 1$.
$\frac{870}{\lambda^2} - \frac{290}{5\lambda} + 1 = 1 \Rightarrow \frac{870}{\lambda^2} = \frac{58}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{870}{58} = 15$.
$\lambda = 15$ મૂકતા,$\frac{a}{|a|} = (\frac{19}{15} - \frac{9}{15}) \hat{i} + (\frac{22}{15} - \frac{12}{15}) \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{10}{15} \hat{i} + \frac{10}{15} \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{1}{3}(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}=-2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (2-2) \hat{i} + (-2+5) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ થાય.
પરિણામી સદિશ $\vec{s}$ નો $\hat{i}$ ઘટક $0$ હોવાથી,આ સદિશ $YZ$-સમતલમાં આવેલો છે.
જે સદિશ કોઈ સમતલમાં આવેલો હોય તે તે સમતલને સમાંતર હોય છે.
તેથી,આ સદિશ $YZ$-સમતલને સમાંતર છે.

(D) જો બિંદુ $P = xa + yb + zc$ એ અસમરેખ બિંદુઓ $a, b$ અને $c$ ધરાવતા સમતલમાં હોય,તો સહગુણકોનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
અહીં,$x = k, y = 2, z = 3$ છે.
તેથી,$k + 2 + 3 = 1$.
$k + 5 = 1$.
$k = 1 - 5 = -4$.

(C) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો એક એકમ સદિશ છે,એટલે કે $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2$.
નિત્યસમ $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -1$.
હવે,આપણે તેમના તફાવતનું માન $|\vec{a} - \vec{b}|$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ એકમ.

(A) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ છે. તે એકમ સદિશ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 1$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$.
$\vec{r}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
આમ,$x + y = 1 \implies y = 1 - x$.
$\vec{r}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{b} = |\vec{r}||\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,$3x - 4y = \frac{5}{2} \implies 6x - 8y = 5$.
બીજા સમીકરણમાં $y = 1 - x$ મૂકતા: $6x - 8(1 - x) = 5 \implies 6x - 8 + 8x = 5 \implies 14x = 13 \implies x = \frac{13}{14}$.
તેથી $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{13}{14}\hat{i} + \frac{1}{14}\hat{j}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,$\vec{OP} = \vec{a}$ અને $\vec{OQ} = \vec{b}$.
કારણ કે $R$ એ $\vec{OP}$ પર છે અને $\vec{OP} = 5\vec{OR}$ છે,તેથી $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a}$ મળે.
આપેલ છે કે $\vec{OQ} = 5\vec{RM}$,તેથી $\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{OQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$ મળે.
કારણ કે $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{OM} = \vec{RM} + \vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a}$.
હવે,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{5}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$.

(B) આપેલ છે કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,$\vec{OP} = \vec{a}$ અને $\vec{OQ} = \vec{b}$.
$\vec{OP} = 5\vec{OR}$ હોવાથી,$\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{a}$ મળે.
$\vec{OQ} = 5\vec{RM}$ હોવાથી,$\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{b}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,તેથી $\vec{OM} = \vec{OR} + \vec{RM}$.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{OM} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.
હવે,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a}$.
$\vec{PM} = \frac{1}{5}\vec{b} + (\frac{1}{5} - 1)\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$.