Plane Questions in Hindi

(A) माना कि दिए गए बिंदु $A(1,1,0), B(1,2,1),$ और $C(-2,2,-1)$ हैं।
तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2),$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के निर्देशांक रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-0 \\ 1-1 & 2-1 & 1-0 \\ -2-1 & 2-1 & -1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(-1-1) - (y-1)(0 - (-3)) + z(0 - (-3)) = 0$
$(x-1)(-2) - (y-1)(3) + z(3) = 0$
$-2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0$
$-2x - 3y + 3z + 5 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y - 3z = 5$

(A) समतल का दिया गया समीकरण $2x + y - z = 5$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2x}{5} + \frac{y}{5} - \frac{z}{5} = 1$
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x}{\frac{5}{2}} + \frac{y}{5} + \frac{z}{-5} = 1$
मानक अंतःखंड रूप के साथ तुलना करने पर,अंतःखंड $a, b, c$ हैं:
$a = \frac{5}{2}$,$b = 5$,और $c = -5$।
अतः,समतल द्वारा काटे गए अंतःखंड $\frac{5}{2}, 5, -5$ हैं।

(A) $ZOX$ समतल का समीकरण $y=0$ होता है।
$ZOX$ समतल के समांतर किसी भी समतल का रूप $y=k$ होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
यह दिया गया है कि समतल $y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड बनाता है,इसलिए $k$ का मान $3$ होना चाहिए।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $y=3$ है।

(A) समतलों $P_1: 3x - y + 2z - 4 = 0$ और $P_2: x + y + z - 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(3x - y + 2z - 4) + \lambda(x + y + z - 2) = 0$ --- $(1)$
चूंकि समतल बिंदु $(2, 2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए यह बिंदु समीकरण $(1)$ को संतुष्ट करेगा।
समीकरण $(1)$ में $x = 2, y = 2, z = 1$ रखने पर:
$(3(2) - 2 + 2(1) - 4) + \lambda(2 + 2 + 1 - 2) = 0$
$(6 - 2 + 2 - 4) + \lambda(3) = 0$
$2 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{2}{3}$
$\lambda = -\frac{2}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(3x - y + 2z - 4) - \frac{2}{3}(x + y + z - 2) = 0$
$3(3x - y + 2z - 4) - 2(x + y + z - 2) = 0$
$(9x - 3y + 6z - 12) - (2x + 2y + 2z - 4) = 0$
$7x - 5y + 4z - 8 = 0$
अतः,समतल का अभीष्ट समीकरण $7x - 5y + 4z - 8 = 0$ है।

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 5$ और $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) = 3$ हैं।
समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = 3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $Q$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos Q = \left| \frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{2}|} \right|$
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}$ की गणना करें:
$\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2} = (2)(3) + (2)(-3) + (-3)(5) = 6 - 6 - 15 = -15$.
अब,परिमाण $|\vec{n}_{1}|$ और $|\vec{n}_{2}|$ की गणना करें:
$|\vec{n}_{1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$.
$|\vec{n}_{2}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos Q = \left| \frac{-15}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{43}} \right| = \frac{15}{\sqrt{731}}$.
अतः,कोण $Q = \cos^{-1} \left( \frac{15}{\sqrt{731}} \right)$ है।

(A) समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के अभिलंब के दिक अनुपात क्रमशः $(A_1, B_1, C_1)$ और $(A_2, B_2, C_2)$ हैं।
यदि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ हो,तो समतल समांतर होते हैं।
यदि $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ हो,तो समतल लंबवत होते हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$.
दिए गए समतलों $7x + 5y + 6z + 30 = 0$ और $3x - y - 10z + 4 = 0$ के लिए:
$A_1 = 7, B_1 = 5, C_1 = 6$
$A_2 = 3, B_2 = -1, C_2 = -10$
लंबवतता की जाँच:
$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (7)(3) + (5)(-1) + (6)(-10) = 21 - 5 - 60 = -44 \neq 0$.
अतः,समतल लंबवत नहीं हैं।
समांतरता की जाँच:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{3}, \frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{-1} = -5, \frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{-10} = -0.6$.
चूँकि $\frac{7}{3} \neq -5 \neq -0.6$,इसलिए समतल समांतर नहीं हैं।
कोण $\theta$ की गणना:
$\cos \theta = \left| \frac{-44}{\sqrt{7^2 + 5^2 + 6^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-10)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-44}{\sqrt{49 + 25 + 36} \sqrt{9 + 1 + 100}} \right| = \left| \frac{-44}{\sqrt{110} \sqrt{110}} \right| = \frac{44}{110} = \frac{2}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{2}{5} \right)$.

