Plane Questions in Gujarati

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(1,1,0), B(1,2,1),$ અને $C(-2,2,-1)$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2),$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપે નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના યામ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-0 \\ 1-1 & 2-1 & 1-0 \\ -2-1 & 2-1 & -1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(-1-1) - (y-1)(0 - (-3)) + z(0 - (-3)) = 0$
$(x-1)(-2) - (y-1)(3) + z(3) = 0$
$-2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0$
$-2x - 3y + 3z + 5 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y - 3z = 5$

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x + y - z = 5$ છે.
સમીકરણની બંને બાજુઓને $5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2x}{5} + \frac{y}{5} - \frac{z}{5} = 1$
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{x}{\frac{5}{2}} + \frac{y}{5} + \frac{z}{-5} = 1$
આ પ્રમાણિત અંતઃખંડ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,અંતઃખંડો $a, b, c$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{5}{2}$,$b = 5$,અને $c = -5$.
આમ,સમતલ દ્વારા કપાતા અંતઃખંડો $\frac{5}{2}, 5, -5$ છે.

(A) $ZOX$ સમતલનું સમીકરણ $y=0$ છે.
$ZOX$ સમતલને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સ્વરૂપ $y=k$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે સમતલ $y$-અક્ષ પર $3$ અંતઃખંડ ધરાવે છે,તેથી $k$ ની કિંમત $3$ હોવી જોઈએ.
આમ,માંગેલ સમતલનું સમીકરણ $y=3$ છે.

(A) સમતલો $P_1: 3x - y + 2z - 4 = 0$ અને $P_2: x + y + z - 2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(3x - y + 2z - 4) + \lambda(x + y + z - 2) = 0$ --- $(1)$
આ સમતલ બિંદુ $(2, 2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આ બિંદુ સમીકરણ $(1)$ નું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 2, y = 2, z = 1$ મૂકતા:
$(3(2) - 2 + 2(1) - 4) + \lambda(2 + 2 + 1 - 2) = 0$
$(6 - 2 + 2 - 4) + \lambda(3) = 0$
$2 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{2}{3}$
$\lambda = -\frac{2}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(3x - y + 2z - 4) - \frac{2}{3}(x + y + z - 2) = 0$
$3(3x - y + 2z - 4) - 2(x + y + z - 2) = 0$
$(9x - 3y + 6z - 12) - (2x + 2y + 2z - 4) = 0$
$7x - 5y + 4z - 8 = 0$
આમ,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $7x - 5y + 4z - 8 = 0$ છે.

(A) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 5$ અને $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) = 3$ છે.
સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = 3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $Q$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos Q = \left| \frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{2}|} \right|$
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}$ શોધો:
$\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2} = (2)(3) + (2)(-3) + (-3)(5) = 6 - 6 - 15 = -15$.
હવે,માન $|\vec{n}_{1}|$ અને $|\vec{n}_{2}|$ શોધો:
$|\vec{n}_{1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$.
$|\vec{n}_{2}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos Q = \left| \frac{-15}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{43}} \right| = \frac{15}{\sqrt{731}}$.
આમ,ખૂણો $Q = \cos^{-1} \left( \frac{15}{\sqrt{731}} \right)$ મળે છે.

(A) સમતલો $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તર અનુક્રમે $(A_1, B_1, C_1)$ અને $(A_2, B_2, C_2)$ છે.
જો $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ હોય તો સમતલો સમાંતર છે.
જો $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ હોય તો સમતલો લંબ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$.
આપેલા સમતલો $7x + 5y + 6z + 30 = 0$ અને $3x - y - 10z + 4 = 0$ માટે:
$A_1 = 7, B_1 = 5, C_1 = 6$
$A_2 = 3, B_2 = -1, C_2 = -10$
લંબ હોવાની ચકાસણી:
$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (7)(3) + (5)(-1) + (6)(-10) = 21 - 5 - 60 = -44 \neq 0$.
તેથી,સમતલો લંબ નથી.
સમાંતર હોવાની ચકાસણી:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{3}, \frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{-1} = -5, \frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{-10} = -0.6$.
$\frac{7}{3} \neq -5 \neq -0.6$ હોવાથી,સમતલો સમાંતર નથી.
ખૂણો $\theta$ ની ગણતરી:
$\cos \theta = \left| \frac{-44}{\sqrt{7^2 + 5^2 + 6^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-10)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-44}{\sqrt{49 + 25 + 36} \sqrt{9 + 1 + 100}} \right| = \left| \frac{-44}{\sqrt{110} \sqrt{110}} \right| = \frac{44}{110} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{2}{5} \right)$.

