Plane Questions in Hindi

(B) समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिक्-अनुपातों का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n} = (-2, 1, -3) \times (-1, 2, -2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
बिंदु $(2, 2, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(4, -1, -3)$ वाले समतल का समीकरण:
$4(x - 2) - 1(y - 2) - 3(z + 2) = 0$
$4x - y - 3z = 12$.
अंतःखंड प्राप्त करने के लिए,$12$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-12} + \frac{z}{-4} = 1$.
अतः,$\alpha = 3, \beta = -12, \gamma = -4$.
$p = \alpha + \beta + \gamma = 3 - 12 - 4 = -13$.
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |\alpha \beta \gamma| = \frac{1}{6} |3 \times (-12) \times (-4)| = 24$.
इसलिए,क्रमित युग्म $(V, p) = (24, -13)$ है।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
बिंदुओं $(2, -3, 1)$,$(-1, 1, -2)$ और $(3, -4, 2)$ को रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y+3 & z-1 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-2)(4 - 3) - (y+3)(-3 + 3) + (z-1)(3 - 4) = 0$
$(x-2)(1) - (y+3)(0) + (z-1)(-1) = 0$
$x - 2 - z + 1 = 0$
$x - z - 1 = 0$
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ होती है।
बिंदु $(7, -3, -4)$ और समतल $x - z - 1 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|7 - (-4) - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|7 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.

(C) माना इकाई सदिश $\hat{v} = \cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ है।
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \gamma = 1$ होगा।
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\gamma$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ है।
$(\sqrt{2}, -1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\frac{1}{2}(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y + 1) + \frac{1}{2}(z - 1) = 0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$(x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(y + 1) + (z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow x - \sqrt{2} + \sqrt{2} y + \sqrt{2} + z - 1 = 0$.
$\Rightarrow x + \sqrt{2} y + z = 1$.
चूंकि बिंदु $(a, b, c)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $a + \sqrt{2} b + c = 1$ होगा।

(C) बिंदुओं $(4, 1, -3)$ और $(2, 4, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = (2-4, 4-1, 3-(-3)) = (-2, 3, 6)$ है।
चूंकि समतल $P$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ होगा।
बिंदु $(1, -1, -5)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ वाले समतल का समीकरण:
$-2(x - 1) + 3(y + 1) + 6(z + 5) = 0$
$-2x + 2 + 3y + 3 + 6z + 30 = 0$
$-2x + 3y + 6z + 35 = 0$ या $2x - 3y - 6z = 35$ है।
बिंदु $(3, -2, 2)$ से समतल $2x - 3y - 6z - 35 = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|2(3) - 3(-2) - 6(2) - 35|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|6 + 6 - 12 - 35|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$d = \frac{|-35|}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5$.

(C) माना समतल $P$ का समीकरण $2x + ay + 4z = k$ है। मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $(2, a, 4)$ है,अतः समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $2(x - 2) + a(y - a) + 4(z - 4) = 0$ है,जो सरल करने पर $2x + ay + 4z = 20 + a^2$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड $A = (\frac{20 + a^2}{2}, 0, 0)$,$B = (0, \frac{20 + a^2}{a}, 0)$,और $C = (0, 0, \frac{20 + a^2}{4})$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \cdot \frac{(20 + a^2)^3}{8a} = 144$ है।
$(20 + a^2)^3 = 144 \times 48 \times a = 6912a$.
$a = 2$ रखने पर: $(20 + 4)^3 = 24^3 = 13824$ और $6912 \times 2 = 13824$। अतः,$a = 2$ है।
समतल का समीकरण $2x + 2y + 4z = 24$ या $x + y + 2z = 12$ है।
बिंदुओं की जाँच:
$A(2, 2, 4) \Rightarrow 2 + 2 + 2(4) = 12$ (समतल पर स्थित है)।
$B(0, 4, 4) \Rightarrow 0 + 4 + 2(4) = 12$ (समतल पर स्थित है)।
$C(3, 0, 4) \Rightarrow 3 + 0 + 2(4) = 11 \neq 12$ (समतल पर स्थित $\text{नहीं}$ है)।
$D(0, 6, 3) \Rightarrow 0 + 6 + 2(3) = 12$ (समतल पर स्थित है)।
अतः,बिंदु $(3, 0, 4)$ समतल पर स्थित नहीं है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$(1, 2, 3)$ और $(-2, 3, 5)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश है।
$\vec{n} = (-2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(3, -2, 5)$ और अभिलंब सदिश $(-3, 1, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(x-3) + 1(y+2) + 2(z-5) = 0$.
$-3x + 9 + y + 2 + 2z - 10 = 0$.
$-3x + y + 2z = -1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ के रूप में लाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$3x - y - 2z = 1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$,$\beta = -1$,और $\gamma = -2$ प्राप्त होता है।
गुणनफल $\alpha \beta \gamma = (3)(-1)(-2) = 6$।

