Plane Questions in Hindi

(D) दिए गए समतल $2x + y + z + 1 = 0$ और $2x + y + z + \alpha = 0$ हैं।
चूंकि $x, y, z$ के गुणांक समान हैं,इसलिए समतल समानांतर हैं।
दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = 1, C = 1, D_1 = 1, D_2 = \alpha$ और $d = 3$ है।
इन मानों को रखने पर,$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{6}}$.
$|1 - \alpha| = 3\sqrt{6}$.
इसका अर्थ है कि $1 - \alpha = 3\sqrt{6}$ या $1 - \alpha = -3\sqrt{6}$ है।
अतः,$\alpha = 1 - 3\sqrt{6}$ या $\alpha = 1 + 3\sqrt{6}$ है।
$\alpha$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल $(1 - 3\sqrt{6})(1 + 3\sqrt{6})$ है।
सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,$1^2 - (3\sqrt{6})^2 = 1 - (9 \times 6) = 1 - 54 = -53$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए समतल $\pi$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,और $C = (0, 0, c)$ हैं।
बिंदु $(1, 1, 1)$ से समतल $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 12$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ समतलों $x=a$,$y=b$,और $z=c$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $P \equiv (a, b, c)$ है।
$(a, b, c)$ को $(x, y, z)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदु पथ $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\right)$ है।

(D) समतल $2x - y + 2z = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $2x - y + 2z + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(-2, 1, -1)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-2) - (1) + 2(-1) + k = 0
\Rightarrow -4 - 1 - 2 + k = 0
\Rightarrow k = 7$.
अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $2x - y + 2z + 7 = 0$ है।
मान लीजिए $(a, b, c)$ बिंदु $(1, 2, 1)$ से समतल $\pi$ पर लंब का पाद है।
बिंदु $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(2, -1, 2)$ हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{-1} = \frac{c - 1}{2} = \lambda$ है।
इससे हमें $a = 2\lambda + 1$,$b = -\lambda + 2$,और $c = 2\lambda + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(a, b, c)$ समतल $\pi$ पर स्थित है,हम इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 2) + 2(2\lambda + 1) + 7 = 0
\Rightarrow 4\lambda + 2 + \lambda - 2 + 4\lambda + 2 + 7 = 0
\Rightarrow 9\lambda + 9 = 0
\Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $a, b, c$ के व्यंजकों में रखने पर:
$a = 2(-1) + 1 = -1$,
$b = -(-1) + 2 = 3$,
$c = 2(-1) + 1 = -1$.
अतः,लंब का पाद $(-1, 3, -1)$ है।

(B) दिए गए समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\vec{n_1} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{n_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right|$ है।
यहाँ गणना करने पर,$\cos \theta = \frac{6 \sqrt{2}}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos ^{-1} \left( \frac{6 \sqrt{2}}{13} \right)$।

(C) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 4$ है,जिसे कार्तीय रूप में $4x - 3y + 2z - 4 = 0$ लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
बिंदु $(2, 3, -5)$ और समतल के गुणांकों $A=4, B=-3, C=2, D=-4$ को रखने पर:
$d = \frac{|4(2) - 3(3) + 2(-5) - 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|8 - 9 - 10 - 4|}{\sqrt{16 + 9 + 4}}$
$d = \frac{|-15|}{\sqrt{29}} = \frac{15}{\sqrt{29}}$.