(B) સમતલ $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ ના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ છે અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ માટે $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય તો $L_1 \parallel L_2$.
જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ હોય તો $L_1 \perp L_2$.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં સમતલોના સમીકરણો $2x + y + 3z - 2 = 0$ અને $x - 2y + 0z + 5 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$ અને $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$.
અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર ગણતા: $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = (2)(1) + (1)(-2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આપેલા સમતલો એકબીજાને લંબ છે.

(A) સમતલો $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ ના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર અનુક્રમે $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો $L_1 \parallel L_2$ થાય.
જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ હોય,તો $L_1 \perp L_2$ થાય.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
આપેલા સમતલો $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ અને $3x - 3y + 6z - 1 = 0$ માટે:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = 4$ અને $a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = 6$.
સમાંતરતા તપાસતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ હોવાથી,આપેલા સમતલો એકબીજાને સમાંતર છે.

(A) સમતલ $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ છે અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ માટે $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો $L_1 \parallel L_2$ થાય.
જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ હોય,તો $L_1 \perp L_2$ થાય.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સમતલોના સમીકરણો $2x - y + 3z - 1 = 0$ અને $2x - y + 3z + 3 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ અને $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 3$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{3} = 1$.
ચુંકે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 1$ છે,તેથી આપેલા સમતલો એકબીજાને સમાંતર છે.

(D) સમતલો $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ ના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તરો અનુક્રમે $(A_1, B_1, C_1)$ અને $(A_2, B_2, C_2)$ છે.
જો $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ હોય,તો સમતલો સમાંતર છે.
જો $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ હોય,તો સમતલો લંબ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$.
આપેલા સમતલો $4x + 8y + z - 8 = 0$ અને $0x + y + z - 4 = 0$ માટે:
$A_1 = 4, B_1 = 8, C_1 = 1$ અને $A_2 = 0, B_2 = 1, C_2 = 1$.
લંબ હોવાની ચકાસણી: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (4)(0) + (8)(1) + (1)(1) = 0 + 8 + 1 = 9 \neq 0$. તેથી,તેઓ લંબ નથી.
સમાંતર હોવાની ચકાસણી: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{0}$ (અવ્યાખ્યાયિત),$\frac{B_1}{B_2} = 8$,$\frac{C_1}{C_2} = 1$. ગુણોત્તર સમાન ન હોવાથી,તેઓ સમાંતર નથી.
ખૂણાની ગણતરી: $\cos \theta = \left| \frac{9}{\sqrt{16 + 64 + 1} \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{9}{9 \times \sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz - D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ છે અને સમતલનું સમીકરણ $3x - 4y + 12z - 3 = 0$ છે,જ્યાં $A = 3, B = -4, C = 12$ અને $D = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \left| \frac{3(0) - 4(0) + 12(0) - 3}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-3}{\sqrt{9 + 16 + 144}} \right|$
$d = \left| \frac{-3}{\sqrt{169}} \right|$
$d = \frac{3}{13}$

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$ છે અને સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z + 3 = 0$ છે,તેથી $A = 2, B = -1, C = 2, D = 3$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \left| \frac{2(3) + (-1)(-2) + 2(1) + 3}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} \right|$
$d = \left| \frac{6 + 2 + 2 + 3}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{13}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \frac{13}{3}$

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં આપેલ બિંદુ $P = (-6, 0, 0)$ અને સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z - 2 = 0$ છે.
તેથી,$A = 2, B = -3, C = 6, D = -2$ અને $x_1 = -6, y_1 = 0, z_1 = 0$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \left| \frac{2(-6) - 3(0) + 6(0) - 2}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-12 - 0 + 0 - 2}{\sqrt{4 + 9 + 36}} \right|$
$d = \left| \frac{-14}{\sqrt{49}} \right|$
$d = \frac{14}{7} = 2$
આમ,અંતર $2$ એકમ છે.

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(1, -1, 2)$ મૂકતા,આપણને $A(x - 1) + B(y + 1) + C(z - 2) = 0$ મળે છે ... $(1)$.
આ સમતલ $2x + 3y - 2z = 5$ અને $x + 2y - 3z = 8$ ને લંબ હોવાથી,આપણા સમતલનો અભિલંબ $(A, B, C)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ $(2, 3, -2)$ અને $(1, 2, -3)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ એ $(2, 3, -2)$ અને $(1, 2, -3)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 - (-4)) - \hat{j}(-6 - (-2)) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
આમ,$A = -5, B = 4, C = 1$.
આ કિંમતોને $(1)$ માં મૂકતા: $-5(x - 1) + 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0$.
$-5x + 5 + 4y + 4 + z - 2 = 0$.
$-5x + 4y + z + 7 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x - 4y - z = 7$ થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$A(3,-1,2)$,$B(5,2,4)$ અને $C(-1,-1,6)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.
સદિશો $\overline{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overline{AC} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \overline{AB} \times \overline{AC} = 12\hat{i} - 16\hat{j} + 12\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{n}' = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $3(x-3) - 4(y+1) + 3(z-2) = 0$ એટલે કે $3x - 4y + 3z - 19 = 0$ છે.
બિંદુ $P(6,5,9)$ થી સમતલનું અંતર $d = \frac{|3(6) - 4(5) + 3(9) - 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 3^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{17}$ થાય.

