Plane Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમતલ $2x + 3y - 4z = 17$ છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલ આપેલ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ પણ $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ જ રહેશે.
બિંદુ $\overline{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\overline{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\overline{r} \cdot \overline{n} = \overline{a} \cdot \overline{n}$ છે.
અહીં $\overline{a} \cdot \overline{n} = (1)(2) + (-1)(3) + (1)(-4) = 2 - 3 - 4 = -5$ મળે છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $\overline{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ થાય.

(B) સમતલનું સમીકરણ $4x - 3y + 12z = 15$ આપેલ છે.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax + by + cz = d$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}$ મળે છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}}{13}$ દ્વારા મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P(4, -2, -5)$ આપેલ છે.
રેખાખંડ $OP$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{OP}$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ બનશે.
આમ,અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(4 - 0, -2 - 0, -5 - 0) = (4, -2, -5)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$4x - 2y - 5z - 45 = 0$ અથવા $4x - 2y - 5z = 45$ મળે છે.

(D) સમતલ $x-2y+2z+4=0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x-2y+2z+k=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ $(1, 2, 3)$ અને અંતર $d=1$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = \frac{|1(1)-2(2)+2(3)+k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$
$1 = \frac{|1-4+6+k|}{\sqrt{1+4+4}}$
$1 = \frac{|3+k|}{\sqrt{9}}$
$|3+k| = 3$
આનો અર્થ એ છે કે $3+k = 3$ અથવા $3+k = -3$.
કિસ્સો $1$: $3+k = 3 \Rightarrow k = 0$. સમીકરણ $x-2y+2z=0$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $3+k = -3 \Rightarrow k = -6$. સમીકરણ $x-2y+2z-6=0$ મળે છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણો $x-2y+2z=0$ અને $x-2y+2z-6=0$ છે.

(A) બિંદુઓ $(-3, 1, 2)$ અને $(2, 3, 4)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2 - (-3)), (3 - 1), (4 - 2)$ એટલે કે $5, 2, 2$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ થશે.
બિંદુ $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\vec{r} - (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ મળે.
જમણી બાજુનો અદિશ ગુણાકાર કરતા: $(-1)(5) + (2)(2) + (1)(2) = -5 + 4 + 2 = 1$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 1$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદ $(x, y, z)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
અહીં સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 5z - 3 = 0$ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-1} = \frac{z - 0}{5} = -\frac{2(0) - 1(0) + 5(0) - 3}{2^2 + (-1)^2 + 5^2}$.
$\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5} = -\frac{-3}{4 + 1 + 25} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
દરેક ભાગને $\frac{1}{10}$ સાથે સરખાવતા:
$x = 2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$.
$y = -1 \times \frac{1}{10} = -\frac{1}{10}$.
$z = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ સમતલો એક સીધી રેખામાંથી પસાર થતા હોવાથી,સમતલોના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ c & -1 & a \\ b & a & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1( (-1)(-1) - (a)(a) ) - (-c)( (c)(-1) - (a)(b) ) + (-b)( (c)(a) - (-1)(b) ) = 0$
$1(1 - a^2) + c(-c - ab) - b(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2abc$.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (p)(2) + (-1)(-p) + (2)(-1) = 2p + p - 2 = 3p - 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{p^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + (-p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
આમ,$\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{|3p - 2|}{\sqrt{p^2 + 5} \sqrt{p^2 + 5}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{|3p - 2|}{p^2 + 5}$.
કિસ્સો $1$: $3p - 2 = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies 6p - 4 = p^2 + 5 \implies p^2 - 6p + 9 = 0 \implies (p - 3)^2 = 0 \implies p = 3$.
કિસ્સો $2$: $-(3p - 2) = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies -6p + 4 = p^2 + 5 \implies p^2 + 6p + 1 = 0 \implies p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
આપેલ વિકલ્પોમાં માત્ર $3$ હોવાથી,$p$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન લઘુકોણ બનાવે છે,તેથી તેના દિકકોસાઇન સમાન છે,એટલે કે $l = m = n$. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $3l^2 = 1$ મળે,તેથી $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકાય.
આપેલ બિંદુ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
$= (-1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = -1 + 1 + 2 = 2$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2$ છે.

