System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(D) माना रेखा द्वारा $X, Y,$ और $Z-$ अक्ष के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है $\alpha = 30^o$ और $\beta = 45^o$।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^2 30^o + \cos^2 45^o + \cos^2 \gamma = 1$।
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3+2}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \frac{5}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$।
चूँकि $\cos^2 \gamma$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए ऐसी कोई रेखा वास्तविक स्थान में अस्तित्व में नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि दिक कोज्याओं के लिए,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$,इसलिए $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2$ है।
दिया गया समीकरण $2(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 3 \sec^2 \frac{\theta}{2}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$2(2) = 3 \sec^2 \frac{\theta}{2} \Rightarrow 4 = 3 \sec^2 \frac{\theta}{2}$।
$\sec^2 \frac{\theta}{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{4}$।
सर्वसमिका $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = 2(\frac{3}{4}) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात $(DRs)$ $\left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$ हैं।
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक-अनुपात समान होने चाहिए। अतः,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1$ से $\lambda = 7$ प्राप्त होता है।
$\frac{\mu - 8}{2} = 1$ से $\mu = 10$ प्राप्त होता है।
अब,$(\lambda^3 + \mu^3 + 5) = 7^3 + 10^3 + 5 = 343 + 1000 + 5 = 1348$.

(C) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $x$ और $y$ अक्षों के साथ $\theta$ का कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos \theta$ और $m = \cos \theta$ है।
मान लीजिए $z$-अक्ष के साथ कोण $\phi$ है। तब $n = \cos \phi$ होगा।
दिक्-कोज्याओं के लिए शर्त $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$।
अतः,$\cos^2 \phi = 1 - 2 \cos^2 \theta = - \cos 2 \theta$।
चूँकि $\cos^2 \phi \ge 0$,इसलिए $-\cos 2 \theta \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos 2 \theta \le 0$।
दिया गया है कि $0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 2 \theta \le \pi$ है।
अंतराल $(0, \pi]$ में $\cos 2 \theta \le 0$ के लिए,$\frac{\pi}{2} \le 2 \theta \le \pi$ होगा।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta$ के सभी मानों का समुच्चय $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$ है।

(C) दिक्कोज्या के लिए दिए गए समीकरण: $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$।
पहले समीकरण से,$l+m = -n$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $l^2+m^2+2lm = n^2$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से $l^2+m^2 = n^2$ को इसमें प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n^2+2lm = n^2$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $2lm = 0$,इसलिए $lm = 0$।
इसका मतलब है कि या तो $l=0$ या $m=0$।
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $m+n=0 \Rightarrow m=-n$। चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+(-n)^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक् अनुपात $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ या $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $l+n=0 \Rightarrow l=-n$। इसी प्रकार,$l^2+0^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक् अनुपात $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ या $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्कोज्या $\vec{u_1} = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{u_2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}| = |(0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,न्यून कोण $\theta = 60^o$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखाखंड के $x, y$ और $z-$ अक्षों पर प्रक्षेप $p_x = 2$,$p_y = 3$,और $p_z = 6$ हैं।
$3-$ आयामी अंतरिक्ष में रेखाखंड की लंबाई $L$ का सूत्र $L = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$L = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}$ प्राप्त होता है।
$L = \sqrt{4 + 9 + 36}$.
$L = \sqrt{49}$.
$L = 7$.
अतः,रेखाखंड की लंबाई $7$ है।

(C) मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात हैं:
$a = \frac{\lambda - 1}{2} - 2 = \frac{\lambda - 5}{2}$
$b = 4 - 3 = 1$
$c = \frac{\mu + 2}{2} - 5 = \frac{\mu - 8}{2}$
चूंकि माध्यिका $AD$ अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसकी दिक-कोज्याएँ $l, m, n$ समान हैं,अर्थात $|l| = |m| = |n|$। $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,$l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,दिक-अनुपात $a, b, c$ को $1, 1, 1$ के समानुपाती होना चाहिए। चूंकि $b = 1$,इसलिए $a = 1$ और $c = 1$ होना चाहिए।
$a = 1$ रखने पर:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \Rightarrow \lambda - 5 = 2 \Rightarrow \lambda = 7$
$c = 1$ रखने पर:
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \Rightarrow \mu - 8 = 2 \Rightarrow \mu = 10$
अतः,$(\lambda, \mu) = (7, 10)$।

