System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $\overrightarrow{OP}$ के दिशा कोण $\alpha = 45^\circ$,$\beta = 60^\circ$ और $\gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर: $\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$.
अतः,$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
सदिश $\overrightarrow{OP}$ को $OP(\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k})$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\overrightarrow{OP} = 8(\cos 45^\circ \hat{i} + \cos 60^\circ \hat{j} \pm \cos 60^\circ \hat{k})$.
$\overrightarrow{OP} = 8(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{2} \hat{k})$.
$\overrightarrow{OP} = 4(\sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} \pm \hat{k})$.

(B) समतल का समीकरण $2x + 3y - 6z = 5$ दिया गया है।
इसे समतल के मानक समीकरण $Ax + By + Cz = D$ से तुलना करने पर,अभिलंब के दिक्-अनुपात $(A, B, C) = (2, 3, -6)$ प्राप्त होते हैं।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,दिक्-अनुपातों को अभिलंब सदिश के परिमाण (magnitude) से विभाजित किया जाता है,जो $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ है।
परिमाण $= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, -\frac{6}{7} \right)$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक्-कोज्या (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \text{ और } \cos \gamma$ होते हैं।
किसी भी रेखा के लिए,दिक्-कोज्या के वर्गों का योग इस प्रकार होता है: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$।
अतः,सही मान $2$ है।

(A) एक सदिश के दिक कोसाइन सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं।
दिया गया है कि $\cos \alpha = \frac{14}{15}$ और $\cos \beta = \frac{1}{3}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\left( \frac{14}{15} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{196}{225} + \frac{1}{9} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{196}{225} + \frac{25}{225} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{221}{225} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{221}{225} = \frac{4}{225}$
$\cos \gamma = \pm \sqrt{\frac{4}{225}} = \pm \frac{2}{15}$.

(D) त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु को $(x, y, z)$ निर्देशांक द्वारा दर्शाया जाता है।
$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,$xy$-समतल और $xz$-समतल से उसकी दूरी शून्य होती है।
इसका अर्थ है कि $y$-निर्देशांक और $z$-निर्देशांक दोनों $0$ होने चाहिए।
अतः,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, 0, 0)$ के रूप में होते हैं,जिसका अर्थ है कि $y = 0$ और $z = 0$ है।

(A) दी गई रेखा $x = y = z$ है। इसे $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा के मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ से तुलना करने पर,दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (1, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने का सूत्र $l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,$m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,और $n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ है।
यहाँ,$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ प्राप्त होते हैं।

(C) मान लीजिए कि रेखा के $x, y, z$ अक्षों के साथ दिशा कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
रेखा के दिशा कोसाइन $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1/3$.
$\cos \alpha = \pm 1/\sqrt{3}$.
अतः,झुकाव कोण का कोसाइन $1/\sqrt{3}$ है (धनात्मक मान को ध्यान में रखते हुए)।

(D) मान लीजिए कि रेखा द्वारा $x$,$y$ और $z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 30^\circ$ और $\beta = 45^\circ$ है।
रेखा के दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{5}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$.
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए ऐसा कोई वास्तविक कोण $\gamma$ संभव नहीं है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ हैं।
रेखा $RS$ के दिक्-अनुपात $(2-(-4), 0-3, 2-(-6)) = (6, -3, 8)$ हैं।
$PQ \parallel RS$ के लिए,दिक्-अनुपातों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{3}{6} = \frac{3}{-3} = \frac{4}{8}$,अर्थात $\frac{1}{2} = -1 = \frac{1}{2}$। यह असत्य है।
$PQ \perp RS$ के लिए,दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $(3)(6) + (3)(-3) + (4)(8) = 18 - 9 + 32 = 41 \neq 0$। यह असत्य है।
$PQ = RS$ के लिए,लंबाइयाँ $PQ = \sqrt{3^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34}$ और $RS = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 9 + 64} = \sqrt{109}$ हैं। चूँकि $\sqrt{34} \neq \sqrt{109}$,यह भी असत्य है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(A) सदिश $\vec{AB} = (3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ है।
सदिश $\vec{CD} = (3-1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)$ है।
$CD$ पर $AB$ का प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CD}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(2) + (2)(3) + (-2)(4) = 2 + 6 - 8 = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $CD$ पर $AB$ का प्रक्षेप $0$ है।