(C) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{n}_1 = m\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - m\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\cos \theta = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (m)(2) + (-1)(-m) + (2)(1) = 3m + 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{m^2 + 5}$ અને $|\vec{n}_2| = \sqrt{m^2 + 5}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \left| \frac{3m + 2}{m^2 + 5} \right|$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m=3$ મળે છે જો $\vec{n}_2$ માં પદ $- \hat{k}$ હોય.

(A) બિંદુ $Q$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
$Q(a, b, c)$ માંથી $yz$-સમતલ $(x=0)$ પરના લંબપાદ $A$ ના યામ $(0, b, c)$ છે.
$Q(a, b, c)$ માંથી $zx$-સમતલ $(y=0)$ પરના લંબપાદ $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
$O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$,અને $B(a, 0, c)$ કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા $(abc \neq 0)$:
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(B) ધારો કે સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$.

(A) $(3, 4, -1)$ અને $(2, -1, 5)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2-3, -1-4, 5-(-1)) = (-1, -5, 6)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-1, -5, 6)$ થશે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, -3, 1)$ અને અભિલંબ $(-1, -5, 6)$ મૂકતા:
$-1(x-2) - 5(y+3) + 6(z-1) = 0$
$-x + 2 - 5y - 15 + 6z - 6 = 0$
$-x - 5y + 6z - 19 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,$x + 5y - 6z + 19 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $A(x + 2) + B(y - 2) + C(z - 2) = 0$ છે.
તે $(2, -2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$A(2 + 2) + B(-2 - 2) + C(-2 - 2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4A - 4B - 4C = 0$ અથવા $A - B - C = 0$ થાય છે ... $(i)$.
આ સમતલ $9x - 13y - 3z = 0$ ને લંબ છે,તેથી જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ એ આપેલ સમતલના અભિલંબ સદિશ $(9, -13, -3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$9A - 13B - 3C = 0$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા ઉકેલતા:
$\frac{A}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{B}{(-1)(9) - (1)(-3)} = \frac{C}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{A}{3 - 13} = \frac{B}{-9 + 3} = \frac{C}{-13 + 9}$
$\frac{A}{-10} = \frac{B}{-6} = \frac{C}{-4}$
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા,$A:B:C = 5:3:2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$.
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$.
$5x + 3y + 2z = 0$.

(A) ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય જો સદિશો $\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય.
આપેલ છે $A(2-x, 2, 2)$,$B(2, 2-y, 2)$,$C(2, 2, 2-z)$ અને $D(1, 1, 1)$.
$\vec{DA} = (1-x, 1, 1)$,$\vec{DB} = (1, 1-y, 1)$,$\vec{DC} = (1, 1, 1-z)$.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{vmatrix} = 0$ લેતા.
વિસ્તરણ કરતા: $(1-x)(yz-y-z) + z + y = 0$.
$yz - y - z - xyz + xy + xz + z + y = 0$.
$yz + xy + xz - xyz = 0$.
$xyz$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 4z = 1$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ અને $z = 0$ લેતા: $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$. તેથી,$A = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x = 0$ અને $z = 0$ લેતા: $3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$. તેથી,$B = (0, \frac{1}{3}, 0)$.
$Z$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા: $4z = 1 \implies z = \frac{1}{4}$. તેથી,$C = (0, 0, \frac{1}{4})$.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= (\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/4}{3}) = (\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12})$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને લંબપાદ $M(2, 1, -2)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{OM}$ છે,તેથી $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ જે બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવે છે તે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2 \times 2) + (1 \times 1) + (-2 \times -2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 9$ છે.

(D) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
આપેલ બિંદુ $(2, -1, -3)$ માટે,સમીકરણ $a(x-2) + b(y+1) + c(z+3) = 0$ થશે.
સમતલ એ $(3, 2, -4)$ અને $(2, -3, 2)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$\vec{n} = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 + 8) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશ $(8, 14, 13)$ લેતા,સમીકરણ $8(x-2) + 14(y+1) + 13(z+3) = 0$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ થાય છે.