(C) मान लीजिए कि इकाई सदिश $\vec{r}$ के दिक-कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
एक इकाई सदिश के दिक-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,जो संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \theta = 1$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
दिया गया है कि $\theta \in (0, \pi)$,यदि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,तो $\theta = \frac{\pi}{3}$। यदि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,तो $\theta = \frac{2\pi}{3}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{3}$ सही मान है।

(A) एक सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ के दिक-अनुपात उसके घटक $(x, y, z)$ होते हैं।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ के लिए,दिक-अनुपात $a = 1, b = 1, c = -2$ हैं।
अब,सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
दिक-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार दिए जाते हैं: $l = \frac{a}{|\vec{a}|}, m = \frac{b}{|\vec{a}|}, n = \frac{c}{|\vec{a}|}$.
मान रखने पर,$l = \frac{1}{\sqrt{6}}, m = \frac{1}{\sqrt{6}}, n = \frac{-2}{\sqrt{6}}$.
अतः,दिक-कोसाइन $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$ हैं।

(A) दिए गए बिंदु $A(1, 2, -3)$ और $B(-1, -2, 1)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ को $(x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\overrightarrow{AB} = (-1 - 1)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$ है।
दिक्-कोसाइन $\left(\frac{a}{|\overrightarrow{AB}|}, \frac{b}{|\overrightarrow{AB}|}, \frac{c}{|\overrightarrow{AB}|}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं,जहाँ $\overrightarrow{AB} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(-\frac{2}{6}, -\frac{4}{6}, \frac{4}{6}\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ हैं।

(A) एक रेखा की दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा $x, y$ और $z$-अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = 30^{\circ}$ दिया गया है।
अतः,$l = \cos 90^{\circ} = 0$.
$m = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$n = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,दिक्-कोसाइन $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।

(A) माना दिक्-अनुपात $a = 2, b = -1, c = -2$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार दिए जाते हैं: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$।
मान रखने पर,हमें $l = \frac{2}{3}, m = -\frac{1}{3}, n = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}$ हैं।

(A) दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन $\frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(-2, 4, -5)$ और $Q(1, 2, 3)$ हैं।
सबसे पहले,दूरी $PQ$ की गणना करें:
$PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 4)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (8)^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}$.
अब,दिक्-कोसाइन इस प्रकार हैं:
$l = \frac{1 - (-2)}{\sqrt{77}} = \frac{3}{\sqrt{77}}$
$m = \frac{2 - 4}{\sqrt{77}} = \frac{-2}{\sqrt{77}}$
$n = \frac{3 - (-5)}{\sqrt{77}} = \frac{8}{\sqrt{77}}$
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}$ हैं।

(A) $x$-अक्ष,$x$,$y$,और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $0^{\circ}, 90^{\circ}$,और $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः,$x$-अक्ष के दिक्कोसाइन $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ अर्थात $(1, 0, 0)$ हैं।
इसी प्रकार,$y$-अक्ष,$x$,$y$,और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $90^{\circ}, 0^{\circ}$,और $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः,$y$-अक्ष के दिक्कोसाइन $\cos 90^{\circ}, \cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ अर्थात $(0, 1, 0)$ हैं।
अंत में,$z$-अक्ष,$x$,$y$,और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $90^{\circ}, 90^{\circ}$,और $0^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः,$z$-अक्ष के दिक्कोसाइन $\cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 0^{\circ}$ अर्थात $(0, 0, 1)$ हैं।

(A) मान लीजिए कि रेखा के दिक्-कोण $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}$ और $\gamma = 45^{\circ}$ हैं।
एक रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $l = \cos \alpha, m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रत्येक मान की गणना करने पर:
$l = \cos 90^{\circ} = 0$
$m = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,रेखा के दिक्-कोसाइन $0, -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं। चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ होगा।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $3 \cos^2 \alpha = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$।
अतः,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,दिक्-कोसाइन $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।

(A) दिए गए दिक-अनुपात $a = -18, b = 12, c = -4$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(-18)^2 + (12)^2 + (-4)^2}$ है।
$= \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22.$
दिक-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार दिए जाते हैं: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$
$l = \frac{-18}{22} = \frac{-9}{11},$
$m = \frac{12}{22} = \frac{6}{11},$
$n = \frac{-4}{22} = \frac{-2}{11}.$
अतः,दिक-कोसाइन $\frac{-9}{11}, \frac{6}{11}, \frac{-2}{11}$ हैं।

माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(3,5,-4), B(-1,1,2),$ और $C(-5,-5,-2)$ हैं।
भुजा $AB$ के दिक्-अनुपात $(-1-3), (1-5), (2-(-4)),$ अर्थात $-4, -4, 6$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ का परिमाण $\sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16+16+36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ है।
अतः,$AB$ के दिक्-कोसाइन $\frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{6}{2\sqrt{17}}$ हैं,जो सरल होकर $-\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}$ हो जाते हैं।
भुजा $BC$ के दिक्-अनुपात $(-5-(-1)), (-5-1), (-2-2),$ अर्थात $-4, -6, -4$ हैं।
सदिश $\vec{BC}$ का परिमाण $\sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+36+16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ है।
अतः,$BC$ के दिक्-कोसाइन $\frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{-6}{2\sqrt{17}}, \frac{-4}{2\sqrt{17}}$ हैं,जो सरल होकर $-\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}$ हो जाते हैं।
भुजा $CA$ के दिक्-अनुपात $(3-(-5)), (5-(-5)), (-4-(-2)),$ अर्थात $8, 10, -2$ हैं।
सदिश $\vec{CA}$ का परिमाण $\sqrt{8^2 + 10^2 + (-2)^2} = \sqrt{64+100+4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42}$ है।
अतः,$CA$ के दिक्-कोसाइन $\frac{8}{2\sqrt{42}}, \frac{10}{2\sqrt{42}}, \frac{-2}{2\sqrt{42}}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, -\frac{1}{\sqrt{42}}$ हो जाते हैं।

दिक कोसाइन $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ वाली दो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं यदि $l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = 0$ हो।
$(i)$ दिक कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ और $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ वाली रेखाओं के लिए:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{-3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)$
$= \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = 0$.
अतः,ये दो रेखाएँ लंब हैं।
$(ii)$ दिक कोसाइन $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ और $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली रेखाओं के लिए:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right)$
$= \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = 0$.
अतः,ये दो रेखाएँ लंब हैं।
$(iii)$ दिक कोसाइन $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ और $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ वाली रेखाओं के लिए:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{-3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right)$
$= \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = 0$.
अतः,ये दो रेखाएँ लंब हैं।
चूंकि सभी जोड़े लंब हैं,इसलिए तीनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

(N/A) एक घन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है जिसकी लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है।
मान लीजिए कि घन के शीर्ष इस प्रकार हैं कि विकर्ण $OE, AF, BG,$ और $CD$ हैं।
मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), D(a,a,0), E(a,a,a), F(0,a,a), G(a,0,a)$ हैं।
चारों विकर्णों के दिशा सदिश इस प्रकार हैं:
$d_1 = (a, a, a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$
$d_2 = (-a, a, a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$
$d_3 = (a, -a, a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$
$d_4 = (a, a, -a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
मान लीजिए दी गई रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
रेखा और इकाई सदिश $\hat{d}$ वाले विकर्ण के बीच के कोण की कोज्या डॉट प्रोडक्ट द्वारा दी जाती है: $\cos \theta = |l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$।
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}(l+m+n)$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}(-l+m+n)$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}(l-m+n)$,और $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}(l+m-n)$।
इन मानों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2]$
$= \frac{1}{3} [ (l^2+m^2+n^2 + 2lm + 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 + 2lm - 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm - 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm + 2mn - 2nl) ]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ]$
चूँकि $l^2+m^2+n^2 = 1$,इसलिए योग $\frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$ है।

(N/A) यह दिया गया है कि $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ दो परस्पर लंबवत रेखाओं की दिक्कोज्याएँ हैं। इसलिए,
$l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$ ........$(1)$
$l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}=1$ ..........$(2)$
$l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}=1$ ...........$(3)$
मान लीजिए $l, m, n$ उस रेखा की दिक्कोज्याएँ हैं जो $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ दिक्कोज्याओं वाली रेखाओं के लंबवत है।
$\therefore l l_{1} + m m_{1} + n n_{1} = 0$
$l l_{2} + m m_{2} + n n_{2} = 0$
$\therefore \frac{l}{m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}} = \frac{m}{n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}} = \frac{n}{l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1}}$
$\Rightarrow \frac{l^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2}} = \frac{m^{2}}{(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2}} = \frac{n^{2}}{(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}}$
$= \frac{l^{2} + m^{2} + n^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}}$ .........$(4)$
चूँकि $l, m, n$ रेखा की दिक्कोज्याएँ हैं,$l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ ........$(5)$
लाग्रेंज सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$(l_{1}^{2} + m_{1}^{2} + n_{1}^{2})(l_{2}^{2} + m_{2}^{2} + n_{2}^{2}) - (l_{1} l_{2} + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2})^{2} = (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}$
$(1), (2),$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$1 \cdot 1 - 0^{2} = (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2} = 1$ .........$(6)$
$(5)$ और $(6)$ को $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{l^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2}} = \frac{m^{2}}{(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2}} = \frac{n^{2}}{(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}} = 1$
अतः,$l = m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}, m = n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}, n = l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1}$.