(B) समतल $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ हैं और $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के लिए $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,तो $L_1 \parallel L_2$ है।
यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है,तो $L_1 \perp L_2$ है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ समतलों के समीकरण $2x + y + 3z - 2 = 0$ और $x - 2y + 0z + 5 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$ और $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$ है।
अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करने पर: $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = (2)(1) + (1)(-2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए दिए गए समतल एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(A) समतलों $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के अभिलंबों के दिक-अनुपात क्रमशः $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो $L_1 \parallel L_2$ होता है।
यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो,तो $L_1 \perp L_2$ होता है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
दिए गए समतलों $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ और $3x - 3y + 6z - 1 = 0$ के लिए:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = 4$ और $a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = 6$ है।
समांतरता की जाँच करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ है,अतः दिए गए समतल एक-दूसरे के समांतर हैं।

(A) समतल $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ हैं और $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के लिए $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो $L_1 \parallel L_2$ होता है।
यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो,तो $L_1 \perp L_2$ होता है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
समतलों के समीकरण $2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 3$ है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{3} = 1$ है।
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 1$ है,इसलिए दिए गए समतल एक-दूसरे के समानांतर हैं।

(D) समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के अभिलंब के दिक-अनुपात क्रमशः $(A_1, B_1, C_1)$ और $(A_2, B_2, C_2)$ हैं।
यदि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ है,तो समतल समांतर हैं।
यदि $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ है,तो समतल लंबवत हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$.
दिए गए समतलों $4x + 8y + z - 8 = 0$ और $0x + y + z - 4 = 0$ के लिए:
$A_1 = 4, B_1 = 8, C_1 = 1$ और $A_2 = 0, B_2 = 1, C_2 = 1$.
लंबवतता की जाँच: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (4)(0) + (8)(1) + (1)(1) = 0 + 8 + 1 = 9 \neq 0$. अतः,वे लंबवत नहीं हैं।
समांतरता की जाँच: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{0}$ (अपरिभाषित),$\frac{B_1}{B_2} = 8$,$\frac{C_1}{C_2} = 1$. अनुपात समान न होने के कारण,वे समांतर नहीं हैं।
कोण की गणना: $\cos \theta = \left| \frac{9}{\sqrt{16 + 64 + 1} \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{9}{9 \times \sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन।

(A) एक बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz - D = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ है और समतल का समीकरण $3x - 4y + 12z - 3 = 0$ है,जहाँ $A = 3, B = -4, C = 12$ और $D = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \left| \frac{3(0) - 4(0) + 12(0) - 3}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-3}{\sqrt{9 + 16 + 144}} \right|$
$d = \left| \frac{-3}{\sqrt{169}} \right|$
$d = \frac{3}{13}$

(A) एक बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$ है और समतल का समीकरण $2x - y + 2z + 3 = 0$ है,इसलिए $A = 2, B = -1, C = 2, D = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \left| \frac{2(3) + (-1)(-2) + 2(1) + 3}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} \right|$
$d = \left| \frac{6 + 2 + 2 + 3}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{13}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \frac{13}{3}$

(A) एक बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ की एक समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ दिया गया बिंदु $P = (-6, 0, 0)$ है और समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z - 2 = 0$ है।
अतः,$A = 2, B = -3, C = 6, D = -2$ और $x_1 = -6, y_1 = 0, z_1 = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \left| \frac{2(-6) - 3(0) + 6(0) - 2}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-12 - 0 + 0 - 2}{\sqrt{4 + 9 + 36}} \right|$
$d = \left| \frac{-14}{\sqrt{49}} \right|$
$d = \frac{14}{7} = 2$
अतः,दूरी $2$ इकाई है।

(A) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(1, -1, 2)$ रखने पर,हमें $A(x - 1) + B(y + 1) + C(z - 2) = 0$ प्राप्त होता है ... $(1)$।
चूंकि यह समतल $2x + 3y - 2z = 5$ और $x + 2y - 3z = 8$ के लंबवत है,इसलिए हमारे समतल का अभिलंब $(A, B, C)$ दिए गए समतलों के अभिलंबों $(2, 3, -2)$ और $(1, 2, -3)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $(2, 3, -2)$ और $(1, 2, -3)$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 - (-4)) - \hat{j}(-6 - (-2)) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + 1\hat{k}$।
इस प्रकार,$A = -5, B = 4, C = 1$।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर: $-5(x - 1) + 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0$।
$-5x + 5 + 4y + 4 + z - 2 = 0$।
$-5x + 4y + z + 7 = 0$,जिसे सरल करने पर $5x - 4y - z = 7$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,$A(3,-1,2)$,$B(5,2,4)$ और $C(-1,-1,6)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
सदिश $\overline{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overline{AC} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \overline{AB} \times \overline{AC} = 12\hat{i} - 16\hat{j} + 12\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{n}' = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $3(x-3) - 4(y+1) + 3(z-2) = 0$ अर्थात $3x - 4y + 3z - 19 = 0$ है।
बिंदु $P(6,5,9)$ से समतल की दूरी $d = \frac{|3(6) - 4(5) + 3(9) - 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 3^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{17}$ होगी।