(A) સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=2$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\lambda$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમતલ બિંદુ $(a, b, c)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\lambda$,જેનો અર્થ છે કે $a+b+c=\lambda$.
હવે $\lambda=a+b+c$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=a+b+c$ મળે છે.
કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં,$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ મૂકતા,આપણને $x+y+z=a+b+c$ મળે છે.

(A) બિંદુ $(-1, 3, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0$ છે $(1)$.
જ્યાં $a, b, c$ એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો છે.
સમતલ $x + 2y + 3z = 5$ ને લંબ હોવાથી,$a(1) + b(2) + c(3) = 0$,એટલે કે $a + 2b + 3c = 0$ $(2)$.
સમતલ $3x + 3y + z = 0$ ને પણ લંબ હોવાથી,$a(3) + b(3) + c(1) = 0$,એટલે કે $3a + 3b + c = 0$ $(3)$.
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(2)(1) - (3)(3)} = \frac{b}{(3)(3) - (1)(1)} = \frac{c}{(1)(3) - (2)(3)}$
$\frac{a}{-7} = \frac{b}{8} = \frac{c}{-3} = k$
તેથી,$a = -7k, b = 8k, c = -3k$.
આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા:
$-7k(x + 1) + 8k(y - 3) - 3k(z - 2) = 0$
$-7x - 7 + 8y - 24 - 3z + 6 = 0$
$-7x + 8y - 3z - 25 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,$7x - 8y + 3z + 25 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P(x, y, z)$ એ બિંદુ $A(1, 2, 3)$ અને $B(3, 2, -1)$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
તેથી,$PA = PB$.
$\Rightarrow PA^2 = PB^2$.
$\Rightarrow (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 2z + 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-2x - 6z + 14 = -6x + 2z + 14$.
$-2x + 6x - 6z - 2z = 0$.
$4x - 8z = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x - 2z = 0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x - 2z = 0$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y, z)$ એવું કોઈ બિંદુ છે કે જેથી $PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z+5)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z+5)^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 10z + 25) = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 8z + 16)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-6x - 8y + 10z + 50 = 4x - 2y - 8z + 21$
પદોને ગોઠવતા:
$10x + 6y - 18z - 29 = 0$

(A) ઉગમબિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0, 0)$ છે અને બિંદુ $P$ ના યામ $(1, 2, -3)$ છે.
રેખાખંડ $OP$ ના દિકગુણોત્તરો $(1-0, 2-0, -3-0) = (1, 2, -3)$ છે.
સમતલ $OP$ ને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $OP$ ના દિકગુણોત્તર સમાન જ રહેશે,એટલે કે $a=1, b=2, c=-3.$
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતા અભિલંબવાળા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, -3)$ અને દિકગુણોત્તરો $(1, 2, -3)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) - 3(z - (-3)) = 0$
$1(x-1) + 2(y-2) - 3(z+3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0$
$x + 2y - 3z - 14 = 0.$

$x, y, z$ અક્ષો પર $a, b, c$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ..........$(1)$
સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $p$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $Ax + By + Cz + D = 0$ સમતલ માટે $p = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં,$A = \frac{1}{a}$,$B = \frac{1}{b}$,$C = \frac{1}{c}$,અને $D = -1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{|\frac{1}{a}(0) + \frac{1}{b}(0) + \frac{1}{c}(0) - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}}$
$p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}$
વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

