Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ એ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$C$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} = \frac{2(\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) + 3(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})}{5} = \frac{8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}}{5}$ થાય.
તેથી,$5\vec{c} = 8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$.
$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}}{2}$ થાય.
તેથી,$2\vec{m} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
અંતે,$5\vec{c} - 2\vec{m} = (8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} = \frac{(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (0\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{2} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}}{2}$ છે.
મધ્યગા $AD$ ની દિશામાં સદિશ $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \left(\frac{1}{2}\hat{i}+\hat{j}+\frac{3}{2}\hat{k}\right) - (2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}) = -\frac{3}{2}\hat{i} - 3\hat{j} + \frac{13}{2}\hat{k}$ છે.
એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે માન $|\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-3)^2 + (\frac{13}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9 + \frac{169}{4}} = \frac{\sqrt{214}}{2}$ શોધીએ છીએ.
એકમ સદિશ $\frac{\vec{AD}}{|\vec{AD}|} = \frac{-3\hat{i} - 6\hat{j} + 13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{3\hat{i}+6\hat{j}-13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $D$ એ $BC$ નું $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં,$E$ એ $AC$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અને $P$ એ $DE$ નું $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{d} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{2+3} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5} \implies 5\vec{d} = 3\vec{b} + 2\vec{c} \quad (i)$
$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{c}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \implies 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (ii)$
હવે,$P$ એ $DE$ નું $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p}$:
$\vec{p} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{3+5} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{8}$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માંથી $5\vec{d}$ અને $3\vec{e}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\vec{p} = \frac{(2\vec{a} + \vec{c}) + (3\vec{b} + 2\vec{c})}{8}$
$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{8} = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c})$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=\frac{5}{3}(\alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\beta(2 \hat{j}+\hat{k})+(\hat{i}+\gamma \hat{j}+3 \hat{k})$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=(\frac{5}{3} \alpha+1) \hat{i}+(\frac{5}{3}+2 \beta+\gamma) \hat{j}+(-\frac{5}{3}+\beta+3) \hat{k}$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \frac{7}{3}+\beta = \frac{5}{3} \alpha+1 \Rightarrow 5 \alpha-3 \beta=4$.
$2) -1 = \frac{5}{3}+2 \beta+\gamma \Rightarrow 2 \beta+\gamma=-\frac{8}{3}$.
$3) \alpha+\gamma = -\frac{5}{3}+\beta+3 \Rightarrow \alpha-\beta+\gamma=\frac{4}{3}$.
$(2)$ પરથી,$\gamma = -\frac{8}{3}-2 \beta$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$\alpha-\beta+(-\frac{8}{3}-2 \beta) = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha-3 \beta = 4$.
આ સમીકરણ $(1)$ જેવું જ છે. ઉકેલતા આપણને $\alpha=0, \beta=-\frac{4}{3}, \gamma=0$ મળે છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$5 \alpha-9 \beta+13 \gamma = 5(0)-9(-\frac{4}{3})+13(0) = 3(4) = 12$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ છે.
$D$ એ $BC$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{d} = \frac{1\bar{b} + 3\bar{c}}{1+3} = \frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4}$ થાય.
$E$ એ $AD$ નું $4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$E$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{e} = \frac{1\bar{a} + 4\bar{d}}{1+4} = \frac{\bar{a} + 4(\frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4})}{5} = \frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5}$ થાય.
આપેલ છે કે $E$ એ $BF$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\bar{e} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{2+3} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$ થાય.
$\bar{e}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$.
$\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c} = 2\bar{b} + 3\bar{f}$.
$3\bar{f} = \bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$.
$\bar{f} = \frac{\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}}{3}$.

(D) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
આપેલ સદિશો $-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + \lambda \hat{k}$ અને $\mu \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}$ છે.
તેઓ સમરેખ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{-3}{\mu} = \frac{4}{8} = \frac{\lambda}{6}$
$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણે અન્ય ગુણોત્તરને સરખાવીએ:
$1) \frac{-3}{\mu} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mu = -6$
$2) \frac{\lambda}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda = 3$
તેથી,$\lambda - \mu = 3 - (-6) = 3 + 6 = 9$.

