Plane Questions in Gujarati

(B) જો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને સમીકરણોની સંહતિ અસંગત હોય,તો સમતલોને કોઈ સામાન્ય બિંદુ હોતું નથી.
નિશ્ચાયક $D$ આ મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} a+1 & -1 & -1 \\ 1 & -(a+1) & -1 \\ 1 & -1 & -(a+1) \end{vmatrix} = a^2(a+3)$
કોઈ સામાન્ય બિંદુ ન હોવા માટે,$D = 0$ હોવું જરૂરી છે,જે $a = 0$ અથવા $a = -3$ આપે છે.
જો $a = 0$ હોય,તો ત્રણેય સમતલો $x - y - z = 0$ બને છે,જે એકબીજા પર સંપાતી છે અને અનંત સામાન્ય બિંદુઓ ધરાવે છે.
જો $a = -3$ હોય,તો સમતલો $-2x - y - z = -3$,$x + 2y - z = -3$,$x - y + 2z = -3$ બને છે. આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા $0 = -9$ મળે છે,જે અશક્ય છે. તેથી,$a = -3$ માટે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$.
$A, B, C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $\alpha = \frac{a}{4}, \beta = \frac{b}{4}, \gamma = \frac{c}{4}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 4\alpha, b = 4\beta, c = 4\gamma$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{4\alpha} + \frac{1}{4\beta} + \frac{1}{4\gamma} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 2$.
ધન સંખ્યાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે $A.M. \ge H.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma \ge \frac{9}{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $B(0, 1, 2)$ થી સમતલ પરના લંબપાદ $P(x, y, z)$ છે.
સમતલ બિંદુ $A(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સદિશ $\vec{AP}$ સમતલમાં છે.
સદિશ $\vec{PB}$ એ બિંદુ $P$ પર સમતલનો અભિલંબ છે.
તેથી,$\vec{AP} \cdot \vec{PB} = 0$.
$A(1, -2, 3)$,$B(0, 1, 2)$,અને $P(x, y, z)$ આપેલ છે:
$\vec{AP} = (x-1, y+2, z-3)$
$\vec{PB} = (0-x, 1-y, 2-z) = (-x, 1-y, 2-z)$
ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(x-1)(-x) + (y+2)(1-y) + (z-3)(2-z) = 0$
$-x^2 + x + y - y^2 + 2 - 2y + 2z - z^2 - 6 + 3z = 0$
$-x^2 - y^2 - z^2 + x - y + 5z - 4 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 + y^2 + z^2 - x + y - 5z + 4 = 0$
આને $x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = -5, \delta = 4$
આમ,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -1 + 1 - 5 + 4 = -1$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(2, 1, -3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y - 1) + c(z + 3) = 0$ છે,જ્યાં $\vec{n} = (a, b, c)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d = \frac{|-2a - b + 3c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અંતર $d$ ને મહત્તમ કરવા માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{OA} = (2, 1, -3)$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે $(a, b, c) = (2, 1, -3)$ લઈએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $2(x - 2) + 1(y - 1) - 3(z + 3) = 0$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2x - 4 + y - 1 - 3z - 9 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + y - 3z = 14$ થાય છે.