(A) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{AB} = (0, 2, 1)$ और $\vec{AC} = (-1, 3, 1)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
समतल का समीकरण: $-1(x-1) - 1(y-2) + 2(z-0) = 0$,जो $x + y - 2z - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
बिंदु $P(1, 2, 6)$ के प्रतिबिंब $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए सूत्र: $\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = \frac{\gamma - 6}{-2} = -2 \frac{1(1) + 1(2) - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 4$.
अतः,$\alpha = 5$,$\beta = 6$,$\gamma = -2$.
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 25 + 36 + 4 = 65$.

(D) बिंदु $(-2, 3, 5)$ से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $2x + 4y + 5z = 8$ और $3x - 2y + 3z = 5$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, 4, 5)$ और $\vec{n_2} = (3, -2, 3)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,अभिलंब सदिश $(a, b, c)$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के समानुपाती है:
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-10)) - \hat{j}(6 - 15) + \hat{k}(-4 - 12) = 22\hat{i} + 9\hat{j} - 16\hat{k}$.
इस प्रकार,$a = 22, b = 9, c = -16$ है।
समतल का समीकरण $22(x + 2) + 9(y - 3) - 16(z - 5) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$22x + 44 + 9y - 27 - 16z + 80 = 0$,जो सरल होकर $22x + 9y - 16z + 97 = 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 97 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 22, \beta = 9, \gamma = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 22 + 9 - 16 = 15$।

(A) समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2} \right)$
यहाँ बिंदु $P(2, 3, 5)$ और समतल $2x + y - 3z - 6 = 0$ दिया गया है,इसलिए $a=2, b=1, c=-3, d=-6$:
$\frac{\alpha - 2}{2} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{\gamma - 5}{-3} = -2 \left( \frac{2(2) + 1(3) - 3(5) - 6}{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \right)$
कोष्ठक के अंदर के मान की गणना करने पर:
$\frac{4 + 3 - 15 - 6}{4 + 1 + 9} = \frac{-14}{14} = -1$
अतः,अनुपात $-2(-1) = 2$ प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha - 2}{2} = 2 \implies \alpha - 2 = 4 \implies \alpha = 6$
$\frac{\beta - 3}{1} = 2 \implies \beta - 3 = 2 \implies \beta = 5$
$\frac{\gamma - 5}{-3} = 2 \implies \gamma - 5 = -6 \implies \gamma = -1$
इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 5 - 1 = 10$.

(B) समतल $P$ बिंदुओं $Q(5,3,0)$,$R(13,3,-2)$,और $S(1,6,2)$ से होकर गुजरता है।
समतल में सदिश $\vec{QR} = (8, 0, -2)$ और $\vec{QS} = (-4, 3, 2)$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{QR} \times \vec{QS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & 0 & -2 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 24\hat{k}$ है।
इसे $2$ से विभाजित करने पर,अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $3x - 4y + 12z = 3$ है।
बिंदु $A(3,4,\alpha)$ की समतल से दूरी $\frac{|3(3) - 4(4) + 12(\alpha) - 3|}{13} = 2$ है।
$|12\alpha - 10| = 26 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$ (चूंकि $\alpha \in N$ है)।
अब,बिंदु $B(2,3,a)$ की समतल से दूरी $\frac{|3(2) - 4(3) + 12(a) - 3|}{13} = 3$ है।
$|12a - 9| = 39 \implies 12a - 9 = 39 \implies 12a = 48 \implies a = 4$।