(C) સમતલોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y + 4z = 4$ $(1)$
$4x + 6y + 8z = 12$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y + 4z = 6$ $(2)$
અહીં $x, y,$ અને $z$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,આ સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $ax + by + cz = d_1$ અને $ax + by + cz = d_2$ વચ્ચેનું અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D = \left| \frac{d_2 - d_1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
અહીં,$a = 2, b = 3, c = 4, d_1 = 4,$ અને $d_2 = 6$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = \left| \frac{6 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} \right|$
$D = \left| \frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 16}} \right|$
$D = \frac{2}{\sqrt{29}}$ એકમ.
આમ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) સમતલોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$2x - y + 4z = 5$ $(1)$
$5x - 2.5y + 10z = 6$ $(2)$
બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ અને $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ માટે,જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય તો તે સમાંતર હોય છે.
$x, y,$ અને $z$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2.5} = 0.4$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{10} = 0.4$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 0.4$ હોવાથી,સમતલોના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર છે.
વધુમાં,અચળ પદોનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5}{6} \neq 0.4$ છે. તેથી,સમતલો સમાંતર અને ભિન્ન છે.
આમ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓ $A, B, C$ ના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ છે.
$A, B, C$ ના યામ મૂકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
યામોને સરખાવતા,$\alpha = \frac{a}{3}$,$\beta = \frac{b}{3}$,અને $\gamma = \frac{c}{3}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a = 3\alpha$,$b = 3\beta$,અને $c = 3\gamma$.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં મૂકતા,$\frac{x}{3\alpha} + \frac{y}{3\beta} + \frac{z}{3\gamma} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને જરૂરી સમીકરણ મળે છે: $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} + \frac{z}{\gamma} = 3$.

(A) સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે સમતલ $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{N}$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$1$. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (3, 4, 6)$ છે.
$2$. અભિલંબ સદિશ $\vec{N}$ એ સદિશ $\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (8-4)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$3$. બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{N}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $((x-3)\hat{i} + (y-4)\hat{j} + (z-6)\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 0$.
$5$. ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $2(x-3) + 2(y-4) + 4(z-6) = 0$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા: $2x - 6 + 2y - 8 + 4z - 24 = 0 \Rightarrow 2x + 2y + 4z = 38$.
$7$. $2$ વડે ભાગતા: $x + y + 2z = 19$.

(C) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો હોવાથી,દિગ્કોસાઇન સમાન થાય,એટલે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,તેથી $3 \cos^2 \alpha = 1$,જે આપે છે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુથી $p$ અંતરે આવેલા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p = 3\sqrt{3}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}) = 3\sqrt{3}$.
$\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,આપણને $x + y + z = 3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 9$ મળે છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z = 9$ છે.

(3X - 2Y + 6Z - 27 = 0) રેખા બિંદુ $P(-2, -1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલને બિંદુ $Q(1, -3, 3)$ આગળ કાટખૂણે મળે છે.
તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
$\vec{PQ} = (1 - (-2))\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (3 - (-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $Q(1, -3, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3(x - 1) - 2(y + 3) + 6(z - 3) = 0$.
$3x - 3 - 2y - 6 + 6z - 18 = 0$.
$3x - 2y + 6z - 27 = 0$.

(N/A) ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$,$(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ અને $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(2, 1, 0)$,$(3, -2, -2)$ અને $(3, 1, 7)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 3-2 & -2-1 & -2-0 \\ 3-2 & 1-1 & 7-0 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(-21 - 0) - (y-1)(7 - (-2)) + z(0 - (-3)) = 0$
$(x-2)(-21) - (y-1)(9) + z(3) = 0$
$-21x + 42 - 9y + 9 + 3z = 0$
$-21x - 9y + 3z + 51 = 0$
આખા સમીકરણને $-3$ વડે ભાગતા:
$7x + 3y - z = 17$
આમ,સમતલનું માંગેલ સમીકરણ $7x + 3y - z = 17$ છે.

ઉગમબિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0, 0)$ છે અને બિંદુ $A$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
રેખા $OA$ ના દિક્ગુણોત્તર $(a-0, b-0, c-0) = (a, b, c)$ છે.
$OA$ ની લંબાઈ $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
તેથી,રેખા $OA$ ની દિક્કોસાઇન $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \overrightarrow{OA} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a} = (a, b, c)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,$\vec{a} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,અને $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ મૂકતા:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k})) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) = 0$
$(x-a)a + (y-b)b + (z-c)c = 0$
$ax - a^2 + by - b^2 + cz - c^2 = 0$
$ax + by + cz = a^2 + b^2 + c^2$.