(A) समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=2$ के समांतर कोई भी समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\lambda$ के रूप में होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(a, b, c)$ से गुजरता है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{r}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\lambda$,जिसका अर्थ है $a+b+c=\lambda$।
अब $\lambda=a+b+c$ को मूल समीकरण में रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=a+b+c$ प्राप्त होता है।
कार्तीय रूप में,$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ रखने पर,हमें $x+y+z=a+b+c$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $(-1, 3, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0$ है $(1)$।
जहाँ $a, b, c$ समतल के अभिलंब के दिक अनुपात हैं।
चूंकि समतल $x + 2y + 3z = 5$ पर लंब है,इसलिए $a(1) + b(2) + c(3) = 0$,जिसका अर्थ है $a + 2b + 3c = 0$ $(2)$।
चूंकि समतल $3x + 3y + z = 0$ पर भी लंब है,इसलिए $a(3) + b(3) + c(1) = 0$,जिसका अर्थ है $3a + 3b + c = 0$ $(3)$।
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(2)(1) - (3)(3)} = \frac{b}{(3)(3) - (1)(1)} = \frac{c}{(1)(3) - (2)(3)}$
$\frac{a}{-7} = \frac{b}{8} = \frac{c}{-3} = k$
अतः,$a = -7k, b = 8k, c = -3k$।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर:
$-7k(x + 1) + 8k(y - 3) - 3k(z - 2) = 0$
$-7x - 7 + 8y - 24 - 3z + 6 = 0$
$-7x + 8y - 3z - 25 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,$7x - 8y + 3z + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P(x, y, z)$ वह बिंदु है जो बिंदुओं $A(1, 2, 3)$ और $B(3, 2, -1)$ से समदूरस्थ है।
अतः,$PA = PB$.
$\Rightarrow PA^2 = PB^2$.
$\Rightarrow (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 2z + 1$.
समीकरण को सरल करने पर:
$-2x - 6z + 14 = -6x + 2z + 14$.
$-2x + 6x - 6z - 2z = 0$.
$4x - 8z = 0$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $x - 2z = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x - 2z = 0$ है।

(A) माना $P(x, y, z)$ कोई ऐसा बिंदु है कि $PA = PB$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z+5)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z+5)^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 10z + 25) = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 8z + 16)$
समीकरण को सरल करने पर:
$-6x - 8y + 10z + 50 = 4x - 2y - 8z + 21$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10x + 6y - 18z - 29 = 0$

(A) मूलबिंदु $O$ के निर्देशांक $(0, 0, 0)$ हैं और बिंदु $P$ के निर्देशांक $(1, 2, -3)$ हैं।
रेखाखंड $OP$ के दिक अनुपात $(1-0, 2-0, -3-0) = (1, 2, -3)$ हैं।
चूंकि समतल $OP$ के लंबवत है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $OP$ के दिक अनुपात के समान होंगे,जो कि $a=1, b=2, c=-3$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाले अभिलंब के समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(1, 2, -3)$ और दिक अनुपात $(1, 2, -3)$ को सूत्र में रखने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) - 3(z - (-3)) = 0$
$1(x-1) + 2(y-2) - 3(z+3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0$
$x + 2y - 3z - 14 = 0.$

$x, y, z$ अक्षों पर $a, b, c$ अंतःखंड वाले समतल का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ..........$(1)$
समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $p$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $Ax + By + Cz + D = 0$ वाले समतल के लिए $p = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = \frac{1}{a}$,$B = \frac{1}{b}$,$C = \frac{1}{c}$,और $D = -1$ है।
इन मानों को रखने पर:
$p = \frac{|\frac{1}{a}(0) + \frac{1}{b}(0) + \frac{1}{c}(0) - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}}$
$p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}$
व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

(C) समतलों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$2x + 3y + 4z = 4$ $(1)$
$4x + 6y + 8z = 12$
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y + 4z = 6$ $(2)$
चूंकि $x, y,$ और $z$ के गुणांक दोनों समीकरणों में समान हैं,इसलिए समतल समांतर हैं।
दो समांतर समतलों $ax + by + cz = d_1$ और $ax + by + cz = d_2$ के बीच की दूरी $D$ का सूत्र है:
$D = \left| \frac{d_2 - d_1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
यहाँ,$a = 2, b = 3, c = 4, d_1 = 4,$ और $d_2 = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D = \left| \frac{6 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} \right|$
$D = \left| \frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 16}} \right|$
$D = \frac{2}{\sqrt{29}}$ इकाई।
अतः,सही उत्तर $C$ है।

(D) समतलों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$2x - y + 4z = 5$ $(1)$
$5x - 2.5y + 10z = 6$ $(2)$
दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ के लिए,वे समांतर होते हैं यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो।
$x, y,$ और $z$ के गुणांकों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2.5} = 0.4$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{10} = 0.4$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 0.4$ है,इसलिए समतलों के अभिलंब सदिश समानुपाती हैं।
इसके अतिरिक्त,अचर पदों का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5}{6} \neq 0.4$ है। अतः,समतल समांतर और भिन्न हैं।
इसलिए,सही उत्तर $D$ है.