(D) समतल का समीकरण $x+3y-2z+6=0$ है। दो निर्देशांकों को शून्य रखने पर,हमें अंतःखंड प्राप्त होते हैं:
$A(-6, 0, 0)$,$B(0, -2, 0)$,$C(0, 0, 3)$.
माना $H(\alpha, \beta, \frac{6}{7})$ लंबकेंद्र है।
चूंकि $H$ समतल $ABC$ पर स्थित है,$\alpha + 3\beta - 2(\frac{6}{7}) + 6 = 0 \implies \alpha + 3\beta = -6 + \frac{12}{7} = -\frac{30}{7}$.
साथ ही,$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
$\overrightarrow{AH} = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7}-0) = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7})$.
$\overrightarrow{BC} = (0, 2, 3)$.
$(\alpha+6)(0) + \beta(2) + \frac{6}{7}(3) = 0 \implies 2\beta + \frac{18}{7} = 0 \implies \beta = -\frac{9}{7}$.
$\beta$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर: $\alpha + 3(-\frac{9}{7}) = -\frac{30}{7} \implies \alpha - \frac{27}{7} = -\frac{30}{7} \implies \alpha = -\frac{3}{7}$.
अब,$98(\alpha+\beta)^2 = 98(-\frac{3}{7} - \frac{9}{7})^2 = 98(-\frac{12}{7})^2 = 98 \times \frac{144}{49} = 2 \times 144 = 288$.

(C) माना दो बिंदु $A(0,-1,2)$ और $B(-1,2,1)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ प्राप्त होता है।
रेखा सदिश $\vec{v} = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & -1 \\ -4 & -2 & 6 \end{vmatrix} = 16\hat{i} + 10\hat{j} + 14\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$\vec{n}' = 8\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $8x + 5y + 7z = d$ है। बिंदु $(0,-1,2)$ रखने पर,$d = 9$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $8x + 5y + 7z = 9$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(-2,5,0)$ के लिए $8(-2) + 5(5) + 7(0) = -16 + 25 = 9$ प्राप्त होता है। अतः,समतल $(-2,5,0)$ से गुजरता है।

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$,$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$,और $\vec{n}_3 = (1, -3, 3)$ हैं।
रेखा $L_1$ ($P_2$ और $P_3$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \vec{n}_2 \times \vec{n}_3 = (0, -4, -4)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।
रेखा $L_2$ ($P_3$ और $P_1$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_1 = (0, 2, 2)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।
रेखा $L_3$ ($P_1$ और $P_2$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (0, 2, 2)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।
चूंकि सभी रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ एक ही दिशा सदिश $(0, 1, 1)$ रखती हैं,इसलिए वे सभी एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,$\text{कथन}-1$ असत्य है।
$\text{कथन}-2$ के लिए,हम समीकरणों को हल करके जाँचते हैं कि क्या निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु है। $P_1$ और $P_2$ को जोड़ने पर $2x = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 0$ है। $x=0$ को $P_1$ और $P_2$ में रखने पर $-y+z=1$ और $y-z=-1$ प्राप्त होते हैं,जो समान हैं। $x=0$ को $P_3$ में रखने पर $-3y+3z=2$ या $-y+z=2/3$ प्राप्त होता है। चूँकि $1 \neq 2/3$,इसलिए निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P(1, 0, -1)$ और $Q(3, 2, -1)$ हैं। समतल के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब $Q$ है।
रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $R$ समतल पर स्थित है।
$R = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1-1}{2} \right) = (2, 1, -1)$.
चूंकि $R$ समतल $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$ पर स्थित है,इसलिए:
$2\alpha + \beta - \gamma = \delta$ --- $(1)$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, -1-(-1)) = (2, 2, 0)$ अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के समानांतर है।
अतः,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = \frac{\gamma}{0} = k$ (जहाँ $k \neq 0$)।
इससे $\alpha = 2k$,$\beta = 2k$,और $\gamma = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\alpha + \gamma = 1$,इसलिए $2k + 0 = 1$,यानी $k = \frac{1}{2}$।
अतः,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $\gamma = 0$।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर:
$2(1) + 1(1) - 0 = \delta \implies \delta = 3$।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$ (सही)
$(B)$ $\delta - \gamma = 3 - 0 = 3$ (सही)
$(C)$ $\delta + \beta = 3 + 1 = 4$ (सही)
$(D)$ $\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 0 = 2 \neq \delta$ (गलत)
अतः,कथन $A, B, C$ सही हैं।