(C) दिया गया समतल $2x-y+2z+3=0$ $(1)$ है।
दूसरा समतल $4x-2y+4z+\lambda=0$ है,जिसे $2x-y+2z+\frac{\lambda}{2}=0$ $(2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(1)$ और $(2)$ के बीच की दूरी $\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow |\frac{\lambda}{2}-3| = 1$.
इससे $\frac{\lambda}{2}-3 = 1$ या $\frac{\lambda}{2}-3 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 8$ या $\lambda = 4$ है।
तीसरा समतल $2x-y+2z+\mu=0$ $(3)$ है।
$(1)$ और $(3)$ के बीच की दूरी $\frac{|\mu-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{2}{3}$ है।
$\frac{|\mu-3|}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow |\mu-3| = 2$.
इससे $\mu-3 = 2$ या $\mu-3 = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu = 5$ या $\mu = 1$ है।
$\lambda+\mu$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\lambda=8$ और $\mu=5$ लेते हैं।
इस प्रकार,$\lambda+\mu = 8+5 = 13$।

(B) मान लीजिए कि चार बिंदु $A(-a^2, 1, 1)$,$B(1, -a^2, 1)$,$C(1, 1, -a^2)$,और $D(-1, -1, 1)$ हैं।
चूंकि ये चारों बिंदु एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए उनके द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन शून्य है,या उनके द्वारा निर्मित सदिशों का सारणिक शून्य है।
सदिश $\vec{AB} = (1+a^2, -a^2-1, 0)$,$\vec{AC} = (1+a^2, 0, -a^2-1)$,और $\vec{AD} = (-1+a^2, -2, 0)$ पर विचार करें।
एक समतलीय होने की शर्त $\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = 0$ है।
$\begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) & 0 \\ 1+a^2 & 0 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर: $(1+a^2) \begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$.
$(1+a^2) [-2(1+a^2) + (1+a^2)(a^2-1)] = 0$.
$(1+a^2)^2 (a^2 - 3) = 0$.
चूंकि $a$ वास्तविक है,$1+a^2 \neq 0$,इसलिए $a^2 - 3 = 0$,जिससे $a = \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$।

(B) यह प्रश्न उस बिंदु के बारे में पूछता है जो तीन दिए गए बिंदुओं: $A = (\sqrt{2}, 1, 4)$,$B = (0, -1, 0)$,और $C = (0, 0, 1)$ से गुजरने वाले समतल पर स्थित है।
परिभाषा के अनुसार,जिन बिंदुओं का उपयोग समतल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है,वे बिंदु समतल पर ही स्थित होते हैं।
चूंकि बिंदु $(\sqrt{2}, 1, 4)$ स्पष्ट रूप से दिया गया है कि समतल इससे होकर गुजरता है,इसलिए यह बिंदु समतल पर स्थित है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) समतल $x-2y+2z-5=0$ के समांतर समतल का समीकरण $x-2y+2z+k=0$ के रूप का होता है।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से इस समतल की दूरी का सूत्र $d = \frac{|k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$ है।
दिया गया है कि दूरी $d = 1$ है,इसलिए $1 = \frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}}$,जो सरल होकर $1 = \frac{|k|}{\sqrt{9}}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$1 = \frac{|k|}{3}$,जिसका अर्थ है $|k| = 3$,अतः $k = \pm 3$।
इसलिए,संभावित समीकरण $x-2y+2z+3=0$ या $x-2y+2z-3=0$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x-2y+2z-3=0$ सही विकल्प है।

(A) बिंदु $\overrightarrow{p}$ से गुजरने वाले और लंबवत सदिश $\overrightarrow{q}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\overrightarrow{q} \cdot (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\overrightarrow{p} = 4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{q} = 9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$।
समीकरण में मान रखने पर: $(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})) = 0$।
$(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot ((x-4)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-1)\hat{k}) = 0$।
$9(x-4) - 2(y+1) + 6(z-1) = 0$।
$9x - 36 - 2y - 2 + 6z - 6 = 0$।
$9x - 2y + 6z - 44 = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-44|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{44}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{44}{\sqrt{121}} = \frac{44}{11} = 4$।

(D) बिंदु $(1,2,2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1)+b(y-2)+c(z-2)=0$ है ...$(i)$
चूंकि यह समतल,समतलों $x-y+2z=3$ और $2x-2y+z+12=0$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(-2+2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः $a=3, b=3, c=0$ लेने पर।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(x-1) + 3(y-2) + 0(z-2) = 0$
$3(x-1 + y-2) = 0$
$x+y-3=0$.

