Plane Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમતલો $2x + y + z + 1 = 0$ અને $2x + y + z + \alpha = 0$ છે.
$x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,આ સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2, B = 1, C = 1, D_1 = 1, D_2 = \alpha$ અને $d = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{6}}$.
$|1 - \alpha| = 3\sqrt{6}$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 - \alpha = 3\sqrt{6}$ અથવા $1 - \alpha = -3\sqrt{6}$.
તેથી,$\alpha = 1 - 3\sqrt{6}$ અથવા $\alpha = 1 + 3\sqrt{6}$.
$\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગુણાકાર $(1 - 3\sqrt{6})(1 + 3\sqrt{6})$ છે.
નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$1^2 - (3\sqrt{6})^2 = 1 - (9 \times 6) = 1 - 54 = -53$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,અને $C = (0, 0, c)$ છે.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ થી સમતલ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 12$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલો $x=a$,$y=b$,અને $z=c$ નું છેદબિંદુ છે,તેથી $P \equiv (a, b, c)$ થાય.
$(a, b, c)$ ને $(x, y, z)$ દ્વારા બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\right)$ મળે છે.

(D) સમતલ $2x - y + 2z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ સમતલ બિંદુ $(-2, 1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(-2) - (1) + 2(-1) + k = 0
\Rightarrow -4 - 1 - 2 + k = 0
\Rightarrow k = 7$.
આમ,સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $2x - y + 2z + 7 = 0$ છે.
ધારો કે $(a, b, c)$ એ બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી સમતલ $\pi$ પરના લંબપાદના યામ છે.
બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, -1, 2)$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{-1} = \frac{c - 1}{2} = \lambda$ થાય.
આના પરથી $a = 2\lambda + 1$,$b = -\lambda + 2$,અને $c = 2\lambda + 1$ મળે.
$(a, b, c)$ એ સમતલ $\pi$ પર હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 2) + 2(2\lambda + 1) + 7 = 0
\Rightarrow 4\lambda + 2 + \lambda - 2 + 4\lambda + 2 + 7 = 0
\Rightarrow 9\lambda + 9 = 0
\Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $a, b, c$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$a = 2(-1) + 1 = -1$,
$b = -(-1) + 2 = 3$,
$c = 2(-1) + 1 = -1$.
તેથી,લંબપાદના યામ $(-1, 3, -1)$ છે.

(B) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\vec{n_1} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right|$ છે.
અહીં ગણતરી કરતા,$\cos \theta = \frac{6 \sqrt{2}}{13}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1} \left( \frac{6 \sqrt{2}}{13} \right)$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 4$ છે,જેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $4x - 3y + 2z - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(2, 3, -5)$ અને સમતલના સહગુણકો $A=4, B=-3, C=2, D=-4$ મૂકતા:
$d = \frac{|4(2) - 3(3) + 2(-5) - 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|8 - 9 - 10 - 4|}{\sqrt{16 + 9 + 4}}$
$d = \frac{|-15|}{\sqrt{29}} = \frac{15}{\sqrt{29}}$.