(N/A) ધારો કે બે લંબકોણીય અક્ષ પ્રણાલીઓ $S_1$ અને $S_2$ છે જેનું ઉગમબિંદુ $O$ સમાન છે.
પ્રથમ પ્રણાલી $S_1$ માં સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
બીજી પ્રણાલી $S_2$ માં સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a^{\prime}} + \frac{y}{b^{\prime}} + \frac{z}{c^{\prime}} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} + \frac{z}{C} = 1$ નું લંબ અંતર $p$ એ $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ સમાન હોવાથી,ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $p$ બંને પ્રણાલીઓ માટે સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}$ મળે છે.
આમ સાબિત થયું.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $ax + by = 0$ છે ... $(i)$.
સમતલ $z = 0$ નું સમીકરણ ... $(ii)$ છે.
સમતલ $(i)$ અને $(ii)$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $ax + by + kz = 0$ તરીકે લખી શકાય ... $(iii)$.
સમતલ $(i)$ નો અભિલંબ $\vec{n_1} = (a, b, 0)$ છે અને સમતલ $(iii)$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (a, b, k)$ છે.
આ બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \alpha = \frac{|a^2 + b^2 + 0|}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\cos^2 \alpha = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}$.
$a^2 + b^2 + k^2 = \frac{a^2 + b^2}{\cos^2 \alpha} = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha$.
$k^2 = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha - (a^2 + b^2) = (a^2 + b^2) (\sec^2 \alpha - 1) = (a^2 + b^2) \tan^2 \alpha$.
આમ,$k = \pm \sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha$.
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $ax + by \pm (\sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha) z = 0$ મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $y$-અક્ષ (જેનો દિશા સદિશ $\hat{j}$ છે) ને સમાવતા તથા બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ લંબ સદિશ $\vec{n}$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
સમતલ સદિશ $\vec{v} = \hat{j} = (0, 1, 0)$ અને સદિશ $\vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = (1, 2, 3)$ ને સમાવે છે.
લંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - \hat{k}$.
$(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 0, -1)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$3(x - 0) + 0(y - 0) - 1(z - 0) = 0$
$3x - z = 0$.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n}$ એ બંને રેખાઓને લંબ છે. તેથી,$\overrightarrow{n}$ એ બંને રેખાઓના દિશા સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે:
$\overrightarrow{n} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(-1 - 4) + \hat{k}(3 + 4) = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$
બિંદુ $(3, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-4(x - 3) + 5(y - 1) + 7(z - 1) = 0$
$-4x + 12 + 5y - 5 + 7z - 7 = 0$
$-4x + 5y + 7z = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(\alpha, -3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$-4(\alpha) + 5(-3) + 7(5) = 0$
$-4\alpha - 15 + 35 = 0$
$-4\alpha + 20 = 0$
$4\alpha = 20$
$\alpha = 5$

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, -2, 3)$ અને $B(2, 4, -1)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે:
$M = \left( \frac{4+2}{2}, \frac{-2+4}{2}, \frac{3-1}{2} \right) = (3, 1, 1)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{AB}$ છે:
$\vec{n} = \vec{AB} = (2-4, 4-(-2), -1-3) = (-2, 6, -4)$.
અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગતા,આપણે $\vec{n} = (1, -3, 2)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $M(3, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -3, 2)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x - 3) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = 0$
$x - 3 - 3y + 3 + 2z - 2 = 0$
$x - 3y + 2z - 2 = 0$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$(4, 0, -1)$ માટે: $4 - 3(0) + 2(-1) - 2 = 4 - 0 - 2 - 2 = 0$. આ બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સમતલ બિંદુ $(4, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$ છે.
સમતલ રેખાખંડ $PQ$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ ને સમાંતર છે.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -3, 3)$ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $M(3, 0, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -3, 3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0$
$x - 3y + 3z + 3 = 0$
$ax+by+cz+d=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-3, c=3, d=3$ મળે છે.
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ ની કિંમત $1^{2} + (-3)^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$ થાય છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $28$ છે.

(A) સમતલ $x - 2y + 2z - 3 = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ થી સમતલ $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ નું અંતર $\frac{|1 - 2(2) + 2(3) + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$ દ્વારા મળે છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{|1 - 4 + 6 + \lambda|}{\sqrt{9}} = 1 \Rightarrow \frac{|\lambda + 3|}{3} = 1$.
આથી $|\lambda + 3| = 3$,એટલે કે $\lambda + 3 = 3$ અથવા $\lambda + 3 = -3$.
તેથી,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -6$.
બે શક્ય સમતલો $x - 2y + 2z = 0$ અને $x - 2y + 2z - 6 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: $a=1, b=-2, c=2, d=0$. તો $(b - d) = -2 - 0 = -2$ અને $(c - a) = 2 - 1 = 1$. તેથી,$-2 = K(1) \Rightarrow K = -2$.
કિસ્સો $2$: $a=1, b=-2, c=2, d=-6$. તો $(b - d) = -2 - (-6) = 4$ અને $(c - a) = 2 - 1 = 1$. તેથી,$4 = K(1) \Rightarrow K = 4$.
$K$ ની ધન કિંમત $4$ છે.