(A) मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(1,2,3)$ दिया गया है।
चूँकि मूल बिंदु $(0,0,0)$ और लंब के पाद $(1,2,3)$ को जोड़ने वाली रेखा समतल के अभिलंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$ होंगे।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ दिक्-अनुपात वाले अभिलंब के समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ और अभिलंब सदिश $(1, 2, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(C) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। चूँकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए दिक कोज्याएँ समान हैं,अर्थात $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$। इसका अर्थ है कि $a = b = c$।
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z = d$ के रूप में है।
चूँकि समतल बिंदु $(-1, 2, 3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$-1 + 2 + 3 = d
\Rightarrow d = 4$।
$d$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + z = 4$
$x + y + z - 4 = 0$।

(D) चूंकि दिए गए समतल $2x + 3y + 4z + 7 = 0$ और $4x + ky + 8z + 1 = 0$ समांतर हैं,इसलिए उनके अभिलंब सदिश समानुपाती हैं।
अतः,$\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{4}{8}$.
$\frac{2}{4} = \frac{3}{k}$ से,हमें $k = 6$ प्राप्त होता है।
अब,हमें बिंदु $(k, k, k) = (6, 6, 6)$ से गुजरने वाले और $(k-1, k, k+1) = (5, 6, 7)$ दिक्-अनुपात वाले समतल का समीकरण ज्ञात करना है।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$5(x - 6) + 6(y - 6) + 7(z - 6) = 0$.
$5x - 30 + 6y - 36 + 7z - 42 = 0$.
$5x + 6y + 7z = 108$.

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
दिया गया है $a = \frac{5}{2}$,अतः समीकरण $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ हो जाता है।
चूँकि समतल $(1,1,1)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{2}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{5}$।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}} = \frac{5}{7}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{25} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = (\frac{7}{5})^2 = \frac{49}{25}$ प्राप्त होता है।
$(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{bc}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{49}{25} - \frac{4}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$ मिलता है।
अतः,$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{5} + \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{9}{25} - \frac{45}{25} = \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{2}{bc} = -\frac{36}{25} \Rightarrow bc = -\frac{50}{36} = -\frac{25}{18}$।
अब,$\frac{b+c}{bc} = \frac{3}{5} \Rightarrow b+c = \frac{3}{5} \times (-\frac{25}{18}) = -\frac{5}{6}$।
इस प्रकार $b+c = -\frac{5}{6}$ और $bc = -\frac{25}{18}$ समीकरण $t^2 - (b+c)t + bc = 0$ के मूल हैं,अर्थात $t^2 + \frac{5}{6}t - \frac{25}{18} = 0$।
$18$ से गुणा करने पर,$18t^2 + 15t - 25 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर,$(6t-5)(3t+5) = 0$,इसलिए $t = \frac{5}{6}$ या $t = -\frac{5}{3}$।
चूँकि $y$-अंतःखंड $b$ ऋणात्मक है,$b = -\frac{5}{3}$।

(D) बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ होता है।
यहाँ बिंदु $A(-2, 1, 3)$ और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$ दिए गए हैं,इसलिए $A=3, B=1, C=5$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3(x - (-2)) + 1(y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3(x + 2) + (y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3x + 6 + y - 1 + 5z - 15 = 0$
$3x + y + 5z - 10 = 0$
इसे $ax + by + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3, b = 1, c = 5, d = -10$ प्राप्त होता है।
अब,आवश्यक मान की गणना करने पर:
$\frac{a + b}{c + d} = \frac{3 + 1}{5 - 10} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$.

