Plane Questions in Gujarati

(C) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,બિંદુ $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો:
$1(x-1) + 2(y-1) - 3(z+1) = 0$
$x - 1 + 2y - 2 - 3z - 3 = 0$
$x + 2y - 3z - 6 = 0$.
સમતલ $\pi$ આ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ પણ $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ જ રહેશે.
તેથી,બિંદુ $3\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ:
$1(x-3) + 2(y+4) - 3(z-5) = 0$
$x - 3 + 2y + 8 - 3z + 15 = 0$
$x + 2y - 3z + 20 = 0$.

(A) બિંદુઓ $(6,3,2)$ અને $(1,-4,-9)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(6-1, 3-(-4), 2-(-9)) = (5, 7, 11)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ થશે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $5(x-1) + 7(y-1) + 11(z-1) = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$5x - 5 + 7y - 7 + 11z - 11 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x + 7y + 11z - 23 = 0$ થાય છે.
આને $ax + by + cz - 23 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=5, b=7, c=11$ મળે છે.
તેથી,$a+b-c = 5+7-11 = 1$.

(B) ધારો કે $Q = (1, 2, 3)$ એ બિંદુ છે અને $R = (-1, 3, -2)$ એ સમતલ પરનો લંબપાદ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{QR}$ છે.
$\vec{n} = \vec{R} - \vec{Q} = (-1 - 1, 3 - 2, -2 - 3) = (-2, 1, -5)$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (2, -1, 5)$ તરીકે પણ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $R(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 5)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$
$2(x - (-1)) - 1(y - 3) + 5(z - (-2)) = 0$
$2(x + 1) - (y - 3) + 5(z + 2) = 0$
$2x + 2 - y + 3 + 5z + 10 = 0$
$2x - y + 5z + 15 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = 2, B = -1, C = 5, D = 15$.
$d = \frac{|15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{15}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{15}{\sqrt{30}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$d = \frac{15}{\sqrt{30}} \times \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \sqrt{\frac{15}{2}}$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(1, -2, 3)$ છે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-1(x - 1) + 2(y - (-2)) - 3(z - 3) = 0$
$-1(x - 1) + 2(y + 2) - 3(z - 3) = 0$
$-x + 1 + 2y + 4 - 3z + 9 = 0$
$-x + 2y - 3z + 14 = 0$
$x - 2y + 3z = 14$.

(D) સમતલો $\pi_1$ અને $\pi_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = a\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{7}}$,તેથી $\cos^2 \theta = \frac{3}{7}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (a)(1) + (2)(-2) + (-3)(1) = a - 4 - 3 = a - 7$.
$||\vec{n}_1|| = \sqrt{a^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{a^2 + 13}$.
$||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{(a-7)^2}{(a^2+13)(6)} = \frac{3}{7}$.
$7(a^2 - 14a + 49) = 18(a^2 + 13)$.
$7a^2 - 98a + 343 = 18a^2 + 234$.
$11a^2 + 98a - 109 = 0$.
$(a-1)(11a+109) = 0$.
$a$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$a = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ બિંદુઓ $(2,3,0), (0,-5,2)$ અને $(-2,0,3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$1) \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$
$2) -\frac{5}{b} + \frac{2}{c} = 1$
$3) -\frac{2}{a} + \frac{3}{c} = 1$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 2 \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{2}{3} - \frac{1}{c} = \frac{2c-3}{3c}$.
$\frac{1}{b}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-5\left(\frac{2c-3}{3c}\right) + \frac{2}{c} = 1
\Rightarrow \frac{-10c + 15 + 6}{3c} = 1
\Rightarrow -10c + 21 = 3c
\Rightarrow 13c = 21 \Rightarrow c = \frac{21}{13}$.
હવે,સમીકરણ $(3)$ પરથી:
$-\frac{2}{a} + 3\left(\frac{13}{21}\right) = 1
\Rightarrow -\frac{2}{a} + \frac{13}{7} = 1
\Rightarrow \frac{2}{a} = \frac{13}{7} - 1 = \frac{6}{7}
\Rightarrow a = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
આમ,$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $A = \left(\frac{7}{3}, 0, 0\right)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 1, 2)$,$B(3, 0, 2)$ અને $C(4, 5, 0)$ છે.
સમતલમાં સદિશો $\vec{AB} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{AC} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 16\hat{k}$ મળે છે.
તેને $2$ વડે ભાગતા,$\vec{n} = \hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ મળે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 8^2} = \sqrt{74}$ છે.
દિકકોસાઈન $l = \frac{1}{\sqrt{74}}$,$m = \frac{3}{\sqrt{74}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{74}}$ છે.
તેથી,$|l| + |m| + |n| = \frac{1+3+8}{\sqrt{74}} = \frac{12}{\sqrt{74}}$.

