Plane Questions in Hindi

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि बिंदु $(1, -1, \lambda)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $3x - 4y - 12z + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं,इसलिए:
$\frac{|3(1) - 4(-1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}} = \frac{|3(-3) - 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}}$
$|3 + 4 - 12\lambda + 13| = |-9 - 0 - 12 + 13|$
$|20 - 12\lambda| = |-8|$
$|20 - 12\lambda| = 8$
इसका अर्थ है $20 - 12\lambda = 8$ या $20 - 12\lambda = -8$ है।
स्थिति $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$ है।

(A) अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ और $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(-1+4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
बिंदु $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(5, 7, 3)$ वाले समतल का समीकरण $5(x-1) + 7(y+1) + 3(z+1) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 3, -7)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$ इकाई।

(C) बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, 1, -2)$ और $\vec{n_2} = (3, -6, -2)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n}$ का मान $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 12) - \hat{j}(-4 + 6) + \hat{k}(-12 - 3) = -14\hat{i} - 2\hat{j} - 15\hat{k}$.
अभिलंब सदिश $(14, 2, 15)$ लेने पर,समतल का समीकरण $14(x - 1) + 2(y - 1) + 15(z - 1) = 0$ होगा।
इसे हल करने पर,$14x - 14 + 2y - 2 + 15z - 15 = 0$,अर्थात $14x + 2y + 15z = 31$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. मान लीजिए कि $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 1) = 0$ है।
$2$. यह समतल $2x - 2y + z = 0$ और $x - y + 2z = 4$ के लंबवत है। इसके अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ हैं।
$3$. अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$ होगा।
$4$. हम अभिलंब सदिश को $(1, 1, 0)$ के रूप में ले सकते हैं। समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z - 1) = 0$ होगा,जो सरल होकर $x + y - 3 = 0$ बन जाता है।
$5$. बिंदु $(2, 3, 4)$ से समतल $x + y - 3 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ इकाई है।

(C) $yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ है। चूंकि अभीष्ट समतल $yz$-समतल के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $yz$-समतल के अभिलंब सदिश (जो $\hat{i} = (1, 0, 0)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
मान लीजिए बिंदु $A(-1, 2, -2)$ और $B(-1, 3, 2)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-1 - (-1))\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (2 - (-2))\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $yz$-समतल के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\hat{i} = (1, 0, 0)$ और $\vec{AB} = (0, 1, 4)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \hat{i} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(4) + \hat{k}(1) = (0, -4, 1)$ है।
बिंदु $(-1, 2, -2)$ से गुजरने वाले और $(0, -4, 1)$ अभिलंब सदिश वाले समतल का समीकरण है:
$0(x + 1) - 4(y - 2) + 1(z + 2) = 0$
$-4y + 8 + z + 2 = 0$
$-4y + z + 10 = 0$
$4y - z = 10$.

(D) माना बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ है और समांतर सदिश $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 1) - \hat{j}(6 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (1)(2) + (2)(-7) + (-1)(-3) = 2 - 14 + 3 = -9$.
अतः,समीकरण $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = -9$ है।

(C) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है और समतल $2x + y - 2z - 18 = 0$ है।
मान रखने पर:
$d = \left| \frac{2(0) + 1(0) - 2(0) - 18}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{3} \right|$
$d = |-6| = 6 \text{ इकाई}$

(C) माना चर समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि यह निश्चित बिंदु $(3, 2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (समीकरण $i$)।
बिंदुओं $A, B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$A(a, 0, 0)$ से गुजरने वाला और $YZ$-समतल के समानांतर समतल $x = a$ है।
$B(0, b, 0)$ से गुजरने वाला और $ZX$-समतल के समानांतर समतल $y = b$ है।
$C(0, 0, c)$ से गुजरने वाला और $XY$-समतल के समानांतर समतल $z = c$ है।
इन तीन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y, z) = (a, b, c)$ है।
समीकरण $i$ में $a = x, b = y$ और $c = z$ रखने पर,हमें बिंदुपथ प्राप्त होता है: $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