(A) समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(1, 2, 2)$ हैं।
अतः,समतल का समीकरण $x+2y+2z=d$ होगा।
दिया गया है कि मूल बिंदु से दूरी $\frac{1}{3}$ है,इसलिए लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left|\frac{-d}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow \left|\frac{-d}{3}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow |d|=1$.
$d=1$ लेने पर,समतल का समीकरण $x+2y+2z-1=0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x+py+qz+r=0$ से करने पर,हमें $p=2, q=2, r=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sqrt{p^2+q^2+r^2} = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

(B) समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1 = (2,3,-1)$ और $\vec{n}_2 = (1,-1,2)$ के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(4+1) + \hat{k}(-2-3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, -1, -1)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(1,0,1)$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $1(x-1) - 1(y-0) - 1(z-1) = 0$ है,जो सरल होकर $x-y-z=0$ हो जाता है।
बिंदु $(11,7,5)$ से गुजरने वाले और $\pi$ के समांतर समतल का समीकरण $x-y-z = k$ है। बिंदु $(11,7,5)$ रखने पर,हमें $11-7-5 = k$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = -1$.
समीकरण $x-y-z = -1$ या $x-y-z+1=0$ है।
इसकी तुलना $ax+by-z-d=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-1, d=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{b} + \frac{b}{d} = \frac{1}{-1} + \frac{-1}{-1} = -1 + 1 = 0$.

(C) $3x + 4y - 5z = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $3x + 4y - 5z + k = 0$ के रूप का होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(1) + 4(2) - 5(3) + k = 0$
$3 + 8 - 15 + k = 0$
$k - 4 = 0 \Rightarrow k = 4$.
अतः,समतल का समीकरण $3x + 4y - 5z + 4 = 0$ है,जिसे $3x + 4y - 5z = -4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$-4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3x}{-4} + \frac{4y}{-4} - \frac{5z}{-4} = 1$
$\frac{x}{-4/3} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{4/5} = 1$.
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -4/3, b = -1, c = 4/5$.
अब,$3a + b + 5c$ की गणना करने पर:
$3(-4/3) + (-1) + 5(4/5) = -4 - 1 + 4 = -1$.

(A) समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश बिंदु $P(-2,3,6)$ और लंब के पाद $F(3,4,-7)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
अतः,अभिलंब के दिक अनुपात $(3 - (-2), 4 - 3, -7 - 6) = (5, 1, -13)$ हैं।
बिंदु $(3,4,-7)$ से गुजरने वाले और $(5, 1, -13)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $5(x - 3) + 1(y - 4) - 13(z + 7) = 0$ है।
$5x - 15 + y - 4 - 13z - 91 = 0$
$5x + y - 13z = 110$.
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में लिखते हैं:
$\frac{5x}{110} + \frac{y}{110} - \frac{13z}{110} = 1$
$\frac{x}{22} + \frac{y}{110} + \frac{z}{-\frac{110}{13}} = 1$.
$X$-अंतःखंड $a = 22$ है और $Y$-अंतःखंड $b = 110$ है।
$X$ और $Y$-अंतःखंडों का योग $22 + 110 = 132$ है।

(B) चरण-$1$: बिंदुओं $P(4,-3,1)$ और $Q(2,3,-5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु $M$ ज्ञात करें।
$M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$.
चरण-$2$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ है।
हम अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करके इसे सरल बना सकते हैं,जिससे $\vec{n}' = (1, -3, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$ होगा।
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0 \Rightarrow x - 3y + 3z + 3 = 0$.
यहाँ,$a=1, b=-3, c=3, d=3$.
चरण-$3$: $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ की गणना करें: $(1)^2 + (-3)^2 + (3)^2 + (3)^2 = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$.