(C) આપેલ સમતલ $2x-y+2z+3=0$ $(1)$ છે.
બીજું સમતલ $4x-2y+4z+\lambda=0$ છે,જેને $2x-y+2z+\frac{\lambda}{2}=0$ $(2)$ તરીકે લખી શકાય.
$(1)$ અને $(2)$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{1}{3}$ છે.
$\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow |\frac{\lambda}{2}-3| = 1$.
આથી $\frac{\lambda}{2}-3 = 1$ અથવા $\frac{\lambda}{2}-3 = -1$.
તેથી,$\lambda = 8$ અથવા $\lambda = 4$.
ત્રીજું સમતલ $2x-y+2z+\mu=0$ $(3)$ છે.
$(1)$ અને $(3)$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\mu-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{2}{3}$ છે.
$\frac{|\mu-3|}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow |\mu-3| = 2$.
આથી $\mu-3 = 2$ અથવા $\mu-3 = -2$.
તેથી,$\mu = 5$ અથવા $\mu = 1$.
$\lambda+\mu$ ની મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,આપણે $\lambda=8$ અને $\mu=5$ લઈએ છીએ.
આમ,$\lambda+\mu = 8+5 = 13$.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(-a^2, 1, 1)$,$B(1, -a^2, 1)$,$C(1, 1, -a^2)$,અને $D(-1, -1, 1)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ શૂન્ય થાય,અથવા તેમના દ્વારા બનતા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય.
સદિશો $\vec{AB} = (1+a^2, -a^2-1, 0)$,$\vec{AC} = (1+a^2, 0, -a^2-1)$,અને $\vec{AD} = (-1+a^2, -2, 0)$ લો.
એક સમતલીય હોવાની શરત $\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = 0$ છે.
$\begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) & 0 \\ 1+a^2 & 0 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા: $(1+a^2) \begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$.
$(1+a^2) [-2(1+a^2) + (1+a^2)(a^2-1)] = 0$.
$(1+a^2)^2 (a^2 - 3) = 0$.
$a$ વાસ્તવિક હોવાથી,$1+a^2 \neq 0$,તેથી $a^2 - 3 = 0$,જે $a = \pm \sqrt{3}$ આપે છે.
આમ,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

(B) આ પ્રશ્ન એવા બિંદુ વિશે પૂછે છે જે ત્રણ આપેલા બિંદુઓ: $A = (\sqrt{2}, 1, 4)$,$B = (0, -1, 0)$,અને $C = (0, 0, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ પર આવેલું હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે બિંદુઓનો ઉપયોગ સમતલ નક્કી કરવા માટે થાય છે,તે બિંદુઓ સમતલ પર જ આવેલા હોય છે.
અહીં બિંદુ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ એ સ્પષ્ટપણે આપેલું છે કે સમતલ તેમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે બિંદુ સમતલ પર જ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ એ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમતલ $x-2y+2z-5=0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x-2y+2z+k=0$ સ્વરૂપનું હોય.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી આ સમતલનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$ છે.
આપેલ છે કે અંતર $d = 1$,તેથી $1 = \frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}}$,જેનું સાદું રૂપ $1 = \frac{|k|}{\sqrt{9}}$ થાય.
આમ,$1 = \frac{|k|}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 3$,તેથી $k = \pm 3$.
તેથી,શક્ય સમીકરણો $x-2y+2z+3=0$ અથવા $x-2y+2z-3=0$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x-2y+2z-3=0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) બિંદુ $\overrightarrow{p}$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\overrightarrow{q}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\overrightarrow{q} \cdot (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{p} = 4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{q} = 9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})) = 0$.
$(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot ((x-4)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-1)\hat{k}) = 0$.
$9(x-4) - 2(y+1) + 6(z-1) = 0$.
$9x - 36 - 2y - 2 + 6z - 6 = 0$.
$9x - 2y + 6z - 44 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-44|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{44}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{44}{\sqrt{121}} = \frac{44}{11} = 4$.

(D) બિંદુ $(1,2,2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1)+b(y-2)+c(z-2)=0$ છે ...$(i)$
આ સમતલ,સમતલો $x-y+2z=3$ અને $2x-2y+z+12=0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(-2+2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ મળે.
આથી $a=3, b=3, c=0$ લેતા.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(x-1) + 3(y-2) + 0(z-2) = 0$
$3(x-1 + y-2) = 0$
$x+y-3=0$.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P(1,2,3)$ આપેલ છે.
કારણ કે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ અને લંબપાદ $(1,2,3)$ ને જોડતી રેખા સમતલને લંબ છે,તેથી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતા અભિલંબવાળા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $(1, 2, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(C) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે. કારણ કે અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી દિશા કોસાઇન સમાન છે,એટલે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$. આનો અર્થ એ છે કે $a = b = c$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z = d$ સ્વરૂપનું છે.
સમતલ $(-1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-1 + 2 + 3 = d
\Rightarrow d = 4$.
$d$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + y + z = 4$
$x + y + z - 4 = 0$.