(C) ધારો કે ચલ સમતલના $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b,$ અને $c$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આ સમતલ નિશ્ચિત બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ મળે.
$A(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $yz$-સમતલને સમાંતર સમતલ $x = a$ છે.
$B(0, b, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $zx$-સમતલને સમાંતર સમતલ $y = b$ છે.
$C(0, 0, c)$ માંથી પસાર થતું અને $xy$-સમતલને સમાંતર સમતલ $z = c$ છે.
આ ત્રણ સમતલોનું છેદબિંદુ $(a, b, c)$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x, y, z)$ છે. તેથી $x = a, y = b,$ અને $z = c$.
આ કિંમતોને $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને બિંદુપથ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(-3, 4, 5)$ છે.
સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી તે $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે.
$M = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (-1, 3, 4)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{AB} = (-3-1, 4-2, 5-3) = (-4, 2, 2)$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = (-2, 1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $-2(x - (-1)) + 1(y - 3) + 1(z - 4) = 0$ છે.
$-2x - 2 + y - 3 + z - 4 = 0 \Rightarrow -2x + y + z = 9$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$(-3, 2, 1)$ માટે: $-2(-3) + 2 + 1 = 6 + 2 + 1 = 9$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સમતલ બિંદુ $(-3, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$
બિંદુઓ $(-2, -2, 2)$,$(1, -1, 2)$,અને $(1, 1, 1)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x + 2 & y + 2 & z - 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x + 2)(-1 - 0) - (y + 2)(-3 - 0) + (z - 2)(9 - 3) = 0$
$-x - 2 + 3y + 6 + 6z - 12 = 0$
$-x + 3y + 6z - 8 = 0$
$x - 3y - 6z = -8$
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ મેળવવા માટે $-8$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{-8} + \frac{y}{8/3} + \frac{z}{8/6} = 1$
અંતઃખંડો $a = -8$,$b = 8/3$,અને $c = 4/3$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $= -8 + \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = -8 + \frac{12}{3} = -8 + 4 = -4$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,અને $C = (0, 0, c)$ છે.
આ સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $3 \ units$ આપેલું છે. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{9}$.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a+0+0}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3}$,અને $z = \frac{0+0+c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$.
આ કિંમતોને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{9}$.
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{9}$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $4x - 2y - 4z + 1 = 0$ અને $4x - 2y - 4z + d = 0$ છે.
$x, y$ અને $z$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,આ સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 4, B = -2, C = -4, D_1 = 1,$ અને $D_2 = d$ છે.
અંતર $7$ આપેલું છે.
તેથી,$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{16 + 4 + 16}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{36}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{6}$.
$|d - 1| = 42$.
આનો અર્થ એ છે કે $d - 1 = 42$ અથવા $d - 1 = -42$.
જો $d - 1 = 42$ હોય,તો $d = 43$.
જો $d - 1 = -42$ હોય,તો $d = -41$.
આમ,$d = 43$ અથવા $d = -41$ થાય.

(B) ધારો કે સદિશ $\vec{n}$ ના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 60^\circ$.
$\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$ હોવાથી,
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \cos^2 \gamma = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $\gamma$ લઘુકોણ છે).
સમતલનું સમીકરણ: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,જો અભિલંબ $(2, 1, 2)$ લેવામાં આવે,તો:
$2(x-\sqrt{2}) + 1(y+1) + 2(z-1) = 0$.
$2x - 2\sqrt{2} + y + 1 + 2z - 2 = 0$.
$2x + y + 2z = 2\sqrt{2} + 1$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $4x - 3y + z + 13 = 0$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર $(4, -3, 1)$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1} = k$ છે.
તેથી,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4k, -3k, k)$ સ્વરૂપમાં હોય.
$Q$ એ લંબપાદ હોવાથી,તે સમતલ પર આવેલું છે. $Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(4k) - 3(-3k) + (k) + 13 = 0$
$16k + 9k + k + 13 = 0$
$26k = -13 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$Q$ ના યામ $(-2, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ મળે.
આપેલ $R = (-1, 1, -6)$ માટે,અંતર $QR$:
$QR = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 + (-6 - (-\frac{1}{2}))^2}$
$QR = \sqrt{(1)^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2}$
$QR = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{121}{4}}$
$QR = \sqrt{\frac{4 + 1 + 121}{4}} = \sqrt{\frac{126}{4}} = \sqrt{\frac{63}{2}} = 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

(C) ધારો કે સમતલ $f(x, y, z) = 3x + 4y - 12z + 13 = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય જો $f(x_1, y_1, z_1) \cdot f(x_2, y_2, z_2) < 0$ હોય.
બિંદુ $P_1 = (1, a, 1)$ માટે,$f(1, a, 1) = 3(1) + 4(a) - 12(1) + 13 = 4a + 4$.
બિંદુ $P_2 = (-3, 0, a)$ માટે,$f(-3, 0, a) = 3(-3) + 4(0) - 12(a) + 13 = 4 - 12a$.
આપણે $(4a + 4)(4 - 12a) < 0$ ની જરૂર છે.
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $(a + 1)(1 - 3a) < 0$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $(a + 1)(3a - 1) > 0$.
બીજ $a = -1$ અને $a = \frac{1}{3}$ છે.
આ અસમતા $a < -1$ અથવા $a > \frac{1}{3}$ માટે સાચી છે.