(B) $(42, 0, 0)$,$(0, 42, 0)$ અને $(0, 0, 42)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{42} + \frac{y}{42} + \frac{z}{42} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 42$ થાય છે.
આને આપણે $(x-11) + (y-19) + (z-12) = 42 - 11 - 19 - 12 = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $a = x-11$,$b = y-19$,અને $c = z-12$. તેથી $a + b + c = 0$.
આપેલ પદાવલિ $3 + \frac{a}{b^2 c^2} + \frac{b}{a^2 c^2} + \frac{c}{a^2 b^2} - \frac{42}{14abc}$ છે.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$x+y+z=42$ થાય. છેલ્લા પદમાં આ કિંમત મૂકતા,$\frac{42}{14abc} = \frac{3}{abc}$ મળે.
પદાવલિ $3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2} - \frac{3}{abc} = 3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 b^2 c^2}$ બને છે.
$a+b+c=0$ હોવાથી,નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ સાચું છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $3 + \frac{3abc - 3abc}{a^2 b^2 c^2} = 3 + 0 = 3$ થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y, z)$ છે. સમતલો $x + y + z = 0$,$lx - nz = 0$ અને $x - 2y + z = 0$ થી અંતર $d_1 = \frac{|x + y + z|}{\sqrt{3}}$,$d_2 = \frac{|lx - nz|}{\sqrt{l^2 + n^2}}$ અને $d_3 = \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{6}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 9$,તેથી:
$\frac{(x + y + z)^2}{3} + \frac{(lx - nz)^2}{l^2 + n^2} + \frac{(x - 2y + z)^2}{6} = 9$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} + \frac{l^2x^2 - 2lnxz + n^2z^2}{l^2 + n^2} + \frac{x^2 + 4y^2 + z^2 - 4xy - 4yz + 2zx}{6} = 9$.
$x^2, y^2, z^2, xy, yz, zx$ ના સહગુણકોને ગોઠવતા:
$x^2(\frac{1}{3} + \frac{l^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + y^2(\frac{1}{3} + \frac{4}{6}) + z^2(\frac{1}{3} + \frac{n^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + xy(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + yz(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + zx(\frac{2}{3} - \frac{2ln}{l^2 + n^2} + \frac{2}{6}) = 9$.
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2(\frac{1}{2} + \frac{l^2}{l^2 + n^2}) + y^2(1) + z^2(\frac{1}{2} + \frac{n^2}{l^2 + n^2}) + zx(1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2}) = 9$.
આને $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ સાથે સરખાવતા,$xy, yz, zx$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ અને $x^2, y^2, z^2$ ના સહગુણકો $1$ હોવા જોઈએ.
$zx$ નો સહગુણક $0$ હોવા માટે,$1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2} = 0 \implies l^2 + n^2 = 2ln \implies (l - n)^2 = 0 \implies l = n$.
આમ,$l - n = 0$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $2x - y + z = b$ છે.
ધારો કે $P = (1, 3, a)$ અને $Q = (-3, 5, 2)$. રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ સમતલ પર આવેલું છે.
$R = \left( \frac{1 - 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{a + 2}{2} \right) = (-1, 4, \frac{a + 2}{2})$.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $2x - y + z = b$ પર છે,તેથી:
$2(-1) - 4 + \frac{a + 2}{2} = b$
$-6 + \frac{a + 2}{2} = b \Rightarrow a + 2 = 2b + 12 \Rightarrow a = 2b + 10 \quad \dots(i)$
વળી,સદિશ $\vec{PQ} = (-3 - 1, 5 - 3, 2 - a) = (-4, 2, 2 - a)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 1)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\frac{-4}{2} = \frac{2}{-1} = \frac{2 - a}{1}$.
$-2 = -2 = 2 - a \Rightarrow a = 4$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = 4$ મૂકતા:
$4 = 2b + 10 \Rightarrow 2b = -6 \Rightarrow b = -3$.
આમ,$|a + b| = |4 + (-3)| = |1| = 1$.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} - 5\hat{j} - \hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -1\end{array}\right|$ થશે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - 10) - \hat{j}(-3 - (-4)) + \hat{k}(-15 - 2) = -11\hat{i} - \hat{j} - 17\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = 11\hat{i} + \hat{j} + 17\hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
બિંદુ $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\langle 11, 1, 17 \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$11(x - 1) + 1(y - 2) + 17(z + 3) = 0$
$11x - 11 + y - 2 + 17z + 51 = 0$
$11x + y + 17z + 38 = 0$.

