Plane Questions in Gujarati

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $(2, -3, 6)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -3, 6)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z = d$ થશે.
બિંદુ $(2, -3, 6)$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - 3(-3) + 6(6) = d$
$4 + 9 + 36 = d$
$d = 49$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z = 49$ છે,જેને $2x - 3y + 6z - 49 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ધારો કે માંગેલ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે.
સમતલ $(4,4,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $a(x-4) + b(y-4) + c(z-0) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x+y+2z+3=0$ અને $3x+3y+2z-8=0$ ને લંબ છે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ એ આપેલ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = \langle 2, 1, 2 \rangle$ અને $\vec{n_2} = \langle 3, 3, 2 \rangle$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(4-6) + \hat{k}(6-3) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle -4, 2, 3 \rangle$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $-4(x-4) + 2(y-4) + 3(z-0) = 0$ થશે.
$-4x + 16 + 2y - 8 + 3z = 0$.
$-4x + 2y + 3z + 8 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x - 2y - 3z = 8$ થાય છે.

(D) આપેલ સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (1+\lambda-\mu) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$.
આ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
તેથી,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,અથવા $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ મૂકતા,આપણને $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + z = 5$ થાય છે.

(C) સમતલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{b} = (1, -2, 4)$ અને $\vec{c} = (3, 2, -5)$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને સદિશો $\vec{b} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{c} = (a_2, b_2, c_2)$ ને સમાંતર સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x - 3 & y + 2 & z + 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x - 3)((-2)(-5) - (4)(2)) - (y + 2)((1)(-5) - (4)(3)) + (z + 1)((1)(2) - (-2)(3)) = 0$
$(x - 3)(10 - 8) - (y + 2)(-5 - 12) + (z + 1)(2 + 6) = 0$
$2(x - 3) + 17(y + 2) + 8(z + 1) = 0$
$2x - 6 + 17y + 34 + 8z + 8 = 0$
$2x + 17y + 8z + 36 = 0$

(A) સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{4}, c = \frac{1}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{1/3} + \frac{y}{1/4} + \frac{z}{1/5} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3x + 4y + 5z = 1$ અથવા $3x + 4y + 5z - 1 = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3, B = 4, C = 5$ અને $D = -1$ છે.
તેથી,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5 \sqrt{2}}$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2, 3, -1)$ માટે,સમીકરણ $a(x-2) + b(y-3) + c(z+1) = 0 \dots (i)$ છે.
સમતલ એ $(3, -4, 7)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ આ રેખાને સમાંતર છે.
તેથી,આપણે $a=3, b=-4, c=7$ લઈ શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(x-2) - 4(y-3) + 7(z+1) = 0$
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=3, B=-4, C=7, D=13$ છે.
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(B) યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં છેદતા સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ $\ldots$ $(i)$
શિરોબિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર:
$\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 4)$ છે,તેથી યામોને સરખાવતા:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \Rightarrow c = 12$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા:
$4x + 2y + z = 12$

(D) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $3x - 2y - z = 18$ છે.
બંને બાજુ $18$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{3x}{18} - \frac{2y}{18} - \frac{z}{18} = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{-18} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 6, b = -9, c = -18$ મળે છે.
આમ,સમતલ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓના યામ $A(6, 0, 0)$,$B(0, -9, 0)$ અને $C(0, 0, -18)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
$G = \left(\frac{6+0+0}{3}, \frac{0-9+0}{3}, \frac{0+0-18}{3}\right)$
$G = (2, -3, -6)$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(0,0,1)$,$B(0,1,2)$ અને $C(1,0,3)$ છે.
સમતલ પર આવેલા સદિશો $\vec{AB} = (0-0, 1-0, 2-1) = (0,1,1)$ અને $\vec{AC} = (1-0, 0-0, 3-1) = (1,0,2)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 0) - \hat{j}(0 \times 2 - 1 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$\vec{n} = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-1)$
$\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
તેથી,અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(2,1,-1)$ છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $by + cz + d = 0$ છે.
સમીકરણમાં $x$ ચલ ગેરહાજર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
આ અભિલંબ સદિશ $YOZ$-સમતલમાં રહેલો છે.
જ્યારે બે સમતલના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તે બે સમતલ પણ પરસ્પર લંબ હોય છે.
$YOZ$-સમતલનો અભિલંબ $x$-અક્ષ છે,જે $\hat{i}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = b\hat{j} + c\hat{k}$ અને $x$-અક્ષના સદિશ $\hat{i}$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલ $by + cz + d = 0$ એ $YOZ$-સમતલને લંબ છે.