(D) આપેલા સમતલો છે:
$P: x + y - 2z + 7 = 0$
$Q: x + y + 2z + 2 = 0$
$R: 3x + 3y - 6z - 11 = 0$
સમતલો સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $x, y,$ અને $z$ ના સહગુણકોના ગુણોત્તરની સરખામણી કરીએ છીએ.
સમતલ $P$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, -2)$ છે.
સમતલ $R$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (3, 3, -6)$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $\vec{n_2} = 3(1, 1, -2) = 3\vec{n_1}$.
અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોવાથી,સમતલ $P$ અને $R$ સમાંતર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{n_1} = (3, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 + 1) = -7\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
$-7$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, -1)$ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $(4, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(1, 1, -1)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $1(x - 4) + 1(y + 1) - 1(z - 2) = 0$ છે.
$x - 4 + y + 1 - z + 2 = 0 \Rightarrow x + y - z = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 1, 1)$ માટે,$1 + 1 - 1 = 1$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, -3, 4)$ અને $B(3, 7, 6)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{-3+3}{2}, \frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2} \right) = (0, 2, 5)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\overrightarrow{AB} = (3 - (-3))\hat{i} + (7 - (-3))\hat{j} + (6 - 4)\hat{k} = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{M} \cdot \vec{n}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}) = (0\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k})$.
$6x + 10y + 2z = 0(6) + 2(10) + 5(2) = 20 + 10 = 30$.
$2$ વડે ભાગતા,સમતલનું સમીકરણ $3x + 5y + z = 15$ મળે છે.
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(4, 1, -2)$ માટે: $3(4) + 5(1) + (-2) = 12 + 5 - 2 = 15$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સમતલ $(4, 1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. તે $(0, -1, 0)$ અને $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-b = d$ અને $c = d$. એટલે કે $d = -b = c$.
સમતલનું સમીકરણ $ax - dy - dz = d$ થાય. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, -d, -d)$ છે.
બિંદુઓ $(0, -1, 0)$ અને $(0, 0, 1)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(0, 1, 1)$ છે. રેખા સમતલમાં હોવાથી,અભિલંબ તેને લંબ છે: $a(0) + (-d)(1) + (-d)(1) = 0 \Rightarrow -2d = 0$ (અહીં $a, b, c$ નો ઉપયોગ કરીએ).
બિંદુઓ $A(0, -1, 0)$ અને $B(0, 0, 1)$ માટે,સદિશ $\vec{AB} = (0, 1, 1)$.
અભિલંબ $\vec{n} = (a, b, c)$. $\vec{AB}$ સમતલમાં હોવાથી,$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow c = -b$.
તેથી,$\vec{n} = (a, b, -b)$.
સમતલ અને $y - z + 5 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે. બીજા સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ છે.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n}| |\vec{n_2}|} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|b + b|}{\sqrt{a^2 + b^2 + b^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2b|}{\sqrt{a^2 + 2b^2} \cdot \sqrt{2}} \Rightarrow \sqrt{a^2 + 2b^2} = 2|b|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2 + 2b^2 = 4b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}b$.
જો $a = \sqrt{2}b$ હોય,તો $\vec{n} = (\sqrt{2}b, b, -b)$,જેના દિકગુણોત્તરો $(\sqrt{2}, 1, -1)$ છે.
જો $a = -\sqrt{2}b$ હોય,તો $\vec{n} = (-\sqrt{2}b, b, -b)$,જેના દિકગુણોત્તરો $(-\sqrt{2}, 1, -1)$ છે.