(A) माना कि रेखा के निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेप $x, y, z$ हैं। ये प्रक्षेप अक्षों की दिशा में रेखा के सदिश के घटकों के बराबर होते हैं।
दिया गया है,$x = 2$,$y = -1$,और $z = 2$।
रेखा की लंबाई $L$ का सूत्र $L = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$L = \sqrt{4 + 1 + 4}$
$L = \sqrt{9}$
$L = 3$।
अतः,रेखा की लंबाई $3$ है।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $A(1, 2, 3)$ और $B(7, 8, 7)$ हैं।
$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेप उनके निर्देशांकों के अंतर द्वारा प्राप्त होते हैं:
$x$-अक्ष पर प्रक्षेप: $|x_2 - x_1| = |7 - 1| = 6$.
$y$-अक्ष पर प्रक्षेप: $|y_2 - y_1| = |8 - 2| = 6$.
$z$-अक्ष पर प्रक्षेप: $|z_2 - z_1| = |7 - 3| = 4$.
अतः,निर्देशांक अक्षों पर रेखाखंड $AB$ के प्रक्षेप $6, 6, 4$ हैं।

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं और मूलबिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
मूलबिंदु से बिंदु $P$ की दूरी $r$ को $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
रेखा $OP$ की दिक्-कोसाइन $l, m, n$ उन कोणों $\alpha, \beta, \gamma$ के कोसाइन के रूप में परिभाषित होती हैं जो रेखा क्रमशः $x, y, z$ अक्षों के साथ बनाती है।
परिभाषा के अनुसार,$l = \cos \alpha = \frac{x}{r}$,$m = \cos \beta = \frac{y}{r}$,और $n = \cos \gamma = \frac{z}{r}$ है।
इन व्यंजकों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $x = lr$,$y = mr$,और $z = nr$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $x = lr, y = mr, z = nr$ है।

(B) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^o$,इसलिए $\beta = 90^o - \alpha$।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(90^o - \alpha) + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 1$
चूँकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$1 + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 0$
$\cos \gamma = 0$
अतः,$\gamma = 90^o$।

(A) मान लीजिए कि निर्देशांक अक्षों पर रेखा के प्रक्षेप $a = 4$,$b = 6$,और $c = 12$ हैं।
ये प्रक्षेप रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) को दर्शाते हैं।
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक दिक्-अनुपात को सदिश के परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ से विभाजित करते हैं।
परिमाण $\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$ है।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $l = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$,$m = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$,और $n = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$ हैं।
इसलिए,दिक्-कोज्याएँ $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$ हैं।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (4, 3, -5)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -8)$ हैं।
दिक-अनुपात = $(-2 - 4, 1 - 3, -8 - (-5))$.
दिक-अनुपात = $(-6, -2, -3)$.
वैकल्पिक रूप से,अंतर $(x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$ लेने पर $(4 - (-2), 3 - 1, -5 - (-8)) = (6, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिक-अनुपात समानुपाती होते हैं,इसलिए $(-6, -2, -3)$ और $(6, 2, 3)$ दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(6, 2, 3)$ सही विकल्प है।

(B) माना बिंदु $A(-1, 0, 3)$ और $B(2, 5, 1)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (5 - 0)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $6, 2, 3$ हैं। इस दिक्-सदिश का परिमाण $\sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,रेखा की दिक्-कोसाइन $l = \frac{6}{7}, m = \frac{2}{7}, n = \frac{3}{7}$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का रेखा पर प्रक्षेप,सदिश $\vec{AB}$ और रेखा की दिशा में इकाई सदिश का अदिश गुणनफल है:
प्रक्षेप $= (x_2 - x_1)l + (y_2 - y_1)m + (z_2 - z_1)n$
$= (3)(\frac{6}{7}) + (5)(\frac{2}{7}) + (-2)(\frac{3}{7})$
$= \frac{18 + 10 - 6}{7} = \frac{22}{7}$.