(D) माना बिंदुओं के निर्देशांक $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,और $C = (0, 0, c)$ हैं।
चूंकि $\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}) = (2, -3, 5)$ दिया गया है,इसलिए $a = 6$,$b = -9$,और $c = 15$ है।
समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जो $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$ हो जाता है।
इसे $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \frac{1}{6}$,$B = -\frac{1}{9}$,$C = \frac{1}{15}$,और $D = -1$ है।
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (-\frac{1}{9})^2 + (\frac{1}{15})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225}}}$.
हर की गणना करने पर: $\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225} = \frac{225 + 100 + 36}{8100} = \frac{361}{8100}$.
अतः,$d = \frac{1}{\sqrt{\frac{361}{8100}}} = \frac{90}{19}$.

(D) मान लीजिए समतल $P$ रेखाखंड $AB$ को बिंदु $Q$ पर $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक हैं:
$Q = \left( \frac{2(3) + 1(-3)}{2+1}, \frac{2(1) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1} \right) = \left( \frac{6-3}{3}, \frac{2-2}{3}, \frac{-4+7}{3} \right) = (1, 0, 1)$.
रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात (DRs) $(3 - (-3), 1 - (-2), -2 - 7) = (6, 3, -9)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (6, 3, -9)$ है,जिसे $(2, 1, -3)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
बिंदु $Q(1, 0, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(2, 1, -3)$ वाले समतल का समीकरण है:
$2(x-1) + 1(y-0) - 3(z-1) = 0$
$2x - 2 + y - 3z + 3 = 0$
$2x + y - 3z + 1 = 0$
$2x + y - 3z = -1$
$-1$ से विभाजित करने पर:
$-2x - y + 3z = 1$
$\frac{x}{-1/2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{1/3} = 1$.
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$y$-अंतःखंड $b = -1$ है।

(A) समतल $S_1: x - 2y + 2z + 3 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल $S_2: 3x - 2y + 4z - 4 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n}_1$ और $\vec{n}_2$ दोनों पर लंब है,अतः $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 + 4) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(-2 + 6) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-4(x - 2) + 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$ है।
$-4x + 8 + 2y - 2 + 4z - 12 = 0$.
$-4x + 2y + 4z - 6 = 0$.
$-2$ से भाग देने पर,हमें $2x - y - 2z + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) समतल बिंदु $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ से गुजरता है और सदिशों $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{N}$ दो समांतर सदिशों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{N} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{N} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}$.
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ है,जहाँ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
$((x-3) \hat{i} + (y-2) \hat{j} + (z-6) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}) = 0$
$2(x-3) - 1(y-2) - 3(z-6) = 0$
$2x - 6 - y + 2 - 3z + 18 = 0$
$2x - y - 3z + 14 = 0$
$2x - y - 3z = -14$.

(A) समतल का दिया गया समीकरण $4x + 3y + 2z = 2$ है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम इस समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में बदलते हैं।
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{4x}{2} + \frac{3y}{2} + \frac{2z}{2} = \frac{2}{2}$
$\frac{x}{1/2} + \frac{y}{2/3} + \frac{z}{1} = 1$।
इसे अंतःखंड रूप के साथ तुलना करने पर,अंतःखंड $a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{2}{3}$,और $c = 1$ हैं।
अंतःखंडों का योग $a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1$ है।
$2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $6$ लेने पर:
$a + b + c = \frac{3 + 4 + 6}{6} = \frac{13}{6}$।

(A) दिए गए समतल $2x - y + z = 6$ और $x + y + 2z = 3$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण ज्ञात करने पर: $||\vec{n}_1|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ और $||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ होने के कारण,$\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक बिंदु $A(\vec{a})$ से गुजरने वाले और एक लंबवत सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया बिंदु $A = (2, 1, -3)$,इसलिए $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
दिया गया लंबवत सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$((x - 2)\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z + 3)\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$3(x - 2) - 1(y - 1) + 2(z + 3) = 0$
$3x - 6 - y + 1 + 2z + 6 = 0$
$3x - y + 2z + 1 = 0$.
अब,विकल्प $B$ में दिए गए बिंदुओं की जाँच करें:
$(\frac{1}{3}, 3, \frac{1}{2})$ के लिए: $3(\frac{1}{3}) - 3 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$. (संतुष्ट)
$(1, 5, \frac{1}{2})$ के लिए: $3(1) - 5 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 3 - 5 + 1 + 1 = 0$. (संतुष्ट)
अतः,समतल विकल्प $B$ में दिए गए बिंदुओं को समाहित करता है।