(B) मान लीजिए $X = (x, y, z)$ है। $S$ के लिए शर्त $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 - ((x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2) = 50$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(6x + 8z - 50) = 50$ मिलता है,इसलिए $6x + 8z = 100$,या $3x + 4z = 50$। यह एक समतल है।
इसी तरह,$T$ के लिए,हमें $(x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2 - ((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2) = 50$ मिलता है।
यह $-(6x + 8z - 50) = 50$ में सरल हो जाता है,इसलिए $6x + 8z = 0$,या $3x + 4z = 0$। यह एक समानांतर समतल है।
$(A)$ चूंकि $S$ एक समतल है,हम इसमें किसी भी क्षेत्रफल का त्रिभुज बना सकते हैं,जिसमें $1$ भी शामिल है। इसलिए,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ चूंकि $T$ एक समतल है,$L, M \in T$ को जोड़ने वाला कोई भी रेखाखंड पूरी तरह से समतल $T$ के भीतर स्थित होता है। इसलिए,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ समानांतर समतलों $3x + 4z - 50 = 0$ और $3x + 4z = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|50 - 0|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 10$ है।
आयत के लिए,दो शीर्ष $S$ में और दो $T$ में हों,तो एक भुजा की लंबाई $a$ और दूसरी $10$ होगी। परिधि $2(a + 10) = 48 \implies a = 14$। अनंत आयत संभव हैं। इसलिए,$(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ वर्ग के लिए,$a = 10$ होना चाहिए। परिधि $4a = 40 \neq 48$। इसलिए,$(D)$ $FALSE$ है।

(C) समतल का समीकरण $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-\frac{z}{4}=1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम अन्य दो चरों को शून्य रखते हैं।
$x$-अक्ष के लिए,$y=0$ और $z=0$ रखने पर: $\frac{x}{3}=1 \implies x=3$. अतः,$A = (3, 0, 0)$.
$y$-अक्ष के लिए,$x=0$ और $z=0$ रखने पर: $\frac{y}{2}=1 \implies y=2$. अतः,$B = (0, 2, 0)$.
$z$-अक्ष के लिए,$x=0$ और $y=0$ रखने पर: $-\frac{z}{4}=1 \implies z=-4$. अतः,$C = (0, 0, -4)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} = B - A = (-3, 2, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-3, 0, -4)$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{(-8)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 144 + 36} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{61} = \sqrt{61}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $A = (1, 2, 3)$ और $B = \left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ है। समतल $AB$ के मध्यबिंदु $M$ से होकर गुजरता है और रेखाखंड $AB$ के लंबवत है।
मध्यबिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \left( \frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} \right) = \left( \frac{-\frac{4}{3}}{2}, \frac{\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{8}{3}}{2} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखा $AB$ के दिक अनुपात के समान होते हैं:
$D.r.s = \left( 1 - (-\frac{7}{3}), 2 - (-\frac{4}{3}), 3 - (-\frac{1}{3}) \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{10}{3} \right)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 1)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - x_0) + 1(y - y_0) + 1(z - z_0) = 0$ है,जहाँ $(x_0, y_0, z_0) = M = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$:
$1(x + \frac{2}{3}) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$
$x + y + z + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = 0$
$x + y + z - 1 = 0 \Rightarrow x + y + z = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $(1, -1, 1) \Rightarrow 1 - 1 + 1 = 1$. यह बिंदु समतल पर स्थित है।

(D) फलक $OPQ$ का अभिलंब सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
फलक $PQR$ का अभिलंब सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{PQ} = (-3, 0, -1)$ और $\vec{PR} = (-1, 1, -2)$.
$\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
दोनों फलकों के बीच का कोण $\theta$ उनके अभिलंब सदिशों के बीच का कोण है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(-1)(1) + (-7)(-5) + (3)(-3)|}{\sqrt{59} \sqrt{35}} = \frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}\right)$.