(B) हम जानते हैं कि दिशा कोणों $\alpha, \beta, \gamma$ वाली एक रेखा के लिए,दिक्-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होते हैं।
दिक्-कोसाइन के गुणधर्म के अनुसार,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
हमें $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
$= 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की दिक्कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं।
चूंकि रेखा तीन परस्पर लंबवत रेखाओं के साथ समान कोण पर झुकी हुई है,इसलिए प्रत्येक रेखा के साथ कोण $\theta$ समान है।
माना $\cos \theta = k$.
तब,$l l_1 + m m_1 + n n_1 = k$,$l l_2 + m m_2 + n n_2 = k$,और $l l_3 + m m_3 + n n_3 = k$.
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(l l_1 + m m_1 + n n_1)^2 + (l l_2 + m m_2 + n n_2)^2 + (l l_3 + m m_3 + n n_3)^2 = 3k^2$.
ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के गुण के अनुसार,किसी भी सदिश $(l, m, n)$ के लिए,$\sum (l l_i + m m_i + n n_i)^2 = l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
अतः,$3k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अब,सदिश $\vec{v} = (l_1+l_2+l_3, m_1+m_2+m_3, n_1+n_2+n_3)$ पर विचार करें।
इस सदिश का परिमाण $\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2 + (m_1+m_2+m_3)^2 + (n_1+n_2+n_3)^2}$ है।
चूंकि रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,वर्गों का योग $1+1+1 = 3$ हो जाता है।
इस प्रकार,इस दिशा में इकाई सदिश $\left( \frac{l_1+l_2+l_3}{\sqrt{3}}, \frac{m_1+m_2+m_3}{\sqrt{3}}, \frac{n_1+n_2+n_3}{\sqrt{3}} \right)$ है।

(B) रेखा के दिक्-कोसाइन $\left( \frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c} \right)$ दिए गए हैं,अतः $l = \frac{1}{c}$,$m = \frac{1}{c}$,और $n = \frac{1}{c}$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{1}{c} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 = 1$
$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$
$\frac{3}{c^2} = 1$
$c^2 = 3$
$c = \pm \sqrt{3}$।

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (3, 12, 4)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $OP$ को $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$r = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ को $\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$l = \frac{3}{13}$,$m = \frac{12}{13}$,$n = \frac{4}{13}$.
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\frac{3}{13}, \frac{12}{13}, \frac{4}{13}$ हैं।

(D) दिक्-कोसाइन ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले रेखा के समीकरण को मानक रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ में लिखें।
दिया गया है: $\frac{3x + 1}{-3} = \frac{3y + 2}{6} = \frac{z}{-1}$.
प्रत्येक पद के अंश और हर को चर के गुणांक से विभाजित करने पर:
$\frac{3(x + 1/3)}{-3} = \frac{3(y + 2/3)}{6} = \frac{z}{-1} \implies \frac{x + 1/3}{-1} = \frac{y + 2/3}{2} = \frac{z}{-1}$.
दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (-1, 2, -1)$ हैं।
दिशा सदिश का परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार प्राप्त होते हैं: $\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right)$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left( \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right)$ हैं।

(A) दिए गए दिक्-अनुपात $a = 1$,$b = -3$,और $c = 2$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ का सूत्र $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
मान रखने पर,हमें $\left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि रेखा द्वारा $X$,$Y$ और $Z$ अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है $\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 60^\circ$।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$।
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$।
अतः,$\gamma = 60^\circ$ या $120^\circ$।