(A) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ: $\bar{r}=(2-\lambda+\mu) \hat{i}+(1-\mu) \hat{j}+(2-3 \lambda+2 \mu) \hat{k}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}-3 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$.
આ સમતલ બિંદુ $(2, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\bar{a} = -\hat{i}-3 \hat{k}$ અને $\bar{b} = \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\bar{a} \times \bar{b}$ દ્વારા મળે છે:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને $3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ તરીકે પણ લઈ શકાય.
સમતલનું સમીકરણ $(\bar{r} - \bar{r}_0) \cdot \bar{n} = 0$ છે,જ્યાં $\bar{r}_0 = 2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(x-2) + 1(y-1) - 1(z-2) = 0$.
$3x - 6 + y - 1 - z + 2 = 0$.
$3x + y - z = 5$.

(A) આપેલ છે કે,ઉગમબિંદુથી સમતલનું અંતર $d = 6$ એકમ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{N} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશનું માન શોધો: $|\vec{N}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7}$ છે.
સમતલનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7} \right) = 6$ મળે છે.
$7$ વડે ગુણતા,આપણને $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ મળે છે.
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ મૂકતા,આપણને $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2x + 6y - 3z = 42$ અથવા $2x + 6y - 3z - 42 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ છે.
તેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં ફેરવતા,આપણને $2 x+3 y-4 z=1$ મળે,અથવા $2 x+3 y-4 z-1=0$.
આ સમતલને સમાંતર કોઈપણ સમતલ $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
બે સમાંતર સમતલો $Ax+By+Cz+D_1=0$ અને $Ax+By+Cz+D_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d=2$,$A=2$,$B=3$,$C=-4$,$D_1=-1$,અને $D_2=\lambda$ છે.
તેથી,$2 = \frac{|\lambda-(-1)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{4+9+16}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{29}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|\lambda+1| = 2 \sqrt{29}$,તેથી $\lambda+1 = \pm 2 \sqrt{29}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -1 \pm 2 \sqrt{29}$.
$\lambda$ ની કિંમત $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ માં મૂકતા,આપણને $2 x+3 y-4 z-1 \pm 2 \sqrt{29} = 0$ મળે,અથવા $2 x+3 y-4 z = 1 \mp 2 \sqrt{29}$.
વિકલ્પોમાં $1 \pm 2 \sqrt{29}$ આપેલ હોવાથી,સાચું સમીકરણ $2 x+3 y-4 z = 1 \pm 2 \sqrt{29}$ છે.

(B) બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, -4)$ અને $C(3, -4, 5)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2-1 & 3-2 & -4-3 \\ 3-1 & -4-2 & 5-3 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & -7 \\ 2 & -6 & 2 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(2 - 42) - (y-2)(2 - (-14)) + (z-3)(-6 - 2) = 0$
$(x-1)(-40) - (y-2)(16) + (z-3)(-8) = 0$
$-40x + 40 - 16y + 32 - 8z + 24 = 0$
$-40x - 16y - 8z + 96 = 0$
$-8$ વડે ભાગતા:
$5x + 2y + z - 12 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-12|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{25 + 4 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{30}}$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $A(1,1,-1)$,$B(2,-1,0)$ અને $C(-1,0,2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 2-1 & -1-1 & 0+1 \\ -1-1 & 0-1 & 2+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(-6+1) - (y-1)(3+2) + (z+1)(-1-4) = 0$
$-5(x-1) - 5(y-1) - 5(z+1) = 0$
$-5$ વડે ભાગતા:
$(x-1) + (y-1) + (z+1) = 0$
$x + y + z - 1 = 0$
હવે,વિકલ્પોને સમીકરણ $x + y + z - 1 = 0$ માં મૂકીને ચકાસતા:
$(1,2,-2)$ માટે: $1 + 2 - 2 - 1 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,બિંદુ $(1,2,-2)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે સમાંતર સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9-2) - \hat{j}(-6+1) + \hat{k}(4+3) = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-11(x-1) + 5(y-2) + 7(z-1) = 0$
$-11x + 11 + 5y - 10 + 7z - 7 = 0$
$-11x + 5y + 7z - 6 = 0$
$-11x + 5y + 7z = 6$
$6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$-\frac{11}{6}x + \frac{5}{6}y + \frac{7}{6}z = 1$
આને $ax+by+cz=1$ સાથે સરખાવતા,$a = -\frac{11}{6}$,$b = \frac{5}{6}$,$c = \frac{7}{6}$ મળે છે.
તેથી,$18(a+b+c) = 18 \left(-\frac{11}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6}\right) = 18 \left(\frac{1}{6}\right) = 3$.

