Plane Questions in Gujarati

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બિંદુઓ $(1, -1, \lambda)$ અને $(-3, 0, 1)$ એ સમતલ $3x - 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી:
$\frac{|3(1) - 4(-1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}} = \frac{|3(-3) - 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}}$
$|3 + 4 - 12\lambda + 13| = |-9 - 0 - 12 + 13|$
$|20 - 12\lambda| = |-8|$
$|20 - 12\lambda| = 8$
આનો અર્થ એ છે કે $20 - 12\lambda = 8$ અથવા $20 - 12\lambda = -8$.
કિસ્સો $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$ થાય છે.

(A) અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ ને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(-1+4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
બિંદુ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(5, 7, 3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $5(x-1) + 7(y+1) + 3(z+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 3, -7)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$ એકમ.

(C) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x + y - 2z = 5$ અને $3x - 6y - 2z = 7$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 1, -2)$ અને $\vec{n_2} = (3, -6, -2)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 12) - \hat{j}(-4 + 6) + \hat{k}(-12 - 3) = -14\hat{i} - 2\hat{j} - 15\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશ $(14, 2, 15)$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $14(x - 1) + 2(y - 1) + 15(z - 1) = 0$ થાય.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$14x - 14 + 2y - 2 + 15z - 15 = 0$,એટલે કે $14x + 2y + 15z = 31$ મળે છે.

(B) $1$. ધારો કે $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 1) = 0$ છે.
$2$. આ સમતલ $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ છે. તેથી તેના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ છે.
$3$. જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$ થશે.
$4$. આપણે અભિલંબ સદિશને $(1, 1, 0)$ તરીકે લઈ શકીએ. સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z - 1) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 3 = 0$ મળે છે.
$5$. બિંદુ $(2, 3, 4)$ થી સમતલ $x + y - 3 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ એકમ થાય.

(C) $yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે. માંગેલ સમતલ $yz$-સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $yz$-સમતલના અભિલંબ સદિશ (જે $\hat{i} = (1, 0, 0)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 2, -2)$ અને $B(-1, 3, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-1 - (-1))\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (2 - (-2))\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલ $yz$-સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ અને $\vec{AB} = (0, 1, 4)$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \hat{i} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(4) + \hat{k}(1) = (0, -4, 1)$.
બિંદુ $(-1, 2, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(0, -4, 1)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x + 1) - 4(y - 2) + 1(z + 2) = 0$
$-4y + 8 + z + 2 = 0$
$-4y + z + 10 = 0$
$4y - z = 10$.

(D) ધારો કે બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ છે અને સમાંતર સદિશો $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ તથા $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 1) - \hat{j}(6 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (1)(2) + (2)(-7) + (-1)(-3) = 2 - 14 + 3 = -9$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = -9$ છે.

(C) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે અને સમતલ $2x + y - 2z - 18 = 0$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$d = \left| \frac{2(0) + 1(0) - 2(0) - 18}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{3} \right|$
$d = |-6| = 6 \text{ એકમ}$

(C) ધારો કે ચલ સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
તે નિશ્ચિત બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (સમીકરણ $i$).
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$A(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $YZ$-સમતલને સમાંતર સમતલ $x = a$ છે.
$B(0, b, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $ZX$-સમતલને સમાંતર સમતલ $y = b$ છે.
$C(0, 0, c)$ માંથી પસાર થતું અને $XY$-સમતલને સમાંતર સમતલ $z = c$ છે.
આ ત્રણ સમતલોનું છેદબિંદુ $(x, y, z) = (a, b, c)$ છે.
સમીકરણ $i$ માં $a = x, b = y$ અને $c = z$ મૂકતા,આપણને બિંદુપથ મળે છે: $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