(C) समतल का समीकरण $3x + 4y + 12z = 52$ दिया गया है।
इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz = D$ से तुलना करने पर,समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(A, B, C) = (3, 4, 12)$ प्राप्त होते हैं।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिक्-अनुपातों को अभिलंब सदिश के परिमाण $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ से विभाजित करते हैं।
परिमाण $= \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left( \frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right)$ हैं।

(B) रेखा $OP$ के दिक्-अनुपात $a = -1$,$b = 2$,और $c = -2$ दिए गए हैं।
दिक्-कोज्या $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए दिक्-अनुपातों को उनके परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ से विभाजित किया जाता है।
परिमाण $= \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$l = \frac{-1}{3}$,$m = \frac{2}{3}$,और $n = \frac{-2}{3}$.
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(lr, mr, nr)$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जहाँ $r = OP = 3$.
$P$ के निर्देशांक $= (3 \times \frac{-1}{3}, 3 \times \frac{2}{3}, 3 \times \frac{-2}{3}) = (-1, 2, -2)$.

(A) मान लीजिए बिंदु $P(4, 3, -5)$ और $Q(-2, 1, -8)$ हैं।
रेखाखंड $PQ$ के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$,$(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$a = -2 - 4 = -6$
$b = 1 - 3 = -2$
$c = -8 - (-5) = -3$
दूरी $PQ = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$,$\left( \frac{a}{PQ}, \frac{b}{PQ}, \frac{c}{PQ} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$l = \frac{-6}{7}, m = \frac{-2}{7}, n = \frac{-3}{7}$.
वैकल्पिक रूप से,यदि हम $Q$ से $P$ की दिशा पर विचार करें,तो दिक्-कोसाइन $\left( \frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7} \right)$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
अतः,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta = \cos \alpha = l$,और $n = \cos \gamma = \cos \alpha = l$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = m = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3l^2 = 1$।
इसलिए,$l^2 = \frac{1}{3}$,जिससे $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $l = m = n$ है,इसलिए $l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगा।

(B) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ के रूप में परिभाषित होती हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा क्रमशः $x, y,$ और $z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
त्रिविमीय ज्यामिति में यह एक मूलभूत गुण है कि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है।
इसलिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
$l, m,$ और $n$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
परिभाषा के अनुसार,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ होता है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में किसी भी रेखा के लिए,उसकी दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है।
अतः,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा की लंबाई $d$ है और इसके दिक्-कोज्या (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
रेखा के $x, y,$ और $z$ अक्षों पर प्रक्षेप क्रमशः $dl, dm,$ और $dn$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है: $dl = 2, dm = 3, dn = 6$.
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
दिए गए प्रक्षेपों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(dl)^2 + (dm)^2 + (dn)^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2$
$d^2(l^2 + m^2 + n^2) = 4 + 9 + 36$
$d^2(1) = 49$
$d = \sqrt{49} = 7$.
अतः,रेखा की लंबाई $7$ है।

(A) माना रेखा के $x, y, z$ अक्षों के साथ दिक-कोण क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\beta = 60^o$ और $\gamma = 60^o$ है।
दिक-कोज्याओं के वर्गों का योग $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 60^o + \cos^2 60^o = 1$
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{2} = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\alpha = 45^o$।

(A) एक रेखा की दिक्कोज्या $(l, m, n)$ शर्त $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ को संतुष्ट करती हैं।
दी गई दिक्कोज्या $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, n \right)$ हैं,इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + n^2 = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + n^2 = 1$
$\frac{9 + 4}{36} + n^2 = 1$
$\frac{13}{36} + n^2 = 1$
$n^2 = 1 - \frac{13}{36}$
$n^2 = \frac{36 - 13}{36} = \frac{23}{36}$
$n = \pm \frac{\sqrt{23}}{6}$।
दिए गए विकल्प के अनुसार सही उत्तर $\frac{\sqrt{23}}{6}$ है।