(D) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ: $\vec{r} = (2+\alpha-3\beta) \hat{i} + (\beta-3) \hat{j} + (2\alpha-5\beta-1) \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x = 2 + \alpha - 3\beta$ $(i)$
$y = \beta - 3 \implies \beta = y + 3$ (ii)
$z = 2\alpha - 5\beta - 1$ (iii)
$\beta = y + 3$ ને (iii) માં મૂકતા:
$z = 2\alpha - 5(y + 3) - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 15 - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 16$
$2\alpha = z + 5y + 16 \implies \alpha = \frac{z + 5y + 16}{2}$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x = 2 + \left(\frac{z + 5y + 16}{2}\right) - 3(y + 3)$
$2$ વડે ગુણતા:
$2x = 4 + z + 5y + 16 - 6y - 18$
$2x = z - y + 2$
$2x + y - z = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $S = 2 x^2 - 6 y^2 - 12 z^2 + 18 y z + 2 z x + x y = 0$ છે.
દ્વિઘાત સ્વરૂપના અવયવ પાડતા,આપણને $S = (x + 2 y - 2 z)(2 x - 3 y + 6 z) = 0$ મળે છે.
આમ,બે સમતલો $P_1: x + 2 y - 2 z = 0$ અને $P_2: 2 x - 3 y + 6 z = 0$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{|-16|}{3 \times 7} = \frac{16}{21}$.
આમ,લઘુકોણ $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{21}\right)$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(0,0,2)$,$B(1,0,1)$ અને $C(3,1,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-2 \\ 1-0 & 0-0 & 1-2 \\ 3-0 & 1-0 & 1-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z-2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $x(0 - (-1)) - y(-1 - (-3)) + (z-2)(1 - 0) = 0$
$x(1) - y(2) + (z-2)(1) = 0$
$x - 2y + z - 2 = 0$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ છે.
$XY$-સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_1 = \langle 0, 0, 1 \rangle$ છે. સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| |\vec{n}_1|} = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$XZ$-સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_2 = \langle 0, 1, 0 \rangle$ છે. સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ માટે $\cos \beta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}| |\vec{n}_2|} = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \sqrt{1^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6}$.
આમ,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$.

(B) સમતલ $OAB$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપ દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-0 \\ 1-0 & 2-0 & 1-0 \\ 2-0 & 1-0 & 3-0 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$ ... $(i)$
સમતલ $ABC$ નું સમીકરણ:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1)(1) - (y-2)(5) + (z-1)(-3) = 0 \Rightarrow x - 1 - 5y + 10 - 3z + 3 = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$ ... $(ii)$
સમતલો $5x - y - 3z = 0$ અને $x - 5y - 3z + 12 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25 + 1 + 9} \sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$