(D) આપેલ સમતલો $2x + 3y + 4z + 7 = 0$ અને $4x + ky + 8z + 1 = 0$ સમાંતર હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર છે.
તેથી,$\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{4}{8}$.
$\frac{2}{4} = \frac{3}{k}$ પરથી,આપણને $k = 6$ મળે છે.
હવે,આપણે બિંદુ $(k, k, k) = (6, 6, 6)$ માંથી પસાર થતા અને $(k-1, k, k+1) = (5, 6, 7)$ અભિલંબના દિકગુણોત્તર ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$5(x - 6) + 6(y - 6) + 7(z - 6) = 0$.
$5x - 30 + 6y - 36 + 7z - 42 = 0$.
$5x + 6y + 7z = 108$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આપેલ છે કે $a = \frac{5}{2}$,તેથી સમીકરણ $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ બને છે.
સમતલ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{5}$.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}} = \frac{5}{7}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{25} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = (\frac{7}{5})^2 = \frac{49}{25}$.
$(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{bc}$ નો ઉપયોગ કરીને,$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{49}{25} - \frac{4}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$ મળે છે.
તેથી,$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{5} + \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{9}{25} - \frac{45}{25} = \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{2}{bc} = -\frac{36}{25} \Rightarrow bc = -\frac{50}{36} = -\frac{25}{18}$.
હવે,$\frac{b+c}{bc} = \frac{3}{5} \Rightarrow b+c = \frac{3}{5} \times (-\frac{25}{18}) = -\frac{5}{6}$.
આમ $b+c = -\frac{5}{6}$ અને $bc = -\frac{25}{18}$ એ $t^2 - (b+c)t + bc = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 + \frac{5}{6}t - \frac{25}{18} = 0$.
$18$ વડે ગુણતા,$18t^2 + 15t - 25 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$(6t-5)(3t+5) = 0$,તેથી $t = \frac{5}{6}$ અથવા $t = -\frac{5}{3}$.
$y$-અંતઃખંડ $b$ ઋણ હોવાથી,$b = -\frac{5}{3}$.

(D) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ છે.
અહીં બિંદુ $A(-2, 1, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી $A=3, B=1, C=5$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(x - (-2)) + 1(y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3(x + 2) + (y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3x + 6 + y - 1 + 5z - 15 = 0$
$3x + y + 5z - 10 = 0$.
આને $ax + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3, b = 1, c = 5, d = -10$ મળે.
હવે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\frac{a + b}{c + d} = \frac{3 + 1}{5 - 10} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$.

(A) સમતલના અભિલંબના દિશાના ગુણોત્તર $(1, 2, 2)$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x+2y+2z=d$ થશે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{1}{3}$ છે,તેથી લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\frac{-d}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow \left|\frac{-d}{3}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow |d|=1$.
$d=1$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $x+2y+2z-1=0$ મળે છે.
આને $x+py+qz+r=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p=2, q=2, r=-1$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{p^2+q^2+r^2} = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

(B) સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (2,3,-1)$ અને $\vec{n}_2 = (1,-1,2)$ ને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(4+1) + \hat{k}(-2-3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (1, -1, -1)$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $(1,0,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $1(x-1) - 1(y-0) - 1(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x-y-z=0$ થાય છે.
બિંદુ $(11,7,5)$ માંથી પસાર થતા અને $\pi$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x-y-z = k$ છે. બિંદુ $(11,7,5)$ મુકતા,આપણને $11-7-5 = k$ મળે છે,તેથી $k = -1$.
સમીકરણ $x-y-z = -1$ અથવા $x-y-z+1=0$ છે.
તેને $ax+by-z-d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, d=-1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{b} + \frac{b}{d} = \frac{1}{-1} + \frac{-1}{-1} = -1 + 1 = 0$.

(C) $3x + 4y - 5z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y - 5z + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આ સમતલ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(1) + 4(2) - 5(3) + k = 0$
$3 + 8 - 15 + k = 0$
$k - 4 = 0 \Rightarrow k = 4$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y - 5z + 4 = 0$ છે,જેને $3x + 4y - 5z = -4$ તરીકે લખી શકાય.
$-4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3x}{-4} + \frac{4y}{-4} - \frac{5z}{-4} = 1$
$\frac{x}{-4/3} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{4/5} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -4/3, b = -1, c = 4/5$.
હવે,$3a + b + 5c$ ની ગણતરી કરતા:
$3(-4/3) + (-1) + 5(4/5) = -4 - 1 + 4 = -1$.