(C) माना रेखाखंड की लंबाई $d$ है और इसकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m,$ और $n$ हैं।
निर्देशांक अक्षों $x, y,$ और $z$ पर रेखाखंड के प्रक्षेप क्रमशः $dl, dm,$ और $dn$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है कि $dl = 3, dm = 4,$ और $dn = 5$ है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(dl)^2 + (dm)^2 + (dn)^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2$
$d^2(l^2 + m^2 + n^2) = 9 + 16 + 25$
चूँकि किसी भी रेखाखंड के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है,इसलिए:
$d^2(1) = 50$
$d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।

(C) माना घन की भुजा $a$ है। घन के चार विकर्णों को $(1, 1, 1)$,$(1, 1, -1)$,$(-1, 1, 1)$,और $(1, -1, 1)$ दिशाओं में सदिशों के रूप में दर्शाया जा सकता है।
माना रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
रेखा और विकर्णों के बीच के कोणों $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ की कोज्याएँ इस प्रकार हैं:
$\cos \alpha = \frac{|l + m + n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{|l + m - n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{|-l + m + n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \delta = \frac{|l - m + n|}{\sqrt{3}}$.
इनका वर्ग करने पर:
${\cos ^2}\alpha = \frac{(l + m + n)^2}{3}$,${\cos ^2}\beta = \frac{(l + m - n)^2}{3}$,${\cos ^2}\gamma = \frac{(-l + m + n)^2}{3}$,${\cos ^2}\delta = \frac{(l - m + n)^2}{3}$.
इनका योग करने पर:
$\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l^2+m^2+n^2 + 2lm + 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 + 2lm - 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm + 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm - 2mn + 2nl) ]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3} (1) = \frac{4}{3}$.
चूँकि ${\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta$,इसलिए:
$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

(B) रेखा $CD$ पर रेखाखंड $AB$ का प्रक्षेप,बिंदुओं $A$ और $B$ से रेखा $CD$ पर डाले गए लंबों द्वारा निर्मित रेखाखंड की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $\theta$ रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच का कोण है,तो प्रक्षेप की लंबाई रेखाखंड $AB$ की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन (cosine) के गुणनफल के बराबर होती है।
अतः,$CD$ पर $AB$ का प्रक्षेप $AB \cos \theta$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखा के $x, y,$ और $z$ अक्षों के साथ दिशा कोण क्रमशः $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
चूंकि रेखा अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
रेखा की दिक्कोज्याएं (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta,$ और $\cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
$\alpha = \beta = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$।
अतः,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$ है,इसलिए संभावित दिक्कोज्याएं $(l, m, n)$ का मान $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
इस प्रकार,ऐसी कुल $4$ रेखाएं हैं।

(D) दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
यहाँ $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2a - 3 + 10|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{a^2 + 3^2 + 5^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2a + 7|}{3 \sqrt{a^2 + 34}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{(2a + 7)^2}{9(a^2 + 34)}$
$9(a^2 + 34) = 2(4a^2 + 28a + 49)$
$9a^2 + 306 = 8a^2 + 56a + 98$
$a^2 - 56a + 208 = 0$
द्विघात समीकरण $(a - 52)(a - 4) = 0$ को हल करने पर,हमें $a = 4$ या $a = 52$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,$a = 4$ सही उत्तर है।

(B) माना पहली रेखा के दिक्-अनुपात $l_1, m_1, n_1 = a, b, c$ हैं।
माना दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात $l_2, m_2, n_2 = \frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ हैं।
दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों,अर्थात $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a}{1/bc} = a \times bc = abc$
$\frac{b}{1/ca} = b \times ca = abc$
$\frac{c}{1/ab} = c \times ab = abc$
चूँकि $\frac{a}{1/bc} = \frac{b}{1/ca} = \frac{c}{1/ab} = abc$,इसलिए दिक्-अनुपात समानुपाती हैं।
अतः,रेखाएँ समांतर हैं।

(A) मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, 2, 1)$ और $\vec{b} = (2, -3, 6)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (2)(-3) + (1)(6)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 6 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 1} \sqrt{4 + 9 + 36}}$
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6} \sqrt{49}}$
$\cos \theta = \frac{2}{7\sqrt{6}}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{7\sqrt{6}}\right)$.