(C) પ્રથમ,આપણે $2001$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ.
$2001 = 3 \times 23 \times 29$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $2001$ ના અવયવો છે જ્યાં $a < b < c$,તેથી $a = 3$,$b = 23$,અને $c = 29$ મળે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $b, c, a$ એટલે કે $23, 29, 3$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(b, c, a)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $b(x - x_0) + c(y - y_0) + a(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$23(x - 1) + 29(y - 1) + 3(z - 1) = 0$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$23x - 23 + 29y - 29 + 3z - 3 = 0$.
$23x + 29y + 3z - 55 = 0$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $23x + 29y + 3z = 55$ છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $7x + 11y + 13z = 3003$ છે.
આખા સમીકરણને $3003$ વડે ભાગતા,આપણને સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{7x}{3003} + \frac{11y}{3003} + \frac{13z}{3003} = 1$
$\frac{x}{429} + \frac{y}{273} + \frac{z}{231} = 1$
આ સમતલ યામ અક્ષોને $A, B$ અને $C$ બિંદુઓ પર મળે છે. આ બિંદુઓ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે:
$A = (429, 0, 0)$
$B = (0, 273, 0)$
$C = (0, 0, 231)$
શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{429+0+0}{3}, \frac{0+273+0}{3}, \frac{0+0+231}{3}\right)$
મધ્યકેન્દ્ર $= (143, 91, 77)$.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી લંબપાદ $(1,2,2)$ સુધીનો સદિશ છે.
$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
અહીં,$(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 2)$ અને $(a, b, c) = (1, 2, 2)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમને સમાવતું સમતલ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આવા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે.
$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -5 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-15)) - \hat{j}(-3 - (-10)) + \hat{k}(9 - 2)$
$\vec{n} = 14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$
$7$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + z = 0$ થાય છે.

(C) સમતલ $\pi$ એ $(3,-3,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(3,4,-1)$ તથા $(2,-1,5)$ ને જોડતી રેખાને લંબ છે.
સમતલ $\pi$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(3-2, 4-(-1), -1-5) = (1, 5, -6)$ છે.
તેથી,સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $1(x-3) + 5(y+3) - 6(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x+5y-6z+18=0$ થાય છે.
ધારો કે બીજું સમતલ $P_2: ax+y+cz-d=0$ છે. આ સમતલ $(3,4,-1)$ અને $(-1,2,5)$ બિંદુઓને સમાવે છે.
$(3,4,-1)$ એ $P_2$ પર હોવાથી,$3a+4+c(-1)-d=0 \Rightarrow 3a-c-d=-4$ ... $(i)$.
$(-1,2,5)$ એ $P_2$ પર હોવાથી,$-a+2+5c-d=0 \Rightarrow -a+5c-d=-2$ ... (ii).
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા,$4a-6c=-2 \Rightarrow 2a-3c=-1$ ... (iii).
$P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (a, 1, c)$ છે અને $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 5, -6)$ છે.
$P_2 \perp \pi$ હોવાથી,તેમના અભિલંબ પરસ્પર લંબ છે: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow a(1) + 1(5) + c(-6) = 0 \Rightarrow a-6c=-5$ ... (iv).
(iv) પરથી,$a = 6c-5$. તેને (iii) માં મૂકતા: $2(6c-5)-3c=-1 \Rightarrow 12c-10-3c=-1 \Rightarrow 9c=9 \Rightarrow c=1$.
તેથી $a = 6(1)-5 = 1$.
$a=1, c=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $3(1)-1-d=-4 \Rightarrow 2-d=-4 \Rightarrow d=6$.
અંતે,$3(a+c) = 3(1+1) = 6$. કારણ કે $d=6$,તેથી $3(a+c) = d$.