(A) अष्टांशों का निर्धारण निर्देशांकों $(x, y, z)$ के चिन्हों द्वारा किया जाता है।
बिंदु $(-3, 1, 2)$ के लिए,चिन्ह $(-, +, +)$ हैं,जो द्वितीय अष्टांश के अनुरूप है।
बिंदु $(-3, 1, -2)$ के लिए,चिन्ह $(-, +, -)$ हैं,जो षष्ठ अष्टांश के अनुरूप है।
अतः,बिंदु क्रमशः द्वितीय और षष्ठ अष्टांश में स्थित हैं।

(A) त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,$XZ-$ समतल में स्थित किसी भी बिंदु का $y-$ निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,बिंदु का $y-$ निर्देशांक $0$ है।

अष्टांशों का निर्धारण निर्देशांक $(x, y, z)$ के चिह्नों द्वारा किया जाता है:
$1$. $(1, 2, 3)$: सभी धनात्मक,इसलिए यह अष्टांश $I$ में स्थित है।
$2$. $(4, -2, 3)$: $(+, -, +)$,इसलिए यह अष्टांश $IV$ में स्थित है।
$3$. $(4, -2, -5)$: $(+, -, -)$,इसलिए यह अष्टांश $VIII$ में स्थित है।
$4$. $(4, 2, -5)$: $(+, +, -)$,इसलिए यह अष्टांश $V$ में स्थित है।
$5$. $(-4, 2, -5)$: $(-, +, -)$,इसलिए यह अष्टांश $VI$ में स्थित है।
$6$. $(-4, 2, 5)$: $(-, +, +)$,इसलिए यह अष्टांश $II$ में स्थित है।
$7$. $(-3, -1, 6)$: $(-, -, +)$,इसलिए यह अष्टांश $III$ में स्थित है।
$8$. $(-2, -4, -7)$: $(-, -, -)$,इसलिए यह अष्टांश $VII$ में स्थित है।

(N/A) त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में,$XY$-समतल में स्थित किसी भी बिंदु का $z$-निर्देशांक $0$ होता है। अतः,$XY$-समतल में बिंदुओं के निर्देशांक $(x, y, 0)$ रूप के होते हैं।

(C) तीन निर्देशांक तल ($XY$,$YZ$,और $ZX$) त्रिविमीय अंतरिक्ष को $8$ अष्टांशों में विभाजित करते हैं।

(A) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं:
$l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
यहाँ,दिक्-अनुपात $a = 1, b = 1, c = 2$ हैं।
सबसे पहले,परिमाण (magnitude) की गणना करें:
$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l = \frac{1}{\sqrt{6}}, m = \frac{1}{\sqrt{6}}, n = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
चूंकि रेखा की दिशा के आधार पर दिक्-कोसाइन धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं,इसलिए दिक्-कोसाइन $\pm(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})$ हैं।

(C) $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ से गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) $(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1})$ द्वारा दिए जाते हैं।
बिंदुओं $P(2, 3, 5)$ और $Q(-1, 2, 4)$ के लिए,दिक्-अनुपात $(-1-2, 2-3, 4-5) = (-3, -1, -1)$ हैं।
दूरी $PQ = \sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$ है।
दिक्-कोसाइन प्राप्त करने के लिए दिक्-अनुपातों को दूरी $PQ$ से विभाजित किया जाता है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{-3}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}}\right)$ या $\left(\frac{3}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}}\right)$ हैं।