(A) આપણે સદિશોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે: $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AE} + \vec{BC} + \vec{DC} + \vec{ED} + \vec{AC}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\vec{S} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{DC} + \vec{AC})$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ અને $\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{AD} + (\vec{DC} + \vec{AC})$.
કારણ કે $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ ($\triangle ADC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ),
$\vec{S} = \vec{AC} + (\vec{AD} + \vec{DC}) + \vec{AC} = \vec{AC} + \vec{AC} + \vec{AC} = 3 \vec{AC}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $DC$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{c}}{1+3} = \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4}$ થાય.
$Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ થાય.
હવે,$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{c} - 3\vec{d} - \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4}$.
આપેલ પદાવલિ: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{BC} - 2\vec{DC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) - 2(\vec{c} - \vec{d})$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\vec{b} - \vec{a} + \vec{d} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d} = -2\vec{a} - \vec{c} + 3\vec{d} = -(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d})$.
$\lambda \vec{PQ}$ સાથે સરખાવતા:
$-(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}) = \lambda \left( \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4} \right)$.
આમ,$\lambda = -4$.

(A) આપેલ છે કે $OA = a, OB = b$. $A^{\prime}O = OA \implies OA^{\prime} = -a$. $B^{\prime}O = OB \implies OB^{\prime} = -b$.
બિંદુ $P$ માટે,$OP = -\frac{3}{4}a + \frac{7}{4}b = \frac{7b - 3a}{4}$. અહીં સહગુણકો $x_1 = -\frac{3}{4}$ અને $y_1 = \frac{7}{4}$ છે,અને $x_1 + y_1 = 1$ હોવાથી,$P$ એ રેખા $AB$ પર આવેલું છે. ખાસ કરીને,$P$ એ $AB$ નું $7:3$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે. સદિશો $a$ અને $b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત યામ પદ્ધતિમાં,$P$ એ એવા પ્રદેશમાં છે જ્યાં $x < 0$ અને $y > 0$ છે,જે $\triangle A^{\prime}OB$ ના અંદરના ભાગને અનુરૂપ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,$OQ = \frac{1}{3}a + \frac{5}{3}b = 2(\frac{1}{6}a + \frac{5}{6}b)$. સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 > 1$ હોવાથી,$Q$ એ $\triangle AOB$ ની બહાર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = ta + (1-t)b$ છે,જ્યાં $t$ એક અદિશ પ્રાચલ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $r - b = t(a - b)$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે સદિશ $(r - b)$ એ સદિશ $(a - b)$ સાથે સમરેખ છે.
આમ,$r$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુનો બિંદુપથ એ $a$ અને $b$ સદિશો દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
જ્યારે $0 \leq t \leq 1$ હોય,ત્યારે બિંદુ $r$ એ $a$ અને $b$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું હોય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $l(3a + 2b + c) + m(2a + 2b + 3c) + n(a + 2b + 5c) = 0$
સદિશો $a, b, c$ ના આધારે પદોને ગોઠવતા:
$a(3l + 2m + n) + b(2l + 2m + 2n) + c(l + 3m + 5n) = 0$
કારણ કે $a, b, c$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3l + 2m + n = 0$ $(i)$
$2l + 2m + 2n = 0 \Rightarrow l + m + n = 0$ $(ii)$
$l + 3m + 5n = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(3l + 2m + n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(l + 3m + 5n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2m + 4n = 0 \Rightarrow m = -2n$
$m$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2l = -2n \Rightarrow l = n$
$l = n$ ને $m = -2n$ માં મૂકતા:
$m = -2n \Rightarrow m + 2n = 0$
આમ,શરત $l = n$ અને $m + 2n = 0$ છે.