(A) माना समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
बिंदु $A, B, C$ जहाँ समतल अक्षों को मिलता है,उनके निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\Delta ABC$ के केंद्रक का सूत्र $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ होता है।
$A, B, C$ के निर्देशांक रखने पर,केंद्रक $\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि केंद्रक $(\alpha, \beta, \gamma)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\alpha = \frac{a}{3}$,$\beta = \frac{b}{3}$,और $\gamma = \frac{c}{3}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $a = 3\alpha$,$b = 3\beta$,और $c = 3\gamma$।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में रखने पर,$\frac{x}{3\alpha} + \frac{y}{3\beta} + \frac{z}{3\gamma} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} + \frac{z}{\gamma} = 3$।

(A) समतल रेखाखंड $AB$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,जिसका अर्थ है कि समतल $AB$ के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है और सदिश $\vec{AB}$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{N}$ के रूप में कार्य करता है।
$1$. $AB$ का मध्य-बिंदु $M$ है $\left(\frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (3, 4, 6)$।
$2$. अभिलंब सदिश $\vec{N}$ सदिश $\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (8-4)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$3$. बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{N}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ है।
$4$. मान रखने पर: $((x-3)\hat{i} + (y-4)\hat{j} + (z-6)\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 0$।
$5$. डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $2(x-3) + 2(y-4) + 4(z-6) = 0$।
$6$. सरल करने पर: $2x - 6 + 2y - 8 + 4z - 24 = 0 \Rightarrow 2x + 2y + 4z = 38$।
$7$. $2$ से विभाजित करने पर: $x + y + 2z = 19$।

(C) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
चूंकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,इसलिए दिक्-कोसाइन समान हैं,अर्थात $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए $3 \cos^2 \alpha = 1$,जिससे $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$ है।
मूल बिंदु से $p$ दूरी पर स्थित समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = p$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p = 3\sqrt{3}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}) = 3\sqrt{3}$।
$\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,हमें $x + y + z = 3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z = 9$ है।

(3X - 2Y + 6Z - 27 = 0) रेखा बिंदु $P(-2, -1, -3)$ से गुजरती है और समतल को बिंदु $Q(1, -3, 3)$ पर समकोण पर मिलती है।
अतः,सदिश $\vec{PQ}$ समतल का अभिलंब है।
$\vec{PQ} = (1 - (-2))\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (3 - (-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
समतल बिंदु $Q(1, -3, 3)$ से गुजरता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $3(x - 1) - 2(y + 3) + 6(z - 3) = 0$.
$3x - 3 - 2y - 6 + 6z - 18 = 0$.
$3x - 2y + 6z - 27 = 0$.

(N/A) तीन असंरेख बिंदुओं $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$,$(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ और $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(2, 1, 0)$,$(3, -2, -2)$ और $(3, 1, 7)$ का मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 3-2 & -2-1 & -2-0 \\ 3-2 & 1-1 & 7-0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक को सरल करने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-2)(-21 - 0) - (y-1)(7 - (-2)) + z(0 - (-3)) = 0$
$(x-2)(-21) - (y-1)(9) + z(3) = 0$
$-21x + 42 - 9y + 9 + 3z = 0$
$-21x - 9y + 3z + 51 = 0$
पूरे समीकरण को $-3$ से विभाजित करने पर:
$7x + 3y - z = 17$
अतः,समतल का अभीष्ट समीकरण $7x + 3y - z = 17$ है।

मूलबिंदु $O$ के निर्देशांक $(0, 0, 0)$ हैं और बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
रेखा $OA$ के दिक् अनुपात $(a-0, b-0, c-0) = (a, b, c)$ हैं।
$OA$ की लंबाई $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ है।
अतः,रेखा $OA$ की दिक्कोज्याएँ $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \overrightarrow{OA} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a} = (a, b, c)$ से होकर जाने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,$\vec{a} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,और $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k})) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) = 0$
$(x-a)a + (y-b)b + (z-c)c = 0$
$ax - a^2 + by - b^2 + cz - c^2 = 0$
$ax + by + cz = a^2 + b^2 + c^2$.