(D) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है और लंब का पाद $A(2, 1, 2)$ है।
सदिश $\vec{OA}$ समतल पर अभिलंब है।
$\vec{OA} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और $\vec{n}$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{r} - (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$।
कार्तीय रूप में,जहाँ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है,समीकरण $2x + y + 2z = 9$ है।

(A) समतल का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ है। चूँकि यह मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से एक इकाई दूरी पर है,इसलिए $\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$।
$\triangle ABC$ के शीर्षों के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y, z) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ है।
अतः,$x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{c}{3}$,जिसका अर्थ है $a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$।
इन मानों को $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$ में रखने पर,हमें $\frac{1}{(3x)^2}+\frac{1}{(3y)^2}+\frac{1}{(3z)^2}=1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{9x^2}+\frac{1}{9y^2}+\frac{1}{9z^2}=1$,या $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=9$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=9$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1,1,1)$,$(1,-1,1)$ और $(-7,-3,-5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1-1 & -1-1 & 1-1 \\ -7-1 & -3-1 & -5-1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -8 & -4 & -6 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)((-2)(-6) - (0)(-4)) - (y-1)((0)(-6) - (0)(-8)) + (z-1)((0)(-4) - (-2)(-8)) = 0$
$(x-1)(12) - (y-1)(0) + (z-1)(-16) = 0$
$12x - 12 - 16z + 16 = 0$
$12x - 16z + 4 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$3x - 4z + 1 = 0$
चूंकि $y$ का गुणांक $0$ है,इसलिए अभिलंब सदिश $(3, 0, -4)$ है,जो $Y$-अक्ष के लंबवत है। अतः,समतल $Y$-अक्ष के समांतर है।

(C) माना तीन बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b}-\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i}-7\hat{j}-3\hat{k}$.
समतल का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है।
$(x-2)(-1) + (y-3)(-7) + (z+1)(-3) = 0$.
सरल करने पर $x+7y+3z = 20$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ के बिंदुओं की जाँच करने पर:
$2 \hat{i}-3 \hat{j}+13 \hat{k}$ के लिए: $2 + 7(-3) + 3(13) = 20$. (संतुष्ट है)
$2 \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+\frac{5}{2} \hat{k}$ के लिए: $2 + 7(\frac{3}{2}) + 3(\frac{5}{2}) = 20$. (संतुष्ट है)
अतः,विकल्प $C$ के बिंदु समतल पर स्थित हैं।

(B) समतल का समीकरण $x + 2y - 2z + 5 = 0$ दिया गया है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ की लंबवत दूरी $P$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$P = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$.
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$ है।
समतल के गुणांक $a = 1, b = 2, c = -2$ और $d = 5$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \left| \frac{1(0) + 2(0) - 2(0) + 5}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{9}} \right|$.
$P = \frac{5}{3}$ इकाई।

(A) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से दूरी का सूत्र निम्नलिखित है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ,समतल $2x - y - 2z - 9 = 0$ है और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
मान $A = 2, B = -1, C = -2, D = -9$ और $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \left| \frac{2(0) + (-1)(0) + (-2)(0) - 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-9}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right| = \left| \frac{-9}{\sqrt{9}} \right| = \left| \frac{-9}{3} \right| = 3 \text{ इकाई.}$