(A) माना $\vec{n}$,$X, Y, Z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है।
दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
मान रखने पर: $\cos^2(45^{\circ}) + \cos^2(60^{\circ}) + \cos^2 \gamma = 1$।
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\gamma$ एक न्यून कोण है,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$,अतः $\gamma = 60^{\circ}$।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश को सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर,$\vec{n}' = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (-\sqrt{2}, 1, 1)$ से गुजरने वाले और $\vec{n}'$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ है।
$\sqrt{2}(x - (-\sqrt{2})) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$।
$\sqrt{2}(x + \sqrt{2}) + y - 1 + z - 1 = 0$।
$\sqrt{2}x + 2 + y + z - 2 = 0$।
$\sqrt{2}x + y + z = 0$।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $(4, -2, 5)$ तक का सदिश है।
अतः,$\vec{n} = (4 - 0)\hat{i} + (-2 - 0)\hat{j} + (5 - 0)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
एक बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(4, -2, 5)$ और अभिलंब सदिश $(4, -2, 5)$ का मान रखने पर:
$4(x - 4) - 2(y - (-2)) + 5(z - 5) = 0$
$4(x - 4) - 2(y + 2) + 5(z - 5) = 0$
$4x - 16 - 2y - 4 + 5z - 25 = 0$
$4x - 2y + 5z - 45 = 0$
$4x - 2y + 5z = 45$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,समतल $2x - y - 4 = 0$ और $y + 2z - 4 = 0$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$ है --- $(i)$।
चूँकि समतल बिंदु $(2, 1, 0)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x = 2, y = 1, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(2) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(4 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-1 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 1$
$\lambda = -\frac{1}{3}$।
अब $\lambda = -\frac{1}{3}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2x - y - 4) - \frac{1}{3}(y + 2z - 4) = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3(2x - y - 4) - (y + 2z - 4) = 0$
$6x - 3y - 12 - y - 2z + 4 = 0$
$6x - 4y - 2z - 8 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$3x - 2y - z - 4 = 0$
$3x - 2y - z = 4$।

(B) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है और समतल $x-3y+4z-6=0$ है।
सूत्र में $A=1, B=-3, C=4, D=-6$ और $x_1=0, y_1=0, z_1=0$ के मान रखने पर:
$d = \frac{|1(0) - 3(0) + 4(0) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|-6|}{\sqrt{1 + 9 + 16}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{26}}$

(C) $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल $1, 0, -1$ और $-1, 1, 0$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a - c = 0$ और $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow -a + b = 0$।
इसका अर्थ है कि $a = c$ और $a = b$,इसलिए $a = b = c$।
समतल के समीकरण में $a=b=c$ रखने पर,हमें $a(x-1) + a(y-1) + a(z-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x + y + z = 3$ हो जाता है।
$3$ से भाग देने पर,हमें अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A, B, C$ के निर्देशांक क्रमशः $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$ और $(0, 0, 3)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ घन इकाई है।

(B) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है। चूँकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान न्यून कोण बनाता है,इसलिए दिक्-कोसाइन समान होंगे,अर्थात $l = m = n$।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{r}_0 = (-1, 1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{r}_0) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$(x - (-1))\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z - 2)\hat{k} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(x + 1) + (y - 1) + (z - 2) = 0$
$x + y + z - 2 = 0$।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल है: $\vec{n} = (2, 0, -2) \times (-2, 2, 0)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 4) + \hat{k}(4 - 0) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 1)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(2, 2, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-2) + 1(y-2) + 1(z-2) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + z = 6$ हो जाता है।
अक्षों पर अंतःखंड $A(6, 0, 0)$,$B(0, 6, 0)$ और $C(0, 0, 6)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_{int} \cdot y_{int} \cdot z_{int}|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{6} |6 \times 6 \times 6| = \frac{216}{6} = 36 \text{ घन इकाइयाँ}$.

(A) $(1, -1, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $x + 2y - 2z = 4$ और $3x + 2y + z = 6$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ और $\vec{n_2} = (3, 2, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$a + 2b - 2c = 0$
$3a + 2b + c = 0$
दिक् अनुपात $(a, b, c)$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$a = (2)(1) - (-2)(2) = 2 + 4 = 6$
$b = (-2)(3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7$
$c = (1)(2) - (2)(3) = 2 - 6 = -4$
अतः,दिक् अनुपात $(6, -7, -4)$ हैं।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$6(x - 1) - 7(y + 1) - 4(z - 2) = 0$
$6x - 6 - 7y - 7 - 4z + 8 = 0$
$6x - 7y - 4z - 5 = 0$.