(D) समतल का दिया गया समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{A} + \mu \bar{B}$ के रूप में है,जहाँ $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\bar{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n}$,दो सदिशों $\bar{A}$ और $\bar{B}$ के सदिश गुणन (cross product) द्वारा प्राप्त होता है:
$\bar{n} = \bar{A} \times \bar{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1)$
$= 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
समतल का कार्तीय समीकरण $(\bar{r} - \bar{a}) \cdot \bar{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ है।
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
अतः,कार्तीय समीकरण $5x - 2y - 3z = 7$ या $5x - 2y - 3z - 7 = 0$ है।

(C) दो समतल $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश $\bar{n}_1$ और $\bar{n}_2$ समानुपाती हों।
यहाँ,$\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ है।
चूंकि वे समांतर हैं,इसलिए $\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$ होगा।
$\frac{2}{4} = \frac{\lambda}{1}$ से,हमें $\lambda = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ से,हमें $\mu = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$।

(C) माना बिंदु $A(4,2,3)$,$B(-1,4,2)$ और $C(3,2,1)$ हैं।
समतल पर स्थित दो सदिश $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -5\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{AC} = (3-4)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -1\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-0) - \hat{j}(10-1) + \hat{k}(0 - (-2)) = -4\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{n}$ का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-9)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 81 + 4} = \sqrt{101}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{-4}{\sqrt{101}}, \frac{-9}{\sqrt{101}}, \frac{2}{\sqrt{101}}$ हैं।

(D) दो समतल $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश आनुपातिक हों,अर्थात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
दिए गए समतल $2x - 5y + z - 8 = 0$ और $2\lambda x - 15y + \lambda z + 6 = 0$ हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{2\lambda} = \frac{-5}{-15} = \frac{1}{\lambda}$.
अनुपातों को सरल करने पर:
$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3} = \frac{1}{\lambda}$.
अतः,$\lambda = 3$ प्राप्त होता है।

(D) समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $4x+3y+2z-1=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए हम $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0-1) = 0
\Rightarrow -4 - \lambda = 0
\Rightarrow \lambda = -4$.
अब $\lambda = -4$ को परिवार के समीकरण में रखने पर:
$(x+2y+3z-4) - 4(4x+3y+2z-1) = 0
\Rightarrow x+2y+3z-4 - 16x - 12y - 8z + 4 = 0
\Rightarrow -15x - 10y - 5z = 0
\Rightarrow 3x + 2y + z = 0$.
समतल $ax+by+cz+d=0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(a, b, c)$ होते हैं।
अतः,समतल $3x+2y+z=0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $3, 2, 1$ हैं।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ के रूप में है,जहाँ $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ है।
कार्तीय समीकरण ज्ञात करने के लिए,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ की आवश्यकता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - \hat{k}$.
समतल का कार्तीय समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $(x-2, y+3, z-0) \cdot (5, -3, -1) = 0$ है।
$5(x-2) - 3(y+3) - 1(z) = 0$.
$5x - 10 - 3y - 9 - z = 0$.
$5x - 3y - z = 19$.

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\overrightarrow{AB}$ की दिशा में है।
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = -2 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k}$.
चूँकि समतल $\overrightarrow{AB}$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ लिया जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $B(1, -2, -4)$ और अभिलंब के घटकों $(2, 3, 6)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(x-1) + 3(y+2) + 6(z+4) = 0$.
$2x - 2 + 3y + 6 + 6z + 24 = 0$.
$2x + 3y + 6z + 28 = 0$.