(C) ચાર બિંદુઓ એક જ સમતલમાં હોવા માટે,તેમના દ્વારા રચાયેલા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ. ધારો કે બિંદુઓ $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ અને $D(-1, -1, 1)$ છે.
ચાર બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)$ સમતલીય હોવાની શરત મુજબ:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
બિંદુઓ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 2 & 0 \\ 2 & -\lambda^2+1 & 0 \\ 2 & 2 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(-\lambda^2-1) [(-\lambda^2+1)^2 - 4] = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^4 - 2\lambda^2 - 3) = 0$
$(-\lambda^2-1) (\lambda^2-3) (\lambda^2+1) = 0$
અહીં $\lambda$ વાસ્તવિક હોવાથી,$\lambda^2+1 \neq 0$. તેથી,$\lambda^2-3 = 0$,જે $\lambda^2 = 3$ આપે છે.
તેથી,$\lambda = \pm \sqrt{3}$.
આમ,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

(D) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A(2, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ અને $C(0, 0, 4)$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ બનાવતા સદિશો $\vec{AB} = B - A = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{AC} = C - A = -2\hat{i} + 4\hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $r = (2 \hat{i} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i}) + \mu(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k})$ છે.
આ સમતલ બિંદુ $a = 2 \hat{i} + \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $b = \hat{i}$ તથા $c = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનું અદિશ ગુણાકાર સ્વરૂપ $r \cdot (b \times c) = a \cdot (b \times c)$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશ $n = b \times c$ શોધીએ:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
અહીં $\alpha = a \cdot n = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$.
તેથી,$\alpha = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $xy + yz = 0$ છે.
$y$ સામાન્ય લેતા,આપણને $y(x + z) = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ત્યારે સંતોષાય છે જો $y = 0$ અથવા $x + z = 0$ હોય.
$3D$ અવકાશમાં,$y = 0$ એ $xz$-સમતલ દર્શાવે છે અને $x + z = 0$ એ $y$-અક્ષમાંથી પસાર થતું સમતલ દર્શાવે છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$ અને $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$ છે.
અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ બિંદુપથ પરસ્પર લંબ સમતલોની જોડી દર્શાવે છે.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર રેખાના દિકગુણોત્તર સમાન થશે,જે $(1, 2, 3)$ છે.
અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $ax+by+cz+d=0$ છે.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $1x+2y+3z+d=0$ મળે છે.
સમતલ બિંદુ $(2, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$1(2)+2(3)+3(4)+d=0$
$2+6+12+d=0$
$20+d=0$
$d=-20$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x+2y+3z-20=0$ અથવા $x+2y+3z=20$ છે.

(C) સમતલોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y + 4z = 4$ ....$(i)$
$4x + 6y + 8z = 12$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y + 4z = 6$ ....$(ii)$
અહીં અભિલંબ સદિશો $(2, 3, 4)$ સમાન હોવાથી,સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $ax + by + cz = d_1$ અને $ax + by + cz = d_2$ વચ્ચેનું અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D = \left| \frac{d_2 - d_1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
કિંમતો $a = 2, b = 3, c = 4, d_1 = 4$,અને $d_2 = 6$ મૂકતા:
$D = \left| \frac{6 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 16}} \right| = \frac{2}{\sqrt{29}}$ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણ $xy = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $x = 0$ અથવા $y = 0$ છે.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં,સમીકરણ $x = 0$ એ $YZ$-સમતલ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $y = 0$ એ $ZX$-સમતલ દર્શાવે છે.
કારણ કે $YZ$-સમતલ અને $ZX$-સમતલ એકબીજાને લંબ છે,તેથી સમીકરણ $xy = 0$ એ કાટખૂણે રહેલા સમતલોની જોડી દર્શાવે છે.