(A) સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ એ બિંદુ $P(-2,3,6)$ અને લંબપાદ $F(3,4,-7)$ ને જોડતો સદિશ છે.
તેથી,અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(3 - (-2), 4 - 3, -7 - 6) = (5, 1, -13)$ છે.
બિંદુ $(3,4,-7)$ માંથી પસાર થતા અને $(5, 1, -13)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $5(x - 3) + 1(y - 4) - 13(z + 7) = 0$ છે.
$5x - 15 + y - 4 - 13z - 91 = 0$
$5x + y - 13z = 110$.
અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં લખીએ:
$\frac{5x}{110} + \frac{y}{110} - \frac{13z}{110} = 1$
$\frac{x}{22} + \frac{y}{110} + \frac{z}{-\frac{110}{13}} = 1$.
$X$-અંતઃખંડ $a = 22$ છે અને $Y$-અંતઃખંડ $b = 110$ છે.
$X$ અને $Y$-અંતઃખંડોનો સરવાળો $22 + 110 = 132$ થાય છે.

(B) પગલું-$1$: બિંદુઓ $P(4,-3,1)$ અને $Q(2,3,-5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો.
$M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$.
પગલું-$2$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગીને તેને સરળ બનાવી શકીએ છીએ,જેથી $\vec{n}' = (1, -3, 3)$ મળે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$ થશે.
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0 \Rightarrow x - 3y + 3z + 3 = 0$.
અહીં,$a=1, b=-3, c=3, d=3$.
પગલું-$3$: $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ની ગણતરી કરો: $(1)^2 + (-3)^2 + (3)^2 + (3)^2 = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$.

(D) ધારો કે બિંદુઓના યામ $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,અને $C = (0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}) = (2, -3, 5)$ આપેલું હોવાથી,$a = 6$,$b = -9$,અને $c = 15$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જે $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$ થાય છે.
આને $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \frac{1}{6}$,$B = -\frac{1}{9}$,$C = \frac{1}{15}$,અને $D = -1$ છે.
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (-\frac{1}{9})^2 + (\frac{1}{15})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225}}}$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225} = \frac{225 + 100 + 36}{8100} = \frac{361}{8100}$.
તેથી,$d = \frac{1}{\sqrt{\frac{361}{8100}}} = \frac{90}{19}$.

(D) ધારો કે સમતલ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ ને બિંદુ $Q$ પર $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$Q$ ના યામ:
$Q = \left( \frac{2(3) + 1(-3)}{2+1}, \frac{2(1) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1} \right) = \left( \frac{6-3}{3}, \frac{2-2}{3}, \frac{-4+7}{3} \right) = (1, 0, 1)$.
રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર (DRs) $(3 - (-3), 1 - (-2), -2 - 7) = (6, 3, -9)$ છે.
સમતલ $AB$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (6, 3, -9)$ છે,જેને $(2, 1, -3)$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
બિંદુ $Q(1, 0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(2, 1, -3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$2(x-1) + 1(y-0) - 3(z-1) = 0$
$2x - 2 + y - 3z + 3 = 0$
$2x + y - 3z + 1 = 0$
$2x + y - 3z = -1$
$-1$ વડે ભાગતા:
$-2x - y + 3z = 1$
$\frac{x}{-1/2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{1/3} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,$y$-અંતઃખંડ $b = -1$ મળે છે.

(A) સમતલ $S_1: x - 2y + 2z + 3 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલ $S_2: 3x - 2y + 4z - 4 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n}_1$ અને $\vec{n}_2$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 + 4) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(-2 + 6) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-4(x - 2) + 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$ છે.
$-4x + 8 + 2y - 2 + 4z - 12 = 0$.
$-4x + 2y + 4z - 6 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x - y - 2z + 3 = 0$ મળે છે.