વિકલ્પ $(C)$ એ $(\sqrt{2}, 1, -1)$ છે. વિકલ્પ $(B)$ એ $(2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2}, 1, -1)$ છે,જે સમાન દિશા દર્શાવે છે. આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(7, 0, 6)$ અને $B(3, 4, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (3-7)\hat{i} + (4-0)\hat{j} + (2-6)\hat{k} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
આ દિશા સદિશને $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
આ સમતલ $2x - 5y = 15$ ને પણ લંબ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{n_1}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \end{vmatrix} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ મળે છે.
$(7, 0, 6)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $5(x-7) + 2(y-0) - 3(z-6) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 2y - 3z = 17$ થાય છે.
બિંદુ $(2, \alpha, \beta)$ આ સમતલ પર હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$5(2) + 2(\alpha) - 3(\beta) = 17$
$10 + 2\alpha - 3\beta = 17$
$2\alpha - 3\beta = 7$.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ અને $D(-1, -1, 1)$ છે.
સમતલ આ ચારેય બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેઓ એક જ સમતલમાં (coplanar) હોવા જોઈએ.
ચાર બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$ અને $(x_4, y_4, z_4)$ એક જ સમતલમાં હોવાની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
યામો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 1+1 & 1-1 \\ 1+1 & -\lambda^2+1 & 1-1 \\ 1+1 & 1+1 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 1-\lambda^2 & 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda^2 & 0 \\ 2 & 2 & -(\lambda^2+1) \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$-(\lambda^2+1) \cdot [(1-\lambda^2)^2 - 4] = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (1-\lambda^2-2)(1-\lambda^2+2) = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (-1-\lambda^2)(3-\lambda^2) = 0$
$(\lambda^2+1)^2 (3-\lambda^2) = 0$
$\lambda$ વાસ્તવિક હોવાથી,$\lambda^2+1 \neq 0$. તેથી,$3-\lambda^2 = 0$,જે $\lambda^2 = 3$ આપે છે.
આમ,$\lambda = \pm \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. તે $(0, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-b = d$. તે $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = d$. ધારો કે $d = 1$,તો $b = -1$ અને $c = 1$. સમીકરણ $ax - y + z = 1$ મળે છે.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (a, -1, 1)$ છે અને સમતલ $y - z + 5 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ છે.
બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|(a)(0) + (-1)(1) + (1)(-1)|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{a^2 + 2} \sqrt{2}}$.
$\sqrt{a^2 + 2} = 2 \implies a^2 + 2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
જો $a = -\sqrt{2}$ લઈએ,તો સમીકરણ $-\sqrt{2}x - y + z = 1$ મળે છે. બિંદુ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ માટે: $-\sqrt{2}(\sqrt{2}) - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$. આમ,સમતલ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) આપેલ સમતલ $2x - y + 2z + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,સમતલ $4x - 2y + 4z + \lambda = 0$ ને $2x - y + 2z + \frac{\lambda}{2} = 0$ તરીકે લખો.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમતલ માટે,અંતર $\frac{|\frac{\lambda}{2} - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{1}{3}$ છે.
$\frac{|\frac{\lambda - 6}{2}|}{3} = \frac{1}{3} \implies |\lambda - 6| = 2$.
તેથી,$\lambda - 6 = 2$ અથવા $\lambda - 6 = -2$,જે $\lambda = 8$ અથવા $\lambda = 4$ આપે છે.
બીજા સમતલ $2x - y + 2z + \mu = 0$ માટે,અંતર $\frac{|\mu - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{2}{3}$ છે.
$\frac{|\mu - 3|}{3} = \frac{2}{3} \implies |\mu - 3| = 2$.
તેથી,$\mu - 3 = 2$ અથવા $\mu - 3 = -2$,જે $\mu = 5$ અથવા $\mu = 1$ આપે છે.
$\lambda + \mu$ ની મહત્તમ કિંમત $8 + 5 = 13$ છે.