(D) ધારો કે $P, Q, R, S, A, B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{a}, \vec{b}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ એ $SR$ ને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{a} = \frac{3\vec{s} + 1\vec{r}}{1+3} = \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}$.
કારણ કે $B$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{b} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$.
આપેલ સમીકરણ $3\vec{SR} - \vec{QR} - 3\vec{PS} - \vec{PQ} = k\vec{AB}$ છે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$3(\vec{r} - \vec{s}) - (\vec{r} - \vec{q}) - 3(\vec{s} - \vec{p}) - (\vec{q} - \vec{p}) = k(\vec{b} - \vec{a})$
$3\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r} + \vec{q} - 3\vec{s} + 3\vec{p} - \vec{q} + \vec{p} = k\left(\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} - \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}\right)$
ડાબી બાજુના સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(3\vec{r} - \vec{r}) + (-3\vec{s} - 3\vec{s}) + (3\vec{p} + \vec{p}) + (\vec{q} - \vec{q}) = k\left(\frac{2\vec{p} + 2\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r}}{4}\right)$
$2\vec{r} - 6\vec{s} + 4\vec{p} = k\left(\frac{2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s}}{4}\right)$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k(2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s})$
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k\vec{r} - 3k\vec{s} + 2k\vec{p}$
બંને બાજુ $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 8$ મળે છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 3, x)$,$B(3, 5, 8)$,અને $C(y, -1, -6)$ છે.
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (y-1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-6-x)\hat{k} = (y-1)\hat{i} - 4\hat{j} - (6+x)\hat{k}$
કારણ કે $A, B, C$ સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{AB} = \lambda \vec{AC}$ થાય.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4}$ પરથી,$y-1 = -4$,તેથી $y = -3$.
$\frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$ પરથી,$-\frac{1}{2} = \frac{8-x}{-6-x}$.
$6+x = 2(8-x) \Rightarrow 6+x = 16-2x \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.
આમ,$(x, y) = \left(\frac{10}{3}, -3\right)$.

(B) ધારો કે $S$ એ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $P$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$P$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે.
$P$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{p}$.
$P$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{p}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{d}) = 2\vec{p} + 2\vec{p} = 4\vec{p}$.
$S$ એ ઉગમબિંદુ હોવાથી,$\vec{a} = \vec{SA}, \vec{b} = \vec{SB}, \vec{c} = \vec{SC}, \vec{d} = \vec{SD}$ અને $\vec{p} = \vec{SP}$ થાય.
આમ,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SP}$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = \lambda \vec{SP}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{AD} = \vec{b}$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ અને $\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{b}$.
આપેલ છે કે $N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{DN} = \frac{1}{2} \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{a}$.
$\triangle ABM$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$.
$\triangle ADN$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$.
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) + (\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a})$
$= (1 + \frac{1}{2}) \vec{a} + (1 + \frac{1}{2}) \vec{b}$
$= \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} = \frac{3}{2} (\vec{a} + \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$,તેથી આપણને મળે:
$\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{3}{2} \vec{AC}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+3\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,$\vec{a}+3\vec{b} = \lambda\vec{c}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આ સૂચવે છે કે $\vec{a}+3\vec{b}-\lambda\vec{c} = 0$ $(i)$
વળી,$3\vec{b}+2\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,$3\vec{b}+2\vec{c} = \mu\vec{a}$ કોઈ અદિશ $\mu$ માટે.
આ સૂચવે છે કે $3\vec{b}+2\vec{c}-\mu\vec{a} = 0$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,આપણી પાસે $3\vec{b} = \lambda\vec{c} - \vec{a}$ છે.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(\lambda\vec{c} - \vec{a}) + 2\vec{c} - \mu\vec{a} = 0$
$(\lambda+2)\vec{c} - (1+\mu)\vec{a} = 0$
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$\lambda+2 = 0 \implies \lambda = -2$ અને $1+\mu = 0 \implies \mu = -1$.
$\lambda = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{a}+3\vec{b} = -2\vec{c}$
$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c} = 0$

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$,અને $\vec{c} = 4\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ છે.
બાજુઓના સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
અહીં $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{6}$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\vec{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો સ્થાન સદિશ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((-3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k})$
$\vec{AD} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$
મધ્યગા $\vec{AD}$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AD}$ નું માન છે:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{1 + 1 + 16}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{18}$

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{a}_2=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\overrightarrow{a}_3=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{a}_4=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
માન $m_1, m_2, m_3, m_4$ ની ગણતરી કરતા:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$.
તેથી,$m_3 < m_1 < m_4 < m_2$.