(B) સમતલ બિંદુ $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને તે સદિશો $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{N}$ એ બે સમાંતર સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{N} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{N} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ છે,જ્યાં $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
$((x-3) \hat{i} + (y-2) \hat{j} + (z-6) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}) = 0$
$2(x-3) - 1(y-2) - 3(z-6) = 0$
$2x - 6 - y + 2 - 3z + 18 = 0$
$2x - y - 3z + 14 = 0$
$2x - y - 3z = -14$.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $4x + 3y + 2z = 2$ છે.
અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં ફેરવીએ.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{4x}{2} + \frac{3y}{2} + \frac{2z}{2} = \frac{2}{2}$
$\frac{x}{1/2} + \frac{y}{2/3} + \frac{z}{1} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,અંતઃખંડો $a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{2}{3}$,અને $c = 1$ મળે છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1$ થાય.
$2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $6$ લેતા:
$a + b + c = \frac{3 + 4 + 6}{6} = \frac{13}{6}$.

(A) આપેલ સમતલો $2x - y + z = 6$ અને $x + y + 2z = 3$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માન શોધતા: $||\vec{n}_1|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ અને $||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(B) બિંદુ $A(\vec{a})$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $A = (2, 1, -3)$,તેથી $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$.
આપેલ લંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$((x - 2)\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z + 3)\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$3(x - 2) - 1(y - 1) + 2(z + 3) = 0$
$3x - 6 - y + 1 + 2z + 6 = 0$
$3x - y + 2z + 1 = 0$.
હવે,વિકલ્પ $B$ માં આપેલા બિંદુઓ ચકાસો:
$(\frac{1}{3}, 3, \frac{1}{2})$ માટે: $3(\frac{1}{3}) - 3 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
$(1, 5, \frac{1}{2})$ માટે: $3(1) - 5 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 3 - 5 + 1 + 1 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
આમ,સમતલ વિકલ્પ $B$ માં આપેલા બિંદુઓ ધરાવે છે.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને લંબપાદ $A(2, 1, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{OA}$ એ સમતલને લંબ છે.
$\vec{OA} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{n}$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(\vec{r} - (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં,જ્યાં $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે,સમીકરણ $2x + y + 2z = 9$ થાય છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ છે. તે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી એક એકમ અંતરે હોવાથી,$\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$.
$\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ છે.
તેથી,$x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{c}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$.
આ કિંમતોને $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{(3x)^2}+\frac{1}{(3y)^2}+\frac{1}{(3z)^2}=1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{9x^2}+\frac{1}{9y^2}+\frac{1}{9z^2}=1$,અથવા $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=9$ મળે છે.
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=9$ મળે છે.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
આપેલા બિંદુઓ $(1,1,1)$,$(1,-1,1)$ અને $(-7,-3,-5)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1-1 & -1-1 & 1-1 \\ -7-1 & -3-1 & -5-1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -8 & -4 & -6 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)((-2)(-6) - (0)(-4)) - (y-1)((0)(-6) - (0)(-8)) + (z-1)((0)(-4) - (-2)(-8)) = 0$
$(x-1)(12) - (y-1)(0) + (z-1)(-16) = 0$
$12x - 12 - 16z + 16 = 0$
$12x - 16z + 4 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$3x - 4z + 1 = 0$
અહીં $y$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(3, 0, -4)$ છે,જે $Y$-અક્ષને લંબ છે. તેથી,સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે.

(C) ધારો કે ત્રણ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b}-\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i}-7\hat{j}-3\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
$(x-2)(-1) + (y-3)(-7) + (z+1)(-3) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા $x+7y+3z = 20$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ના બિંદુઓ ચકાસતા:
$2 \hat{i}-3 \hat{j}+13 \hat{k}$ માટે: $2 + 7(-3) + 3(13) = 20$. (સંતોષાય છે)
$2 \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+\frac{5}{2} \hat{k}$ માટે: $2 + 7(\frac{3}{2}) + 3(\frac{5}{2}) = 20$. (સંતોષાય છે)
આમ,વિકલ્પ $C$ ના બિંદુઓ સમતલ પર આવેલા છે.