(B) સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$-3$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) - 1(y-1) - 1(z-0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y - z = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(2, 1, 4)$ થી સમતલ $x - y - z = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ મળે છે.

(B) બે સમતલો $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{A_1x + B_1y + C_1z + D_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2z + D_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સમતલો $2x - y + 2z - 4 = 0$ અને $x + 2y + 2z - 2 = 0$ માટે,સમીકરણ:
$\frac{2x - y + 2z - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\frac{2x - y + 2z - 4}{3} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{3}$
$2x - y + 2z - 4 = \pm(x + 2y + 2z - 2)$.
કિસ્સો $I$ (ધન ચિહ્ન):
$2x - y + 2z - 4 = x + 2y + 2z - 2$
$x - 3y - 2 = 0$.
કિસ્સો $II$ (ઋણ ચિહ્ન):
$2x - y + 2z - 4 = -(x + 2y + 2z - 2)$
$2x - y + 2z - 4 = -x - 2y - 2z + 2$
$3x + y + 4z - 6 = 0$.
સમીકરણ $3x + y + 4z - 6 = 0$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$(2, -4, 1)$ માટે: $3(2) + (-4) + 4(1) - 6 = 6 - 4 + 4 - 6 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(1, 2, 3)$ છે અને તેનું પ્રતિબિંબ $P'\left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ છે.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M$ સમતલ પર આવેલું છે:
$M = \left(\frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PP'}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \vec{PP'} = \left(-\frac{7}{3} - 1, -\frac{4}{3} - 2, -\frac{1}{3} - 3\right) = \left(-\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}\right)$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - (-\frac{2}{3})) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$ છે.
$x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{3} + z - \frac{4}{3} = 0 \implies x + y + z - 1 = 0 \implies x + y + z = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, -1, 1)$ માટે,$1 + (-1) + 1 = 1$. તેથી,બિંદુ $(1, -1, 1)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(B) બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (2, 4, 3)$ અને $\vec{v_2} = (2, 6, \lambda)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (4\lambda - 18, 6 - 2\lambda, 4)$.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,બિંદુઓ $(-1, 3, -1)$ અને $(-3, -2, 1)$ ને જોડતો સદિશ $\vec{a} = (-2, -5, 2)$ એ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{n} = -2(4\lambda - 18) - 5(6 - 2\lambda) + 2(4) = 2\lambda + 14 = 0$,જે $\lambda = -7$ આપે છે.
$\lambda = -7$ મૂકતા,$\vec{n} = (-46, 20, 4)$,જે $-2$ વડે ભાગતા $(23, -10, -2)$ મળે છે,જે આપેલ સમતલને સમાંતર છે.
રેખાઓ ધરાવતું સમતલ $(-1, 3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $23x - 10y - 2z + 51 = 0$ છે.
બંને સમતલો વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|51 - 48|}{\sqrt{23^2 + (-10)^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{633}}$ છે.
તેથી $k = 3$ મળે છે.

(A) ત્રણ સમતલો એક રેખામાં છેદે તે માટે,સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોય અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોય.
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 1 & 7 & -5 \\ 1 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 1(7\alpha + 25) - 4(\alpha + 5) - 2(5 - 7) = 3\alpha + 9$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $3\alpha + 9 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -3$.
ત્યારબાદ,સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે $\Delta_z = 0$ હોવું જોઈએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & \beta \\ 1 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 1(35 - 5\beta) - 4(5 - \beta) + 1(5 - 7) = 13 - \beta$.
$\Delta_z = 0$ લેતા,આપણને $13 - \beta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 13$.
$\alpha = -3$ અને $\beta = 13$ માટે,સંહતિ સુસંગત છે અને એક રેખા દર્શાવે છે. તેથી,$\alpha + \beta = -3 + 13 = 10$.

(N/A) ધારો કે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ થાય.
ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે આવેલા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{i} - \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} + \frac{4}{\sqrt{29}} \hat{k} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$ મળે છે.
કાર્તેઝિયન સ્વરૂપ મેળવવા માટે,$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ મૂકો:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{i} - \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} + \frac{4}{\sqrt{29}} \hat{k} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2x - 3y + 4z}{\sqrt{29}} = \frac{6}{\sqrt{29}}$ મળે,જે $2x - 3y + 4z = 6$ થાય છે.

(B) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (6 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) = -1$ છે.
એકમ લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $\vec{r} \cdot (-6 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 1$ તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ.
અહીં લંબ સદિશ $\vec{n} = -6 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
લંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-6}{7} \hat{i} + \frac{3}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન એ એકમ લંબ સદિશના ઘટકો છે,જે $\frac{-6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}$ છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 4z - 6 = 0$ છે,જેને $2x - 3y + 4z = 6$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz = D$ નું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં,$A = 2$,$B = -3$,$C = 4$,અને $D = 6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{4 + 9 + 16}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{29}}$.
આમ,સમતલનું ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{6}{\sqrt{29}}$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $2x - 3y + 4z = 6$ પરના લંબના લંબપાદ $P$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ છે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(2, -3, 4)$ છે.
રેખા $OP$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તર અભિલંબના દિકગુણોત્તરના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,આપણે લખી શકીએ:
$x_1 = 2k, y_1 = -3k, z_1 = 4k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ એ સમતલ $2x - 3y + 4z = 6$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2k) - 3(-3k) + 4(4k) = 6$
$4k + 9k + 16k = 6$
$29k = 6 \implies k = \frac{6}{29}$
$k$ ની કિંમત $x_1, y_1, z_1$ માં મૂકતા:
$x_1 = 2 \left(\frac{6}{29}\right) = \frac{12}{29}$
$y_1 = -3 \left(\frac{6}{29}\right) = \frac{-18}{29}$
$z_1 = 4 \left(\frac{6}{29}\right) = \frac{24}{29}$
આમ,લંબના લંબપાદના યામ $\left(\frac{12}{29}, \frac{-18}{29}, \frac{24}{29}\right)$ છે.