(B) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $ax + by + cz = d$ पर लंब के पाद $(x, y, z)$ के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = \frac{-(ax_1 + by_1 + cz_1 - d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$,$a = 2$,$b = 6$,$c = -3$,और $d = 63$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-0}{2} = \frac{y-0}{6} = \frac{z-0}{-3} = \frac{-(2(0) + 6(0) - 3(0) - 63)}{2^2 + 6^2 + (-3)^2}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{-(-63)}{4 + 36 + 9}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{63}{49} = \frac{9}{7}$
अब,$x, y, z$ के लिए हल करने पर:
$x = 2 \times \frac{9}{7} = \frac{18}{7}$
$y = 6 \times \frac{9}{7} = \frac{54}{7}$
$z = -3 \times \frac{9}{7} = \frac{-27}{7}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(\frac{18}{7}, \frac{54}{7}, \frac{-27}{7})$ हैं।

(D) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल $3x + 2y + 6z - 56 = 0$ पर लंब रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-0}{6} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k, 2k, 6k)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है,इसलिए हम इसे समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(3k) + 2(2k) + 6(6k) = 56$
$9k + 4k + 36k = 56$
$49k = 56$
$k = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}$
अब $k$ का मान $(3k, 2k, 6k)$ में रखने पर:
$x = 3 \times \frac{8}{7} = \frac{24}{7}$
$y = 2 \times \frac{8}{7} = \frac{16}{7}$
$z = 6 \times \frac{8}{7} = \frac{48}{7}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{24}{7}, \frac{16}{7}, \frac{48}{7}\right)$ हैं।

(C) $O(0,0,0), P(1,2,1)$ और $Q(2,1,3)$ से गुजरने वाले समतल $OPQ$ का समीकरण सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
$x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$.
समतल $OPQ$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$P(1,2,1), Q(2,1,3)$ और $R(-1,1,2)$ से गुजरने वाले समतल $PQR$ का समीकरण:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1) - 5(y-2) - 3(z-1) = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$.
समतल $PQR$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(D) $X$-अक्ष के समांतर समतल का सामान्य समीकरण $by + cz + d = 0$ होता है।
चूंकि समतल बिंदुओं $(2, 3, 1)$ और $(4, -5, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए ये बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
बिंदु $(2, 3, 1)$ के लिए: $b(3) + c(1) + d = 0 \implies 3b + c + d = 0$.
बिंदु $(4, -5, 3)$ के लिए: $b(-5) + c(3) + d = 0 \implies -5b + 3c + d = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(3b + c + d) - (-5b + 3c + d) = 0 \implies 8b - 2c = 0 \implies c = 4b$.
$c = 4b$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3b + 4b + d = 0 \implies d = -7b$.
समीकरण $by + (4b)z - 7b = 0$ प्राप्त होता है।
$b$ से भाग देने पर ($b \neq 0$ मानते हुए),हमें $y + 4z = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ के रूप में दिया गया है,जहाँ $\bar{n} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 12 \hat{k}$ और $d = 8$ है।
मूलबिंदु से समतल $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र $p = \frac{|d|}{|\bar{n}|}$ है।
यहाँ,$|\bar{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
अतः,लंब की लंबाई $p = \frac{8}{13}$ इकाई है।

(A) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1, 2, 3)$,$(-1, 4, 2)$ और $(3, 1, 1)$ का मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -1-1 & 4-2 & 2-3 \\ 3-1 & 1-2 & 1-3 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)[(2)(-2) - (-1)(-1)] - (y-2)[(-2)(-2) - (2)(-1)] + (z-3)[(-2)(-1) - (2)(2)] = 0$
$(x-1)[-4 - 1] - (y-2)[4 + 2] + (z-3)[2 - 4] = 0$
$-5(x-1) - 6(y-2) - 2(z-3) = 0$
$-5x + 5 - 6y + 12 - 2z + 6 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(A) दो समतल $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश $\bar{n}_1$ और $\bar{n}_2$ समानुपाती हों,अर्थात $\bar{n}_1 = k \bar{n}_2$।
दिए गए अभिलंब सदिश $\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ हैं।
समतलों के समांतर होने के लिए,अभिलंब सदिशों के घटकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1}$ से,हमें $\frac{1}{2} = \lambda$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = \frac{1}{2}$।
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ से,हमें $\frac{1}{2} = \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है,अतः $\mu = 2$।
अतः,$\lambda = \frac{1}{2}$ और $\mu = 2$ है।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $(4, -2, -5)$ तक का सदिश है।
अतः,$\vec{n} = \langle 4 - 0, -2 - 0, -5 - 0 \rangle = \langle 4, -2, -5 \rangle$.
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$.
विस्तार करने पर,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$.
$4x - 2y - 5z - 45 = 0$,जिसे सरल करने पर $4x - 2y - 5z = 45$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए सदिश $\bar{n} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है क्योंकि यह निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है।
दिया गया परिमाण $|\bar{n}| = 3\sqrt{3}$ है,इसलिए $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = 3$.
अतः,$\bar{n} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
बिंदु $\vec{a} = (1, -1, 2)$ से गुजरने वाले और $\bar{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \bar{n} = \vec{a} \cdot \bar{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k})$.
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1)(3) + (-1)(3) + (2)(3) = 3 - 3 + 6 = 6$.
इसलिए,समीकरण $\bar{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 6$ है।