(A) ધારો કે $\vec{n}$ એ $X, Y, Z$ અક્ષો સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(45^{\circ}) + \cos^2(60^{\circ}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$.
$\gamma$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$,તેથી $\gamma = 60^{\circ}$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને સરળ બનાવવા માટે $2$ વડે ગુણતા,$\vec{n}' = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે.
$(x_0, y_0, z_0) = (-\sqrt{2}, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{n}'$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
$\sqrt{2}(x - (-\sqrt{2})) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$.
$\sqrt{2}(x + \sqrt{2}) + y - 1 + z - 1 = 0$.
$\sqrt{2}x + 2 + y + z - 2 = 0$.
$\sqrt{2}x + y + z = 0$.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $(4, -2, 5)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = (4 - 0)\hat{i} + (-2 - 0)\hat{j} + (5 - 0)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(4, -2, 5)$ અને અભિલંબ સદિશ $(4, -2, 5)$ મૂકતા:
$4(x - 4) - 2(y - (-2)) + 5(z - 5) = 0$
$4(x - 4) - 2(y + 2) + 5(z - 5) = 0$
$4x - 16 - 2y - 4 + 5z - 25 = 0$
$4x - 2y + 5z - 45 = 0$
$4x - 2y + 5z = 45$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમતલો $2x - y - 4 = 0$ અને $y + 2z - 4 = 0$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$ છે --- $(i)$.
આ સમતલ બિંદુ $(2, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે સમીકરણ $(i)$ માં $x = 2, y = 1, z = 0$ મૂકીએ:
$(2(2) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(4 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-1 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 1$
$\lambda = -\frac{1}{3}$.
હવે $\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(2x - y - 4) - \frac{1}{3}(y + 2z - 4) = 0$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3(2x - y - 4) - (y + 2z - 4) = 0$
$6x - 3y - 12 - y - 2z + 4 = 0$
$6x - 4y - 2z - 8 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$3x - 2y - z - 4 = 0$
$3x - 2y - z = 4$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ સુધીનું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે અને સમતલ $x-3y+4z-6=0$ છે.
સૂત્રમાં $A=1, B=-3, C=4, D=-6$ અને $x_1=0, y_1=0, z_1=0$ ની કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|1(0) - 3(0) + 4(0) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|-6|}{\sqrt{1 + 9 + 16}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{26}}$

(C) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ છે.
સમતલ એ $1, 0, -1$ અને $-1, 1, 0$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a - c = 0$ અને $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow -a + b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = c$ અને $a = b$,તેથી $a = b = c$.
સમતલના સમીકરણમાં $a=b=c$ મૂકતા,આપણને $a(x-1) + a(y-1) + a(z-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 3$ થાય છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
આમ,$A, B, C$ ના યામ અનુક્રમે $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$ અને $(0, 0, 3)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ઘન એકમ થાય.

(B) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે. કારણ કે અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન લઘુકોણ બનાવે છે,તેથી દિગ્કોસાઇન સમાન થાય,એટલે કે $l = m = n$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{r}_0 = (-1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{r}_0) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x - (-1))\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z - 2)\hat{k} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(x + 1) + (y - 1) + (z - 2) = 0$
$x + y + z - 2 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર છે: $\vec{n} = (2, 0, -2) \times (-2, 2, 0)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 4) + \hat{k}(4 - 0) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (1, 1, 1)$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-2) + 1(y-2) + 1(z-2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 6$ થાય છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A(6, 0, 0)$,$B(0, 6, 0)$ અને $C(0, 0, 6)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_{int} \cdot y_{int} \cdot z_{int}|$ દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{6} |6 \times 6 \times 6| = \frac{216}{6} = 36 \text{ ઘન એકમો}$.

(A) $(1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ છે.
આ સમતલ $x + 2y - 2z = 4$ અને $3x + 2y + z = 6$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 2, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,આપણને મળે છે:
$a + 2b - 2c = 0$
$3a + 2b + c = 0$
દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$a = (2)(1) - (-2)(2) = 2 + 4 = 6$
$b = (-2)(3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7$
$c = (1)(2) - (2)(3) = 2 - 6 = -4$
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(6, -7, -4)$ છે.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$6(x - 1) - 7(y + 1) - 4(z - 2) = 0$
$6x - 6 - 7y - 7 - 4z + 8 = 0$
$6x - 7y - 4z - 5 = 0$.