(A) $P(3,2,4)$ અને $Q(-1,0,-2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \left( \frac{3-1}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{4-2}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
રેખાખંડ $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(3 - (-1), 2 - 0, 4 - (-2)) = (4, 2, 6)$ છે.
સમતલ $PQ$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 4, 2, 6 \rangle$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $4x + 2y + 6z + d = 0$ થશે.
સમતલ મધ્યબિંદુ $R(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$4(1) + 2(1) + 6(1) + d = 0 \implies 4 + 2 + 6 + d = 0 \implies d = -12$.
$4x + 2y + 6z - 12 = 0$ ને $ax + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=4, b=2, c=6, d=-12$ મળે છે.
તેથી,$ac + bd = (4)(6) + (2)(-12) = 24 - 24 = 0$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 0, 6)$ અને $B(-6, 2, 4)$ છે.
સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને દુભાગે છે અને તેને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે તે $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right) = (-2, 1, 5)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} = (-6-2, 2-0, 4-6) = (-8, 2, -2)$ છે.
અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{n}' = (4, -1, 1)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4(x - (-2)) - 1(y - 1) + 1(z - 5) = 0$.
$4(x+2) - y + 1 + z - 5 = 0$.
$4x + 8 - y + z - 4 = 0$.
$4x - y + z + 4 = 0$.

(B) સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને લંબ છે અને તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ,રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો:
$M = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (-1, 2, 1)$.
ત્યારબાદ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો,જે સદિશ $\vec{AB}$ છે:
$\vec{n} = \vec{AB} = (-4 - 2, 1 - 3, -2 - 4) = (-6, -2, -6)$.
અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગીને સરળ બનાવી શકાય:
$\vec{n}' = (3, 1, 3)$.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3(x - (-1)) + 1(y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3(x + 1) + (y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3x + 3 + y - 2 + 3z - 3 = 0$
$3x + y + 3z - 2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે ... $(i)$
સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ માં મળે છે,તેથી $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 4)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \Rightarrow c = 12$
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$
$12$ વડે ગુણતા,$4x + 2y + z = 12$ મળે.

(A) ધારો કે $P$ એ સમતલ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ પરનું બિંદુ છે જે $A = \left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ ની સૌથી નજીક છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -2, 4)$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખા $P = A + c\vec{n} = \left(1 + 2c, \frac{3}{2} - 2c, 2 + 4c\right)$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $P$ સમતલ પર હોવાથી,યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1 + 2c) - 2\left(\frac{3}{2} - 2c\right) + 4(2 + 4c) + 5 = 0$.
$2 + 4c - 3 + 4c + 8 + 16c + 5 = 0$.
$24c + 12 = 0 \Rightarrow c = -\frac{1}{2}$.
$c = -\frac{1}{2}$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \left(1 + 2(-\frac{1}{2}), \frac{3}{2} - 2(-\frac{1}{2}), 2 + 4(-\frac{1}{2})\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$.

(D) આપેલ સમતલો $4x + 3y - 5 = 0$ અને $x + 2y + 2z - 4 = 0$ ના અભિલંબ $\vec{n_1} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને શોધવા માટે,આપણે પહેલા સદિશોને એકમ સદિશમાં ફેરવીએ:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$
એકમ સદિશો $\hat{n_1} = \frac{4}{5}\hat{i} + \frac{3}{5}\hat{j}$ અને $\hat{n_2} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $\hat{n_1} \pm \hat{n_2}$ સદિશની દિશામાં હોય છે.
સરવાળો લેતા: $(\frac{4}{5} + \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} + \frac{2}{3})\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{17}{15}\hat{i} + \frac{19}{15}\hat{j} + \frac{10}{15}\hat{k}$,જે $17\hat{i} + 19\hat{j} + 10\hat{k}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તફાવત લેતા: $(\frac{4}{5} - \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} - \frac{2}{3})\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{7}{15}\hat{i} - \frac{1}{15}\hat{j} - \frac{10}{15}\hat{k}$,જે $7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ ના પ્રમાણમાં છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ એ સાચો સદિશ છે.