(C) दिए गए समतलों के अभिलंब $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
वांछित समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $(1, -1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ होता है।
यहाँ $\vec{a} \cdot \vec{n} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -5 - 4 + 2 = -7$ है।
अतः,समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -7$ है।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $M(-1, -2, 2)$ तक का सदिश है।
अतः,$\vec{n} = \vec{OM} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
बिंदु $M$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{OM} \cdot \vec{n} = (-1, -2, 2) \cdot (-1, -2, 2) = (-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
इसलिए,समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 9$ है।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ है,जहाँ $\vec{n} = (a, b, c)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
चूँकि समतल $2x - 2y + z = 0$ और $x - y + 2z = 4$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ के सदिश गुणनफल के समांतर है।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + 1 = 0$ हो जाता है।
समतल $x + y + 1 = 0$ से बिंदु $(1, 2, 2)$ की दूरी $d = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई है।

(C) $XY$-समतल का समीकरण $z = 0$ होता है।
$XY$-समतल के समांतर कोई भी समतल $z = k$ के रूप में होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि समतल बिंदु $A(7, 8, 6)$ से होकर गुजरता है,इसलिए समतल का $z$-निर्देशांक बिंदु $A$ के $z$-निर्देशांक के बराबर होना चाहिए।
अतः,$k = 6$।
इस प्रकार,समतल का समीकरण $z = 6$ है।

(C) समतल $A(2,1,2)$ और $B(1,2,1)$ से होकर गुजरता है। सदिश $\vec{AB} = (1-2, 2-1, 1-2) = (-1, 1, -1)$ है।
रेखा $2x = 3y$ और $z = 1$ द्वारा दी गई है। इसे $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ और $z = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, 2, 0)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $2(x-2) - 3(y-1) - 5(z-2) = 0$ है,जो $2x - 3y - 5z + 9 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(-2, 0, 1)$ बिंदु के लिए $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 5 + 9 = 0$ है। अतः,समतल $(-2, 0, 1)$ से होकर गुजरता है।

(B) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\cos \theta = \frac{1}{14}$,अतः $\frac{|(1)(1) + (-2)(\alpha) + (3)(2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + \alpha^2 + 2^2}} = \frac{1}{14}$.
$\frac{|7 - 2\alpha|}{\sqrt{14} \sqrt{\alpha^2 + 5}} = \frac{1}{14}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(7 - 2\alpha)^2}{14(\alpha^2 + 5)} = \frac{1}{196}$.
$\frac{49 - 28\alpha + 4\alpha^2}{\alpha^2 + 5} = \frac{1}{14}$.
$14(4\alpha^2 - 28\alpha + 49) = \alpha^2 + 5$.
$56\alpha^2 - 392\alpha + 686 = \alpha^2 + 5$.
$55\alpha^2 - 392\alpha + 681 = 0$.
माना मूल $\alpha_1$ और $\alpha_2$ हैं। अंतर $|\alpha_1 - \alpha_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{(-392)^2 - 4(55)(681)}}{55}$.
$D = 153664 - 149820 = 3844$.
$\sqrt{D} = 62$.
अंतर $= \frac{62}{55}$.

(A) समतल का समीकरण प्राचलिक रूप में $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ दिया गया है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
समतल का कार्तीय समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
अतः,समतल का समीकरण $5x - 2y - 3z = 7$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz = D$ की दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ,$A = 5, B = -2, C = -3$,और $D = 7$ है।
$d = \frac{|7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{7}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{7}{\sqrt{38}}$ इकाई।

(A) रेखा बिंदुओं $A(1,3,2)$ और $B(1,2,1)$ से गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = (1-1, 2-3, 1-2) = (0, -1, -1)$ है।
समतल बिंदु $P(2,1,-1)$ और $A(1,3,2)$ से गुजरता है। सदिश $\vec{PA} = (1-2, 3-1, 2-(-1)) = (-1, 2, 3)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{PA} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3+2) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0-1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-1(x-2) + 1(y-1) - 1(z+1) = 0$ है,जो सरल होकर $-x+2+y-1-z-1 = 0$ यानी $-x+y-z = 0$ या $x-y+z = 0$ हो जाता है।
चूंकि यह समतल मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरता है,इसलिए अंतःखंड $p, q, r$ सभी $0$ हैं।
अतः,$p+q+r = 0+0+0 = 0$।