(B) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $ax + by + cz = d$ પરના લંબના લંબપાદ $(x, y, z)$ ના યામ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = \frac{-(ax_1 + by_1 + cz_1 - d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$,$a = 2$,$b = 6$,$c = -3$,અને $d = 63$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-0}{2} = \frac{y-0}{6} = \frac{z-0}{-3} = \frac{-(2(0) + 6(0) - 3(0) - 63)}{2^2 + 6^2 + (-3)^2}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{-(-63)}{4 + 36 + 9}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{63}{49} = \frac{9}{7}$
હવે,$x, y, z$ માટે ઉકેલતા:
$x = 2 \times \frac{9}{7} = \frac{18}{7}$
$y = 6 \times \frac{9}{7} = \frac{54}{7}$
$z = -3 \times \frac{9}{7} = \frac{-27}{7}$
આમ,લંબપાદના યામ $(\frac{18}{7}, \frac{54}{7}, \frac{-27}{7})$ છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $3x + 2y + 6z - 56 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-0}{6} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k, 2k, 6k)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,આપણે તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(3k) + 2(2k) + 6(6k) = 56$
$9k + 4k + 36k = 56$
$49k = 56$
$k = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}$
હવે $k$ ની કિંમત $(3k, 2k, 6k)$ માં મૂકતા:
$x = 3 \times \frac{8}{7} = \frac{24}{7}$
$y = 2 \times \frac{8}{7} = \frac{16}{7}$
$z = 6 \times \frac{8}{7} = \frac{48}{7}$
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{24}{7}, \frac{16}{7}, \frac{48}{7}\right)$ છે.

(C) સમતલ $OPQ$ જે $O(0,0,0), P(1,2,1)$ અને $Q(2,1,3)$ માંથી પસાર થાય છે તેનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
$x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$.
સમતલ $OPQ$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલ $PQR$ જે $P(1,2,1), Q(2,1,3)$ અને $R(-1,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે તેનું સમીકરણ:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1) - 5(y-2) - 3(z-1) = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$.
સમતલ $PQR$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(D) $X$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $by + cz + d = 0$ છે.
આ સમતલ બિંદુઓ $(2, 3, 1)$ અને $(4, -5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
બિંદુ $(2, 3, 1)$ માટે: $b(3) + c(1) + d = 0 \implies 3b + c + d = 0$.
બિંદુ $(4, -5, 3)$ માટે: $b(-5) + c(3) + d = 0 \implies -5b + 3c + d = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(3b + c + d) - (-5b + 3c + d) = 0 \implies 8b - 2c = 0 \implies c = 4b$.
$c = 4b$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3b + 4b + d = 0 \implies d = -7b$.
સમીકરણ $by + (4b)z - 7b = 0$ બને છે.
$b$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારતા),આપણને $y + 4z = 7$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ સ્વરૂપમાં આપેલું છે,જ્યાં $\bar{n} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 12 \hat{k}$ અને $d = 8$ છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $p = \frac{|d|}{|\bar{n}|}$ છે.
અહીં,$|\bar{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ થાય.
તેથી,લંબની લંબાઈ $p = \frac{8}{13}$ એકમ છે.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલા બિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(-1, 4, 2)$ અને $(3, 1, 1)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -1-1 & 4-2 & 2-3 \\ 3-1 & 1-2 & 1-3 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)[(2)(-2) - (-1)(-1)] - (y-2)[(-2)(-2) - (2)(-1)] + (z-3)[(-2)(-1) - (2)(2)] = 0$
$(x-1)[-4 - 1] - (y-2)[4 + 2] + (z-3)[2 - 4] = 0$
$-5(x-1) - 6(y-2) - 2(z-3) = 0$
$-5x + 5 - 6y + 12 - 2z + 6 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(A) બે સમતલો $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1$ અને $\bar{n}_2$ પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\bar{n}_1 = k \bar{n}_2$.
અહીં આપેલા અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ છે.
સમતલો સમાંતર હોવા માટે,અભિલંબ સદિશોના ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{2} = \lambda$ મળે છે,તેથી $\lambda = \frac{1}{2}$.
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{2} = \frac{1}{\mu}$ મળે છે,તેથી $\mu = 2$.
આમ,$\lambda = \frac{1}{2}$ અને $\mu = 2$ છે.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $(4, -2, -5)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = \langle 4 - 0, -2 - 0, -5 - 0 \rangle = \langle 4, -2, -5 \rangle$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$.
$4x - 2y - 5z - 45 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x - 2y - 5z = 45$ થાય છે.

