System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $6x - 2 = 3y + 1 = 2z - 2$ है।
समीकरण को मानक रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ में बदलने पर:
$6(x - \frac{1}{3}) = 3(y + \frac{1}{3}) = 2(z - 1)$
$6, 3, 2$ के लघुत्तम समापवर्त्य $6$ से भाग देने पर:
$\frac{x - 1/3}{1/6} = \frac{y + 1/3}{1/3} = \frac{z - 1}{1/2}$
दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ प्राप्त करने के लिए हर को $6$ से गुणा करने पर:
$a = 1, b = 2, c = 3$
दिक्-सदिश का परिमाण $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ इस प्रकार हैं:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}, m = \frac{2}{\sqrt{14}}, n = \frac{3}{\sqrt{14}}$।

(C) माना रेखा $AB$ के $x, y, z$ अक्षों के साथ दिशा कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 120^\circ$ है।
दिक् कोज्याएँ $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^2(45^\circ) + \cos^2(120^\circ) + \cos^2(\gamma) = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\cos^2(\gamma) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos(\gamma) = \pm \frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta$ एक न्यूनकोण है,इसलिए $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$\theta = 60^\circ$।

(A) माना कि $x, y, z$ अक्षों पर रेखाखंड के प्रक्षेप $a = 12$,$b = 4$,और $c = 3$ हैं।
रेखाखंड की लंबाई $L$ सूत्र $L = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $L = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$.
दिककोज्याएँ $(l, m, n)$ इस प्रकार दी जाती हैं: $l = a/L$,$m = b/L$,और $n = c/L$।
अतः,$l = 12/13$,$m = 4/13$,और $n = 3/13$।
इस प्रकार,लंबाई $13$ है और दिककोज्याएँ $< 12/13, 4/13, 3/13 >$ हैं।

(B) एक रेखाखंड $AB$ का दूसरी रेखा $CD$ पर प्रक्षेप,रेखाखंड $AB$ की लंबाई और उनके बीच के कोण $\theta$ के कोसाइन (cosine) के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
अतः,प्रक्षेप = $AB \cos \theta$.

(D) बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ के समानुपाती होते हैं।
बिंदुओं $A(6, -7, -1)$ और $B(2, -3, 1)$ के लिए,दिक्-अनुपात $(2 - 6, -3 - (-7), 1 - (-1)) = (-4, 4, 2)$ हैं।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें सरल दिक्-अनुपात $(-2, 2, 1)$ प्राप्त होते हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
दिक्-कोसाइन $\pm \frac{-2}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{3}$ हैं।
$x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ न्यूनकोण है,जिसका अर्थ है कि $\cos \alpha > 0$। $x$-अक्ष के संगत दिक्-कोसाइन $l = \pm \frac{-2}{3}$ है।
$\cos \alpha > 0$ शर्त को पूरा करने के लिए,हमें दिक्-अनुपातों के लिए ऋण चिह्न चुनना होगा ताकि $l = -(\frac{-2}{3}) = \frac{2}{3}$ हो जाए।
अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ हैं।

(B) माना बिंदु $P(4, 3, -5)$ और $Q(-2, 1, -8)$ हैं।
सबसे पहले,रेखा $PQ$ के दिक् अनुपात (direction ratios) $(a, b, c)$ ज्ञात करते हैं:
$a = 4 - (-2) = 6, b = 3 - 1 = 2, c = -5 - (-8) = 3$.
सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ है।
दिक्कोज्याएं $(l, m, n)$ सूत्र $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ द्वारा दी जाती हैं।
अतः,$(l, m, n) = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7})$।

(A) $3D$ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,किसी बिंदु $(x, y, z)$ का निर्देशांक समतल पर प्रक्षेप प्राप्त करने के लिए,उस समतल के लंबवत अक्ष के निर्देशांक को $0$ कर दिया जाता है।
$yz$-समतल के लिए,$x$-निर्देशांक समतल के लंबवत होता है।
इसलिए,बिंदु $(a, b, c)$ का $yz$-समतल पर प्रक्षेप प्राप्त करने के लिए $x$-निर्देशांक को $0$ रखने पर,हमें $(0, b, c)$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा के दिक्-अनुपात $a = 6, b = 2, c = 3$ हैं।
अतः,दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार हैं:
$l = \frac{6}{\sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{36 + 4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$
$m = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}$
$n = \frac{3}{\sqrt{49}} = \frac{3}{7}$
बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1) = (-1, 0, 3)$ और $Q(x_2, y_2, z_2) = (2, 5, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का रेखा पर प्रक्षेप:
$Projection = l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)$
मान रखने पर:
$Projection = \frac{6}{7}(2 - (-1)) + \frac{2}{7}(5 - 0) + \frac{3}{7}(1 - 3)$
$Projection = \frac{6}{7}(3) + \frac{2}{7}(5) + \frac{3}{7}(-2)$
$Projection = \frac{18}{7} + \frac{10}{7} - \frac{6}{7}$
$Projection = \frac{18 + 10 - 6}{7} = \frac{22}{7}$

