Plane Questions in Hindi

(C) दिया गया समतल $2x + 3y - 4z = 17$ है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट समतल दिए गए समतल के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश भी $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ होगा।
बिंदु $\overline{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\overline{n}$ वाले समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot \overline{n} = \overline{a} \cdot \overline{n}$ होता है।
यहाँ $\overline{a} \cdot \overline{n} = (1)(2) + (-1)(3) + (1)(-4) = 2 - 3 - 4 = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ है।

(B) समतल का समीकरण $4x - 3y + 12z = 15$ दिया गया है।
इसे सामान्य रूप $ax + by + cz = d$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}}{13}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(4, -2, -5)$ दिया गया है।
चूंकि रेखाखंड $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ होगा।
अतः,अभिलंब के दिक अनुपात $(4 - 0, -2 - 0, -5 - 0) = (4, -2, -5)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे विस्तारित करने पर,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$ मिलता है।
सरल करने पर,$4x - 2y - 5z - 45 = 0$ या $4x - 2y - 5z = 45$ प्राप्त होता है।

(D) $x-2y+2z+4=0$ के समांतर समतल का समीकरण $x-2y+2z+k=0$ के रूप में होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु $(1, 2, 3)$ और दूरी $d=1$ दी गई है,इसलिए:
$1 = \frac{|1(1)-2(2)+2(3)+k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$
$1 = \frac{|1-4+6+k|}{\sqrt{1+4+4}}$
$1 = \frac{|3+k|}{\sqrt{9}}$
$|3+k| = 3$
इसका अर्थ है कि $3+k = 3$ या $3+k = -3$ है।
स्थिति $1$: $3+k = 3 \Rightarrow k = 0$. समीकरण $x-2y+2z=0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $3+k = -3 \Rightarrow k = -6$. समीकरण $x-2y+2z-6=0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x-2y+2z=0$ और $x-2y+2z-6=0$ हैं।

(A) बिंदुओं $(-3, 1, 2)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2 - (-3)), (3 - 1), (4 - 2)$ अर्थात $5, 2, 2$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(\vec{r} - (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ मिलता है।
दाहिनी ओर अदिश गुणनफल करने पर: $(-1)(5) + (2)(2) + (1)(2) = -5 + 4 + 2 = 1$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 1$ है।

(D) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर खींचे गए लंब के पाद $(x, y, z)$ के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र है: $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$।
यहाँ समतल का समीकरण $2x - y + 5z - 3 = 0$ है और मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-1} = \frac{z - 0}{5} = -\frac{2(0) - 1(0) + 5(0) - 3}{2^2 + (-1)^2 + 5^2}$।
$\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5} = -\frac{-3}{4 + 1 + 25} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$।
प्रत्येक भाग को $\frac{1}{10}$ के बराबर रखने पर:
$x = 2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$।
$y = -1 \times \frac{1}{10} = -\frac{1}{10}$।
$z = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।

(C) चूंकि दिए गए समतल एक सीधी रेखा से गुजरते हैं,इसलिए समतलों के गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ c & -1 & a \\ b & a & -1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1( (-1)(-1) - (a)(a) ) - (-c)( (c)(-1) - (a)(b) ) + (-b)( (c)(a) - (-1)(b) ) = 0$
$1(1 - a^2) + c(-c - ab) - b(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2abc$.

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
दिया गया है कि समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए उनके अभिलंबों के बीच के कोण का कोज्या $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (p)(2) + (-1)(-p) + (2)(-1) = 2p + p - 2 = 3p - 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{p^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + (-p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
अतः,$\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{|3p - 2|}{\sqrt{p^2 + 5} \sqrt{p^2 + 5}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{|3p - 2|}{p^2 + 5}$.
स्थिति $1$: $3p - 2 = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies 6p - 4 = p^2 + 5 \implies p^2 - 6p + 9 = 0 \implies (p - 3)^2 = 0 \implies p = 3$.
स्थिति $2$: $-(3p - 2) = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies -6p + 4 = p^2 + 5 \implies p^2 + 6p + 1 = 0 \implies p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में केवल $3$ उपलब्ध है,इसलिए $p$ का मान $3$ है।

(A) एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है,से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान न्यून कोण बनाता है,इसलिए इसकी दिक्-कोज्याएँ समान हैं,अर्थात $l = m = n$। $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,हमें $3l^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ लिया जा सकता है।
दिया गया बिंदु $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ में मान रखने पर:
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
$= (-1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = -1 + 1 + 2 = 2$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2$ है।