(N/A) मान लीजिए कि दो आयताकार अक्ष प्रणालियाँ $S_1$ और $S_2$ हैं जिनका मूल बिंदु $O$ समान है।
प्रथम प्रणाली $S_1$ में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
दूसरी प्रणाली $S_2$ में समतल का समीकरण $\frac{x}{a^{\prime}} + \frac{y}{b^{\prime}} + \frac{z}{c^{\prime}} = 1$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} + \frac{z}{C} = 1$ की लंबवत दूरी $p$ का मान $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}}$ होता है।
चूंकि समतल समान है,इसलिए मूल बिंदु से लंबवत दूरी $p$ दोनों प्रणालियों के लिए समान होनी चाहिए।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।

(A) दिए गए समतल का समीकरण $ax + by = 0$ है ... $(i)$।
समतल $z = 0$ का समीकरण ... $(ii)$ है।
समतल $(i)$ और $(ii)$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले किसी भी समतल का समीकरण $ax + by + kz = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(iii)$।
समतल $(i)$ का अभिलंब $\vec{n_1} = (a, b, 0)$ है और समतल $(iii)$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (a, b, k)$ है।
इन दो समतलों के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|a^2 + b^2 + 0|}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\cos^2 \alpha = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}$।
$a^2 + b^2 + k^2 = \frac{a^2 + b^2}{\cos^2 \alpha} = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha$।
$k^2 = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha - (a^2 + b^2) = (a^2 + b^2) (\sec^2 \alpha - 1) = (a^2 + b^2) \tan^2 \alpha$।
अतः,$k = \pm \sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha$।
$k$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर,हमें $ax + by \pm (\sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha) z = 0$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले और $y$-अक्ष (जिसका दिशा सदिश $\hat{j}$ है) को समाहित करने वाले तथा बिंदु $P(1, 2, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n}$ का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
समतल सदिश $\vec{v} = \hat{j} = (0, 1, 0)$ और सदिश $\vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = (1, 2, 3)$ को समाहित करता है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - \hat{k}$.
$(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = (3, 0, -1)$ वाले समतल का समीकरण है:
$3(x - 0) + 0(y - 0) - 1(z - 0) = 0$
$3x - z = 0$.

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n}$ दोनों रेखाओं के लंबवत है। अतः,$\overrightarrow{n}$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल है:
$\overrightarrow{n} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(-1 - 4) + \hat{k}(3 + 4) = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$
बिंदु $(3, 1, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण है:
$-4(x - 3) + 5(y - 1) + 7(z - 1) = 0$
$-4x + 12 + 5y - 5 + 7z - 7 = 0$
$-4x + 5y + 7z = 0$
चूँकि समतल बिंदु $(\alpha, -3, 5)$ से गुजरता है,इसलिए यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$-4(\alpha) + 5(-3) + 7(5) = 0$
$-4\alpha - 15 + 35 = 0$
$-4\alpha + 20 = 0$
$4\alpha = 20$
$\alpha = 5$

(A) माना बिंदु $A(4, -2, 3)$ और $B(2, 4, -1)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \left( \frac{4+2}{2}, \frac{-2+4}{2}, \frac{3-1}{2} \right) = (3, 1, 1)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{AB}$ है:
$\vec{n} = \vec{AB} = (2-4, 4-(-2), -1-3) = (-2, 6, -4)$.
अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करने पर,हम $\vec{n} = (1, -3, 2)$ ले सकते हैं।
बिंदु $M(3, 1, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -3, 2)$ वाले समतल का समीकरण है:
$1(x - 3) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = 0$
$x - 3 - 3y + 3 + 2z - 2 = 0$
$x - 3y + 2z - 2 = 0$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(4, 0, -1)$ के लिए: $4 - 3(0) + 2(-1) - 2 = 4 - 0 - 2 - 2 = 0$. यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समतल बिंदु $(4, 0, -1)$ से होकर गुजरता है।

(C) रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $M$ है: $M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$।
चूंकि समतल रेखाखंड $PQ$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ के समानांतर है।
$-2$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -3, 3)$ ले सकते हैं।
बिंदु $M(3, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -3, 3)$ वाले समतल का समीकरण है:
$1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0$
$x - 3y + 3z + 3 = 0$
$ax+by+cz+d=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=-3, c=3, d=3$ प्राप्त होता है।
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ का मान $1^{2} + (-3)^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$ है।
अतः,न्यूनतम मान $28$ है।

(A) $x - 2y + 2z - 3 = 0$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ से समतल $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ की दूरी $\frac{|1 - 2(2) + 2(3) + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$ द्वारा दी जाती है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{|1 - 4 + 6 + \lambda|}{\sqrt{9}} = 1 \Rightarrow \frac{|\lambda + 3|}{3} = 1$.
इससे $|\lambda + 3| = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda + 3 = 3$ या $\lambda + 3 = -3$.
इस प्रकार,$\lambda = 0$ या $\lambda = -6$.
दो संभावित समतल $x - 2y + 2z = 0$ और $x - 2y + 2z - 6 = 0$ हैं।
स्थिति $1$: $a=1, b=-2, c=2, d=0$. तब $(b - d) = -2 - 0 = -2$ और $(c - a) = 2 - 1 = 1$. अतः,$-2 = K(1) \Rightarrow K = -2$.
स्थिति $2$: $a=1, b=-2, c=2, d=-6$. तब $(b - d) = -2 - (-6) = 4$ और $(c - a) = 2 - 1 = 1$. अतः,$4 = K(1) \Rightarrow K = 4$.
$K$ का धनात्मक मान $4$ है।