(A) बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(2, -1, 4)$ है।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{OP} = (2, -1, 4)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
अतः,$a = 2, b = -1, c = 4$.
समतल का समीकरण $2(x-2) - 1(y-(-1)) + 4(z-4) = 0$ होगा।
$2(x-2) - 1(y+1) + 4(z-4) = 0$.
$2x - 4 - y - 1 + 4z - 16 = 0$.
$2x - y + 4z - 21 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 6)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x = 6$ या $x = 2$ है।
$3$-आयामी अंतरिक्ष में,समीकरण $x = k$ एक $YZ$-समतल के समानांतर समतल को दर्शाता है।
इसलिए,$x = 6$ और $x = 2$ दो अलग-अलग समतलों को दर्शाते हैं,जो दोनों $YZ$-समतल के समानांतर हैं।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
दिया गया बिंदु $P = (1, 1.5, 2)$ और समतल $2x - 2y + 4z + 17 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|2(1) - 2(1.5) + 4(2) + 17|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|2 - 3 + 8 + 17|}{\sqrt{4 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|24|}{\sqrt{24}}$
$d = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समतल का समीकरण $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - \frac{z}{5} = 1$ है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें अक्षों पर अंतःखंड $a = 2, b = -3, c = -5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $A(2, 0, 0)$,$B(0, -3, 0)$ और $C(0, 0, -5)$ हैं।
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(2 \times -3)^2 + (-3 \times -5)^2 + (-5 \times 2)^2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + (15)^2 + (-10)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 225 + 100} = \frac{1}{2} \sqrt{361} = \frac{19}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ है।
समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B, C$ बिंदुओं पर काटता है।
$y=0, z=0$ रखने पर,$x=2$ प्राप्त होता है,अतः $A = (2, 0, 0)$।
$x=0, z=0$ रखने पर,$y=3$ प्राप्त होता है,अतः $B = (0, 3, 0)$।
$x=0, y=0$ रखने पर,$z=6$ प्राप्त होता है,अतः $C = (0, 0, 6)$।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 6)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 18\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k}$।
इसका परिमाण $\sqrt{18^2 + 12^2 + 6^2} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -4)$ है और समतल $ax + by + cz + d = 0$ है,जहाँ $a = 1, b = -1, c = -2, d = 1$ है।
माना प्रतिबिंब $P'(x', y', z')$ है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र है:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
सबसे पहले $ax_1 + by_1 + cz_1 + d$ का मान ज्ञात करें:
$1(-1) - 1(2) - 2(-4) + 1 = -1 - 2 + 8 + 1 = 6$.
अब $a^2 + b^2 + c^2$ का मान ज्ञात करें:
$1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
अब इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x' - (-1)}{1} = \frac{y' - 2}{-1} = \frac{z' - (-4)}{-2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
$x', y', z'$ के लिए हल करने पर:
$x' + 1 = -2 \implies x' = -3$.
$y' - 2 = 2 \implies y' = 4$.
$z' + 4 = 4 \implies z' = 0$.
अतः,प्रतिबिंब $(-3, 4, 0)$ है।

(A) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(-1, -1, 2)$ है।
यह बिंदु $P$ समतल पर स्थित है और सदिश $\vec{OP} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ समतल का अभिलंब है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $((x+1)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-2)\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$-(x+1) - (y+1) + 2(z-2) = 0$.
$-x - 1 - y - 1 + 2z - 4 = 0$.
$-x - y + 2z - 6 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x + y - 2z + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट समतल दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ है।
$2(x - 1) - 4(y - 2) + 3(z - 1) = 0$.
$2x - 2 - 4y + 8 + 3z - 3 = 0$.
$2x - 4y + 3z + 3 = 0$.