(D) ધારો કે સદિશ $\bar{n} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે,કારણ કે તે યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ માન $|\bar{n}| = 3\sqrt{3}$ છે,તેથી $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = 3$.
આમ,$\bar{n} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a} = (1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને $\bar{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \bar{n} = \vec{a} \cdot \bar{n}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k})$.
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1)(3) + (-1)(3) + (2)(3) = 3 - 3 + 6 = 6$.
તેથી,સમીકરણ $\bar{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 6$ છે.

(B) $(-2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 2) + b(y - 2) + c(z - 2) = 0$ છે.
આ સમતલ $(2, -2, -2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી:
$a(2 + 2) + b(-2 - 2) + c(-2 - 2) = 0 \Rightarrow 4a - 4b - 4c = 0 \Rightarrow a - b - c = 0$ (સમીકરણ $1$).
આ સમતલ $9x - 13y - 3z = 0$ ને લંબ છે,તેથી તેનો અભિલંબ $(a, b, c)$ એ આપેલ સમતલના અભિલંબ $(9, -13, -3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$9a - 13b - 3c = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{-b}{(1)(-3) - (-1)(9)} = \frac{c}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{a}{-10} = \frac{-b}{6} = \frac{c}{-4} \Rightarrow \frac{a}{5} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$.
દિશા ગુણોત્તર $(5, 3, 2)$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$
$5x + 3y + 2z = 0$.

(D) આપેલ સમતલ બિંદુ $(7,8,6)$ માંથી પસાર થાય છે અને $XY$ સમતલને સમાંતર છે.
સમતલ $XY$ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $z$-અક્ષને સમાંતર હોય.
$z$-અક્ષના દિકગુણોત્તર $(0,0,1)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(7,8,6)$ અને અભિલંબ સદિશ $(0,0,1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0(x-7) + 0(y-8) + 1(z-6) = 0$
$z-6 = 0$
$z=6$

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(2 - (-3)) = -1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,$(2, 0, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ: $-1(x - 2) + 4(y - 0) + 5(z - 5) = 0$.
$-x + 2 + 4y + 5z - 25 = 0 \Rightarrow -x + 4y + 5z - 23 = 0 \Rightarrow x - 4y - 5z + 23 = 0$.

(C) ધારો કે સમતલના $X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
તેથી,બિંદુઓના યામ $A=(a, 0, 0)$,$B=(0, b, 0)$ અને $C=(0, 0, c)$ થશે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}) = (1, 2, 3)$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ મળે છે.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ સમતલ $2x + 3y - 4z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y - 4z + k = 0$ થશે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1) + 3(2) - 4(3) + k = 0$
$2 + 6 - 12 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$.
$k = 4$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2x + 3y - 4z + 4 = 0$ મળે છે.

(B) બિંદુ $Q$ એ $(a, b, c)$ છે. $Q$ માંથી $YZ$-સમતલ $(x=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $A(0, b, c)$ છે. $Q$ માંથી $ZX$-સમતલ $(y=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $B(a, 0, c)$ છે. ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે. બિંદુઓ $(0, 0, 0)$,$(0, b, c)$ અને $(a, 0, c)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(B) સમતલ $x-2y+2z+4=0$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $x-2y+2z+\lambda=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ $(1, 2, 3)$ થી અંતર $1$ એકમ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{|1(1)-2(2)+2(3)+\lambda|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}} = 1$
$\frac{|1-4+6+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}} = 1$
$\frac{|3+\lambda|}{3} = 1$
$|3+\lambda| = 3$
આનો અર્થ એ છે કે $3+\lambda = 3$ અથવા $3+\lambda = -3$.
$3+\lambda = 3$ માટે,આપણને $\lambda = 0$ મળે છે.
$3+\lambda = -3$ માટે,આપણને $\lambda = -6$ મળે છે.
આ કિંમતોને $x-2y+2z+\lambda=0$ માં મૂકતા,આપણને માંગેલ સમતલો $x-2y+2z=0$ અને $x-2y+2z-6=0$ મળે છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x + y - 2z = 18$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સ્વરૂપ $\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{2}{3}z = 6$ મળે છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલનું અંતર $d = 6$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ $ax + by + cz = d$ પરના લંબપાદના યામ $(\frac{ad}{a^2+b^2+c^2}, \frac{bd}{a^2+b^2+c^2}, \frac{cd}{a^2+b^2+c^2})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=2, b=1, c=-2$ અને $d=18$ છે.
છેદ $a^2+b^2+c^2 = 9$ છે.
આમ,યામ $(\frac{2 \times 18}{9}, \frac{1 \times 18}{9}, \frac{-2 \times 18}{9}) = (4, 2, -4)$ થાય.