(D) બિંદુ $(5, 2, -4)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
સમતલ એ $2, 3, -1$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{N} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ થશે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{N}$ ને લંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\vec{r} - (5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$ મળે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ મેળવવા માટે,ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
તેથી $((x - 5)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 4)\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2(x - 5) + 3(y - 2) - 1(z + 4) = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$2x - 10 + 3y - 6 - z - 4 = 0$,જેનું પરિણામ $2x + 3y - z = 20$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $R, S, T$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$,અને $\vec{c} = 5\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot [(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})] = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{b} - \vec{a}$ અને $\vec{c} - \vec{a}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} - \vec{a} = (-2 - 2)\hat{i} + (-3 - 5)\hat{j} + (5 - (-3))\hat{k} = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 8\hat{k}$.
$\vec{c} - \vec{a} = (5 - 2)\hat{i} + (3 - 5)\hat{j} + (-3 - (-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[\vec{r} - (2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k})] \cdot [(-4\hat{i} - 8\hat{j} + 8\hat{k}) \times (3\hat{i} - 2\hat{j})] = 0$.

(A) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે.
અહીં આપેલ છે કે અંતઃખંડો $a = 2, b = 3, c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપવા માટે,છેદ $2, 3, 4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા,આપણને $6x + 4y + 3z = 12$ મળે છે.

(A) બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{N_1}$ અને $\vec{N_2}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ સમતલોના સમીકરણો $2x + y - 2z = 5$ અને $3x - 6y - 2z = 7$ પરથી,અભિલંબ સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{N_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{N_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$
બે સમતલો વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|} \right|$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} = (2)(3) + (1)(-6) + (-2)(-2) = 6 - 6 + 4 = 4$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો:
$|\vec{N_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{N_2}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \left| \frac{4}{3 \times 7} \right| = \frac{4}{21}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$.

(A) સમતલોના સમીકરણો $3x - 6y + 2z - 7 = 0$ અને $2x + 2y - 2z - 5 = 0$ છે.
તેમને $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A_1 = 3, B_1 = -6, C_1 = 2$
$A_2 = 2, B_2 = 2, C_2 = -2$
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(2) + (-6)(2) + (2)(-2)}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{6 - 12 - 4}{\sqrt{9 + 36 + 4} \sqrt{4 + 4 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-10}{\sqrt{49} \sqrt{12}} \right| = \left| \frac{-10}{7 \times 2\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{14\sqrt{3}} = \frac{5}{7\sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{5\sqrt{3}}{7 \times 3} = \frac{5\sqrt{3}}{21}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3}}{21}\right)$.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ છે,જ્યાં $\vec{n} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $d = 4$ છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ થી અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{||\vec{n}||}$.
પ્રથમ,$\vec{a} \cdot \vec{n}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(6) + (5)(-3) + (-3)(2) = 12 - 15 - 6 = -9$.
ત્યારબાદ,અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}|$ શોધો:
$||\vec{n}|| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
હવે,આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = \frac{|-9 - 4|}{7} = \frac{|-13|}{7} = \frac{13}{7}$.

(A) સમતલનું સમીકરણ $z = 2$ આપેલ છે,જેને $0x + 0y + 1z = 2$ તરીકે લખી શકાય છે ..........$(1)$
સમતલના અભિલંબ સદિશના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 0, 1)$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે,આપણે દિકગુણોત્તરને અભિલંબ સદિશના માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$ વડે ભાગીશું.
સમીકરણ $(1)$ ને $1$ વડે ભાગતા,આપણને $0x + 0y + 1z = 2$ મળે છે.
આ સમીકરણ અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ માં છે,જ્યાં $(l, m, n)$ એ દિકકોસાઇન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,દિકકોસાઇન $(0, 0, 1)$ છે અને ઉગમબિંદુથી અંતર $2$ એકમ છે.