(B) $(42, 0, 0)$,$(0, 42, 0)$ और $(0, 0, 42)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{42} + \frac{y}{42} + \frac{z}{42} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $x + y + z = 42$ प्राप्त होता है।
हम इसे $(x-11) + (y-19) + (z-12) = 42 - 11 - 19 - 12 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $a = x-11$,$b = y-19$,और $c = z-12$ है। अतः $a + b + c = 0$ है।
दिया गया व्यंजक $3 + \frac{a}{b^2 c^2} + \frac{b}{a^2 c^2} + \frac{c}{a^2 b^2} - \frac{42}{14abc}$ है।
चूंकि $a+b+c=0$ है,इसलिए $x+y+z=42$ है। अंतिम पद में यह मान रखने पर,$\frac{42}{14abc} = \frac{3}{abc}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2} - \frac{3}{abc} = 3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 b^2 c^2}$ बन जाता है।
चूंकि $a+b+c=0$ है,इसलिए सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ सत्य है।
अतः,व्यंजक का सरल रूप $3 + \frac{3abc - 3abc}{a^2 b^2 c^2} = 3 + 0 = 3$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $P$ $(x, y, z)$ है। समतलों $x + y + z = 0$,$lx - nz = 0$ और $x - 2y + z = 0$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x + y + z|}{\sqrt{3}}$,$d_2 = \frac{|lx - nz|}{\sqrt{l^2 + n^2}}$ और $d_3 = \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{6}}$ हैं।
दिया गया है कि $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 9$,इसलिए:
$\frac{(x + y + z)^2}{3} + \frac{(lx - nz)^2}{l^2 + n^2} + \frac{(x - 2y + z)^2}{6} = 9$.
पदों का विस्तार करने पर:
$\frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} + \frac{l^2x^2 - 2lnxz + n^2z^2}{l^2 + n^2} + \frac{x^2 + 4y^2 + z^2 - 4xy - 4yz + 2zx}{6} = 9$.
$x^2, y^2, z^2, xy, yz, zx$ के गुणांकों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(\frac{1}{3} + \frac{l^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + y^2(\frac{1}{3} + \frac{4}{6}) + z^2(\frac{1}{3} + \frac{n^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + xy(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + yz(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + zx(\frac{2}{3} - \frac{2ln}{l^2 + n^2} + \frac{2}{6}) = 9$.
गुणांकों को सरल करने पर:
$x^2(\frac{1}{2} + \frac{l^2}{l^2 + n^2}) + y^2(1) + z^2(\frac{1}{2} + \frac{n^2}{l^2 + n^2}) + zx(1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2}) = 9$.
इसे $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ के साथ तुलना करने पर,$xy, yz, zx$ के गुणांक $0$ होने चाहिए और $x^2, y^2, z^2$ के गुणांक $1$ होने चाहिए।
$zx$ का गुणांक $0$ होने के लिए,$1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2} = 0 \implies l^2 + n^2 = 2ln \implies (l - n)^2 = 0 \implies l = n$.
अतः,$l - n = 0$.

(B) समतल का समीकरण $2x - y + z = b$ है।
मान लीजिए $P = (1, 3, a)$ और $Q = (-3, 5, 2)$ है। रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $R$ समतल पर स्थित है।
$R = \left( \frac{1 - 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{a + 2}{2} \right) = (-1, 4, \frac{a + 2}{2})$.
चूंकि $R$ समतल $2x - y + z = b$ पर स्थित है,इसलिए:
$2(-1) - 4 + \frac{a + 2}{2} = b$
$-6 + \frac{a + 2}{2} = b \Rightarrow a + 2 = 2b + 12 \Rightarrow a = 2b + 10 \quad \dots(i)$
साथ ही,सदिश $\vec{PQ} = (-3 - 1, 5 - 3, 2 - a) = (-4, 2, 2 - a)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ के समानांतर है।
इसलिए,$\frac{-4}{2} = \frac{2}{-1} = \frac{2 - a}{1}$.
$-2 = -2 = 2 - a \Rightarrow a = 4$.
समीकरण $(i)$ में $a = 4$ रखने पर:
$4 = 2b + 10 \Rightarrow 2b = -6 \Rightarrow b = -3$.
अतः,$|a + b| = |4 + (-3)| = |1| = 1$.