(A) दिए गए दिक्-अनुपात $a = 1, b = -3, c = 2$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने का सूत्र $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
मान रखने पर,हमें $\left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि यदि कोई रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,तो उसकी दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
यह एक ज्ञात गुण है कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
अब,हम सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करेंगे।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2 \cos^2 \alpha - 1) + (2 \cos^2 \beta - 1) + (2 \cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
$= 2(1) - 3$
$= 2 - 3 = -1$.

(A) मान लीजिए कि सदिश $\overline{OP}$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
दिया गया है कि अक्षों के साथ कोण $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$ हैं और मान लीजिए $OZ$ के साथ कोण $\gamma$ है।
तब,$l = \cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$m = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,और $n = \cos(\gamma)$।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + n^2 = 1$।
$\frac{3}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow n^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
अतः,$n = \pm \frac{1}{2}$।
चूँकि $n = \cos(\gamma)$,इसलिए $\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$ या $\cos(\gamma) = -\frac{1}{2}$।
इसलिए,$\gamma = 60^{\circ}$ या $\gamma = 120^{\circ}$।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ हैं। चूंकि रेखा तीनों परस्पर लंबवत रेखाओं के साथ समान कोण $\theta$ बनाती है,हमारे पास है:
$l \cdot l_1 + m \cdot m_1 + n \cdot n_1 = \cos \theta$
$l \cdot l_2 + m \cdot m_2 + n \cdot n_2 = \cos \theta$
$l \cdot l_3 + m \cdot m_3 + n \cdot n_3 = \cos \theta$
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(l \cdot l_1 + m \cdot m_1 + n \cdot n_1)^2 + (l \cdot l_2 + m \cdot m_2 + n \cdot n_2)^2 + (l \cdot l_3 + m \cdot m_3 + n \cdot n_3)^2 = 3 \cos^2 \theta$
परस्पर लंबवत रेखाओं के लिए दिक्कोसाइन के गुण का उपयोग करने पर,यह $l^2 + m^2 + n^2 = 3 \cos^2 \theta$ में सरल हो जाता है। चूंकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $3 \cos^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$l = \frac{l_1 + l_2 + l_3}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{n_1 + n_2 + n_3}{\sqrt{3}}$.

(C) माना बिंदु $A(-1, 2, 3)$ और $B(-1, 4, 0)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-1 - (-1), 4 - 2, 0 - 3) = (0, 2, -3)$ हैं।
रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = 60^{\circ}$ के कोण बनाती है।
अतः रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$m = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ और $n = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ हैं।
दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ वाले रेखाखंड का दिक्-कोज्या $(l, m, n)$ वाली रेखा पर प्रक्षेप $|al + bm + cn|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: प्रक्षेप $= |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (2)(\frac{1}{2}) + (-3)(\frac{1}{2})| = |0 + 1 - \frac{3}{2}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

(C) माना बिंदु $A(5, 2, 3)$ और $B(-1, 0, 2)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-1-5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -6\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $1, 2, 3$ हैं,इसलिए रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।
रेखाखंड $AB$ का रेखा पर प्रक्षेप,$\vec{AB}$ और $\hat{u}$ के अदिश गुणनफल का मापांक है।
प्रक्षेप $= |\vec{AB} \cdot \hat{u}| = |(-6\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{14}}|$
$= |\frac{(-6)(1) + (-2)(2) + (-1)(3)}{\sqrt{14}}| = |\frac{-6 - 4 - 3}{\sqrt{14}}| = |\frac{-13}{\sqrt{14}}| = \frac{13}{\sqrt{14}}$.