(B) સમતલ $P_{1}$ નું સમીકરણ $3x + 15y + 21z = 9$ છે. $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 5y + 7z = 3$ મળે છે.
સમતલ $P_{2}$ નું સમીકરણ $x - 3y - z = 5$ છે.
સમતલ $P_{3}$ નું સમીકરણ $2x + 10y + 14z = 5$ છે. $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 5y + 7z = \frac{5}{2}$ મળે છે.
બે સમતલો $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$.
$P_{1}$ અને $P_{3}$ ની સરખામણી કરતા,અભિલંબ સદિશો $(1, 5, 7)$ અને $(1, 5, 7)$ છે,જે સમાન છે. અચળ પદો $3$ અને $\frac{5}{2}$ અલગ હોવાથી,સમતલો સમાંતર અને ભિન્ન છે.
તેથી,$P_{1}$ અને $P_{3}$ સમાંતર છે.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાખંડ $\vec{AB}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{AB} = (-1 - (-2))\hat{i} + (-16 - (-21))\hat{j} + (33 - 29)\hat{k} = 1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $Q(4, -2, 2)$ અને $P(\lambda, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ સમતલમાં આવેલો છે.
$\vec{PQ} = (4 - \lambda)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = (4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
કારણ કે સમતલ રેખા $AB$ ને લંબ છે,તેથી અભિલંબ સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલના કોઈપણ સદિશને લંબ હોય,જેમાં $\vec{PQ}$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 0$.
$(1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot ((4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}) = 0$.
$1(4 - \lambda) + 5(-4) + 4(1) = 0$.
$4 - \lambda - 20 + 4 = 0$.
$-\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = -12$.
હવે,પદાવલિ $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ ની ગણતરી કરો.
$\lambda = -12$ મૂકતા: $\left(\frac{-12}{11}\right)^{2} - \frac{4(-12)}{11} - 4 = \frac{144}{121} + \frac{48}{11} - 4 = \frac{144 + 528 - 484}{121} = \frac{188}{121}$.

(C) સમતલ પર આવેલા સદિશો $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right| = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(-1+2) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{OP} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{OP}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\cos \theta = \frac{|\vec{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{OP}| |\vec{n}|} = \frac{|(2)(3) + (-1)(-1) + (1)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 1 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{66}}$ છે.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{64}{66} = \frac{2}{66} = \frac{1}{33}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{33}}$ મળે.
સમતલ પર $\vec{OP}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\vec{OP}| \sin \theta = \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{33}} = \sqrt{\frac{6}{33}} = \sqrt{\frac{2}{11}}$ થાય.

(C) આપેલ સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x + y + 4z - 16) + \lambda(-x + y + z - 6) = 0$ છે.
સમતલ $P$ એ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1, y = 2, z = 3$ મૂકતા:
$(1 + 2 + 4(3) - 16) + \lambda(-1 + 2 + 3 - 6) = 0$
$(1 + 2 + 12 - 16) + \lambda(-2) = 0$
$-1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y + 4z - 16) - \frac{1}{2}(-x + y + z - 6) = 0$
$2(x + y + 4z - 16) - (-x + y + z - 6) = 0$
$2x + 2y + 8z - 32 + x - y - z + 6 = 0$
$3x + y + 7z - 26 = 0$.
હવે,ચકાસીએ કે કયું બિંદુ $3x + y + 7z = 26$ નું સમાધાન કરતું નથી:
$(3, 3, 2)$ માટે: $3(3) + 3 + 7(2) = 9 + 3 + 14 = 26$ ($P$ પર છે).
$(6, -6, 2)$ માટે: $3(6) - 6 + 7(2) = 18 - 6 + 14 = 26$ ($P$ પર છે).
$(4, 2, 2)$ માટે: $3(4) + 2 + 7(2) = 12 + 2 + 14 = 28 \neq 26$ ($P$ પર નથી).
$(-8, 8, 6)$ માટે: $3(-8) + 8 + 7(6) = -24 + 8 + 42 = 26$ ($P$ પર છે).

(A) કારણ કે $R(3,5,\gamma)$ એ સમતલ $2x-y+z+3=0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2(3) - 5 + \gamma + 3 = 0$
$6 - 5 + \gamma + 3 = 0$
$4 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -4$.
આમ,$R$ એ $(3,5,-4)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 1)$ છે. રેખા $QS$ એ $Q(1,3,4)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{n}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $QS$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $F(2\lambda+1, -\lambda+3, \lambda+4)$ છે.
$F$ એ $Q$ માંથી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ હોવાથી,તે સમતલ પર આવેલું છે:
$2(2\lambda+1) - (-\lambda+3) + (\lambda+4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $F$ માં મૂકતા,આપણને $F(-1, 4, 3)$ મળે છે.
$F$ એ $QS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,ધારો કે $S = (x_s, y_s, z_s)$:
$\frac{x_s+1}{2} = -1 \Rightarrow x_s = -3$
$\frac{y_s+3}{2} = 4 \Rightarrow y_s = 5$
$\frac{z_s+4}{2} = 3 \Rightarrow z_s = 2$.
તેથી,$S = (-3, 5, 2)$.
રેખાખંડ $SR$ ની લંબાઈનો વર્ગ:
$SR^2 = (3 - (-3))^2 + (5 - 5)^2 + (-4 - 2)^2$
$SR^2 = (6)^2 + (0)^2 + (-6)^2 = 36 + 0 + 36 = 72$.