(C) ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપે નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(2,1,0)$,$(3,2,-2)$ અને $(3,1,7)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 3-2 & 2-1 & -2-0 \\ 3-2 & 1-1 & 7-0 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(7 - 0) - (y-1)(7 - (-2)) + z(0 - 1) = 0$
$(x-2)(7) - (y-1)(9) - z = 0$
$7x - 14 - 9y + 9 - z = 0$
$7x - 9y - z - 5 = 0$

(B) લંબપાદ $P(2,3,-1)$ છે અને જે બિંદુમાંથી લંબ દોરવામાં આવ્યો છે તે $A(4,2,1)$ છે.
રેખાખંડ $AP$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર એ રેખા $AP$ ના દિક-ગુણોત્તર સમાન થશે.
અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(4-2, 2-3, 1-(-1)) = (2, -1, 2)$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z + d = 0$ સ્વરૂપમાં મળે.
સમતલ બિંદુ $(2,3,-1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - (3) + 2(-1) + d = 0$
$4 - 3 - 2 + d = 0$
$-1 + d = 0$
$d = 1$.
આમ,સમતલનું જરૂરી સમીકરણ $2x - y + 2z + 1 = 0$ છે.

(C) આપેલ છે કે,સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 4z = 29$ છે.
કારણ કે $OP$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી $OP$ ના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબ સદિશ સમાન હશે,જે $\langle 2, -3, 4 \rangle$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $\langle 2, -3, 4 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $OP$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-3} = \frac{z - 0}{4} = \lambda$
આમ,રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના સામાન્ય યામ $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ થશે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $2x - 3y + 4z = 29$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29$
$29\lambda = 29$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P = (2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$.
તેથી,લંબના લંબપાદના યામ $(2, -3, 4)$ છે.

(A) ઉગમબિંદુથી $ d $ અંતરે આવેલા અને એકમ લંબ સદિશ $ \hat{n} $ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ છે.
આપેલ લંબ સદિશ $ \vec{N} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k} $ છે.
પ્રથમ,$ \vec{N} $ નું માન શોધો: $ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $.
એકમ લંબ સદિશ $ \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} $ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $ d = \frac{3}{\sqrt{14}} $ છે.
આ કિંમતોને $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ માં મૂકતા:
$ \vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{3}{\sqrt{14}} $.
બંને બાજુ $ \sqrt{14} $ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$ \vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) = 3 $.

(B) ધારો કે સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \dots (i)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(a, 0, 0)$,$(0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ છે,તેથી યામોને સરખાવતા:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ મળે છે.

(C) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $56x + 4y + 9z = 2016$ છે.
$2016$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{56x}{2016} + \frac{4y}{2016} + \frac{9z}{2016} = 1$
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$
સમતલ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓના યામ $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ અને $C(0, 0, 224)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(D) બિંદુ $\vec{a}$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{m} = d$ થી અંતર $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{m} - d|}{|\vec{m}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}) = -1$ માટે,$\vec{m} = 2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}$ અને $d = -1$ છે.
$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11$.
બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ માટે,અંતર $p$:
$p = \frac{|(1)(2) + (2)(6) + (3)(-9) - (-1)|}{11} = \frac{|2 + 12 - 27 + 1|}{11} = \frac{|-12|}{11} = \frac{12}{11}$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ નું સમતલથી અંતર $q$:
$q = \frac{|0 - (-1)|}{11} = \frac{1}{11}$.
તેથી,$p - q = \frac{12}{11} - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

(B) ધારો કે $\vec{A}_1 = \hat{i} + 2\hat{j}$ અને $\vec{A}_2 = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ એ સમતલ $\pi_1$ ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સદિશો છે. સમતલ $\pi_1$ નો લંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{A}_1 \times \vec{A}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n}_1 = (\hat{i} + 2\hat{j}) \times (3\hat{j} - 2\hat{k}) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{B}_1 = \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{B}_2 = 3\hat{k} - 2\hat{i}$ એ સમતલ $\pi_2$ ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સદિશો છે. સમતલ $\pi_2$ નો લંબ સદિશ $\vec{n}_2$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{B}_1 \times \vec{B}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n}_2 = (\hat{j} + 2\hat{k}) \times (3\hat{k} - 2\hat{i}) = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલો $\pi_1$ અને $\pi_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના લંબ સદિશો $\vec{n}_1$ અને $\vec{n}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-4)(3) + (2)(4) + (3)(2) = -12 + 8 + 6 = 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \sqrt{29}} = \frac{2}{29}$.
નોંધ: વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,અહીં $-\frac{14}{29}$ જવાબ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે,જે લંબ સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટના સીધા મૂલ્ય પર આધારિત છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ માં છેદે છે,તેથી $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(6, 6, 3)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 6 \Rightarrow a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \Rightarrow b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા:
$x + y + 2z = 18$
$x + y + 2z - 18 = 0$.