(A) ધારો કે યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a, b, c$ છે. અંતઃખંડો સમાન અને શૂન્યતર હોવાથી,$a=b=c$ થાય.
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a=b=c$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x+y+z=a$ થાય.
સમતલ બિંદુ $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2+2+2 = a \Rightarrow a=6$.
તેથી,સમતલનું જરૂરી કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x+y+z=6$ છે.

(A) $(3, 4, -1)$ અને $(2, -1, 5)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2 - 3, -1 - 4, 5 - (-1)) = (-1, -5, 6)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$ થશે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ તરીકે પણ લઈ શકીએ.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, -3, 1)$ અને અભિલંબ $(1, 5, -6)$ મૂકતા:
$1(x - 2) + 5(y - (-3)) - 6(z - 1) = 0$
$x - 2 + 5y + 15 - 6z + 6 = 0$
$x + 5y - 6z + 19 = 0$.

(A) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b} + \mu \bar{c}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\bar{a} = 2 \hat{i} + \hat{k}$,$\bar{b} = \hat{i}$,અને $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ દ્વારા મળે છે:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(-3 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
સમતલના અદિશ ગુણાકારનું સ્વરૂપ $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ છે.
$\bar{a} \cdot \bar{n}$ ની ગણતરી કરતા:
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = (2)(0) + (0)(3) + (1)(2) = 2$.
આને $\bar{r} \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(A) સમતલ $2x + 3y - 4z = 17$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y - 4z = d$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1) + 3(-1) - 4(1) = d$
$2 - 3 - 4 = d$
$d = -5$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $2x + 3y - 4z = -5$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ સમીકરણ $\bar{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ થાય છે.

(D) કોઈ બિંદુ જેનો સ્થાન સદિશ $\bar{a}$ હોય તેનાથી સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n} = p$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - p|}{|\bar{n}|}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ છે,તેથી $\bar{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 14$ છે,તેથી $\bar{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $p = 14$.
અદિશ ગુણાકાર ગણતા: $\bar{a} \cdot \bar{n} = 0(1) + 0(-2) + 0(3) = 0$.
અભિલંબ સદિશનું માન ગણતા: $|\bar{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $d = \frac{|0 - 14|}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$ એકમ.

(C) $1, -3, 4$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલ $E_{1}$ નું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{1} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{4} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $12x - 4y + 3z = 12$ મળે,એટલે કે $12x - 4y + 3z - 12 = 0$.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 12\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
માંગેલ સમતલ $E_{1}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $12x - 4y + 3z + k = 0$ સ્વરૂપનું હશે.
તે $(2, 6, -8)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામો મૂકીએ: $12(2) - 4(6) + 3(-8) + k = 0$.
$24 - 24 - 24 + k = 0 \Rightarrow k = 24$.
આમ,સમીકરણ $12x - 4y + 3z + 24 = 0$ છે.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને $x - \frac{y}{3} + \frac{z}{4} + 2 = 0$ મળે છે.