સમતલનું આપેલ સમીકરણ $x+y+z=1$ છે ............$(1)$
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $a=1, b=1, c=1$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = \sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{3}$ થાય.
દિકકોસાઇન શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(1)$ ને $\sqrt{3}$ વડે ભાગીશું:
$\frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{1}{\sqrt{3}} y + \frac{1}{\sqrt{3}} z = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ..........$(2)$
આ સમીકરણ અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ માં છે,જ્યાં $l, m, n$ એ સમતલના અભિલંબની દિકકોસાઇન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી સમતલનું અંતર છે.
સમીકરણ $(2)$ ની સરખામણી અભિલંબ સ્વરૂપ સાથે કરતા,અભિલંબની દિકકોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે અને ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{1}{\sqrt{3}}$ એકમ છે.

(A) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - z = 5$ છે .............$(1)$
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $a = 2, b = 3, c = -1$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ થાય.
સમીકરણને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ માં ફેરવવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુને $\sqrt{14}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{\sqrt{14}}x + \frac{3}{\sqrt{14}}y - \frac{1}{\sqrt{14}}z = \frac{5}{\sqrt{14}}$.
આને પ્રમાણિત અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(l, m, n)$ એ અભિલંબની દિકકોસાઇન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે:
દિકકોસાઇન $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{5}{\sqrt{14}}$ એકમ છે.

(A) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $5y + 8 = 0$ છે.
આપણે તેને $Ax + By + Cz = D$ સ્વરૂપમાં $0x + 5y + 0z = -8$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ માં ફેરવવા માટે,આપણે સમીકરણને $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5$ વડે ભાગીશું.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{0}{5}x + \frac{5}{5}y + \frac{0}{5}z = -\frac{8}{5}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0x + 1y + 0z = -\frac{8}{5}$ થાય છે.
અંતર $d$ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $-1$ વડે ગુણીએ: $0x - 1y + 0z = \frac{8}{5}$.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ સાથે સરખાવતા,અભિલંબની દિકકોસાઇન $(0, -1, 0)$ છે અને ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{8}{5}$ એકમ છે.

(A) અહીં લંબ સદિશ $\vec{n} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}$ છે.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{9 + 25 + 36}} = \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{70}}$ છે.
ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે આવેલા અને એકમ લંબ સદિશ $\hat{n}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot \left( \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{70}} \right) = 7$ મળે છે.

(A) સમતલનું આપેલ સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$ છે. ............$(1)$
સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y, z)$ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $\vec{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2$
સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$x(1) + y(1) + z(-1) = 2$
$x + y - z = 2$
આમ,સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x + y - z = 2$ છે.

(A) સમતલનું આપેલ સદિશ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1$ છે. ..........$(1)$
સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y, z)$ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $\vec{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1$
બંને સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y - 4z = 1$
આ સમતલનું માંગેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ છે.