(A) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
यहाँ दिया गया है कि अंतःखंड $a = 1, b = 2, c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य यानी $4$ से गुणा करने पर:
$4 \times (\frac{x}{1}) + 4 \times (\frac{y}{2}) + 4 \times (\frac{z}{4}) = 4 \times 1$.
यह $4x + 2y + z = 4$ में सरल हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए समतलों के समीकरण $x+2y+2z-5=0$ और $3x+3y+2z-8=0$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(3) + (2)(3) + (2)(2) = 3 + 6 + 4 = 13$।
परिमाण की गणना: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}$।
अतः,$\cos \theta = \frac{13}{3\sqrt{22}}$।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{3\sqrt{22}}\right)$।

(A) दिए गए समतल $P_1: 2x - 3y + 6z + 21 = 0$ और $P_2: 2x - 3y + 6z - 14 = 0$ हैं।
चूंकि समतल समानांतर हैं,मध्य-समांतर समतल का अभिलंब सदिश $(2, -3, 6)$ समान रहेगा।
माना मध्य-समांतर समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z + d = 0$ है।
जब $x, y, z$ के गुणांक समान हों,तो मध्य-समतल का अचर पद $d$ दिए गए दो समतलों के अचर पदों का औसत होता है।
यहाँ $d = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{21 + (-14)}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ है।
अतः,समीकरण $2x - 3y + 6z + 3.5 = 0$ है।
भिन्न को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर,हमें $4x - 6y + 12z + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = -5\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ हैं।
तीन बिंदुओं $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) + \mu(\vec{c} - \vec{a})$ होता है।
सबसे पहले,दिशा सदिशों की गणना करें:
$\vec{b} - \vec{a} = (-5\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\vec{c} - \vec{a} = (-3\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \lambda(-\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) + \mu(-4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k})$.
घटकों को समूहित करने पर:
$\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} + (-2 - 3\lambda + 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$.
इसे $\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} - (2 + 3\lambda - 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिए गए बिंदु $A(-2,1,3), B(1,1,1), C(2,3,4)$ हैं।
समतल पर स्थित सदिश:
$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$:
$\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$
बिंदु $A(-2,1,3)$ से गुजरने वाले और $\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण:
$4(x + 2) - 11(y - 1) + 6(z - 3) = 0$
$4x - 11y + 6z + 1 = 0$
अभिलंब रूप $lx + my + nz = p$ में बदलने के लिए,$\sqrt{4^2 + (-11)^2 + 6^2} = \sqrt{173}$ से भाग देने पर:
$-4x + 11y - 6z = 1$
$\left(\frac{-4}{\sqrt{173}}\right)x + \left(\frac{11}{\sqrt{173}}\right)y + \left(\frac{-6}{\sqrt{173}}\right)z = \frac{1}{\sqrt{173}}$.

(B) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है और लंब का पाद $P(1, 2, 3)$ है।
चूंकि $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखाखंड $OP$ के दिक अनुपात के समान होंगे।
$OP$ के दिक अनुपात $\langle 1-0, 2-0, 3-0 \rangle = \langle 1, 2, 3 \rangle$ हैं।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $\langle a, b, c \rangle$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ और अभिलंब $\langle 1, 2, 3 \rangle$ का मान रखने पर:
$1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा विकल्प इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(B) (7, 2, 1)$ के लिए:
$7 + 2(2) + 3(1) - 14 = 7 + 4 + 3 - 14 = 14 - 14 = 0$.
चूंकि बिंदु $(7, 2, 1)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह समतल पर स्थित है।

(A) रेखा बिंदु $A(3, 1, -1)$ से गुजरती है और सदिश $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ के समानांतर है। रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{3}$ है।
चूंकि $AP = AQ = 3$ है,बिंदु $P$ और $Q$ को $\vec{A} \pm 3\hat{u}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$P, Q = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \pm (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$.
अतः,$P = 5 \hat{i} + \hat{k}$ और $Q = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
समतल $OPQ$ मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से गुजरता है और सदिशों $\vec{OP} = 5 \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{OQ} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ को समाहित करता है।
समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} = s \vec{OP} + t \vec{OQ} = s(5 \hat{i} + \hat{k}) + t(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (5s+t) \hat{i} + 2t \hat{j} + (s-3t) \hat{k}$ है। विकल्प $A$ इसी समतल को निरूपित करता है।

