ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં,જો $f(x, y, z) = xy + xz$ હોય,તો $f(x, y, z) = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે -

ધારો કે $R^3$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. બે બિંદુઓ $P=(1, 2, 3)$ અને $Q=(4, 2, 7)$ લો. ધારો કે $\operatorname{dist}(X, Y)$ એ $R^3$ માં બે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ એક એવો ત્રિકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે અને તેના બધા શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી છે.
$(B)$ $T$ માં બે અલગ બિંદુઓ $L$ અને $M$ છે જેથી રેખાખંડ $LM$ પરનું દરેક બિંદુ પણ $T$ માં હોય.
$(C)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતા અનંત લંબચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.
$(D)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતો એક ચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.

ધારો કે સમતલ $ax+by+cz+d=0$ એ બિંદુઓ $(4,-3,1)$ અને $(2,3,-5)$ ને જોડતી રેખાને કાટખૂણે દુભાગે છે. જો $a, b, c, d$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય,તો $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ બિંદુ $Q(1,3,4)$ નું સમતલ $2x-y+z+3=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે અને $R(3,5,\gamma)$ એ આ સમતલ પરનું એક બિંદુ છે. તો રેખાખંડ $SR$ ની લંબાઈનો વર્ગ ..... છે.

જો સમતલ $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - \frac{z}{5} = 1$ એ યામ અક્ષોને અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

બે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના દિકગુણોત્તરો $1, -1, -1$ અને $2, -1, 1$ છે. સમતલ $ABC$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો શોધો.