(B) $(-2, 2, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 2) + b(y - 2) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $(2, -2, -2)$ से भी गुजरता है,इसलिए:
$a(2 + 2) + b(-2 - 2) + c(-2 - 2) = 0 \Rightarrow 4a - 4b - 4c = 0 \Rightarrow a - b - c = 0$ (समीकरण $1$).
यह समतल $9x - 13y - 3z = 0$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $(a, b, c)$ दिए गए समतल के अभिलंब $(9, -13, -3)$ के लंबवत है।
अतः,$9a - 13b - 3c = 0$ (समीकरण $2$).
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{-b}{(1)(-3) - (-1)(9)} = \frac{c}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{a}{-10} = \frac{-b}{6} = \frac{c}{-4} \Rightarrow \frac{a}{5} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$.
दिक् अनुपात $(5, 3, 2)$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$
$5x + 3y + 2z = 0$.

(D) वांछित समतल बिंदु $(7,8,6)$ से होकर गुजरता है और $XY$ समतल के समानांतर है।
चूंकि समतल $XY$ समतल के समानांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $z$-अक्ष के समानांतर है।
$z$-अक्ष के दिक अनुपात $(0,0,1)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(7,8,6)$ और अभिलंब सदिश $(0,0,1)$ को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0(x-7) + 0(y-8) + 1(z-6) = 0$
$z-6 = 0$
$z=6$

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए सदिशों $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(2 - (-3)) = -1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,बिंदु $(2, 0, 5)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण: $-1(x - 2) + 4(y - 0) + 5(z - 5) = 0$.
$-x + 2 + 4y + 5z - 25 = 0 \Rightarrow -x + 4y + 5z - 23 = 0 \Rightarrow x - 4y - 5z + 23 = 0$.

(C) माना समतल के $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a, b, c$ हैं।
अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $A=(a, 0, 0)$,$B=(0, b, 0)$ और $C=(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}) = (1, 2, 3)$ दिया गया है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a, b, c$ के मान रखने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $ax + by + cz + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि अभीष्ट समतल $2x + 3y - 4z = 0$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $2x + 3y - 4z + k = 0$ होगा।
यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1) + 3(2) - 4(3) + k = 0$
$2 + 6 - 12 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$।
$k = 4$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $2x + 3y - 4z + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु $Q$ का मान $(a, b, c)$ है। $Q$ से $YZ$-समतल $(x=0)$ पर डाले गए लंब का पाद $A(0, b, c)$ है। $Q$ से $ZX$-समतल $(y=0)$ पर डाले गए लंब का पाद $B(a, 0, c)$ है। मूल बिंदु $O$ का मान $(0, 0, 0)$ है। बिंदुओं $(0, 0, 0)$,$(0, b, c)$ और $(a, 0, c)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(B) समतल $x-2y+2z+4=0$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $x-2y+2z+\lambda=0$ होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax+by+cz+d=0$ की दूरी $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु $(1, 2, 3)$ से दूरी $1$ इकाई दी गई है,इसलिए:
$\frac{|1(1)-2(2)+2(3)+\lambda|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}} = 1$
$\frac{|1-4+6+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}} = 1$
$\frac{|3+\lambda|}{3} = 1$
$|3+\lambda| = 3$
इसका अर्थ है कि $3+\lambda = 3$ या $3+\lambda = -3$ है।
$3+\lambda = 3$ के लिए,हमें $\lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$3+\lambda = -3$ के लिए,हमें $\lambda = -6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $x-2y+2z+\lambda=0$ में रखने पर,हमें अभीष्ट समतल $x-2y+2z=0$ और $x-2y+2z-6=0$ प्राप्त होते हैं।