(B) त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,किसी भी बिंदु $P$ को $(x, y, z)$ निर्देशांक द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि कोई बिंदु $z$-अक्ष पर स्थित है,तो $x$-अक्ष और $y$-अक्ष से उसकी दूरी शून्य होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए और $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$z$-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु $(0, 0, z)$ के रूप में होता है,जहाँ $z$ कोई भी वास्तविक संख्या है।
इस प्रकार,$x$ और $y$ दोनों निर्देशांक शून्य होने की शर्त संतुष्ट होती है।

(A) दिए गए संबंध:
$l + m + n = 0 \implies n = -(l + m)$
दूसरे समीकरण में $n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l + m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \implies lm = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $l = 0$ या $m = 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l = 0$ है,तो $m + n = 0 \implies n = -m$। दिक्-अनुपात $(0, m, -m)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(0, 1, -1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m = 0$ है,तो $l + n = 0 \implies n = -l$। दिक्-अनुपात $(l, 0, -l)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(1, 0, -1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। दिक्-अनुपात $\vec{a} = (0, 1, -1)$ और $\vec{b} = (1, 0, -1)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण आमतौर पर न्यून कोण लिया जाता है,इसलिए $\cos \theta = 1/2 \implies \theta = \pi / 3$।
हालाँकि,यदि हम दिक्-कोज्याओं को सदिशों के रूप में लेते हैं,तो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = -1/2$ होगा,जो $\theta = 2\pi / 3$ देता है।

(B) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ होती हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2 \cos^2 \alpha - 1) + (2 \cos^2 \beta - 1) + (2 \cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
$= 2(1) - 3$
$= 2 - 3 = -1$।

(A) निर्देशांक अक्षों पर एक रेखा के प्रक्षेप रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) होते हैं,जिन्हें $a = 4$,$b = 6$,और $c = 12$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दिक्कोज्याएँ $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$,$m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$,और $n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,परिमाण (magnitude) की गणना करें: $\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.
अब,दिक्कोज्याओं की गणना करें:
$l = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
$m = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$
$n = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$
अतः,दिक्कोज्याएँ $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$ हैं।

(A) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ द्वारा दी जाती हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \beta) + (1 - \sin^2 \gamma) = 1$।
$3 - (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 1$।
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3 - 1 = 2$।

(B) माना कि रेखा प्रत्येक निर्देशाक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है।
अतः,दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ या $\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ हैं।

(D) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $(l, m, n)$ हैं।
दिया गया है कि रेखा $x$-अक्ष के साथ $\alpha = \pi /4$ और $y$-अक्ष के साथ $\beta = \pi /4$ का कोण बनाती है।
अतः,$l = \cos(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$ और $m = \cos(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$ है।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के लिए सर्वसमिका: $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होती है।
मान रखने पर: $(1/\sqrt{2})^2 + (1/\sqrt{2})^2 + n^2 = 1$।
$1/2 + 1/2 + n^2 = 1$।
$1 + n^2 = 1 \implies n^2 = 0 \implies n = 0$।
यदि $n = \cos(\gamma) = 0$ है,तो $\gamma = \pi /2$ होगा।
अतः,रेखा $z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\pi /2$ का कोण बनाती है।

(B) मान लीजिए कि रेखा द्वारा $x, y$ और $z$ अक्ष के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 120^{\circ}$ और $\beta = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि दिक कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^{2} (120^{\circ}) + \cos^{2} (60^{\circ}) + \cos^{2} \gamma = 1$
चूंकि $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ और $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$(-\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\cos^{2} \gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\gamma = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$।

(C) दो रेखाएँ जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे तभी समांतर होती हैं जब उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों।
गणितीय रूप से,इस शर्त को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$
जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
इसका अर्थ है कि दोनों रेखाओं के दिक्-सदिश,$\vec{v_1} = a_1\hat{i} + b_1\hat{j} + c_1\hat{k}$ और $\vec{v_2} = a_2\hat{i} + b_2\hat{j} + c_2\hat{k}$,संरेख हैं,जिसका अर्थ है $\vec{v_1} = k\vec{v_2}$।
अतः,रेखाओं के समांतर होने के लिए सही शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।