(C) સમતલ બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $\vec{a}$) માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ છે.
સમતલનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = \vec{a} \cdot \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\hat{n}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ હોવાથી,સમીકરણ $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ બને છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને બે સમતલો જેના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ છે તેને લંબ સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x+1 & y-6 & z-2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1)(4-6) - (y-6)(2-6) + (z-2)(3-6) = 0$
$-2(x+1) + 4(y-6) - 3(z-2) = 0$
$-2x - 2 + 4y - 24 - 3z + 6 = 0$
$-2x + 4y - 3z - 20 = 0$ અથવા $2x - 4y + 3z + 20 = 0$
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, -1, 1)$ અને સમતલ $2x - 4y + 3z + 20 = 0$ માટે:
$d = \frac{|2(1) - 4(-1) + 3(1) + 20|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2}}$
$d = \frac{|2 + 4 + 3 + 20|}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y, z$ અંતઃખંડો છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(2, 3, 5)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \implies b = 9$
$\frac{c}{3} = 5 \implies c = 15$
આ કિંમતોને સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$
સાદું રૂપ આપવા માટે,સમીકરણને $6, 9, 15$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $90$ વડે ગુણતા:
$15x + 10y + 6z = 90$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી અંતર $6$ એકમ છે.
સમતલના ઉગમબિંદુથી અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{36} \quad (i)$.
$A, B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{36}$.
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{36}$.
$9$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(C) બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો એ તેમના અભિલંબ સદિશો વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય છે.
પ્રથમ,આપણે સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n_1}$ શોધીએ. $\pi_1$ એ $x+2y+3z-6=0$ અને $x+2y+2z-5=0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\overrightarrow{n_1}$ એ આ બે સમતલોના અભિલંબ $\overrightarrow{n_A} = (1, 2, 3)$ અને $\overrightarrow{n_B} = (1, 2, 2)$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હશે.
$\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{n_A} \times \overrightarrow{n_B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
હવે,આપણે સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n_2}$ શોધીએ. અભિલંબ સદિશ એ બિંદુ $(1, 3, 2)$ અને તેના લંબપાદ $(-1, 2, -3)$ ને જોડતો સદિશ છે.
$\overrightarrow{n_2} = (-1-1)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} - 5\hat{k}$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (-2)(-2) + (1)(-1) + (0)(-5) = 4 - 1 + 0 = 3$.
$|\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$.
$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+1+25} = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{150}} = \frac{3}{5\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{10}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}\right)$.