(C) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $56x + 4y + 9z = 2016$ છે.
$2016$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$.
આ સમતલ યામ અક્ષોને $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ અને $C(0, 0, 224)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
$G = \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(D) $X, Y, Z$-અક્ષો પર $a, b, c$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a = -2, b = \frac{4}{3}, c = \frac{-4}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{4/3} + \frac{z}{-4/5} = 1$ થાય.
આનું સાદુરૂપ $-\frac{x}{2} + \frac{3y}{4} - \frac{5z}{4} = 1$ મળે છે.
$4$ વડે ગુણતા,$-2x + 3y - 5z = 4$ અથવા $2x - 3y + 5z + 4 = 0$ મળે.
સમતલના અભિલંબના દિક્ગુણોત્તરો $(2, -3, 5)$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
અહીં,$\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\left(\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{-3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}}\right)$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$A=(1,8,4)$ અને $B=(2,-3,1)$.
બિંદુઓને દર્શાવતા સદિશો $\vec{OA} = \hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{OB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $AOB$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ક્રોસ ગુણાકાર $\vec{OA} \times \vec{OB}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 8 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - (-12)) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-3 - 16) = 20\hat{i} + 7\hat{j} - 19\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{20^2 + 7^2 + (-19)^2} = \sqrt{400 + 49 + 361} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}$ છે.
દિકકોસાઇન એ એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{20}{9\sqrt{10}}\hat{i} + \frac{7}{9\sqrt{10}}\hat{j} - \frac{19}{9\sqrt{10}}\hat{k}$ ના ઘટકો છે.
ઘટકોનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{20}{9\sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{10}}{90} = \frac{2\sqrt{10}}{9}$,$\frac{7}{9\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{90}$,અને $-\frac{19}{9\sqrt{10}} = -\frac{19\sqrt{10}}{90}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,-1,5)$,$B(1,-3,4)$ અને $C(5,2,1)$ છે.
આ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
યામો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y+1 & z-5 \\ -1 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(8+3) - (y+1)(4+3) + (z-5)(-3+6) = 0$
$11(x-2) - 7(y+1) + 3(z-5) = 0$
$11x - 22 - 7y - 7 + 3z - 15 = 0$
$11x - 7y + 3z - 44 = 0$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 11\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
દિકગુણોત્તર $(11, -7, 3)$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{11^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{11}{\sqrt{179}}, \frac{-7}{\sqrt{179}}, \frac{3}{\sqrt{179}}$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz = a$ તરીકે લખી શકાય. તે $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0) + b(1) + c(0) = a$,એટલે કે $b = a$. સમીકરણ $ax + ay + cz = a$ અથવા $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ બને છે. ધારો કે $k = \frac{c}{a}$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે. $x + y - 3 = 0$ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે. બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,જેનો અર્થ છે કે $2+k^2 = 4$,તેથી $k^2 = 2$ અને $k = \pm \sqrt{2}$. $k = \sqrt{2}$ માટે,અભિલંબ $(1, 1, \sqrt{2})$ મળે છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ સુધીના લંબ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 2, 4)$ અને સમતલ $2x + 2y - z + k = 0$ માટે,$A = 2, B = 2, C = -1, D = k$ છે.
અંતર $3 = \frac{|2(1) + 2(2) - 1(4) + k|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$ છે.
$3 = \frac{|2 + 4 - 4 + k|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{\sqrt{9}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{3}$.
$|2 + k| = 9$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 + k = 9$ અથવા $2 + k = -9$.
તેથી,$k = 7$ અથવા $k = -11$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$k = 7$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ છે.
સમતલ $(-3, -5, -7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(-3 - 2) + b(-5 - 3) + c(-7 - 5) = 0$,જે $-5a - 8b - 12c = 0$ અથવા $5a + 8b + 12c = 0$ માં પરિણમે છે.