(A) मान लीजिए कि तीन रेखाओं के दिक् अनुपात $L_1 = (1, 1, 2)$,$L_2 = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$ और $L_3 = (-\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1, 4)$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|L_1| = \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6}$.
$|L_2| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3+1-2\sqrt{3}) + (3+1+2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|L_3| = \sqrt{(-\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
अब,अदिश गुणनफल (dot products) ज्ञात करें:
$L_1 \cdot L_2 = 1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = 6$.
$L_1 \cdot L_3 = 1(-\sqrt{3}-1) + 1(\sqrt{3}-1) + 2(4) = 6$.
$L_2 \cdot L_3 = (\sqrt{3}-1)(-\sqrt{3}-1) + (-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1) + 4(4) = 12$.
कोणों के लिए कोसाइन ज्ञात करें:
$\cos \theta_{12} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies \theta_{12} = 60^\circ$.
$\cos \theta_{13} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies \theta_{13} = 60^\circ$.
$\cos \theta_{23} = \frac{12}{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies \theta_{23} = 60^\circ$.
चूँकि सभी कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए ये रेखाएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं।

(C) $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का $(l, m, n)$ दिककोसाइन वाली रेखा पर प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$|l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)|$.
यहाँ दिए गए बिंदु $P(7, -5, 11)$ और $Q(-2, 8, 13)$ हैं।
दिककोसाइन $l = \frac{1}{3}, m = \frac{2}{3}, n = \frac{2}{3}$ हैं।
अंतर की गणना करने पर:
$x_2 - x_1 = -2 - 7 = -9$
$y_2 - y_1 = 8 - (-5) = 13$
$z_2 - z_1 = 13 - 11 = 2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
प्रक्षेप $= |(\frac{1}{3})(-9) + (\frac{2}{3})(13) + (\frac{2}{3})(2)|$
$= |-\frac{9}{3} + \frac{26}{3} + \frac{4}{3}|$
$= |\frac{-9 + 26 + 4}{3}|$
$= |\frac{21}{3}| = 7$.

(A) मान लीजिए कि बिंदु के निर्देशांक $P(x, y, z)$ हैं।
बिंदु $P$ की $xy$-समतल से दूरी $|z|$ है।
बिंदु $P$ की $yz$-समतल से दूरी $|x|$ है।
बिंदु $P$ की $zx$-समतल से दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$xy$-समतल और $yz$-समतल से दूरियों का योग $zx$-समतल से दूरी के बराबर है:
$|z| + |x| = |y|$.
यदि बिंदु प्रथम अष्टांश में स्थित है जहाँ $x, y, z > 0$,तो हमें $x + z = y$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x - y + z = 0$ मिलता है।

(C) माना कि दो रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 1, 2)$ और $\vec{b} = (\sqrt{3} - 1, -\sqrt{3} - 1, 4)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 1(\sqrt{3} - 1) + 1(-\sqrt{3} - 1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (-\sqrt{3} - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^o$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दो रेखाओं के दिक-अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं।
दिया गया है: $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, 2)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$।
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$।
इसके बाद,परिमाण की गणना करें:
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$।
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$।

(A) दिए गए दिक्-अनुपात $a = 1, b = -3, c = 2$ हैं।
दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
सबसे पहले,परिमाण की गणना करें:
$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.
अब,दिक्-कोज्याओं की गणना करें:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}$,
$m = \frac{-3}{\sqrt{14}}$,
$n = \frac{2}{\sqrt{14}}$.
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}$ हैं।

(A) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $X$ और $Z$ अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos \theta$ और $n = \cos \theta$ है।
चूँकि रेखा $Y$ अक्ष के साथ $\beta$ कोण बनाती है,इसलिए $m = \cos \beta$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$2 \cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$।
सर्वसमिका $\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ मिलता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2 \cos^2 \theta + (1 - \sin^2 \beta) = 1$।
$2 \cos^2 \theta = \sin^2 \beta$।
दिया गया है कि $\sin^2 \beta = 3 \sin^2 \theta$,इसलिए:
$2 \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta$।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos^2 \theta = 3(1 - \cos^2 \theta)$।
$2 \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta$।
$5 \cos^2 \theta = 3$।
$\cos^2 \theta = 3/5$।

(A) माना कि दो रेखाओं के दिक-अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं।
यहाँ,$(a_1, b_1, c_1) = \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ और $(a_2, b_2, c_2) = \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ है।
सबसे पहले,हम सदिशों का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|v_1| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16} + \frac{3}{4}} = 1$.
$|v_2| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$.
चूँकि परिमाण $1$ है,ये दिक-कोज्याएँ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = |a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|$ होता है।
$\cos \theta = |(\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$\cos \theta = |\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}| = |-\frac{8}{16}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$। यदि हम सदिशों के बीच का कोण लें तो $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जो $120^o$ है।