(A) एक रेखा जो $x, y, z$-अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,उसकी दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ होती हैं।
यहाँ $\alpha = 30^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$,और $\gamma = 90^{\circ}$ दिया गया है।
अतः,दिक्-कोज्याएँ इस प्रकार हैं:
$l = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$m = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$n = \cos 90^{\circ} = 0$
इसलिए,दिक्-कोज्याएँ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ हैं।

(A) मान लीजिए कि $\overrightarrow{OA}$ के दिशा कोण $\alpha = 60^{\circ}$,$\beta = 45^{\circ}$,और $\gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
मान रखने पर,$\cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow \cos^{2} \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
मान लीजिए कि $\gamma$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$.
दिक कोज्याएँ $l = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$m = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$n = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ हैं।
स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = |\overrightarrow{OA}| (l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k})$.
$\overrightarrow{OA} = 10 (\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k})$.
$\overrightarrow{OA} = 5\hat{i} + 5\sqrt{2}\hat{j} + 5\hat{k}$.

(A) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ $(1)$ और $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = -(l+m)$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^{2}+m^{2}-(-(l+m))^{2}=0$
$l^{2}+m^{2}-(l^{2}+m^{2}+2lm)=0$
$-2lm=0 \Rightarrow lm=0$.
स्थिति $1$: $l=0$। $(1)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। दिक् अनुपात $(0, -n, n)$ या $(0, -1, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m=0$। $(1)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। दिक् अनुपात $(-n, 0, n)$ या $(-1, 0, 1)$ हैं।
माना $\vec{a} = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}$ और $\vec{b} = -1\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(0)(-1) + (-1)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2} \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$।

(A) हमारे पास दो अलग-अलग स्थितियों में एक चर रेखा के दिक्-कोसाइन $l, m, n$ और $l+\delta l, m+\delta m, n+\delta n$ हैं।
$\therefore l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 \dots (i)$
और $(l+\delta l)^{2}+(m+\delta m)^{2}+(n+\delta n)^{2}=1 \dots (ii)$
$\Rightarrow l^{2}+m^{2}+n^{2}+\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}+2(l \delta l+m \delta m+n \delta n)=1$
$\Rightarrow \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}=-2(l \delta l+m \delta m+n \delta n) \left[\because l^{2}+m^{2}+n^{2}=1\right]$
$\Rightarrow l \delta l+m \delta m+n \delta n=-\frac{1}{2}(\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}) \dots (iii)$
अब,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ क्रमशः $l, m, n$ और $(l+\delta l), (m+\delta m), (n+\delta n)$ दिक्-कोसाइन वाली रेखा के अनुदिश इकाई सदिश हैं।
$\therefore \vec{a}=l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}$ और $\vec{b}=(l+\delta l) \hat{i}+(m+\delta m) \hat{j}+(n+\delta n) \hat{k}$
$\Rightarrow \cos \delta \theta = \vec{a} \cdot \vec{b} = l(l+\delta l)+m(m+\delta m)+n(n+\delta n)$
$= (l^{2}+m^{2}+n^{2})+(l \delta l+m \delta m+n \delta n)$
$= 1-\frac{1}{2}(\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}) \text{ [समीकरण } (iii) \text{ का उपयोग करते हुए}]$
$\Rightarrow 2(1-\cos \delta \theta) = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}$
$\Rightarrow 2(2 \sin^{2} \frac{\delta \theta}{2}) = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2} \left[\because 1-\cos \theta = 2 \sin^{2} \frac{\theta}{2}\right]$
$\Rightarrow 4(\frac{\delta \theta}{2})^{2} = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2} \left[\text{चूंकि } \delta \theta \text{ छोटा है, } \sin \frac{\delta \theta}{2} \approx \frac{\delta \theta}{2}\right]$
$\therefore \delta \theta^{2} = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}$

मान लीजिए कि एक सदिश $OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ पर झुका हुआ है।
तब,सदिश के दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha, m = \cos \alpha$ और $n = \cos \alpha$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $1$ होता है।
अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$
यह $3 \cos^2 \alpha = 1$ में सरल हो जाता है।
$\cos \alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$
यदि सदिश प्रथम अष्टांश में है,तो दिक्-कोसाइन $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ हैं।

(N/A) माना सदिश $\vec{r}$ की दिक कोज्याएँ $l, m, n$ हैं।
दिया गया है कि सदिश $y$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $z$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{2}$ का कोण बनाता है।
अतः,$m = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $n = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$l^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = 1$।
$l^2 + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इकाई सदिश $\hat{r} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
अभीष्ट सदिश $\vec{r} = |\vec{r}| \hat{r} = 3\sqrt{2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k})$ है।
अतः,$\vec{r} = \pm 3\hat{i} + 3\hat{j}$।