(D) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l + m + n = 0$ $(i)$
$l^2 + m^2 - n^2 = 0$ (ii)
$(i)$ से,$n = -(l + m)$। इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l + m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0$,जिसका अर्थ है $l = 0$ या $m = 0$।
स्थिति $1$: यदि $l = 0$,तो $m + n = 0 \implies n = -m$। हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $0^2 + m^2 + (-m)^2 = 1 \implies 2m^2 = 1 \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः,दिक्-कोसाइन $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $m = 0$,तो $l + n = 0 \implies n = -l$। इसी प्रकार,$l^2 + 0^2 + (-l)^2 = 1 \implies 2l^2 = 1 \implies l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होते हैं।
माना दिशा सदिश $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$।

(A) माना कि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $a_1, b_1, c_1 = 5, -12, 13$ और $a_2, b_2, c_2 = -3, 4, 5$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
अंश की गणना:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (5)(-3) + (-12)(4) + (13)(5) = -15 - 48 + 65 = 2$
हर की गणना:
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 144 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{(13\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{2}{65 \times 2} = \frac{1}{65}$
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1}(1/65)$.

(B) दो रेखाओं जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
दिए गए दिक्-अनुपात $(2, 3, -6)$ और $(3, -4, 5)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(3) + (3)(-4) + (-6)(5)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} \right|$
अंश की गणना:
$2(3) + 3(-4) + (-6)(5) = 6 - 12 - 30 = -36$
हर की गणना:
$\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
अतः,$\cos \theta = \left| \frac{-36}{7 \times 5\sqrt{2}} \right| = \frac{36}{35\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{35}$
इसलिए,न्यून कोण $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{18\sqrt{2}}{35}\right)$ है।

(A) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
चूंकि रेखा $x$ और $z$-अक्षों के साथ समान कोण $\theta$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \theta$ और $n = \cos \theta$ है।
$y$-अक्ष के साथ कोण $\beta$ है,इसलिए $m = \cos \beta$ है।
दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,इसलिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
मान रखने पर,$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$,जो $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$ में सरल हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ का उपयोग करते हुए,$2 \cos^2 \theta + (1 - \sin^2 \beta) = 1$,जिसका अर्थ है $2 \cos^2 \theta = \sin^2 \beta$ है।
दी गई शर्त $\sin^2 \beta = 3 \sin^2 \theta$ को समीकरण में रखने पर: $2 \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$2 \cos^2 \theta = 3(1 - \cos^2 \theta)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$2 \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta$,जो $5 \cos^2 \theta = 3$ की ओर ले जाता है।
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{3}{5}$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाएं जिनकी दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$,$(l_2, m_2, n_2)$ और $(l_3, m_3, n_3)$ हैं,समतलीय होती हैं यदि वे एक ही तल में स्थित हों। चूंकि वे सभी मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती हैं,इसलिए वे तभी समतलीय होंगी यदि उनके दिक्-कोसाइन का सारणिक शून्य हो।
ऐसा इसलिए है क्योंकि रेखाएं समतलीय होती हैं यदि एक ऐसा गैर-शून्य अभिलंब सदिश $(l, m, n)$ मौजूद हो जो तीनों रेखाओं पर लंब हो।
इस प्रकार,हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:
$l l_1 + m m_1 + n n_1 = 0$
$l l_2 + m m_2 + n n_2 = 0$
$l l_3 + m m_3 + n n_3 = 0$
एक गैर-शून्य हल $(l, m, n) \neq (0, 0, 0)$ के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{array} \right| = 0$
दूसरे और तीसरे स्तंभ को आपस में बदलने पर,सारणिक का चिह्न बदल जाता है,लेकिन यह शून्य ही रहता है:
$-\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \\ l_2 & n_2 & m_2 \\ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} \right| = 0$
अतः,$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \\ l_2 & n_2 & m_2 \\ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} \right| = 0$ सही शर्त है।