(C) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{n}_1 = m\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - m\hat{j} + \hat{k}$ है।
कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos \theta = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (m)(2) + (-1)(-m) + (2)(1) = 3m + 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{m^2 + 5}$ और $|\vec{n}_2| = \sqrt{m^2 + 5}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \left| \frac{3m + 2}{m^2 + 5} \right|$.
इस समीकरण को हल करने पर $m=3$ प्राप्त होता है यदि $\vec{n}_2$ में पद $- \hat{k}$ हो।

(A) बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
$Q(a, b, c)$ से $yz$-समतल $(x=0)$ पर खींचे गए लंबपाद $A$ के निर्देशांक $(0, b, c)$ हैं।
$Q(a, b, c)$ से $zx$-समतल $(y=0)$ पर खींचे गए लंबपाद $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ है।
तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
$O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$,और $B(a, 0, c)$ का मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर $(abc \neq 0)$:
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(B) मान लीजिए कि समतल निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 3)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a, b$ और $c$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$.

(A) $(3, 4, -1)$ और $(2, -1, 5)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2-3, -1-4, 5-(-1)) = (-1, -5, 6)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-1, -5, 6)$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(2, -3, 1)$ और अभिलंब $(-1, -5, 6)$ का उपयोग करने पर:
$-1(x-2) - 5(y+3) + 6(z-1) = 0$
$-x + 2 - 5y - 15 + 6z - 6 = 0$
$-x - 5y + 6z - 19 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,$x + 5y - 6z + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना समतल का समीकरण $A(x + 2) + B(y - 2) + C(z - 2) = 0$ है।
चूंकि यह $(2, -2, -2)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $A(2 + 2) + B(-2 - 2) + C(-2 - 2) = 0$ है,जो $4A - 4B - 4C = 0$ या $A - B - C = 0$ में सरल हो जाता है ... $(i)$।
समतल $9x - 13y - 3z = 0$ के लंबवत है,इसलिए अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ दिए गए समतल के अभिलंब सदिश $(9, -13, -3)$ के लंबवत है।
अतः,$9A - 13B - 3C = 0$ ... $(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके हल करने पर:
$\frac{A}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{B}{(-1)(9) - (1)(-3)} = \frac{C}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{A}{3 - 13} = \frac{B}{-9 + 3} = \frac{C}{-13 + 9}$
$\frac{A}{-10} = \frac{B}{-6} = \frac{C}{-4}$
अनुपातों को सरल करने पर,हमें $A:B:C = 5:3:2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतल समीकरण में रखने पर: $5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$।
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$।
$5x + 3y + 2z = 0$।

(A) चार बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
दिया है $A(2-x, 2, 2)$,$B(2, 2-y, 2)$,$C(2, 2, 2-z)$ और $D(1, 1, 1)$।
$\vec{DA} = (1-x, 1, 1)$,$\vec{DB} = (1, 1-y, 1)$,$\vec{DC} = (1, 1, 1-z)$।
सारणिक $\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{vmatrix} = 0$ का उपयोग करने पर।
विस्तार करने पर: $(1-x)(yz-y-z) + z + y = 0$।
$yz - y - z - xyz + xy + xz + z + y = 0$।
$yz + xy + xz - xyz = 0$।
$xyz$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$।

(C) समतल का समीकरण $2x + 3y + 4z = 1$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ और $z = 0$ रखें: $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$. अतः,$A = (\frac{1}{2}, 0, 0)$।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x = 0$ और $z = 0$ रखें: $3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$. अतः,$B = (0, \frac{1}{3}, 0)$।
$Z$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x = 0$ और $y = 0$ रखें: $4z = 1 \implies z = \frac{1}{4}$. अतः,$C = (0, 0, \frac{1}{4})$।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
केंद्रक $= (\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/4}{3}) = (\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12})$।

(A) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है और लंब का पाद $M(2, 1, -2)$ है।
चूंकि $OM$ समतल का अभिलंब है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ सदिश $\vec{OM}$ द्वारा दिया जाता है,जो $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
अदिश गुणन की गणना करने पर: $(2 \times 2) + (1 \times 1) + (-2 \times -2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 9$ है।