(B) સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 2z + 5 = 0$ આપેલ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ નું લંબ અંતર $P$ શોધવાનું સૂત્ર:
$P = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$.
સમતલના સહગુણકો $a = 1, b = 2, c = -2$ અને $d = 5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left| \frac{1(0) + 2(0) - 2(0) + 5}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{9}} \right|$.
$P = \frac{5}{3}$ એકમ.

(A) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી અંતર શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં,સમતલ $2x - y - 2z - 9 = 0$ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
કિંમતો $A = 2, B = -1, C = -2, D = -9$ અને $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ મૂકતા:
$d = \left| \frac{2(0) + (-1)(0) + (-2)(0) - 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-9}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right| = \left| \frac{-9}{\sqrt{9}} \right| = \left| \frac{-9}{3} \right| = 3 \text{ એકમ.}$

(A) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
અહીં આપેલ છે કે અંતઃખંડો $a = 1, b = 2, c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપવા માટે,સમીકરણને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ એટલે કે $4$ વડે ગુણતા:
$4 \times (\frac{x}{1}) + 4 \times (\frac{y}{2}) + 4 \times (\frac{z}{4}) = 4 \times 1$.
આથી,$4x + 2y + z = 4$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $x+2y+2z-5=0$ અને $3x+3y+2z-8=0$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(3) + (2)(3) + (2)(2) = 3 + 6 + 4 = 13$.
માનની ગણતરી: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{13}{3\sqrt{22}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{3\sqrt{22}}\right)$.

(A) આપેલ સમતલો $P_1: 2x - 3y + 6z + 21 = 0$ અને $P_2: 2x - 3y + 6z - 14 = 0$ છે.
સમતલો સમાંતર હોવાથી,મધ્ય-સમાંતર સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(2, -3, 6)$ સમાન રહેશે.
ધારો કે મધ્ય-સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z + d = 0$ છે.
જ્યારે $x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન હોય,ત્યારે મધ્ય-સમતલનો અચળ પદ $d$ એ આપેલ બે સમતલોના અચળ પદોની સરેરાશ હોય છે.
અહીં $d = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{21 + (-14)}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ છે.
તેથી,સમીકરણ $2x - 3y + 6z + 3.5 = 0$ થાય.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4x - 6y + 12z + 7 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = -5\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) + \mu(\vec{c} - \vec{a})$ છે.
પ્રથમ,દિશા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{b} - \vec{a} = (-5\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\vec{c} - \vec{a} = (-3\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \lambda(-\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) + \mu(-4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k})$.
ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} + (-2 - 3\lambda + 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$.
આને $\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} - (2 + 3\lambda - 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(-2,1,3), B(1,1,1), C(2,3,4)$ છે.
સમતલ પરના સદિશો:
$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$:
$\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$
બિંદુ $A(-2,1,3)$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$4(x + 2) - 11(y - 1) + 6(z - 3) = 0$
$4x - 11y + 6z + 1 = 0$
અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = p$ માં ફેરવવા માટે,$\sqrt{4^2 + (-11)^2 + 6^2} = \sqrt{173}$ વડે ભાગતા:
$-4x + 11y - 6z = 1$
$\left(\frac{-4}{\sqrt{173}}\right)x + \left(\frac{11}{\sqrt{173}}\right)y + \left(\frac{-6}{\sqrt{173}}\right)z = \frac{1}{\sqrt{173}}$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને લંબપાદ $P(1, 2, 3)$ છે.
કારણ કે $OP$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર એ રેખાખંડ $OP$ ના દિકગુણોત્તર સમાન જ હોય.
$OP$ ના દિકગુણોત્તર $\langle 1-0, 2-0, 3-0 \rangle = \langle 1, 2, 3 \rangle$ છે.
આમ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $\langle a, b, c \rangle$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ અને અભિલંબ $\langle 1, 2, 3 \rangle$ મૂકતા:
$1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયો વિકલ્પ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(B) (7, 2, 1)$ માટે:
$7 + 2(2) + 3(1) - 14 = 7 + 4 + 3 - 14 = 14 - 14 = 0$.
બિંદુ $(7, 2, 1)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,તે સમતલ પર આવેલું છે.