(NONE) दिए गए समीकरण $l+m-n=0$ और $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$n = l+m$.
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $l^{2}+m^{2}=(l+m)^{2} = l^{2}+m^{2}+2lm$.
यह $2lm = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $n=m$. चूँकि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$,हमारे पास $0^{2}+m^{2}+m^{2}=1$ है,इसलिए $2m^{2}=1$,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=l$. चूँकि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$,हमारे पास $l^{2}+0^{2}+l^{2}=1$ है,इसलिए $2l^{2}=1$,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
मान लीजिए दिक्-कोसाइन $\vec{u} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\alpha$ का कोसाइन $\cos \alpha = |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{2}$ है।
हमें $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\cos \alpha = \frac{1}{2}$,$\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = (\frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{9+4}{16} = \frac{13}{16}$.

(A) दिए गए समीकरण $n = 2(l + m)$ और $mn + nl + lm = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण में $n = 2(l + m)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m(2l + 2m) + 2l(l + m) + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$m^2$ से भाग देने पर,हमें $2t^2 + 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जहाँ $t = \frac{l}{m}$ है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2t + 1)(t + 2) = 0$,इसलिए $t = -\frac{1}{2}$ या $t = -2$।
स्थिति $1$: यदि $\frac{l}{m} = -2$,तो $l = -2m$। $n = 2(l + m)$ में रखने पर,$n = 2(-2m + m) = -2m$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-2m, m, -2m)$ हैं,जो $(-2, 1, -2)$ के रूप में सरल होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $\frac{l}{m} = -\frac{1}{2}$,तो $m = -2l$। $n = 2(l + m)$ में रखने पर,$n = 2(l - 2l) = -2l$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(l, -2l, -2l)$ हैं,जो $(1, -2, -2)$ के रूप में सरल होते हैं।
मान लीजिए दिक अनुपात $\vec{a} = (-2, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, -2)$ हैं।
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-2)|}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+4+4}} = \frac{|-2 - 2 + 4|}{3 \times 3} = 0$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दिए गए दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के संबंध $l+m-n=0$ और $3l^{2}+m^{2}+cnl=0$ हैं।
पहले समीकरण से,हमें $n = l+m$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^{2}+m^{2}+cl(l+m)=0$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $3l^{2}+m^{2}+cl^{2}+clm=0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3+c)l^{2}+clm+m^{2}=0$ प्राप्त होता है।
$m^{2}$ से भाग देने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $(3+c)(\frac{l}{m})^{2}+c(\frac{l}{m})+1=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों रेखाएँ समांतर हैं,इसलिए $(\frac{l}{m})$ में इस द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac = 0$ होगा।
$c^{2}-4(3+c)(1) = 0$।
$c^{2}-4c-12=0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(c-6)(c+2)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $c=6$ या $c=-2$ प्राप्त होता है।
चूंकि हमें $c$ का धनात्मक मान चाहिए,इसलिए $c=6$ है।

(A) मान लीजिए $P(x, y, z)$ प्रथम अष्टांश में है,$OP = \gamma = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$P$ का $xy$-समतल पर प्रक्षेप $Q(x, y, 0)$ है।
मान लीजिए $OQ = r = \sqrt{x^2+y^2}$.
$OQ$ और धनात्मक $x$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$.
$OP$ और धनात्मक $z$-अक्ष के बीच का कोण $\phi$ है,इसलिए $z = OP \cos \phi = \gamma \cos \phi$.
साथ ही,$r = OP \sin \phi = \gamma \sin \phi$.
अतः,$x = \gamma \sin \phi \cos \theta$,$y = \gamma \sin \phi \sin \theta$,और $z = \gamma \cos \phi$.
$P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2+z^2}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{(\gamma \sin \phi \sin \theta)^2 + (\gamma \cos \phi)^2} = \gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + \cos^2 \phi}$.
$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + 1 - \sin^2 \phi} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi (1 - \sin^2 \theta)} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi \cos^2 \theta}$.