(D) बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदु $(2, -1, -3)$ के लिए,समीकरण $a(x-2) + b(y+1) + c(z+3) = 0$ है।
चूंकि समतल $(3, 2, -4)$ और $(2, -3, 2)$ दिशा अनुपात वाली रेखाओं के समानांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 + 8) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$।
अभिलंब सदिश $(8, 14, 13)$ लेने पर,समीकरण $8(x-2) + 14(y+1) + 13(z+3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,जो सरल होकर $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ हो जाता है।

(C) चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए। मान लीजिए बिंदु $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ और $D(-1, -1, 1)$ हैं।
चार बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)$ के समतलीय होने की शर्त के अनुसार:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 2 & 0 \\ 2 & -\lambda^2+1 & 0 \\ 2 & 2 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(-\lambda^2-1) [(-\lambda^2+1)^2 - 4] = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^4 - 2\lambda^2 - 3) = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^2-3) (\lambda^2+1) = 0$
चूंकि $\lambda$ वास्तविक है,$\lambda^2+1 \neq 0$। अतः,$\lambda^2-3 = 0$,जिससे $\lambda^2 = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda = \pm \sqrt{3}$।
अतः,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$।

(D) समतल का समीकरण $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $A(2, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ और $C(0, 0, 4)$ हैं।
त्रिभुज की भुजाओं को बनाने वाले सदिश $\vec{AB} = B - A = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{AC} = C - A = -2\hat{i} + 4\hat{k}$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ इस प्रकार है:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ वर्ग इकाई।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $r = (2 \hat{i} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i}) + \mu(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k})$ है।
यह समतल बिंदु $a = 2 \hat{i} + \hat{k}$ से गुजरता है और सदिशों $b = \hat{i}$ तथा $c = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अदिश गुणन रूप $r \cdot (b \times c) = a \cdot (b \times c)$ होता है।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश $n = b \times c$ की गणना करें:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
यहाँ $\alpha = a \cdot n = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$.
अतः,$\alpha = 2$.

(D) दिया गया समीकरण $xy + yz = 0$ है।
$y$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $y(x + z) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण तब संतुष्ट होता है यदि $y = 0$ या $x + z = 0$ हो।
$3D$ अंतरिक्ष में,$y = 0$ एक $xz$-समतल को दर्शाता है और $x + z = 0$ एक $y$-अक्ष से गुजरने वाले समतल को दर्शाता है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$ और $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$ हैं।
अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0$ है।
चूंकि अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल लंबवत हैं।
अतः,यह बिंदु पथ लंबवत समतलों के एक युग्म को दर्शाता है।

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ है।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखा के दिक अनुपात के समान होंगे,जो $(1, 2, 3)$ हैं।
अभिलंब $(a, b, c)$ वाले समतल का सामान्य समीकरण $ax+by+cz+d=0$ होता है।
दिक अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1x+2y+3z+d=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(2, 3, 4)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$1(2)+2(3)+3(4)+d=0$
$2+6+12+d=0$
$20+d=0$
$d=-20$.
अतः,समतल का समीकरण $x+2y+3z-20=0$ या $x+2y+3z=20$ है।

(C) समतलों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$2x + 3y + 4z = 4$ ....$(i)$
$4x + 6y + 8z = 12$
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y + 4z = 6$ ....$(ii)$
चूंकि अभिलंब सदिश $(2, 3, 4)$ समान हैं,इसलिए समतल समानांतर हैं।
दो समानांतर समतलों $ax + by + cz = d_1$ और $ax + by + cz = d_2$ के बीच की दूरी $D$ का सूत्र है:
$D = \left| \frac{d_2 - d_1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
मान $a = 2, b = 3, c = 4, d_1 = 4$,और $d_2 = 6$ रखने पर:
$D = \left| \frac{6 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 16}} \right| = \frac{2}{\sqrt{29}}$ इकाई।

(C) दिया गया समीकरण $xy = 0$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि या तो $x = 0$ है या $y = 0$ है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में,समीकरण $x = 0$ $YZ$-समतल को दर्शाता है।
समीकरण $y = 0$ $ZX$-समतल को दर्शाता है।
चूंकि $YZ$-समतल और $ZX$-समतल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए समीकरण $xy = 0$ समकोण पर स्थित समतलों के एक युग्म को दर्शाता है।