(D) બે સમતલોના સમીકરણો $\bar{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{n}_1 = 11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સમતલો એકબીજાને લંબ છે.
બે લંબ સમતલો માટે,તેમના અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $(11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(11 \times 2) + (-2 \times 4) + (\alpha \times -2) = 0$.
$22 - 8 - 2\alpha = 0$.
$14 - 2\alpha = 0$.
$2\alpha = 14$.
$\alpha = 7$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2, -3)$,$B(3, -1, 4)$ અને $C(-3, 2, -5)$ છે.
પ્રથમ,આપણે સમતલમાં બે સદિશો શોધીએ: $\vec{AB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{AC} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = -30\hat{i} - 24\hat{j} + 12\hat{k}$.
$-6$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $5(x-1) + 4(y+2) - 2(z+3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 4y - 2z - 3 = 0$ થાય છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $5(-1) + 4(9) - 2(14) - 3 = -5 + 36 - 28 - 3 = 0$. આમ,બિંદુ $-\hat{i} + 9\hat{j} + 14\hat{k}$ સમતલ પર આવેલું છે.

(D) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r=(2+3 \lambda-\mu) \hat{i}+(1-2 \lambda+3 \mu) \hat{j}+(-2+2 \lambda+\mu) \hat{k}$ છે $\ldots$ $(i)$
ધારો કે $r=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ $\ldots$ (ii)
$(i)$ અને (ii) ના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x = 2+3 \lambda-\mu$ $\ldots$ (iii)
$y = 1-2 \lambda+3 \mu$ $\ldots$ (iv)
$z = -2+2 \lambda+\mu$ $\ldots$ $(v)$
(iii) અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $x+z = 2-2+3 \lambda+2 \lambda-\mu+\mu = 5 \lambda \Rightarrow \lambda = \frac{x+z}{5}$ $\ldots$ (vi)
$(v)$ પરથી,$\mu = z+2-2 \lambda = z+2-2(\frac{x+z}{5}) = \frac{5z+10-2x-2z}{5} = \frac{-2x+3z+10}{5}$
(iv) માં $\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $y = 1-2(\frac{x+z}{5})+3(\frac{-2x+3z+10}{5})$
$5y = 5-2x-2z-6x+9z+30$
$5y = -8x+7z+35$
$8x+5y-7z-35=0$