(C) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} - 5\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -1\end{array}\right|$ होगा।
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - 10) - \hat{j}(-3 - (-4)) + \hat{k}(-15 - 2) = -11\hat{i} - \hat{j} - 17\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = 11\hat{i} + \hat{j} + 17\hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\langle 11, 1, 17 \rangle$ वाले समतल का समीकरण:
$11(x - 1) + 1(y - 2) + 17(z + 3) = 0$
$11x - 11 + y - 2 + 17z + 51 = 0$
$11x + y + 17z + 38 = 0$।

(B) समतल $P_{1}$ का समीकरण $3x + 15y + 21z = 9$ है। $3$ से भाग देने पर,हमें $x + 5y + 7z = 3$ प्राप्त होता है।
समतल $P_{2}$ का समीकरण $x - 3y - z = 5$ है।
समतल $P_{3}$ का समीकरण $2x + 10y + 14z = 5$ है। $2$ से भाग देने पर,हमें $x + 5y + 7z = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
दो समतल $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$।
$P_{1}$ और $P_{3}$ की तुलना करने पर,अभिलंब सदिश $(1, 5, 7)$ और $(1, 5, 7)$ हैं,जो समान हैं। चूँकि अचर पद $3$ और $\frac{5}{2}$ अलग-अलग हैं,इसलिए समतल समांतर और भिन्न हैं।
अतः,$P_{1}$ और $P_{3}$ समांतर हैं।

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखाखंड $\vec{AB}$ के समांतर है।
$\vec{AB} = (-1 - (-2))\hat{i} + (-16 - (-21))\hat{j} + (33 - 29)\hat{k} = 1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल बिंदु $Q(4, -2, 2)$ और $P(\lambda, 2, 1)$ से होकर गुजरता है। अतः,सदिश $\vec{PQ}$ समतल में स्थित है।
$\vec{PQ} = (4 - \lambda)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = (4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
चूंकि समतल रेखा $AB$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{AB}$ समतल के किसी भी सदिश के लंबवत होगा,जिसमें $\vec{PQ}$ भी शामिल है।
इसलिए,$\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 0$.
$(1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot ((4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}) = 0$.
$1(4 - \lambda) + 5(-4) + 4(1) = 0$.
$4 - \lambda - 20 + 4 = 0$.
$-\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = -12$.
अब,व्यंजक $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ की गणना करें।
$\lambda = -12$ प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{-12}{11}\right)^{2} - \frac{4(-12)}{11} - 4 = \frac{144}{121} + \frac{48}{11} - 4 = \frac{144 + 528 - 484}{121} = \frac{188}{121}$.

(C) समतल पर स्थित सदिश $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right| = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(-1+2) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{OP} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
माना $\vec{OP}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = \frac{|\vec{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{OP}| |\vec{n}|} = \frac{|(2)(3) + (-1)(-1) + (1)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 1 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{66}}$ है।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{64}{66} = \frac{2}{66} = \frac{1}{33}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{33}}$ प्राप्त होता है।
समतल पर $\vec{OP}$ के प्रक्षेप की लंबाई $|\vec{OP}| \sin \theta = \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{33}} = \sqrt{\frac{6}{33}} = \sqrt{\frac{2}{11}}$ है।

(C) दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x + y + 4z - 16) + \lambda(-x + y + z - 6) = 0$ है।
चूंकि समतल $P$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1, y = 2, z = 3$ को समीकरण में रखते हैं:
$(1 + 2 + 4(3) - 16) + \lambda(-1 + 2 + 3 - 6) = 0$
$(1 + 2 + 12 - 16) + \lambda(-2) = 0$
$-1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को परिवार के समीकरण में रखने पर:
$(x + y + 4z - 16) - \frac{1}{2}(-x + y + z - 6) = 0$
$2(x + y + 4z - 16) - (-x + y + z - 6) = 0$
$2x + 2y + 8z - 32 + x - y - z + 6 = 0$
$3x + y + 7z - 26 = 0$.
अब,हम जांचते हैं कि कौन सा बिंदु $3x + y + 7z = 26$ को संतुष्ट नहीं करता है:
$(3, 3, 2)$ के लिए: $3(3) + 3 + 7(2) = 9 + 3 + 14 = 26$ ($P$ पर स्थित है)।
$(6, -6, 2)$ के लिए: $3(6) - 6 + 7(2) = 18 - 6 + 14 = 26$ ($P$ पर स्थित है)।
$(4, 2, 2)$ के लिए: $3(4) + 2 + 7(2) = 12 + 2 + 14 = 28 \neq 26$ ($P$ पर स्थित नहीं है)।
$(-8, 8, 6)$ के लिए: $3(-8) + 8 + 7(6) = -24 + 8 + 42 = 26$ ($P$ पर स्थित है)।

(A) चूंकि $R(3,5,\gamma)$ समतल $2x-y+z+3=0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2(3) - 5 + \gamma + 3 = 0$
$6 - 5 + \gamma + 3 = 0$
$4 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -4$.
अतः,$R$ बिंदु $(3,5,-4)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ है। रेखा $QS$,$Q(1,3,4)$ से गुजरती है और $\vec{n}$ के समानांतर है।
रेखा $QS$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $F(2\lambda+1, -\lambda+3, \lambda+4)$ है।
चूंकि $F$,$Q$ से समतल पर डाले गए लंब का पाद है,यह समतल पर स्थित है:
$2(2\lambda+1) - (-\lambda+3) + (\lambda+4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $F$ में रखने पर,हमें $F(-1, 4, 3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$,$QS$ का मध्य-बिंदु है,मान लीजिए $S = (x_s, y_s, z_s)$:
$\frac{x_s+1}{2} = -1 \Rightarrow x_s = -3$
$\frac{y_s+3}{2} = 4 \Rightarrow y_s = 5$
$\frac{z_s+4}{2} = 3 \Rightarrow z_s = 2$.
अतः,$S = (-3, 5, 2)$.
रेखाखंड $SR$ की लंबाई का वर्ग:
$SR^2 = (3 - (-3))^2 + (5 - 5)^2 + (-4 - 2)^2$
$SR^2 = (6)^2 + (0)^2 + (-6)^2 = 36 + 0 + 36 = 72$.