(C) तीन असंरेख बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(2,1,0)$,$(3,2,-2)$ और $(3,1,7)$ को सूत्र में रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 3-2 & 2-1 & -2-0 \\ 3-2 & 1-1 & 7-0 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(7 - 0) - (y-1)(7 - (-2)) + z(0 - 1) = 0$
$(x-2)(7) - (y-1)(9) - z = 0$
$7x - 14 - 9y + 9 - z = 0$
$7x - 9y - z - 5 = 0$

(B) लंब का पाद $P(2,3,-1)$ है और वह बिंदु जहाँ से लंब डाला गया है $A(4,2,1)$ है।
चूँकि रेखाखंड $AP$ समतल पर लंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात रेखा $AP$ के दिक-अनुपात के समान होंगे।
अभिलंब के दिक-अनुपात $(4-2, 2-3, 1-(-1)) = (2, -1, 2)$ हैं।
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 2z + d = 0$ के रूप में होगा।
चूँकि समतल बिंदु $(2,3,-1)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - (3) + 2(-1) + d = 0$
$4 - 3 - 2 + d = 0$
$-1 + d = 0$
$d = 1$.
अतः,समतल का अभीष्ट समीकरण $2x - y + 2z + 1 = 0$ है।

(C) दिया गया है कि समतल का समीकरण $2x - 3y + 4z = 29$ है।
चूंकि $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए $OP$ के दिक अनुपात समतल के अभिलंब सदिश के समान होंगे,जो $\langle 2, -3, 4 \rangle$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और $\langle 2, -3, 4 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखा $OP$ का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-3} = \frac{z - 0}{4} = \lambda$
अतः,रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के सामान्य निर्देशांक $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ होंगे।
चूंकि बिंदु $P$ समतल $2x - 3y + 4z = 29$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29$
$29\lambda = 29$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = (2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(2, -3, 4)$ हैं।

(A) मूल बिंदु से $ d $ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} $ वाले समतल का सदिश समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ होता है।
दिया गया अभिलंब सदिश $ \vec{N} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k} $ है।
सबसे पहले,$ \vec{N} $ का परिमाण ज्ञात करें: $ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $।
इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} $ है।
मूल बिंदु से दूरी $ d = \frac{3}{\sqrt{14}} $ है।
इन मानों को समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ में रखने पर:
$ \vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{3}{\sqrt{14}} $।
दोनों पक्षों को $ \sqrt{14} $ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ \vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) = 3 $।

(B) मान लीजिए कि समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \dots (i)$ है।
शीर्षों $(a, 0, 0)$,$(0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ वाले $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 3)$ है,इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
$a, b$ और $c$ के मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $56x + 4y + 9z = 2016$ है।
$2016$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{56x}{2016} + \frac{4y}{2016} + \frac{9z}{2016} = 1$
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$
जिन बिंदुओं पर समतल अक्षों से मिलता है,उनके निर्देशांक $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ और $C(0, 0, 224)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रक $= \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(D) बिंदु $\vec{a}$ की समतल $\vec{r} \cdot \vec{m} = d$ से दूरी $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{m} - d|}{|\vec{m}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}) = -1$ के लिए,$\vec{m} = 2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}$ और $d = -1$ है।
$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11$.
बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लिए,दूरी $p$ है:
$p = \frac{|(1)(2) + (2)(6) + (3)(-9) - (-1)|}{11} = \frac{|2 + 12 - 27 + 1|}{11} = \frac{|-12|}{11} = \frac{12}{11}$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ की समतल से दूरी $q$ है:
$q = \frac{|0 - (-1)|}{11} = \frac{1}{11}$.
अतः,$p - q = \frac{12}{11} - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

(B) मान लीजिए $\vec{A}_1 = \hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{A}_2 = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ समतल $\pi_1$ को परिभाषित करने वाले सदिश हैं। समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{A}_1 \times \vec{A}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n}_1 = (\hat{i} + 2\hat{j}) \times (3\hat{j} - 2\hat{k}) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{B}_1 = \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{B}_2 = 3\hat{k} - 2\hat{i}$ समतल $\pi_2$ को परिभाषित करने वाले सदिश हैं। समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{B}_1 \times \vec{B}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n}_2 = (\hat{j} + 2\hat{k}) \times (3\hat{k} - 2\hat{i}) = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण $\theta$,उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1$ और $\vec{n}_2$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-4)(3) + (2)(4) + (3)(2) = -12 + 8 + 6 = 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \sqrt{29}} = \frac{2}{29}$.
नोट: विकल्पों को देखते हुए,यहाँ $-\frac{14}{29}$ उत्तर के रूप में दिया गया है,जो अभिलंब सदिशों के डॉट प्रोडक्ट के सीधे मान पर आधारित है।

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूँकि समतल अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर काटता है,इसलिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होगा।
दिया गया है कि केंद्रक $(6, 6, 3)$ है,अतः:
$\frac{a}{3} = 6 \Rightarrow a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \Rightarrow b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर:
$x + y + 2z = 18$
$x + y + 2z - 18 = 0$.