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ છે.
આપણે આને $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} - p\overrightarrow{a} - q\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b} + q\overrightarrow{c}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = p(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + q(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ મળે છે.
આ એક સમતલના સમીકરણનું પ્રચલિત સ્વરૂપ છે જે સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ અને $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ અસમતલીય છે,સદિશો $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ અને $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે,આમ તે એક અનન્ય સમતલ વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y - 5z = 60$ છે.
$60$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x}{20} + \frac{y}{15} - \frac{z}{12} = 1$.
આ સમતલ યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A(20, 0, 0)$,$B(0, 15, 0)$ અને $C(0, 0, -12)$ પર છેદે છે.
ચતુષ્ફલક ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ અને બિંદુઓ $A, B, C$ દ્વારા બને છે.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{OA} = 20\hat{i}$,$\vec{OB} = 15\hat{j}$,અને $\vec{OC} = -12\hat{k}$ છે.
$V = \frac{1}{6} |20\hat{i} \cdot (15\hat{j} \times -12\hat{k})| = \frac{1}{6} |20 \times 15 \times (-12)| = \frac{1}{6} |-3600| = 600$ ઘન એકમો.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x + y + z = K$ છે.
$K$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x}{K/2} + \frac{y}{K} + \frac{z}{K} = 1$.
સમતલ અને યામ સમતલો દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(K/2, 0, 0)$,$B(0, K, 0)$ અને $C(0, 0, K)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ સૂત્ર $V_{tet} = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \times \frac{K}{2} \times K \times K = \frac{K^3}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ઘનફળ $\frac{2V^3}{3}$ છે,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$\frac{K^3}{12} = \frac{2V^3}{3}$.
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા,આપણને $K^3 = 8V^3$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $K = 2V$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K}{V} = \frac{2}{1}$.
આમ,$K:V = 2:1$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) સમતલો $ax - y + 3z = 2a$ અને $3x + ay + z = 3a$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ અને $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ છે.
આપેલ છે કે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{|3a - a + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + a^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$.
$\frac{|2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 10} \sqrt{a^2 + 10}} = \frac{1}{2} \implies \frac{|2a + 3|}{a^2 + 10} = \frac{1}{2}$.
$2|2a + 3| = a^2 + 10$.
કિસ્સો $1$: $4a + 6 = a^2 + 10 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$.
કિસ્સો $2$: $-4a - 6 = a^2 + 10 \implies a^2 + 4a + 16 = 0$,જેના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$a = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $(2+2)x + (2-4)y + 2(2)z = 2$ એટલે કે $4x - 2y + 4z = 2$ અથવા $2x - y + 2z = 1$ બને છે.
આ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(2, -1, 2)$ છે.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
આ રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 5) - \hat{j}(-3 - 4) + \hat{k}(5 - 8) = -11\hat{i} + 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-11)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ છે.
દિકકોસાઇન $\frac{a}{|\vec{n}|}, \frac{b}{|\vec{n}|}, \frac{c}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અભિલંબ સદિશના ઘટકો છે.
આમ,દિકકોસાઇન $\frac{-11}{\sqrt{179}}, \frac{7}{\sqrt{179}}, \frac{-3}{\sqrt{179}}$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના દિકગુણોત્તરો અનુક્રમે $\vec{u} = \langle 1, -1, -1 \rangle$ અને $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $AC$ સમતલ $ABC$ માં આવેલી હોવાથી,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો આપશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-1 - (-2))$
$= \hat{i}(-2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1)$
$= -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
આમ,દિકગુણોત્તરો $\langle -2, -3, 1 \rangle$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને સમાન દિકગુણોત્તરો $\langle 2, 3, -1 \rangle$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (6-2, -3-1, 2-(-1)) = (4, -4, 3)$.
$\vec{AC} = (-3-2, 12-1, 4-(-1)) = (-5, 11, 5)$.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -4 & 3 \\ -5 & 11 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-20-33) - \hat{j}(20+15) + \hat{k}(44-20) = -53\hat{i} - 35\hat{j} + 24\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-53(x-2) - 35(y-1) + 24(z+1) = 0$ છે.
$-53x + 106 - 35y + 35 + 24z + 24 = 0$.
$-53x - 35y + 24z + 165 = 0$.
$53x + by + cz + d = 0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$53x + 35y - 24z - 165 = 0$.
અહીં,$b = 35$,$c = -24$,અને $d = -165$.
તેથી,$\frac{d}{b+c} = \frac{-165}{35 - 24} = \frac{-165}{11} = -15$.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PF}$ છે.
$\vec{PF} = (1-2, -2-0, 0-(-3)) = (-1, -2, 3)$.
સમતલનું સમીકરણ $ax+by-3z+d=0$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, -3)$ છે.
$(a, b, -3)$ ની સરખામણી $k(-1, -2, 3)$ સાથે કરતા,આપણને $k(-1) = a$,$k(-2) = b$ અને $k(3) = -3$ મળે છે.
આમ,$k = -1$.
તેથી,$a = -1(-1) = 1$ અને $b = -1(-2) = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $x+2y-3z+d=0$ છે.
બિંદુ $F(1,-2,0)$ સમતલ પર હોવાથી,$1 + 2(-2) - 3(0) + d = 0$.
$1 - 4 + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$.
આપણે $a+b+d = 1 + 2 + 3 = 6$ શોધવાનું છે.