(A) समतल का समीकरण $2x + y - 2z = 18$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब रूप $\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{2}{3}z = 6$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से समतल की दूरी $d = 6$ है।
मूल बिंदु से समतल $ax + by + cz = d$ पर लंब के पाद के निर्देशांक $(\frac{ad}{a^2+b^2+c^2}, \frac{bd}{a^2+b^2+c^2}, \frac{cd}{a^2+b^2+c^2})$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$a=2, b=1, c=-2$ और $d=18$ है।
हर $a^2+b^2+c^2 = 9$ है।
अतः,निर्देशांक $(\frac{2 \times 18}{9}, \frac{1 \times 18}{9}, \frac{-2 \times 18}{9}) = (4, 2, -4)$ हैं।

(A) माना निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a, b, c$ हैं। चूंकि अंतःखंड समान और शून्येतर हैं,इसलिए $a=b=c$ है।
समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a=b=c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x+y+z=a$ हो जाता है।
चूंकि समतल बिंदु $(2, 2, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$2+2+2 = a \Rightarrow a=6$.
अतः,समतल का अभीष्ट कार्तीय समीकरण $x+y+z=6$ है।

(A) $(3, 4, -1)$ और $(2, -1, 5)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2 - 3, -1 - 4, 5 - (-1)) = (-1, -5, 6)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ के रूप में भी ले सकते हैं।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(2, -3, 1)$ और अभिलंब $(1, 5, -6)$ रखने पर:
$1(x - 2) + 5(y - (-3)) - 6(z - 1) = 0$
$x - 2 + 5y + 15 - 6z + 6 = 0$
$x + 5y - 6z + 19 = 0$.

(A) समतल का दिया गया समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b} + \mu \bar{c}$ के रूप में है,जहाँ $\bar{a} = 2 \hat{i} + \hat{k}$,$\bar{b} = \hat{i}$,और $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n}$,$\bar{b} \times \bar{c}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(-3 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
समतल के अदिश गुणन का रूप $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ होता है।
$\bar{a} \cdot \bar{n}$ की गणना करने पर:
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = (2)(0) + (0)(3) + (1)(2) = 2$.
इसकी तुलना $\bar{r} \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = \alpha$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(A) समतल $2x + 3y - 4z = 17$ के समांतर समतल का समीकरण $2x + 3y - 4z = d$ के रूप में होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1, -1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$2(1) + 3(-1) - 4(1) = d$
$2 - 3 - 4 = d$
$d = -5$।
अतः,कार्तीय समीकरण $2x + 3y - 4z = -5$ है।
सदिश रूप में,यह $\bar{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ है।

(D) किसी बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\bar{a}$ है,से समतल $\bar{r} \cdot \bar{n} = p$ पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - p|}{|\bar{n}|}$ है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु है,इसलिए $\bar{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$.
समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 14$ है,इसलिए $\bar{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $p = 14$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\bar{a} \cdot \bar{n} = 0(1) + 0(-2) + 0(3) = 0$.
अभिलंब सदिश का परिमाण ज्ञात करने पर: $|\bar{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $d = \frac{|0 - 14|}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$ इकाई।

(C) $1, -3, 4$ अंतःखंडों वाले समतल $E_{1}$ का अंतःखंड रूप $\frac{x}{1} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{4} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $12x - 4y + 3z = 12$ प्राप्त होता है,अर्थात $12x - 4y + 3z - 12 = 0$।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 12\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट समतल $E_{1}$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $12x - 4y + 3z + k = 0$ के रूप का होगा।
चूंकि यह $(2, 6, -8)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $12(2) - 4(6) + 3(-8) + k = 0$।
$24 - 24 - 24 + k = 0 \Rightarrow k = 24$।
अतः,समीकरण $12x - 4y + 3z + 24 = 0$ है।
$12$ से भाग देने पर,हमें $x - \frac{y}{3} + \frac{z}{4} + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $(2,3,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-2)+b(y-3)+c(z-1)=0$ है $\ldots(1)$.
चूंकि बिंदु $(4,-5,3)$ समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(4-2)+b(-5-3)+c(3-1)=0$
$2a-8b+2c=0$
$a-4b+c=0$ $\ldots(2)$.
चूंकि समतल $y$-अक्ष के समांतर है,इसका अभिलंब सदिश $y$-अक्ष के सदिश $(0,1,0)$ के लंबवत है। अतः,$a(0)+b(1)+c(0)=0$,जिसका अर्थ है $b=0$.
समीकरण $(2)$ में $b=0$ रखने पर,हमें $a+c=0$ प्राप्त होता है,अर्थात $a=-c$.
समीकरण $(1)$ में $a=-c$ और $b=0$ रखने पर:
$-c(x-2)+0(y-3)+c(z-1)=0$
$-c$ से विभाजित करने पर:
$(x-2)-(z-1)=0$
$x-z-1=0$
$x-z=1$.