(C) समतल का दिया गया समीकरण $56x + 4y + 9z = 2016$ है।
$2016$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$.
यह समतल निर्देशांक अक्षों को $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ और $C(0, 0, 224)$ पर काटता है।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G$ सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$G = \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(D) $X, Y, Z$-अक्षों पर $a, b, c$ अंतःखंड वाले समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
दिए गए अंतःखंड $a = -2, b = \frac{4}{3}, c = \frac{-4}{5}$ हैं।
इन मानों को रखने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{4/3} + \frac{z}{-4/5} = 1$ है।
यह सरल होकर $-\frac{x}{2} + \frac{3y}{4} - \frac{5z}{4} = 1$ हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,$-2x + 3y - 5z = 4$ या $2x - 3y + 5z + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -3, 5)$ हैं।
दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ सूत्र का उपयोग किया जाता है।
यहाँ,$\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$ है।
अतः,दिक कोज्याएँ $\left(\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{-3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}}\right)$ हैं।

(B) दिया गया है,$A=(1,8,4)$ और $B=(2,-3,1)$।
बिंदुओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{OA} = \hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
समतल $AOB$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,क्रॉस गुणनफल $\vec{OA} \times \vec{OB}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 8 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - (-12)) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-3 - 16) = 20\hat{i} + 7\hat{j} - 19\hat{k}$।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{20^2 + 7^2 + (-19)^2} = \sqrt{400 + 49 + 361} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}$ है।
दिक्-कोसाइन इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{20}{9\sqrt{10}}\hat{i} + \frac{7}{9\sqrt{10}}\hat{j} - \frac{19}{9\sqrt{10}}\hat{k}$ के घटक हैं।
घटकों को सरल करने पर: $\frac{20}{9\sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{10}}{90} = \frac{2\sqrt{10}}{9}$,$\frac{7}{9\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{90}$,और $-\frac{19}{9\sqrt{10}} = -\frac{19\sqrt{10}}{90}$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(2,-1,5)$,$B(1,-3,4)$ और $C(5,2,1)$ हैं।
इन तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
निर्देशांक रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y+1 & z-5 \\ -1 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(8+3) - (y+1)(4+3) + (z-5)(-3+6) = 0$
$11(x-2) - 7(y+1) + 3(z-5) = 0$
$11x - 22 - 7y - 7 + 3z - 15 = 0$
$11x - 7y + 3z - 44 = 0$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 11\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
दिक्-अनुपात $(11, -7, 3)$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{11^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{11}{\sqrt{179}}, \frac{-7}{\sqrt{179}}, \frac{3}{\sqrt{179}}$ हैं।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = a$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $(0, 1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(0) + b(1) + c(0) = a$,अर्थात $b = a$। समीकरण $ax + ay + cz = a$ या $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ बन जाता है। माना $k = \frac{c}{a}$। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है। $x + y - 3 = 0$ समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है। दो समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$। अतः,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,जिसका अर्थ है $2+k^2 = 4$,इसलिए $k^2 = 2$ और $k = \pm \sqrt{2}$। $k = \sqrt{2}$ के लिए,अभिलंब $(1, 1, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ तक की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
दिए गए बिंदु $(1, 2, 4)$ और समतल $2x + 2y - z + k = 0$ के लिए,$A = 2, B = 2, C = -1, D = k$ है।
दूरी $3 = \frac{|2(1) + 2(2) - 1(4) + k|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$ है।
$3 = \frac{|2 + 4 - 4 + k|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{\sqrt{9}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{3}$.
$|2 + k| = 9$.
इसका अर्थ है कि $2 + k = 9$ या $2 + k = -9$.
अतः,$k = 7$ या $k = -11$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$k = 7$ सही मान है।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ है।
चूंकि समतल $(-3, -5, -7)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(-3 - 2) + b(-5 - 3) + c(-7 - 5) = 0$ है,जो $-5a - 8b - 12c = 0$ या $5a + 8b + 12c = 0$ में सरल हो जाता है।
समतल $x - y + z = 1$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$,$(1, -1, 1)$ के लंबवत है। अतः,$a - b + c = 0$,जिसका अर्थ है $a = b - c$।
$a = b - c$ को $5a + 8b + 12c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5(b - c) + 8b + 12c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $13b + 7c = 0$।
माना $b = 7$,तो $c = -13$ और $a = 7 - (-13) = 20$।
समतल का समीकरण $20(x - 2) + 7(y - 3) - 13(z - 5) = 0$ है,जो $20x + 7y - 13z + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(1, 4, 4)$ के लिए,$20(1) + 7(4) - 13(4) + 4 = 20 + 28 - 52 + 4 = 0$।
अतः,बिंदु $(1, 4, 4)$ समतल पर स्थित है।