(A) ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ એકમ અભિલંબ સદિશ છે.
આપેલ અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે,તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ છે.
તેથી,એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $d = \frac{6}{\sqrt{29}}$ છે.
સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$.
બંને બાજુ $\sqrt{29}$ વડે ગુણતા,આપણને $2x - 3y + 4z = 6$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ માં છેદે છે,તેથી $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(6, 6, 3)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 6 \implies a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \implies b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \implies c = 9$
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
આખા સમીકરણને $18$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x + y + 2z = 18$.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P(1, -2, 5)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{n_1} = (1, -2, 5)$ છે.
સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ $(1, 2, -1)$ થી $P(1, -2, 5)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{n_2} = (1-1, -2-2, 5-(-1)) = (0, -4, 6)$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-2)(-4) + (5)(6) = 0 + 8 + 30 = 38$.
માનની ગણતરી: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{38}{\sqrt{30} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{19}{\sqrt{390}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{\sqrt{390}}\right)$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $a x + b y + c z = 1$ આપેલ છે.
આ સમતલ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ બિંદુના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીશું.
$x = 1$,$y = 2$,અને $z = 3$ ને $a x + b y + c z = 1$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a(1) + b(2) + c(3) = 1$
$a + 2 b + 3 c = 1$.
આમ,$a + 2 b + 3 c$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(\vec{a})$,$B(\vec{b})$,અને $C(\vec{c})$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
આપેલ બિંદુઓ $A(2, 6, -6)$,$B(-3, 10, -9)$,અને $C(-5, 0, -6)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y-6 & z+6 \\ -5 & 4 & -3 \\ -7 & -6 & 0 \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(0-18) - (y-6)(0-21) + (z+6)(30+28) = 0$
$-18(x-2) + 21(y-6) + 58(z+6) = 0$
$-18x + 21y + 58z + 258 = 0$
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $A(1, -1, 1)$,$B(1, -2, 3)$ અને $C(1, 2, -3)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z-1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)((-1)(-4) - (2)(3)) = 0$
$(x-1)(4-6) = 0$
$-2(x-1) = 0$
$x = 1$
હવે,વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(1, 1, -1)$ એટલે કે $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ સમીકરણ $x=1$ નું સમાધાન કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) સમતલ $\pi_1$ નું સમીકરણ જે $(0,1,2), (1,0,-2), (-2,1,0)$ માંથી પસાર થાય છે તે નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-2 \\ 1-0 & 0-1 & -2-2 \\ -2-0 & 1-1 & 0-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y-1 & z-2 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(2-0) - (y-1)(-2-8) + (z-2)(0-2) = 0$
$2x + 10(y-1) - 2(z-2) = 0$
$2x + 10y - 10 - 2z + 4 = 0$
$2x + 10y - 2z - 6 = 0 \Rightarrow x + 5y - z = 3$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 5, -1)$ છે.
સમતલ $\pi_2$ એ $(1,2,3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x+y+z=1$ તથા $2x-3y+z=5$ ને લંબ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ $(1,1,1)$ અને $(2,-3,1)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+3) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(-3-2) = 4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
$\pi_2$ નું સમીકરણ $4(x-1) + 1(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow 4x + y - 5z + 9 = 0$ છે.
$\pi_1$ અને $\pi_2$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| = \left| \frac{(1)(4) + (5)(1) + (-1)(-5)}{\sqrt{1^2+5^2+(-1)^2} \sqrt{4^2+1^2+(-5)^2}} \right|$
$= \left| \frac{4+5+5}{\sqrt{27} \sqrt{42}} \right| = \frac{14}{\sqrt{9 \times 3} \sqrt{6 \times 7}} = \frac{14}{3\sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{7}} = \frac{14}{3 \sqrt{18 \times 7}} = \frac{14}{3 \sqrt{126}} = \frac{14}{3 \times 3 \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{9}$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
અહીં આપેલ બિંદુ $(1, -1, 2)$ અને સમતલ $x + 2y + z - 4 = 0$ છે,તેથી $a=1, b=2, c=1, d=-4$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = \left| \frac{1(1) + 2(-1) + 1(2) - 4}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$D = \left| \frac{1 - 2 + 2 - 4}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \right|$
$D = \left| \frac{-3}{\sqrt{6}} \right| = \frac{3}{\sqrt{6}}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$D = \frac{3}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતા અને આપેલ સમતલ $ax + by + cz = d$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ બે બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને આપેલ સમતલના અભિલંબ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 6)$ અને $B(0, 0, 7)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (0-1, 0-(-1), 7-6) = (-1, 1, 1)$.
સમતલ $x - 2y + z = 6$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, -2, 1)$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+2) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$.
$(0, 0, 7)$ માંથી પસાર થતા અને $(3, 2, 1)$ અભિલંબ સદિશ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $3(x-0) + 2(y-0) + 1(z-7) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 2y + z = 7$ થાય છે.
હવે,$3x + 2y + z = 7$ સમીકરણમાં વિકલ્પોના યામ મૂકીને ચકાસો:
$(1, 1, 2)$ માટે: $3(1) + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને $P, Q, R$ માં મળે છે,તેથી $P, Q, R$ ના યામ $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ થશે.
$\triangle P Q R$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ છે.
આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{2}$
$\frac{c}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = 1$
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{3/2} + \frac{z}{1} = 1$
$\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} + z = 1$
$3$ વડે ગુણતા,$x + 2y + 3z = 3$ મળે છે.

(C) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\langle a, b, c \rangle$ એ સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર છે.
બિંદુ મૂકતા,આપણને $a(x + 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ મળે છે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી દિક-કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ થાય.
આમ,દિક-ગુણોત્તર $a, b, c$ ને $1, 1, 1$ તરીકે લઈ શકાય.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$
$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$
$x + y + z - 4 = 0$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
અહીં,ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ પરના લંબપાદના યામ $(1,2,3)$ છે.
આ બિંદુ $(1,2,3)$ સમતલ પર આવેલું છે,તેથી તે $(x_1, y_1, z_1)$ તરીકે લેવાય.
ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ બનશે.
તેથી,$\vec{n} = (1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(B) ધારો કે $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ છે $\dots (i)$.
તે $(1, -1, -1)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $-2b - 2c = 0$ એટલે કે $b + c = 0$ થાય છે $\dots (ii)$.
આ સમતલ $2x - y + z + 5 = 0$ ને લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે. એટલે કે $2a - b + c = 0$ $\dots (iii)$.
$(ii)$ પરથી,$c = -b$. તેને $(iii)$ માં મૂકતા,$2a - b - b = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2a = 2b$,એટલે કે $a = b$.
ધારો કે $a = 1$,તો $b = 1$ અને $c = -1$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા,$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$ મળે.
$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $x + y - z - 1 = 0$ થાય છે.