(C) $I$: બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ શૂન્યતર અને અસમરેખ હોય. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$: $3D$ અવકાશમાં કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો સુરેખ રીતે પરતંત્ર હોય છે કારણ કે જો તેઓ સમરેખ ન હોય તો એકને બાકીના બેના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે,અથવા જો કોઈ બે સદિશો સમરેખ હોય તો પણ તેઓ સુરેખ રીતે પરતંત્ર બને છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
$\therefore$ $I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $a = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
સદિશ $a$ અને $b$ સમરેખ હોવાથી,$b = \lambda a$ થાય,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
આપણને આપેલ છે કે $|b| = 21$.
સૌ પ્રથમ,$a$ નું માન શોધીએ:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$b = \lambda a$ હોવાથી,$|b| = |\lambda| |a|$ થાય.
$21 = |\lambda| \times 7 \implies |\lambda| = 3 \implies \lambda = \pm 3$.
તેથી,$b = \pm 3(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
કારણ કે $D, E, F$ એ અનુક્રમે $AB, AC, BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી તેમના સ્થાન સદિશો:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ છે.
હવે,$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$.
અને $\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$.
આ બે સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.
કારણ કે $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,તેથી આપણને મળે છે $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$.

(C) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 2 \hat{j}$,અને $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ છે.
આપણે $3 a + b$ ની કિંમત ચકાસીએ:
$3 a + b = 3(\hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 \hat{i} + 12 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 + 2) \hat{i} + (12 - 3) \hat{j}$
$= 5 \hat{i} + 9 \hat{j} = c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સદિશ $\overline{b}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\overline{a}$ નો $\overline{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}}{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}} = \frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|}$ થશે.
પ્રથમ,માન (magnitudes) શોધો:
$|\overline{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{b}| = \sqrt{9^2 + 6^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 36 + 324} = \sqrt{441} = 21$.
છેલ્લે,ગુણોત્તર $\frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|} = \frac{21}{3} = 7$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
પ્રથમ,માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
અહીં $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ હોવાથી,આંતરિક ખૂણાનો દ્વિભાજક $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 3 \hat{i} + 3 \hat{k}$.
દ્વિભાજકની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$.
આ દિશામાં $\sqrt{2}$ માન ધરાવતો સદિશ $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 5$.
આનો અર્થ એ છે કે $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + |\vec{z}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x})$.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = 15 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$|\vec{b} + \vec{c} - \vec{a}|^2 = 15 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{c} + \vec{a} - \vec{b}|^2 = 15 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c})$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$50 = 45 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$5 = -2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{5}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
ધારો કે $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,જ્યાં $x, y, z \in \mathbb{Z}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી $x + y + z = 1$.
વળી,$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{3}|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}|\vec{b}| = 3$,તેથી $|\vec{b}| = \sqrt{3}$.
આમ,$|\vec{b}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3$.
આપણે એવા પૂર્ણાંકો $(x, y, z)$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $x + y + z = 1$ અને $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ થાય.
શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો $(1, 1, -1)$ ના ક્રમચયો છે.
આ ક્રમચયો $(1, 1, -1)$,$(1, -1, 1)$,અને $(-1, 1, 1)$ છે.
આ સદિશો $\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,આવા $3$ શક્ય સદિશો છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$,અને $\vec{d} = -7\hat{i}-17\hat{j}+16\hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (-4-2)\hat{k} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (-7-1)\hat{i} + (-17-(-3))\hat{j} + (16-4)\hat{k} = -8\hat{i} - 14\hat{j} + 12\hat{k}$.
અહીં નોંધો કે $\overrightarrow{CD} = -2(4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$.
કારણ કે $\overrightarrow{CD}$ એ $\overrightarrow{AB}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક છે,તેથી સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \pi$ રેડિયન થાય.