(C) આપેલ સમતલો $P_1: -4x - 2y + 2z + \alpha = 0$ અને $P_2: 2x + y - z + 1 = 0$ છે.
પ્રથમ,$P_1$ ને $-2$ વડે ભાગતા: $2x + y - z - \frac{\alpha}{2} = 0$.
ધારો કે $k = -\frac{\alpha}{2}$. સમતલો $2x + y - z + k = 0$ અને $2x + y - z + 1 = 0$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = 2$,$A = 2$,$B = 1$,$C = -1$,$D_1 = k$,અને $D_2 = 1$.
$2 = \frac{|k - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{6}}$.
$|k - 1| = 2\sqrt{6}$.
$k - 1 = 2\sqrt{6}$ અથવા $k - 1 = -2\sqrt{6}$.
$k = 1 + 2\sqrt{6}$ અથવા $k = 1 - 2\sqrt{6}$.
કારણ કે $k = -\frac{\alpha}{2}$,તેથી $\alpha = -2k$.
$\alpha_1 = -2(1 + 2\sqrt{6}) = -2 - 4\sqrt{6}$ અને $\alpha_2 = -2(1 - 2\sqrt{6}) = -2 + 4\sqrt{6}$.
$\alpha$ ના મૂલ્યોનો ગુણાકાર $\alpha_1 \alpha_2 = (-2 - 4\sqrt{6})(-2 + 4\sqrt{6}) = (-2)^2 - (4\sqrt{6})^2 = 4 - 16(6) = 4 - 96 = -92$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(5,1,2)$,$B(3,-4,6)$ અને $C(7,0,-1)$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ 3-5 & -4-1 & 6-2 \\ 7-5 & 0-1 & -1-2 \end{vmatrix} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
$(x-5)(15+4) - (y-1)(6-8) + (z-2)(2+10) = 0$.
$19(x-5) + 2(y-1) + 12(z-2) = 0$.
$19x - 95 + 2y - 2 + 12z - 24 = 0$.
$19x + 2y + 12z - 121 = 0$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 19\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$ છે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{19^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{361 + 4 + 144} = \sqrt{509}$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \frac{19}{\sqrt{509}}$,$m = \frac{2}{\sqrt{509}}$,$n = \frac{12}{\sqrt{509}}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $19x + 2y + 12z - 121 = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|-121|}{\sqrt{509}} = \frac{121}{\sqrt{509}}$ છે.
હવે,$|3l + 2m + 5n| = |3(\frac{19}{\sqrt{509}}) + 2(\frac{2}{\sqrt{509}}) + 5(\frac{12}{\sqrt{509}})| = |\frac{57 + 4 + 60}{\sqrt{509}}| = \frac{121}{\sqrt{509}} = p$.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\pi: ax + by + cz + 1 = 0$ છે.
તે $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$a(1) + b(2) + c(-3) + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a + 2b - 3c = -1$ (સમીકરણ $i$).
સમતલ એ $x + y - z + 4 = 0$ અને $2x - y + z + 1 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$a + b - c = 0$ (સમીકરણ $ii$) અને $2a - b + c = 0$ (સમીકરણ $iii$).
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $3a = 0$ મળે છે,તેથી $a = 0$.
$a = 0$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $b - c = 0$ મળે છે,તેથી $b = c$.
$a = 0$ અને $b = c$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $0 + 2c - 3c = -1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-c = -1$,તેથી $c = 1$.
આમ,$b = 1$.
કિંમતો $a = 0, b = 1, c = 1$ છે.
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલા બિંદુઓ $(1, 0, -2), (3, -1, 2)$ અને $(0, -3, 4)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y & z+2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & -3 & 6 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(-6 + 12) - y(12 + 4) + (z+2)(-6 - 1) = 0$
$6(x-1) - 16y - 7(z+2) = 0$
$6x - 6 - 16y - 7z - 14 = 0 \Rightarrow 6x - 16y - 7z = 20$
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ મેળવવા માટે $20$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/4} + \frac{z}{-20/7} = 1$
આમ,$a = \frac{10}{3}, b = -\frac{5}{4}, c = -\frac{20}{7}$
$3a + 4b + 7c$ ની કિંમત શોધતા:
$3(\frac{10}{3}) + 4(-\frac{5}{4}) + 7(-\frac{20}{7}) = 10 - 5 - 20 = -15$.