(A) રેખા બિંદુ $A(3, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે. રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{3}$ છે.
$AP = AQ = 3$ હોવાથી,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $\vec{A} \pm 3\hat{u}$ દ્વારા મળે છે.
$P, Q = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \pm (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$.
તેથી,$P = 5 \hat{i} + \hat{k}$ અને $Q = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મળે છે.
સમતલ $OPQ$ ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{OP} = 5 \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{OQ} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ ને સમાવે છે.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = s \vec{OP} + t \vec{OQ} = s(5 \hat{i} + \hat{k}) + t(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (5s+t) \hat{i} + 2t \hat{j} + (s-3t) \hat{k}$ થાય છે. વિકલ્પ $A$ એ સમાન સમતલ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$A, B,$ અને $C$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં આ મુજબ છે: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ... $(i)$.
આ સમતલ નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણને મળે: $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$.
સમતલ $P_1$ એ $A(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $YZ$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x = a$ છે.
સમતલ $P_2$ એ $B(0, b, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $ZX$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = b$ છે.
સમતલ $P_3$ એ $C(0, 0, c)$ માંથી પસાર થાય છે અને $XY$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $z = c$ છે.
આ ત્રણ સમતલો $P_1, P_2,$ અને $P_3$ નું છેદબિંદુ $(a, b, c)$ છે.
ધારો કે આ છેદબિંદુના યામ $(x, y, z)$ છે. આમ,$x = a, y = b,$ અને $z = c$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને બિંદુપથ મળે છે: $\frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{y} + \frac{\gamma}{z} = 1$.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ: $x+3y+2z=9$.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4.5} = 1$ મળે છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a=9$,$b=3$,અને $c=\frac{9}{2}$ છે.
આ અંતઃખંડો જરૂરી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર છે,તેથી $\vec{n} = 9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $(3, 5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}) = (3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k})$.
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 27 + 15 + \frac{63}{2}$.
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 42 + 31.5 = 73.5$.
સાદું રૂપ આપવા માટે $\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા: $6x + 2y + 3z = 49$.

(C) બિંદુ $A(3, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 4\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$4(x - 3) + 7(y + 2) - 4(z - 1) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$4x - 12 + 7y + 14 - 4z + 4 = 0$,એટલે કે $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $L = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$P = (1, 2, -1)$ અને સમતલ $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$L = \frac{|4(1) + 7(2) - 4(-1) + 6|}{\sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2}}$.
$L = \frac{|4 + 14 + 4 + 6|}{\sqrt{16 + 49 + 16}} = \frac{|28|}{\sqrt{81}} = \frac{28}{9}$.
આમ,$PM$ ની લંબાઈ $\frac{28}{9}$ એકમ છે.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ છે. માંગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ એટલે કે $x + y + 1 = 0$ થાય.
બિંદુ $(1, 2, 2)$ થી સમતલ $x + y + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(C) ધારો કે સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $a(x-2) + b(y-0) + c(z-1) = 0$ છે,જે $ax + by + cz = 2a + c$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલ $(3, -3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3a - 3b + 4c = 2a + c$,જે $a - 3b + 3c = 0$ આપે છે.
સમતલ $\pi$ એ $x - 2y + z = 6$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $a(1) + b(-2) + c(1) = 0$,જે $a - 2b + c = 0$ આપે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$a - 3b + 3c = 0$
$a - 2b + c = 0$
બાદબાકી કરતા: $(-3b - (-2b)) + (3c - c) = 0 \implies -b + 2c = 0 \implies b = 2c$.
$b = 2c$ ને $a - 2b + c = 0$ માં મૂકતા: $a - 2(2c) + c = 0 \implies a - 3c = 0 \implies a = 3c$.
$c = 1$ લેતા,$a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.
સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $3x + 2y + z = 7$ છે.
કોઈ સમતલ $\pi$ ને લંબ હોય જો તેનો અભિલંબ સદિશ $\pi$ ના અભિલંબ સદિશ $(3, 2, 1)$ ને લંબ હોય.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: અભિલંબ સદિશ $(1, -1, -1)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $(3)(1) + (2)(-1) + (1)(-1) = 3 - 2 - 1 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલ $x - y - z + 1 = 0$ એ $\pi$ ને લંબ છે.