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा क्रमशः $x, y, z$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोण हैं।
दिया गया है कि $\beta = \frac{\alpha}{2}$ और $\gamma = \frac{\alpha}{2}$।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करती हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$।
$\cos^2 \alpha + 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$।
सर्वसमिका $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 \alpha + 2(\frac{1 + \cos \alpha}{2}) = 1$।
$\cos^2 \alpha + 1 + \cos \alpha = 1$।
$\cos^2 \alpha + \cos \alpha = 0$।
$\cos \alpha(\cos \alpha + 1) = 0$।
इसका अर्थ है कि $\cos \alpha = 0$ या $\cos \alpha = -1$।
यदि $\cos \alpha = 0$ है,तो $\alpha = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{4}$।
यदि $\cos \alpha = -1$ है,तो $\alpha = \pi$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2}$।
$\beta$ के संभावित मान $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{2}$ हैं।
$\beta$ के सभी संभावित मानों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{4}$ है।

(C) माना रेखा द्वारा धनात्मक $X$,$Y$ और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = \gamma$।
दिक् कोज्या (direction cosine) गुणधर्म $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\cos^2 \beta = 1$
$\frac{1}{2} + 2\cos^2 \beta = 1$
$2\cos^2 \beta = \frac{1}{2}$
$\cos^2 \beta = \frac{1}{4}$
$\cos \beta = \frac{1}{2}$ (चूंकि कोण न्यून हैं)
$\beta = 60^{\circ}$।
अतः,$\beta = 60^{\circ}$ और $\gamma = 60^{\circ}$।
कोणों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 45^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 165^{\circ}$ है।

(C) माना दिशा कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है $\alpha = 120^{\circ}$ और $\gamma = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
मान रखने पर: $\cos^2(120^{\circ}) + \cos^2 \beta + \cos^2(60^{\circ}) = 1$।
$(-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \beta + (\frac{1}{2})^2 = 1$।
$\frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{1}{4} = 1$।
$\cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$\cos \beta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\beta = 45^{\circ}$ या $\beta = 135^{\circ}$।

(A) माना बिंदु $P(x, y, z)$,बिंदुओं $A(5, -3, -2)$ और $B(1, 2, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $P$,$XOZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ का $y$-निर्देशांक $\frac{m(2) + 1(-3)}{m + 1} = 0$ है।
$\Rightarrow 2m - 3 = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$.
अब,$m = \frac{3}{2}$ का उपयोग करके $x$ और $z$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{m(1) + 1(5)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(1) + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{3+10}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{m(-2) + 1(-2)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(-2) - 2}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{-3 - 2}{\frac{5}{2}} = \frac{-5}{\frac{5}{2}} = -2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{13}{5}, 0, -2\right)$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि दिशा कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^{2}(45^{\circ}) + \cos^{2}(60^{\circ}) + \cos^{2}\theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\cos^{2}\theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos\theta = \pm \frac{1}{2}$.
चूंकि कोण $\theta$ अधिक कोण (obtuse angle) है,इसलिए $\cos\theta$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $\cos\theta = -\frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = 120^{\circ}$.

(A) मान लीजिए बिंदु $P(2,1,-3)$ और $Q(-1,0,2)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (-1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (2-(-3))\hat{k} = -3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $3, 2, 6$ हैं। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
दिशा सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
रेखा के अनुदिश इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ है।
रेखाखंड $PQ$ का रेखा पर प्रक्षेप $\vec{PQ}$ और $\hat{u}$ के अदिश गुणनफल का निरपेक्ष मान है:
प्रक्षेप $= |\vec{PQ} \cdot \hat{u}| = |(-3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot \frac{(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})}{7}|$
$= |\frac{(-3)(3) + (-1)(2) + (5)(6)}{7}| = |\frac{-9 - 2 + 30}{7}| = |\frac{19}{7}| = \frac{19}{7}$ इकाई।