(A) સમતલનું આપેલ સદિશ સ્વરૂપનું સમીકરણ:
$\vec{r} \cdot [(s-2t) \hat{i} + (3-t) \hat{j} + (2s+t) \hat{k}] = 15$ ...........$(1)$
સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y, z)$ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$
સમીકરણ $(1)$ માં $\vec{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot [(s-2t) \hat{i} + (3-t) \hat{j} + (2s+t) \hat{k}] = 15$
બંને સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા,આપણને મળે છે:
$(s-2t)x + (3-t)y + (2s+t)z = 15$
આ સમતલનું માંગેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબના લંબપાદ $P$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 4z = 12$ છે --- $(1)$.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(2, 3, 4)$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $\sqrt{29}$ વડે ભાગતા,આપણને સમતલનું અભિલંબ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{2}{\sqrt{29}}x + \frac{3}{\sqrt{29}}y + \frac{4}{\sqrt{29}}z = \frac{12}{\sqrt{29}}$.
આને પ્રમાણિત અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(l, m, n)$ દિકકોસાઇન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે:
$l = \frac{2}{\sqrt{29}}, m = \frac{3}{\sqrt{29}}, n = \frac{4}{\sqrt{29}}$ અને $d = \frac{12}{\sqrt{29}}$.
લંબપાદના યામ $(ld, md, nd)$ દ્વારા મળે છે:
$x_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right) \times \left(\frac{12}{\sqrt{29}}\right) = \frac{24}{29}$
$y_1 = \left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) \times \left(\frac{12}{\sqrt{29}}\right) = \frac{36}{29}$
$z_1 = \left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right) \times \left(\frac{12}{\sqrt{29}}\right) = \frac{48}{29}$
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{24}{29}, \frac{36}{29}, \frac{48}{29}\right)$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $3y + 4z - 6 = 0$ પરના લંબના લંબપાદ $P$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $0x + 3y + 4z = 6$ છે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(0, 3, 4)$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ છે.
સમતલના સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ મળે છે:
$0x + \frac{3}{5}y + \frac{4}{5}z = \frac{6}{5}$.
અહીં,અભિલંબની દિકકોસાઇન $l = 0, m = \frac{3}{5}, n = \frac{4}{5}$ છે અને ઉગમબિંદુથી અંતર $d = \frac{6}{5}$ છે.
લંબના લંબપાદના યામ $(ld, md, nd)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_1 = 0 \times \frac{6}{5} = 0$
$y_1 = \frac{3}{5} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{25}$
$z_1 = \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} = \frac{24}{25}$
આમ,લંબના લંબપાદના યામ $\left(0, \frac{18}{25}, \frac{24}{25}\right)$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $x+y+z=1$ છે $(1)$.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $1, 1, 1$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ છે.
સમતલના સમીકરણને $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx+my+nz=d$ મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}y + \frac{1}{\sqrt{3}}z = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં,દિકકોસાઇન $l = \frac{1}{\sqrt{3}}, m = \frac{1}{\sqrt{3}}, n = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે અને અંતર $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ $(ld, md, nd)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3}$,
$y_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3}$,
$z_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $5y + 8 = 0$ છે,જેને $0x + 5y + 0z = -8$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબપાદના યામ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{-AD}{A^2 + B^2 + C^2}, \frac{-BD}{A^2 + B^2 + C^2}, \frac{-CD}{A^2 + B^2 + C^2}\right)$ છે.
અહીં,$A = 0$,$B = 5$,$C = 0$ અને $D = 8$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-(0)(8)}{0^2 + 5^2 + 0^2} = 0$
$y = \frac{-(5)(8)}{0^2 + 5^2 + 0^2} = \frac{-40}{25} = -\frac{8}{5}$
$z = \frac{-(0)(8)}{0^2 + 5^2 + 0^2} = 0$
આમ,લંબપાદના યામ $(0, -8/5, 0)$ છે.

(A) બિંદુ $(1, 0, -2)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{k}$ છે.
સમતલને લંબ અભિલંબ સદિશ $\vec{N} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\vec{r} - (\hat{i} - 2\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ મળે છે.
ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ એ સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ નો સ્થાન સદિશ છે.
તેથી,$((x - 1)\hat{i} + y\hat{j} + (z + 2)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $(x - 1)(1) + (y)(1) + (z + 2)(-1) = 0$.
$x - 1 + y - z - 2 = 0$.
$x + y - z - 3 = 0$.
$x + y - z = 3$.
આમ,સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x + y - z = 3$ છે.

(A) બિંદુ $(1, 4, 6)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સમતલને લંબ સદિશ $\vec{N} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\vec{N}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને સદિશ સમીકરણ મળે છે:
$(\vec{r} - (\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ મેળવવા માટે,ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
આને સદિશ સમીકરણમાં મૂકતા:
$((x - 1)\hat{i} + (y - 4)\hat{j} + (z - 6)\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$1(x - 1) - 2(y - 4) + 1(z - 6) = 0$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x - 1 - 2y + 8 + z - 6 = 0$.
$x - 2y + z + 1 = 0$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x - 2y + z + 1 = 0$ છે.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(1, 1, -1)$,$B(6, 4, -5)$ અને $C(-4, -2, 3)$ છે.
આ બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 6 & 4 & -5 \\ -4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - 10) - 1(18 - 20) + (-1)(-12 + 16)$
$= 1(2) - 1(-2) - 1(4)$
$= 2 + 2 - 4 = 0$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ એક અનન્ય સમતલ બનાવતા નથી. તેથી,આ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અસંખ્ય સમતલો મળે છે.