(D) समतल $\pi: ax + by + 11z + d = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
चूंकि $\pi$ समतलों $2x - 3y + z = 4$ और $3x + y - z = 5$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{n}$ सदिशों $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
इसे $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $2x + 5y + 11z + d = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल की लंबवत दूरी $\frac{|d|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 11^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{150}} = \frac{|d|}{5\sqrt{6}}$ है।
यह दूरी $\sqrt{6}$ दी गई है,अतः $\frac{|d|}{5\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 30$ है।
अंतःखंड धनात्मक होने के लिए,$d = -30$ होना चाहिए।
यहाँ $ab = 10$ है,इसलिए $d = -3ab$ है।

(A) माना कि समतल का समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $(2, -1, 3)$ है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश होगा,जो $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z = D$ के रूप में होगा।
चूंकि बिंदु $(2, -1, 3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$
इसलिए,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।

(B) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट समतल दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-10) - \hat{j}(-6-25) + \hat{k}(4+15) = -1\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$।
बिंदु $(3,2,5)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $-1(x-3) + 31(y-2) + 19(z-5) = 0$ है।
$-x + 3 + 31y - 62 + 19z - 95 = 0 \implies -x + 31y + 19z - 154 = 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,$x - 31y - 19z + 154 = 0$ प्राप्त होता है।
$x + by + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,$b = -31$,$c = -19$,और $d = 154$ प्राप्त होता है।
अतः,$2b + 3c + d = 2(-31) + 3(-19) + 154 = -62 - 57 + 154 = -119 + 154 = 35$।

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $B(\alpha, \beta, \gamma)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 1, 1)$ और समतल $4x + 2y + 4z + 1 = 0$ है।
व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 4(1) + 2(1) + 4(1) + 1 = 4 + 2 + 4 + 1 = 11$
$a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 16 = 36$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{\alpha - 1}{4} = \frac{\beta - 1}{2} = \frac{\gamma - 1}{4} = -2 \times \frac{11}{36} = -\frac{11}{18}$
अब,$\alpha, \beta, \gamma$ के लिए हल करें:
$\alpha - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \alpha = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
$\beta - 1 = 2 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{11}{9} \implies \beta = 1 - \frac{11}{9} = -\frac{2}{9}$
$\gamma - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \gamma = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
अंत में,योग $\alpha + \beta + \gamma$ की गणना करें:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{13}{9} - \frac{2}{9} - \frac{13}{9} = -\frac{28}{9}$

(C) माना मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $ax+by+cz=0$ है।
चूंकि यह समतल,समतलों $x+2y-z=1$ और $3x-4y+z=5$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ और $\vec{n_2} = (3, -4, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(-4-6) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 5)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-0) + 2(y-0) + 5(z-0) = 0$ होगा,जिसे सरल करने पर $x+2y+5z=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $axy + byz = cy$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(ax + bz - c) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण तब संतुष्ट होता है यदि $y = 0$ हो या $ax + bz - c = 0$ हो।
समीकरण $y = 0$ $zx$-समतल को दर्शाता है।
समीकरण $ax + bz - c = 0$ एक समतल को दर्शाता है। इस समतल का अभिलंब सदिश $(a, 0, b)$ है,जो $y$-अक्ष के लंबवत है,इसलिए यह समतल $zx$-समतल के लंबवत है।
अतः,बिंदुपथ में $zx$-समतल और $zx$-समतल के लंबवत एक समतल शामिल है।