(D) दो रेखाएँ जिनके दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ होता है।
दिए गए दिक्-कोसाइन हैं:
रेखा $1: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{-\sqrt{3}}{2})$
रेखा $2: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\cos \theta = |(\frac{-\sqrt{3}}{4})(\frac{-\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{-\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$\cos \theta = |\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}|$
$\cos \theta = |\frac{4}{16} - \frac{12}{16}| = |-\frac{8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना बिंदु $P(2, -1, 0)$ और $Q(3, 2, -1)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (3-2)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-1-0)\hat{k} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ है।
रेखा के दिक अनुपात $1, 2, 2$ हैं,अतः दिशा सदिश $\vec{v} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ है।
रेखा पर $\vec{PQ}$ का प्रक्षेप $\vec{PQ} \cdot \hat{u}$ है।
प्रक्षेप $= (1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k})$.
प्रक्षेप $= (1 \times \frac{1}{3}) + (3 \times \frac{2}{3}) + (-1 \times \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए समीकरण:
$6mn - 2nl + 5lm = 0$ $(1)$
$3l + m + 5n = 0 \implies m = -(3l + 5n)$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$6n(-(3l + 5n)) - 2nl + 5l(-(3l + 5n)) = 0$
$-18ln - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25ln = 0$
$-15l^2 - 45ln - 30n^2 = 0$
$-15$ से विभाजित करने पर:
$l^2 + 3ln + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
स्थिति $1$: $l = -n$. तब $m = -(3(-n) + 5n) = -2n$.
दिक-अनुपात $(-n, -2n, n)$ अर्थात $(1, 2, -1)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $l = -2n$. तब $m = -(3(-2n) + 5n) = n$.
दिक-अनुपात $(-2n, n, n)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}$.

(B) दिए गए समीकरण $\ell+m+n=0$ $(1)$ और $\ell^2+m^2-n^2=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = -(\ell+m)$।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\ell^2+m^2-(-\ell-m)^2 = 0$।
$\ell^2+m^2-(\ell^2+m^2+2\ell m) = 0$।
$-2\ell m = 0$,जिसका अर्थ है $\ell=0$ या $m=0$।
स्थिति $1$: यदि $\ell=0$,तो $n=-m$। दिक्-अनुपात $(0, m, -m)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(0, 1, -1)$ लिखा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=-\ell$। दिक्-अनुपात $(\ell, 0, -\ell)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(1, 0, -1)$ लिखा जा सकता है।
माना दिक्-सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ $(1)$ और $2mn+3ln-5lm=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2m(-(l+m)) + 3l(-(l+m)) - 5lm = 0$।
$-2ml - 2m^2 - 3l^2 - 3lm - 5lm = 0$।
$-3l^2 - 10lm - 2m^2 = 0$,जिसका अर्थ है $3l^2 + 10lm + 2m^2 = 0$।
$m^2$ से विभाजित करने पर,हमें $3(l/m)^2 + 10(l/m) + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
द्विघात समीकरण से,$l_1l_2/m_1m_2 = 2/3$,अर्थात $3l_1l_2 = 2m_1m_2$।
इसी प्रकार,$l$ या $m$ को विलुप्त करके,हम दिक्कोज्याओं के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
इन समीकरणों को संतुष्ट करने वाली रेखाओं के लिए,कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(A) दिए गए संबंध $l-5m+3n=0$ और $7l^2+5m^2-3n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = 5m - 3n$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $7(5m-3n)^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$।
$7(25m^2 - 30mn + 9n^2) + 5m^2 - 3n^2 = 0$।
$175m^2 - 210mn + 63n^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$।
$180m^2 - 210mn + 60n^2 = 0$।
$30$ से विभाजित करने पर,$6m^2 - 7mn + 2n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(3m - 2n)(2m - n) = 0$।
स्थिति $1$: $3m = 2n \Rightarrow m = \frac{2n}{3}$। तब $l = 5(\frac{2n}{3}) - 3n = \frac{10n-9n}{3} = \frac{n}{3}$।
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ का उपयोग करने पर: $(\frac{n}{3})^2 + (\frac{2n}{3})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{9} + \frac{4n^2}{9} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{14n^2}{9} = 1 \Rightarrow n = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
अतः $l = \frac{1}{\sqrt{14}}$ और $m = \frac{2}{\sqrt{14}}$।
$l+m+n = \frac{1+2+3}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}}$।
स्थिति $2$: $2m = n \Rightarrow m = \frac{n}{2}$। तब $l = 5(\frac{n}{2}) - 3n = \frac{5n-6n}{2} = -\frac{n}{2}$।
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ का उपयोग करने पर: $(-\frac{n}{2})^2 + (\frac{n}{2})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{4} + \frac{n^2}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{6n^2}{4} = 1 \Rightarrow n^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow n = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
अतः $l = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ और $m = \frac{1}{\sqrt{6}}$।
$l+m+n = \frac{-1+1+\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$।
अतः,संभावित मान $\frac{2}{\sqrt{6}}$ या $\frac{6}{\sqrt{14}}$ हैं।