(A) સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ છે કે સમતલ $X$-અક્ષ પર $4$ નો અંતઃખંડ $(a = 4)$ અને $Z$-અક્ષ પર $3$ નો અંતઃખંડ $(c = 3)$ બનાવે છે.
કારણ કે સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે,તે $Y$-અક્ષને કોઈ પણ નિશ્ચિત અંતરે છેદતું નથી,જેનો અર્થ છે કે $Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $b$ અનંત છે $(b \to \infty)$.
તેથી,પદ $\frac{y}{b}$ એ $\frac{y}{\infty} = 0$ થઈ જાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{z}{3} = 1$ બને છે.
આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 4z = 12$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે. તે યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું અંતર $h$ આપેલું છે. અંતરનું સૂત્ર $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = h$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$.
ધારો કે $(x, y, z)$ એ $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ છે. તેથી $x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{c}{3}$ થાય.
આના પરથી $a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$ મળે છે.
આ કિંમતોને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{h^2}$

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી લંબપાદ $(1,2,2)$ ને જોડતો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(1,2,2)$ અને અભિલંબ સદિશ $(1,2,2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (-2, -1, 3)$ અને લંબપાદ $F = (1, 0, -2)$ છે.
સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PF} = (1 - (-2), 0 - (-1), -2 - 3) = (3, 1, -5)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$F(1, 0, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 1, -5)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$3(x - 1) + 1(y - 0) - 5(z + 2) = 0$
$3x - 3 + y - 5z - 10 = 0$
$3x + y - 5z = 13$
$13$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x}{13/3} + \frac{y}{13} + \frac{z}{-13/5} = 1$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{13}{3}$,$b = 13$,અને $c = -\frac{13}{5}$ મળે છે.
હવે,$3a + b + 5c$ ની ગણતરી કરીએ:
$3(\frac{13}{3}) + 13 + 5(-\frac{13}{5}) = 13 + 13 - 13 = 13$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P = (1,0,-2)$ અને લંબપાદ $F = (2,0,-1)$ છે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો સદિશ $\vec{PF} = (2-1, 0-0, -1-(-2)) = (1, 0, 1)$ દ્વારા મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz=2$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
તેથી,$(a, b, c) = \lambda(1, 0, 1) = (\lambda, 0, \lambda)$ કોઈ અચળાંક $\lambda$ માટે.
સમતલનું સમીકરણ $\lambda x + 0y + \lambda z = 2$ અથવા $\lambda(x+z) = 2$ બને છે.
બિંદુ $F(2,0,-1)$ સમતલ પર હોવાથી,તેના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda(2 + (-1)) = 2 \implies \lambda(1) = 2 \implies \lambda = 2$.
તેથી,$a = \lambda = 2$,$b = 0$,અને $c = \lambda = 2$.
અંતે,$a^2+b^2+c^2 = 2^2 + 0^2 + 2^2 = 4 + 0 + 4 = 8$.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (-1, 2, 1)$ અને $\vec{v_2} = (1, 3, 2)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $(2, 1, k)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $1(x-2) + 3(y-1) - 5(z-k) = 0$ છે.
બિંદુ $(3, -1, 4)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(3-2) + 3(-1-1) - 5(4-k) = 0$.
$1(1) + 3(-2) - 20 + 5k = 0$.
$1 - 6 - 20 + 5k = 0$.
$-25 + 5k = 0$.
$5k = 25 \Rightarrow k = 5$.

(A) સમતલ $P$ એ બિંદુઓ $A_1(1, 0, 0)$,$A_2(0, 1, 0)$ અને $A_3(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલમાં આવેલા બે સદિશો $\vec{v_1} = A_2 - A_1 = (-1, 1, 0)$ અને $\vec{v_2} = A_3 - A_1 = (0, 1, 1)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-1-0) = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1, 1, -1)$ છે.
રેખા બિંદુ $A(3, 0, -5)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, -1)$ ને સમાંતર છે.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-(-5)}{-1}$ એટલે કે $\frac{x-3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+5}{-1}$ થાય.