(C) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ તરીકે લખી શકાય.
સમતલ $\pi_1$ માટે,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{n}_1 = \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
$\vec{r} \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = (3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = 3 - 14 - 10 = -21$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $\vec{r} \cdot \hat{n} = p$ છે. અહીં,$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3$.
$3$ વડે ભાગતા,$\vec{r} \cdot \frac{\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}{3} = \frac{-21}{3} = -7$. તેથી,$p_1 = |-7| = 7$.
સમતલ $\pi_2$ માટે,$\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$.
$\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = (2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = 6 + 14 - 48 = -28$.
અહીં,$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt{9+4+36} = 7$.
$7$ વડે ભાગતા,$\vec{r} \cdot \frac{3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} = \frac{-28}{7} = -4$. તેથી,$p_2 = |-4| = 4$.
તેથી,$p_1 - p_2 = 7 - 4 = 3$.

(B) બે સદિશો $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ ને સમાવતા અને બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,લંબ સદિશ $\vec{n}' = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{n}' = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1-0) = -3\hat{i} + 7\hat{j} + \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x+3) + 7(y-7) + 1(z-1) = 0$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $-3x - 9 + 7y - 49 + z - 1 = 0$ મળે છે,જે $-3x + 7y + z - 59 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ સુધીનું લંબ અંતર $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ છે.
$p = \frac{|-59|}{\sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 1^2}} = \frac{59}{\sqrt{9+49+1}} = \frac{59}{\sqrt{59}} = \sqrt{59}$.
તેથી,$\sqrt{p^2+5} = \sqrt{(\sqrt{59})^2 + 5} = \sqrt{59+5} = \sqrt{64} = 8$.

(B) રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર ($D$.$R$.) $(-1-4, 2-5, 1-(-10)) = (-5, -3, 11)$ છે.
સમતલ $AB$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-5, -3, 11)$ થશે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $P = \left(\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2}\right)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-5(x - \frac{3}{2}) - 3(y - \frac{7}{2}) + 11(z + \frac{9}{2}) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $-5(2x - 3) - 3(2y - 7) + 11(2z + 9) = 0$.
$-10x + 15 - 6y + 21 + 22z + 99 = 0$.
$-10x - 6y + 22z + 135 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા: $10x + 6y - 22z - 135 = 0$.

(D) $A(3,-2,1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4 \hat{i}+7 \hat{j}-4 \hat{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $4(x-3)+7(y+2)-4(z-1)=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x+7y-4z+6=0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ પરના લંબની લંબાઈનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ $P(1,2,-1)$ છે અને સમતલ $4x+7y-4z+6=0$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$PM = \frac{|4(1)+7(2)-4(-1)+6|}{\sqrt{4^2+7^2+(-4)^2}}$
$PM = \frac{|4+14+4+6|}{\sqrt{16+49+16}}$
$PM = \frac{|28|}{\sqrt{81}}$
$PM = \frac{28}{9}$.

(D) સમતલ $\pi$ એ સમતલ $x-y-z=0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x-y-z+k=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
આપેલ છે કે બિંદુ $(1, -2, 1)$ એ સમતલ $\pi$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$1 - (-2) - 1 + k = 0$
$1 + 2 - 1 + k = 0$
$2 + k = 0 \implies k = -2$.
આમ,સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $x-y-z-2=0$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $ax+by+cz-2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, c=-1$ મળે છે.
હવે,$b-2c$ ની કિંમત શોધીએ:
$b-2c = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.
અહીં $a=1$ હોવાથી,$b-2c = a$ થાય છે.