(A) $yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ है।
$yz$-समतल के लंबवत कोई भी रेखा $x$-अक्ष के समानांतर होनी चाहिए।
$x$-अक्ष के दिक्-अनुपात (direction ratios) $(1, 0, 0)$ हैं।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(1, 0, 0)$ के समानुपाती हैं।
अतः,रेखा की दिक्कोज्याएँ $(1, 0, 0)$ हैं।

(D) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
चूँकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$ और $n = \cos \alpha$ होगा।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = 1/3$
$\cos \alpha = 1/\sqrt{3}$ (न्यूनकोण के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
अतः,$\alpha = \cos^{-1}(1/\sqrt{3})$।

(C) एक रेखा की दिक कोज्याएँ (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ द्वारा दी जाती हैं।
हम जानते हैं कि दिक कोज्याओं के लिए मूल सर्वसमिका $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
यहाँ $l = \cos \alpha = 14/15$ और $m = \cos \beta = 1/3$ दिया गया है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(14/15)^2 + (1/3)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$196/225 + 1/9 + \cos^2 \gamma = 1$
भिन्नों को जोड़ने के लिए,उभयनिष्ठ हर $225$ का उपयोग करें:
$196/225 + 25/225 + \cos^2 \gamma = 1$
$221/225 + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - 221/225$
$\cos^2 \gamma = (225 - 221) / 225$
$\cos^2 \gamma = 4/225$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos \gamma = \pm \sqrt{4/225} = \pm 2/15$.

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (3, 12, 4)$ हैं।
दूरी $OP = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2}$ है।
$OP = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{x}{OP}, \frac{y}{OP}, \frac{z}{OP}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{3}{13}, \frac{12}{13}, \frac{4}{13}$ हैं।

(B) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1$ और $L_2$ हैं जिनके दिक् अनुपात क्रमशः $\langle a, b, c \rangle$ और $\langle a', b', c' \rangle$ हैं।
दो रेखाएं जिनके दिक् अनुपात $\langle a_1, b_1, c_1 \rangle$ और $\langle a_2, b_2, c_2 \rangle$ हैं,वे परस्पर लंबवत होती हैं यदि और केवल यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
चूंकि दी गई रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए शर्त $aa' + bb' + cc' = 0$ सत्य होनी चाहिए।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना सदिश $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
दिया गया है कि निर्देशांक अक्षों पर सदिश के प्रक्षेप $6, -3, 2$ हैं,इसलिए $a = 6$,$b = -3$,और $c = 2$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}$ है।
$|\vec{r}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
सदिश की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ सूत्र $\frac{a}{|\vec{r}|}, \frac{b}{|\vec{r}|}, \frac{c}{|\vec{r}|}$ द्वारा दी जाती हैं।
अतः,$l = \frac{6}{7}$,$m = \frac{-3}{7}$,और $n = \frac{2}{7}$ है।
इसलिए,दिक्-कोज्याएँ $\frac{6}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{2}{7}$ हैं।

(C) मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $a_1, b_1, c_1 = (3, 4, 5)$ और $a_2, b_2, c_2 = (4, -3, 5)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उसे इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (3)(4) + (4)(-3) + (5)(5) = 12 - 12 + 25 = 25$
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
अतः,$\cos \theta = \frac{25}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{25}{25 \times 2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^o$ है।

(C) माना कि दो रेखाओं के दिक-अनुपात $a_1, b_1, c_1 = 1, 1, 2$ और $a_2, b_2, c_2 = \sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का मान:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
अंश की गणना:
$1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
हर की गणना:
$\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

(A) बिंदुओं $A(6, -7, -1)$ और $B(2, -3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 6, -3 - (-7), 1 - (-1)) = (-4, 4, 2)$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$ है।
दिक कोसाइन $(l, m, n)$ का मान $\left( \frac{-4}{6}, \frac{4}{6}, \frac{2}{6} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$ या $\left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$ होगा।
माना $\alpha$ रेखा द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है। अतः $\cos \alpha = l$। $\alpha$ के न्यूनकोण होने के लिए $\cos \alpha > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $l > 0$।
अतः,$l > 0$ वाली दिक कोसाइन का सेट $\left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$ है।