(B) समतलों के समीकरण $P_{1}: x-2y-2z+1=0$ और $P_{2}: 2x-3y-6z+1=0$ हैं।
कोण समद्विभाजक का समीकरण $\left|\frac{x-2y-2z+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}\right| = \left|\frac{2x-3y-6z+1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यह $\frac{x-2y-2z+1}{3} = \pm \frac{2x-3y-6z+1}{7}$ में सरल हो जाता है।
न्यून कोण समद्विभाजक निर्धारित करने के लिए,हम $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = (1)(2) + (-2)(-3) + (-2)(-6) = 2 + 6 + 12 = 20$ का चिह्न जाँचते हैं।
चूंकि $20 > 0$,ऋणात्मक चिह्न न्यून कोण समद्विभाजक देता है।
अतः,$\frac{x-2y-2z+1}{3} = -\frac{2x-3y-6z+1}{7}$.
$7(x-2y-2z+1) = -3(2x-3y-6z+1)$.
$7x-14y-14z+7 = -6x+9y+18z-3$.
$13x-23y-32z+10 = 0$.
बिंदु $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ की जाँच करने पर: $13(-2) - 23(0) - 32(-\frac{1}{2}) + 10 = -26 - 0 + 16 + 10 = 0$.
इसलिए,बिंदु $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ समतल $P$ पर स्थित है।

(B) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(-2 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
बिंदु $(-1, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण:
$-2(x + 1) + 1(y - 0) - 3(z + 2) = 0$
$-2x - 2 + y - 3z - 6 = 0$
$-2x + y - 3z - 8 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,$2x - y + 3z + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax + by + cz + 8 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -1, c = 3$ है।
अतः,$a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4$।

(C) समतल $P$ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक समतल है,जहाँ $A(-4, 2, 1)$ और $B(2, -2, 3)$ हैं।
समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$ सदिश $\vec{AB} = (2 - (-4))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (3 - 1)\hat{k} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
$AB$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (-1, 0, 2)$ है।
समतल $P$ का समीकरण $3(x + 1) - 2(y - 0) + 1(z - 2) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $3x - 2y + z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
दूसरा समतल $P': 2x + y + 3z - 1 = 0$ है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \left| \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(D) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -5 \\ 3 & 5 & -7 \end{vmatrix} = \hat{i}(-7 + 25) - \hat{j}(-14 + 15) + \hat{k}(10 - 3) = 18\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
समतल का समीकरण $18x - y + 7z = d$ है।
चूंकि समतल $(2, 3, -5)$ से गुजरता है,हमारे पास $18(2) - (3) + 7(-5) = d$ है,जो $36 - 3 - 35 = d$ देता है,इसलिए $d = -2$.
समतल का समीकरण $18x - y + 7z = -2$ या $-18x + y - 7z = 2$ है।
इसे $ax + by + cz = d$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -18, b = 1, c = -7, d = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\text{gcd}(|-18|, |1|, |-7|, 2) = 1$ और $d > 0$ है,ये मान सही हैं।
अंत में,$a + 7b + c + 20d = -18 + 7(1) + (-7) + 20(2) = -18 + 7 - 7 + 40 = 22$.

(C) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(a, b, c)$ का सूत्र $\frac{a - x_1}{A} = \frac{b - y_1}{B} = \frac{c - z_1}{C} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D)}{A^2 + B^2 + C^2}$ है।
यहाँ बिंदु $(2, 4, 7)$ और समतल $3x - y + 4z - 2 = 0$ दिया गया है,इसलिए $A=3, B=-1, C=4, D=-2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(3(2) - 1(4) + 4(7) - 2)}{3^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(6 - 4 + 28 - 2)}{9 + 1 + 16} = \frac{-2(28)}{26} = \frac{-28}{13}$.
अब $a, b, c$ का मान ज्ञात करने पर:
$a = 2 + 3(\frac{-28}{13}) = \frac{-58}{13}$.
$b = 4 - 1(\frac{-28}{13}) = \frac{80}{13}$.
$c = 7 + 4(\frac{-28}{13}) = \frac{-21}{13}$.
अंत में,$2a + b + 2c$ की गणना करने पर:
$2(\frac{-58}{13}) + \frac{80}{13} + 2(\frac{-21}{13}) = \frac{-116 + 80 - 42}{13} = \frac{-78}{13} = -6$.