(C) બિંદુ $(2,3,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-2)+b(y-3)+c(z-1)=0$ છે $\ldots(1)$.
બિંદુ $(4,-5,3)$ સમતલ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકીએ:
$a(4-2)+b(-5-3)+c(3-1)=0$
$2a-8b+2c=0$
$a-4b+c=0$ $\ldots(2)$.
સમતલ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $y$-અક્ષના સદિશ $(0,1,0)$ ને લંબ છે. તેથી,$a(0)+b(1)+c(0)=0$,જેનો અર્થ છે કે $b=0$.
સમીકરણ $(2)$ માં $b=0$ મૂકતા,આપણને $a+c=0$ મળે છે,એટલે કે $a=-c$.
સમીકરણ $(1)$ માં $a=-c$ અને $b=0$ મૂકતા:
$-c(x-2)+0(y-3)+c(z-1)=0$
$-c$ વડે ભાગતા:
$(x-2)-(z-1)=0$
$x-z-1=0$
$x-z=1$.

(B) સમતલ $x+y+3z-4=0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 3)$ છે.
લંબરેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3} = K$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(K, K, 3K)$ સ્વરૂપનું હોય.
આ બિંદુ $P$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$K + K + 3(3K) - 4 = 0$
$2K + 9K = 4$
$11K = 4 \Rightarrow K = \frac{4}{11}$.
$K$ ની કિંમત $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $P = \left(\frac{4}{11}, \frac{4}{11}, \frac{12}{11}\right)$ મળે છે.

(D) સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને લંબદ્વિભાજિત કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (2, 3, 1)$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર છે: $\vec{n} = (1-3, 4-2, 3-(-1)) = (-2, 2, 4)$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગીને સરળ બનાવી શકીએ છીએ,જે $\vec{n}' = (1, -1, -2)$ આપે છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1(x-2) - 1(y-3) - 2(z-1) = 0$.
$x - 2 - y + 3 - 2z + 2 = 0$.
$x - y - 2z + 3 = 0$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં,બિંદુ $(2, -1, 0)$ છે અને સમતલ $2x + y + 2z + 8 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|2(2) + 1(-1) + 2(0) + 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|4 - 1 + 0 + 8|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
$d = \frac{|11|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{11}{3}$ એકમ.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(3, 2, 1)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{OP} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો $a=3, b=2, c=1$ અને $(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ મૂકતા:
$3(x - 3) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0$
$3x - 9 + 2y - 4 + z - 1 = 0$
$3x + 2y + z - 14 = 0$
$3x + 2y + z = 14$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 5z = 1$ છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં લખીએ.
આથી $\frac{x}{(1/2)} + \frac{y}{(1/3)} + \frac{z}{(1/5)} = 1$ મળે છે.
આમ,$X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a = 1/2$,$b = 1/3$,અને $c = 1/5$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C$ ના યામ $A = (1/2, 0, 0)$,$B = (0, 1/3, 0)$,અને $C = (0, 0, 1/5)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
યામોની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/5}{3}\right) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{15}\right)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં બિંદુ $(1, 2, -1)$ અને સમતલ $x - 2y + 4z + 10 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A=1, B=-2, C=4, D=10$ અને $x_1=1, y_1=2, z_1=-1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|1(1) - 2(2) + 4(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|1 - 4 - 4 + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|3|}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{3 \times 7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સમતલ $x+2y+2z+8=0$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $x+2y+2z+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ છે કે આ સમતલનું બિંદુ $(1,1,2)$ થી અંતર $2$ એકમ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2 = \frac{|1(1)+2(1)+2(2)+\lambda|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$2 = \frac{|1+2+4+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{\sqrt{9}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{3}$
$|7+\lambda| = 6$
આથી $7+\lambda = 6$ અથવા $7+\lambda = -6$ મળે.
કિસ્સો $1$: $7+\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = -1$.
કિસ્સો $2$: $7+\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -13$.
આમ,સમતલોના સમીકરણો $x+2y+2z-1=0$ અને $x+2y+2z-13=0$ છે.

(A) બિંદુ $(1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x + 3y - 2z = 5$ અને $x + 2y - 3z = 8$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 3, -2)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$ ને લંબ હશે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$.
આમ,$a = -5, b = 4, c = 1$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $-5(x - 1) + 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0$.
$-5x + 5 + 4y + 4 + z - 2 = 0 \Rightarrow -5x + 4y + z + 7 = 0 \Rightarrow 5x - 4y - z = 7$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\bar{r} \cdot (5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}) = 7$ થાય છે.