(B) एक रेखा जो निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,उसके दिक्-कोसाइन (direction cosines) के लिए संबंध है: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^\circ$,इसलिए $\beta = 90^\circ - \alpha$।
इस मान को संबंध में रखने पर: $\cos^2 \alpha + \cos^2(90^\circ - \alpha) + \cos^2 \gamma = 1$।
चूंकि $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$,समीकरण इस प्रकार होगा: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 1$।
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर: $1 + \cos^2 \gamma = 1$।
इससे प्राप्त होता है $\cos^2 \gamma = 0$,जिसका अर्थ है $\cos \gamma = 0$।
अतः,$\gamma = 90^\circ$।

(A) माना रेखाखंड की लंबाई $r$ है और इसकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
निर्देशांक अक्षों पर रेखाखंड के प्रक्षेप $lr, mr, nr$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है कि $lr = 2, mr = 3$ और $nr = 6$ है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(lr)^2 + (mr)^2 + (nr)^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2$
$r^2(l^2 + m^2 + n^2) = 4 + 9 + 36$
चूँकि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है,इसलिए:
$r^2(1) = 49$
$r^2 = 49$
$r = 7$
अतः,रेखाखंड की लंबाई $7$ है।

(B) माना कि दो रेखाओं के दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 6)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र,जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,निम्न है:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(1) + (3)(2) + (6)(2)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \right|$
अंश की गणना:
$2 + 6 + 12 = 20$
हर की गणना:
$\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
अतः,$\cos \theta = \left| \frac{20}{7 \times 3} \right| = \frac{20}{21}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{ - 1} \left( \frac{20}{21} \right)$.

(B) दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का $l, m, n$ दिक्-कोसाइन वाली रेखा पर प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
प्रक्षेप = $l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)$।
यह सूत्र सदिश $\vec{PQ} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ और रेखा $AB$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ के अदिश गुणन (dot product) से प्राप्त होता है।
अतः,प्रक्षेप = $\vec{PQ} \cdot \hat{u} = l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)$।

(A) मान लीजिए कि सदिश $\vec{r}$ के दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं। निर्देशांक अक्षों पर इसके प्रक्षेप $l|\vec{r}|, m|\vec{r}|, n|\vec{r}|$ हैं।
अतः,$l|\vec{r}| = 6, m|\vec{r}| = -3, n|\vec{r}| = 2$ $(i)$.
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(l|\vec{r}|)^2 + (m|\vec{r}|)^2 + (n|\vec{r}|)^2 = 6^2 + (-3)^2 + 2^2$
$|\vec{r}|^2(l^2 + m^2 + n^2) = 36 + 9 + 4$
चूंकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $|\vec{r}|^2 = 49$,जिसका अर्थ है $|\vec{r}| = 7$.
समीकरण $(i)$ में $|\vec{r}| = 7$ रखने पर:
$l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$.

(B) माना कि रेखा $x$,$y$ और $z$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{4}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ है।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$1 + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$\cos^2 \gamma = 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos \gamma = 0$ है।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) माना रेखा $AB$ के दिक्-कोण $x, y, z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = 120^{\circ}$ है।
दिक्-कोज्याओं के बीच संबंध $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 120^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\cos^{2} \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta = \gamma$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$\gamma = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$।

(D) माना कि रेखा $x$,$y$ और $z$-अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 45^\circ$ है।
रेखा की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
अतः $l = \cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$m = \cos \beta = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$n = \cos \gamma$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$1 + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$\cos^2 \gamma = 0$ है।
$\cos \gamma = 0$ है।
अतः,$\gamma = 90^\circ$ है।

(B) माना कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि $3$ समवर्ती किनारे निर्देशांक अक्षों पर स्थित हैं,इसलिए मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर है और विपरीत कोना $(a, a, a)$ पर है।
$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिक अनुपात आनुपातिक होते हैं,इसलिए हम $a$ से विभाजित करके $(1, 1, 1)$ प्राप्त कर सकते हैं।
अतः,दिक अनुपात $1, 1, 1$ हैं।

(C) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(\cos \theta, \cos \beta, \cos \theta)$ हैं।
चूंकि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $1$ होता है,इसलिए:
$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$
$2\cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin^2 \theta) + (1 - \sin^2 \beta) = 1$
$3 - 2\sin^2 \theta - \sin^2 \beta = 1$
दिया गया है कि $\sin^2 \beta = 3\sin^2 \theta$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$3 - 2\sin^2 \theta - 3\sin^2 \theta = 1$
$3 - 5\sin^2 \theta = 1$
$5\sin^2 \theta = 2$
$\sin^2 \theta = \frac{2}{5}$
अब,$\cos^2 \theta$ का मान ज्ञात करें:
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$