(D) આપેલ છે,સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b} = 13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k}$.
અંતર $AB = |\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{(13-3)^2 + (-4-1)^2 + (9-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{100+25+100} = \sqrt{225} = 15$.
કારણ કે $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $A$ થી $9$ ના અંતરે છે,તેથી $C$ એ $AB$ નું $AC:CB = 9:(15-9) = 9:6 = 3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + 3(13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k})}{5} = \frac{(6+39) \hat{i} + (2-12) \hat{j} + (-2+27) \hat{k}}{5} = \frac{45 \hat{i} - 10 \hat{j} + 25 \hat{k}}{5} = 9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
$D$ એ રેખા $L$ પર $A$ ની બીજી બાજુએ $6$ એકમના અંતરે છે. આમ,$A$ એ $DC$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે.
$\vec{a} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{3+2} \Rightarrow 5\vec{a} = 3\vec{d} + 2\vec{c} \Rightarrow 3\vec{d} = 5\vec{a} - 2\vec{c}$.
$3\vec{d} = 5(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - 2(9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = (15-18) \hat{i} + (5+4) \hat{j} + (-5-10) \hat{k} = -3 \hat{i} + 9 \hat{j} - 15 \hat{k}$.
$\vec{d} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$A = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$B = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$
$C = \frac{7}{4} \hat{i}+\frac{15}{4} \hat{j}+\frac{15}{4} \hat{k}$
$D = \frac{7}{3} \hat{i}+\frac{2}{3} \hat{j}+\frac{5+3a}{3} \hat{k}$
સદિશ $\vec{AC} = C - A = (\frac{7}{4}-1) \hat{i} + (\frac{15}{4}-2) \hat{j} + (\frac{15}{4}-3) \hat{k} = \frac{3}{4} \hat{i} + \frac{7}{4} \hat{j} + \frac{3}{4} \hat{k}$.
સદિશ $\vec{BD} = D - B = (\frac{7}{3}-2) \hat{i} + (\frac{2}{3}-(-1)) \hat{j} + (\frac{5+3a}{3}-2) \hat{k} = \frac{1}{3} \hat{i} + \frac{5}{3} \hat{j} + \frac{3a-1}{3} \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|AC| = |BD|$,તેથી $|AC|^2 = |BD|^2$:
$(\frac{3}{4})^2 + (\frac{7}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 = (\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{3a-1}{3})^2$
$\frac{9+49+9}{16} = \frac{1+25+(3a-1)^2}{9}$
$\frac{67}{16} = \frac{26+(3a-1)^2}{9}$
$603 = 16(26 + (3a-1)^2)$
$603 = 416 + 16(3a-1)^2$
$16(3a-1)^2 = 603 - 416 = 187$.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{OP} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
$\vec{OQ} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{OR} = 2\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{OS} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
હવે,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{RS}$ શોધો:
$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
અહીં $\vec{PQ} = \vec{RS}$ હોવાથી,બંને સદિશો સમાંતર છે.
તેથી,બે સમાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$.
ત્રિકોણીય ફલક $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = \frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ છે.
તેથી,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{G} = \frac{(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) + 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})}{4} = \frac{3}{4}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) = \frac{3}{4}\vec{i}+\frac{3}{4}\vec{j}+\frac{3}{4}\vec{k}$.
$\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{3}{4}, \beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી $2\alpha+\beta+\gamma = 2(\frac{3}{4}) + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{6}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = P \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k}$
$\vec{AB} = k \vec{BC}$ લેતા,$(2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k} = k(2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k})$.
$\hat{j}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$5 = 10k \Rightarrow k = 0.5$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$2-P = 2(0.5) = 1 \Rightarrow P = 1$.
તેથી,$\vec{AB} = \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.
$\vec{AB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ છે.
$|P| = 1$ હોવાથી,માંગેલ સદિશ $\frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 6\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = 14\hat{i} - 5\hat{j} + p\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (6-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (14-6)\hat{i} + (-5 - (-1))\hat{j} + (p-2)\hat{k} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
સમરેખતા માટે,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{BC} = k\vec{AB}$ થાય.
$8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k} = k(4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$4k = 8 \Rightarrow k = 2$
$-2k = -4 \Rightarrow k = 2$
$k = p-2$
$k=2$ મૂકતા: $2 = p-2 \Rightarrow p = 4$.

(C) સૌ પ્રથમ,વ્યક્તિગત સદિશોના માન શોધો:
$|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\bar{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\bar{c}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
માનોનો સરવાળો: $|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}| = 3 + 7 + 13 = 23$.
ત્યારબાદ,સદિશોનો સરવાળો શોધો:
$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = (1+6-4)\bar{i} + (-2+3+3)\bar{j} + (2-2+12)\bar{k} = 3\bar{i} + 4\bar{j} + 12\bar{k}$.
પરિણામી સદિશનું માન શોધો:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
અંતે,પદાવલિની કિંમત શોધો:
$\sqrt{(|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}|) + |\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|} = \sqrt{23 + 13} = \sqrt{36} = 6$.