(A) $xy$-समतल के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $z = k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूँकि बिंदु $(x, y, z)$ इस समतल में या इसके समांतर गति करता है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक गति के दौरान स्थिर रहना चाहिए।
अतः,चर $z$ स्थिर रहता है।

(D) माना कि $B$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिए गए दिक्-कोसाइन $(l, m, n) = (-2/\sqrt{17}, 3/\sqrt{17}, -2/\sqrt{17})$ और लंबाई $r = AB = \sqrt{17}$ है।
$B$ के निर्देशांक इस प्रकार प्राप्त होते हैं: $x = x_A + lr$,$y = y_A + mr$,और $z = z_A + nr$।
मान रखने पर:
$x = 3 + (-2/\sqrt{17}) \times \sqrt{17} = 3 - 2 = 1$
$y = -6 + (3/\sqrt{17}) \times \sqrt{17} = -6 + 3 = -3$
$z = 10 + (-2/\sqrt{17}) \times \sqrt{17} = 10 - 2 = 8$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(1, -3, 8)$ हैं।

(C) माना रेखाखंड की लंबाई $L$ है और यह $x, y,$ और $z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ कोण बनाता है।
निर्देशांक अक्षों पर रेखाखंड के प्रक्षेप $L \cos \alpha = 3$,$L \cos \beta = 4$,और $L \cos \gamma = 5$ द्वारा दिए गए हैं।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(L \cos \alpha)^2 + (L \cos \beta)^2 + (L \cos \gamma)^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2$
$L^2 (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 9 + 16 + 25$
चूँकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए:
$L^2 (1) = 50$
$L = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(A) माना कि तीन परस्पर लंबवत रेखाओं के दिक्-कोसाइन $L_1 = (l_1, m_1, n_1)$,$L_2 = (l_2, m_2, n_2)$,और $L_3 = (l_3, m_3, n_3)$ हैं।
चूंकि वे परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0$,$l_2l_3 + m_2m_3 + n_2n_3 = 0$,और $l_3l_1 + m_3m_1 + n_3n_1 = 0$ है।
साथ ही,किसी भी दिक्-कोसाइन सदिश के लिए,वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $l_i^2 + m_i^2 + n_i^2 = 1$ जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
नई रेखा के दिक्-कोसाइन $L = (l_1+l_2+l_3, m_1+m_2+m_3, n_1+n_2+n_3)$ के समानुपाती हैं।
नई रेखा और पहली रेखा $L_1$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन डॉट प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{(l_1+l_2+l_3)l_1 + (m_1+m_2+m_3)m_1 + (n_1+n_2+n_3)n_1}{\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2 + (m_1+m_2+m_3)^2 + (n_1+n_2+n_3)^2} \cdot \sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}}$
अंश में $l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
हर में परिमाण का वर्ग $\sum (l_1+l_2+l_3)^2 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3$ होता है।
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $0^o$ माना गया है।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ और $Q$ के निर्देशांक $(x_2, y_2, z_2)$ हैं।
माना $\Delta x = x_2 - x_1$,$\Delta y = y_2 - y_1$,और $\Delta z = z_2 - z_1$ है।
दूरी $d$ को $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$xy$,$yz$,और $zx$ समतलों पर $PQ$ के प्रक्षेप क्रमशः $d_1, d_2, d_3$ हैं।
अतः,$d_1^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$,$d_2^2 = (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,और $d_3^2 = (\Delta z)^2 + (\Delta x)^2$ है।
इनका योग करने पर,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2) = 2d^2$ प्राप्त होता है।
इसे $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = k d^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।