(A) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$.
बिंदुओं $(2,1,0)$,$(3,-2,4)$ और $(1,-3,3)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & -3 & 4 \\ -1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-2)(-9 + 16) - (y-1)(3 + 4) + z(-4 - 3) = 0$
$7(x-2) - 7(y-1) - 7z = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ होती है।
बिंदु $(5,3,-1)$ और समतल $x - y - z - 1 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|1(5) - 1(3) - 1(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 - 3 + 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ इकाई।

(A) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz - a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $(0,1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(0) + b(1) + c(0) - a = 0$,जिसका अर्थ है $b = a$।
अतः समीकरण $ax + ay + cz - a = 0$ या $x + y + \frac{c}{a}z - 1 = 0$ बन जाता है।
माना $k = \frac{c}{a}$,तो अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है।
समतल $x+y-3=0$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है।
दोनों समतलों के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,जो $2+k^2 = 4$ देता है,इसलिए $k^2 = 2$,अर्थात $k = \pm \sqrt{2}$।
$k$ का मान रखने पर,हमें $x + y \pm \sqrt{2}z - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
दिए गए बिंदुओं $(3,1,1)$,$(1,2,3)$,और $(-1,4,2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ 1-3 & 2-1 & 3-1 \\ -1-3 & 4-1 & 2-1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 3 & 1 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-3)(1-6) - (y-1)(-2+8) + (z-1)(-6+4) = 0$
$-5(x-3) - 6(y-1) - 2(z-1) = 0$
$-5x + 15 - 6y + 6 - 2z + 2 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(B) माना $M$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य बिंदु है।
$M$ के निर्देशांक $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = (2, 3, 4)$ हैं।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(3-1, 4-2, 3-5) = (2, 2, -2)$ हैं।
चूंकि समतल $PQ$ पर लंब है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $2(x-2) + 2(y-3) - 2(z-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2) + (y-3) - (z-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$x + y - z - 2 - 3 + 4 = 0$.
$x + y - z - 1 = 0$.

(B) अभीष्ट समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है और समतलों $2x-y-2z=5$ और $3x-6y+2z=7$ के लंबवत है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-12) - \hat{j}(4+6) + \hat{k}(-12+3) = -14\hat{i} - 10\hat{j} - 9\hat{k}$.
समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ के अनुसार:
$-14(x-1) - 10(y-1) - 9(z-1) = 0$.
$-14x + 14 - 10y + 10 - 9z + 9 = 0$.
$-14x - 10y - 9z + 33 = 0$.
अतः,$14x + 10y + 9z = 33$।

(D) $(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ है।
चूंकि समतल $2x - 2y + z = 0$ और $x - y + 2z = 4$ के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$,$\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $(1, 1, 0)$ के रूप में ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + 1 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 2, 2)$ से समतल $x + y + 0z + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई है।

(C) माना बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -3)$ है।
दो रेखाओं के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, -4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (2, -3, 2)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और सदिशों $\vec{b_1} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{b_2} = (a_2, b_2, c_2)$ के समांतर समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x + 1 & y - 2 & z + 3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x + 1)(2(2) - (-4)(-3)) - (y - 2)(3(2) - (-4)(2)) + (z + 3)(3(-3) - 2(2)) = 0$
$(x + 1)(4 - 12) - (y - 2)(6 + 8) + (z + 3)(-9 - 4) = 0$
$-8(x + 1) - 14(y - 2) - 13(z + 3) = 0$
$-8x - 8 - 14y + 28 - 13z - 39 = 0$
$-8x - 14y - 13z - 19 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $8x + 14y + 13z + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ और $(5,0,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(0 - (-1)) - (y-1)(2 - 3) + z(-2 - 0) = 0$
$(x-2)(1) - (y-1)(-1) - 2z = 0$
$x - 2 + y - 1 - 2z = 0$
$x + y - 2z = 3$
मान लीजिए $R'(x, y, z)$ समतल $x + y - 2z - 3 = 0$ के सापेक्ष $R(2, 1, 6)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2 + 1 - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{3 - 12 - 3}{6} = 4$
प्रत्येक भाग को $4$ के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
$y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5$
$z - 6 = -8 \Rightarrow z = -2$
अतः,प्रतिबिंब $R'$ का मान $(6, 5, -2)$ है।