(B) સમતલોના સમીકરણો $P_{1}: x-2y-2z+1=0$ અને $P_{2}: 2x-3y-6z+1=0$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\left|\frac{x-2y-2z+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}\right| = \left|\frac{2x-3y-6z+1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-2y-2z+1}{3} = \pm \frac{2x-3y-6z+1}{7}$ થાય છે.
લઘુકોણ દ્વિભાજક નક્કી કરવા માટે,આપણે $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = (1)(2) + (-2)(-3) + (-2)(-6) = 2 + 6 + 12 = 20$ ની નિશાની તપાસીએ છીએ.
કારણ કે $20 > 0$,ઋણ ચિહ્ન લઘુકોણ દ્વિભાજક આપે છે.
તેથી,$\frac{x-2y-2z+1}{3} = -\frac{2x-3y-6z+1}{7}$.
$7(x-2y-2z+1) = -3(2x-3y-6z+1)$.
$7x-14y-14z+7 = -6x+9y+18z-3$.
$13x-23y-32z+10 = 0$.
બિંદુ $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ ને તપાસતા: $13(-2) - 23(0) - 32(-\frac{1}{2}) + 10 = -26 - 0 + 16 + 10 = 0$.
તેથી,બિંદુ $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ સમતલ $P$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(-2 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ મળે.
બિંદુ $(-1, 0, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x + 1) + 1(y - 0) - 3(z + 2) = 0$
$-2x - 2 + y - 3z - 6 = 0$
$-2x + y - 3z - 8 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,$2x - y + 3z + 8 = 0$ મળે.
$ax + by + cz + 8 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -1, c = 3$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4$.

(C) સમતલ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક સમતલ છે,જ્યાં $A(-4, 2, 1)$ અને $B(2, -2, 3)$ છે.
સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ સદિશ $\vec{AB} = (2 - (-4))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (3 - 1)\hat{k} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (-1, 0, 2)$ છે.
સમતલ $P$ નું સમીકરણ $3(x + 1) - 2(y - 0) + 1(z - 2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2y + z + 1 = 0$ થાય છે.
બીજું સમતલ $P': 2x + y + 3z - 1 = 0$ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \left| \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -5 \\ 3 & 5 & -7 \end{vmatrix} = \hat{i}(-7 + 25) - \hat{j}(-14 + 15) + \hat{k}(10 - 3) = 18\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $18x - y + 7z = d$ છે.
સમતલ $(2, 3, -5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$18(2) - (3) + 7(-5) = d$,જે $36 - 3 - 35 = d$ આપે છે,તેથી $d = -2$.
સમતલનું સમીકરણ $18x - y + 7z = -2$ અથવા $-18x + y - 7z = 2$ છે.
આને $ax + by + cz = d$ સાથે સરખાવતા,$a = -18, b = 1, c = -7, d = 2$ મળે છે.
અહીં $\text{gcd}(|-18|, |1|, |-7|, 2) = 1$ અને $d > 0$ હોવાથી,આ કિંમતો સાચી છે.
અંતે,$a + 7b + c + 20d = -18 + 7(1) + (-7) + 20(2) = -18 + 7 - 7 + 40 = 22$.

(C) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(a, b, c)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{a - x_1}{A} = \frac{b - y_1}{B} = \frac{c - z_1}{C} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D)}{A^2 + B^2 + C^2}$ છે.
અહીં બિંદુ $(2, 4, 7)$ અને સમતલ $3x - y + 4z - 2 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A=3, B=-1, C=4, D=-2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(3(2) - 1(4) + 4(7) - 2)}{3^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(6 - 4 + 28 - 2)}{9 + 1 + 16} = \frac{-2(28)}{26} = \frac{-28}{13}$.
હવે $a, b, c$ ની કિંમત શોધતા:
$a = 2 + 3(\frac{-28}{13}) = \frac{-58}{13}$.
$b = 4 - 1(\frac{-28}{13}) = \frac{80}{13}$.
$c = 7 + 4(\frac{-28}{13}) = \frac{-21}{13}$.
છેલ્લે,$2a + b + 2c$ ની ગણતરી કરતા:
$2(\frac{-58}{13}) + \frac{80}{13} + 2(\frac{-21}{13}) = \frac{-116 + 80 - 42}{13} = \frac{-78}{13} = -6$.