(B) समतल $x+y+3z-4=0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(1, 1, 3)$ हैं।
चूंकि लंब रेखा मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3} = K$ है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P(K, K, 3K)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$K + K + 3(3K) - 4 = 0$
$2K + 9K = 4$
$11K = 4 \Rightarrow K = \frac{4}{11}$.
$K$ का मान $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $P = \left(\frac{4}{11}, \frac{4}{11}, \frac{12}{11}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) समतल रेखाखंड $AB$ को लंबवत समद्विभाजित करता है,जिसका अर्थ है कि यह $AB$ के मध्य बिंदु से गुजरता है और सदिश $\vec{AB}$ समतल का अभिलंब है।
मध्य बिंदु $M = \left(\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (2, 3, 1)$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखा $AB$ के दिक अनुपात हैं: $\vec{n} = (1-3, 4-2, 3-(-1)) = (-2, 2, 4)$।
हम अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करके सरल बना सकते हैं,जिससे $\vec{n}' = (1, -1, -2)$ प्राप्त होता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है।
मान रखने पर: $1(x-2) - 1(y-3) - 2(z-1) = 0$।
$x - 2 - y + 3 - 2z + 2 = 0$।
$x - y - 2z + 3 = 0$।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ,बिंदु $(2, -1, 0)$ है और समतल $2x + y + 2z + 8 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|2(2) + 1(-1) + 2(0) + 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|4 - 1 + 0 + 8|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
$d = \frac{|11|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{11}{3}$ इकाई।

(B) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $P(3, 2, 1)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{OP} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान $a=3, b=2, c=1$ और $(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ रखने पर:
$3(x - 3) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0$
$3x - 9 + 2y - 4 + z - 1 = 0$
$3x + 2y + z - 14 = 0$
$3x + 2y + z = 14$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $2x + 3y + 5z = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में लिखते हैं।
इससे $\frac{x}{(1/2)} + \frac{y}{(1/3)} + \frac{z}{(1/5)} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a = 1/2$,$b = 1/3$,और $c = 1/5$ हैं।
बिंदुओं $A, B, C$ के निर्देशांक $A = (1/2, 0, 0)$,$B = (0, 1/3, 0)$,और $C = (0, 0, 1/5)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
निर्देशांकों का मान रखने पर,हमें $\left(\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/5}{3}\right) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{15}\right)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ बिंदु $(1, 2, -1)$ और समतल $x - 2y + 4z + 10 = 0$ दिया गया है,जहाँ $A=1, B=-2, C=4, D=10$ और $x_1=1, y_1=2, z_1=-1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|1(1) - 2(2) + 4(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|1 - 4 - 4 + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|3|}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{3 \times 7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) समतल $x+2y+2z+8=0$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $x+2y+2z+\lambda=0$ के रूप में होता है।
दिया गया है कि इस समतल की बिंदु $(1,1,2)$ से दूरी $2$ इकाई है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$2 = \frac{|1(1)+2(1)+2(2)+\lambda|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$2 = \frac{|1+2+4+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{\sqrt{9}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{3}$
$|7+\lambda| = 6$
इसका अर्थ है $7+\lambda = 6$ या $7+\lambda = -6$ है।
स्थिति $1$: $7+\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = -1$.
स्थिति $2$: $7+\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -13$.
अतः,समतलों के समीकरण $x+2y+2z-1=0$ और $x+2y+2z-13=0$ हैं।

(A) बिंदु $(1, -1, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि समतल $2x + 3y - 2z = 5$ और $x + 2y - 3z = 8$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, 3, -2)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$ के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$.
इस प्रकार,$a = -5, b = 4, c = 1$.
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $-5(x - 1) + 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0$.
$-5x + 5 + 4y + 4 + z - 2 = 0 \Rightarrow -5x + 4y + z + 7 = 0 \Rightarrow 5x - 4y - z = 7$.
सदिश रूप में,यह $\bar{r} \cdot (5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}) = 7$ है।