(B) मान लीजिए बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$A, B,$ और $C$ से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में इस प्रकार है: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ... $(i)$.
चूंकि यह समतल निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$.
समतल $P_1$,$A(a, 0, 0)$ से होकर गुजरता है और $YZ$-समतल के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x = a$ है।
समतल $P_2$,$B(0, b, 0)$ से होकर गुजरता है और $ZX$-समतल के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = b$ है।
समतल $P_3$,$C(0, 0, c)$ से होकर गुजरता है और $XY$-समतल के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $z = c$ है।
इन तीनों समतलों $P_1, P_2,$ और $P_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b, c)$ है।
मान लीजिए इस प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं। अतः,$x = a, y = b,$ और $z = c$.
इन मानों को समीकरण $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदुपथ प्राप्त होता है: $\frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{y} + \frac{\gamma}{z} = 1$.

(D) दिया गया समतल समीकरण: $x+3y+2z=9$ है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4.5} = 1$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a=9$,$b=3$,और $c=\frac{9}{2}$ हैं।
ये अंतःखंड आवश्यक समतल के अभिलंब के दिक अनुपात हैं,इसलिए $\vec{n} = 9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$ है।
समतल बिंदु $(3, 5, 7)$ से गुजरता है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}) = (3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k})$।
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 27 + 15 + \frac{63}{2}$।
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 42 + 31.5 = 73.5$।
सरल करने के लिए $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर: $6x + 2y + 3z = 49$।

(C) बिंदु $A(3, -2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 4\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $4(x - 3) + 7(y + 2) - 4(z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$4x - 12 + 7y + 14 - 4z + 4 = 0$,जो $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ देता है।
बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर लंब की लंबाई $L = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P = (1, 2, -1)$ और समतल $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ है।
इन मानों को रखने पर,$L = \frac{|4(1) + 7(2) - 4(-1) + 6|}{\sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2}}$।
$L = \frac{|4 + 14 + 4 + 6|}{\sqrt{16 + 49 + 16}} = \frac{|28|}{\sqrt{81}} = \frac{28}{9}$।
अतः,$PM$ की लंबाई $\frac{28}{9}$ इकाई है।

(C) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ और $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ ले सकते हैं।
बिंदु $(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो $x + y + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(1, 2, 2)$ से समतल $x + y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) माना समतल $\pi$ का समीकरण $a(x-2) + b(y-0) + c(z-1) = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = 2a + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि समतल $(3, -3, 4)$ से गुजरता है,हमारे पास $3a - 3b + 4c = 2a + c$ है,जो $a - 3b + 3c = 0$ देता है।
चूंकि समतल $\pi$,$x - 2y + z = 6$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश लंबवत हैं,अतः $a(1) + b(-2) + c(1) = 0$,जो $a - 2b + c = 0$ देता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$a - 3b + 3c = 0$
$a - 2b + c = 0$
घटाने पर: $(-3b - (-2b)) + (3c - c) = 0 \implies -b + 2c = 0 \implies b = 2c$।
$b = 2c$ को $a - 2b + c = 0$ में रखने पर: $a - 2(2c) + c = 0 \implies a - 3c = 0 \implies a = 3c$।
$c = 1$ रखने पर,हमें $a = 3$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
समतल $\pi$ का समीकरण $3x + 2y + z = 7$ है।
एक समतल $\pi$ के लंबवत होता है यदि उसका अभिलंब सदिश $\pi$ के अभिलंब सदिश $(3, 2, 1)$ के लंबवत हो।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: अभिलंब सदिश $(1, -1, -1)$ है।
अदिश गुणनफल: $(3)(1) + (2)(-1) + (1)(-1) = 3 - 2 - 1 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल $x - y - z + 1 = 0$,$\pi$ के लंबवत है।