(C) ધારો કે $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}$,$\vec{b} = -2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}$,અને $\vec{c} = 3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}$.
ફલક $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{g}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = -\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}$ છે.
તેથી,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 3(-\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}) = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$.
$(\bar{i}+3\bar{j}+2\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$.
$\vec{d} = -4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}$.
ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
$\vec{g} = \frac{(\bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}) + (-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + (-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k})}{4} = \frac{-2\bar{i}+4\bar{j}-6\bar{k}}{4} = -0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k}$.
$GD = |\vec{d} - \vec{g}| = |(-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}) - (-0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k})| = |-3.5\bar{i}+2\bar{j}-9.5\bar{k}|$.
$GD = \sqrt{(-3.5)^2 + 2^2 + (-9.5)^2} = \sqrt{12.25 + 4 + 90.25} = \sqrt{106.5} = \sqrt{\frac{213}{2}} = \frac{\sqrt{213}}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ એ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$P$ અને $Q$ એ $AB$ નું ત્રિભાગ કરે છે,તેથી સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ અને $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$ થશે.
$PQ$ ને $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ શોધવા માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{r} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5} = \frac{3(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) + 2(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})}{5} = \frac{8\vec{a} + 7\vec{b}}{15}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\vec{r} = \frac{8(2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) + 7(4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k})}{15} = \frac{44\hat{i}-33\hat{j}-18\hat{k}}{15}$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતું બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{a} = \frac{\lambda \vec{q} + 1 \vec{p}}{\lambda + 1}$
આપેલા સદિશો $\vec{p} = -2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k}$ અને $\vec{q} = 3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k} = \frac{\lambda(3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}) + 1(-2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k})}{\lambda + 1}$
$x$-યામની સરખામણી કરતા:
$\frac{-9}{2} = \frac{3 \lambda - 2}{\lambda + 1}$
$-9(\lambda + 1) = 2(3 \lambda - 2)$
$-9 \lambda - 9 = 6 \lambda - 4$
$-15 \lambda = 5$
$\lambda = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$
અહીં $\lambda$ ઋણ હોવાથી,બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ (externally) વિભાજન કરે છે.

(A) બિંદુઓ $A(1, x, 3)$,$B(3, 4, 7)$,અને $C(y, -2, -5)$ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.\\
$\overrightarrow{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$\\
$\overrightarrow{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$\\
કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$ હોવાથી:\\
$2 = k(y-3)$\\
$4-x = k(-6)$\\
$4 = k(-12)$\\
ત્રીજા સમીકરણ પરથી,$k = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2 = -\frac{1}{3}(y-3) \Rightarrow -6 = y-3 \Rightarrow y = -3$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $4-x = -\frac{1}{3}(-6) \Rightarrow 4-x = 2 \Rightarrow x = 2$.\\
તેથી,$x+y = 2 + (-3) = -1$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ છે. તો $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b}+\vec{d}$ થાય.
$P$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\vec{d}}{2}$ થાય.
ધારો કે $Q$ એ $AC$ ને $\lambda:1$ ના ગુણોત્તરમાં અને $BP$ ને $\mu:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$AC$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\lambda(\vec{b}+\vec{d}) + 1(\vec{0})}{\lambda+1} = \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{b} + \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{d}$ થાય.
$BP$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\mu(\frac{\vec{d}}{2}) + 1(\vec{b})}{\mu+1} = \frac{1}{\mu+1}\vec{b} + \frac{\mu}{2(\mu+1)}\vec{d}$ થાય.
$\vec{b}$ અને $\vec{d}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{\mu+1}$ અને $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)}$.
આના પરથી,$\frac{1}{\mu+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)} \Rightarrow \mu = 2$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\mu=2$ મૂકતા: $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
$3\lambda = \lambda+1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
આમ,$AQ:QC$ નો ગુણોત્તર $\lambda:1 = \frac{1}{2}:1 = 1:2$ થાય.

(A) $x$-અક્ષના દિક્-ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ છે. $x$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = (1, 0, 0)$ છે.
આપેલ રેખાના દિક્-ગુણોત્તર $(3, -1, 5)$ છે. તેનું માન $\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ છે.
આ રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = (\frac{3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$ છે.
બે એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક સદિશ $\hat{a} + \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{a} + \hat{b} = (1 + \frac{3}{\sqrt{35}}, 0 - \frac{1}{\sqrt{35}}, 0 + \frac{5}{\sqrt{35}}) = (\frac{\sqrt{35}+3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$.
$\sqrt{35}$ વડે ગુણતા,દિક્-ગુણોત્તર $(\sqrt{35}+3, -1, 5)$ મળે છે.