સમતલ $x - y + z = 1$ ને લંબ છે,તેથી અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ $(1, -1, 1)$ ને લંબ છે. આમ,$a - b + c = 0$,એટલે કે $a = b - c$.
$a = b - c$ ને $5a + 8b + 12c = 0$ માં મૂકતા,આપણને $5(b - c) + 8b + 12c = 0$ મળે છે,તેથી $13b + 7c = 0$.
ધારો કે $b = 7$,તો $c = -13$ અને $a = 7 - (-13) = 20$.
સમતલનું સમીકરણ $20(x - 2) + 7(y - 3) - 13(z - 5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $20x + 7y - 13z + 4 = 0$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(1, 4, 4)$ માટે,$20(1) + 7(4) - 13(4) + 4 = 20 + 28 - 52 + 4 = 0$.
આમ,બિંદુ $(1, 4, 4)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(D) સમતલ $\pi: ax + by + 11z + d = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ એ $2x - 3y + z = 4$ અને $3x + y - z = 5$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{n}$ એ $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 11\hat{k}$.
આને $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને $b = 5$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 5y + 11z + d = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $\frac{|d|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 11^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{150}} = \frac{|d|}{5\sqrt{6}}$ છે.
આ અંતર $\sqrt{6}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|d|}{5\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 30$.
અંતઃખંડો ધન હોવાથી,$d = -30$ મળે.
અહીં $ab = 10$ છે,તેથી $d = -3ab$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $(2, -1, 3)$ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ થશે,જે $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z = D$ સ્વરૂપનું થશે.
બિંદુ $(2, -1, 3)$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 14 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-10) - \hat{j}(-6-25) + \hat{k}(4+15) = -1\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$.
બિંદુ $(3,2,5)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$ વાળા સમતલનું સમીકરણ $-1(x-3) + 31(y-2) + 19(z-5) = 0$ છે.
$-x + 3 + 31y - 62 + 19z - 95 = 0 \implies -x + 31y + 19z - 154 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$x - 31y - 19z + 154 = 0$ મળે.
$x + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$b = -31$,$c = -19$,અને $d = 154$ મળે.
તેથી,$2b + 3c + d = 2(-31) + 3(-19) + 154 = -62 - 57 + 154 = -119 + 154 = 35$.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $B(\alpha, \beta, \gamma)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 1, 1)$ અને સમતલ $4x + 2y + 4z + 1 = 0$ છે.
પદાવલિની કિંમત શોધો:
$ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 4(1) + 2(1) + 4(1) + 1 = 4 + 2 + 4 + 1 = 11$
$a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 16 = 36$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\alpha - 1}{4} = \frac{\beta - 1}{2} = \frac{\gamma - 1}{4} = -2 \times \frac{11}{36} = -\frac{11}{18}$
હવે,$\alpha, \beta, \gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \alpha = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
$\beta - 1 = 2 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{11}{9} \implies \beta = 1 - \frac{11}{9} = -\frac{2}{9}$
$\gamma - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \gamma = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
અંતે,સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma$ શોધો:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{13}{9} - \frac{2}{9} - \frac{13}{9} = -\frac{28}{9}$

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz=0$ છે.
આ સમતલ,સમતલો $x+2y-z=1$ અને $3x-4y+z=5$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ અને $\vec{n_2} = (3, -4, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(-4-6) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, 5)$ લઈ શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 2(y-0) + 5(z-0) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x+2y+5z=0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $axy + byz = cy$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y(ax + bz - c) = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ત્યારે જ સંતોષાય છે જો $y = 0$ હોય અથવા $ax + bz - c = 0$ હોય.
સમીકરણ $y = 0$ એ $zx$-સમતલ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $ax + bz - c = 0$ એ એક સમતલ દર્શાવે છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(a, 0, b)$ છે,જે $y$-અક્ષને લંબ છે,તેથી આ સમતલ $zx$-સમતલને લંબ છે.
તેથી,બિંદુપથમાં $zx$-સમતલ અને $zx$-સમતલને લંબ એક સમતલનો સમાવેશ થાય છે.