Line and Plane Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $\frac{x+1}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{-(z-2)}{2}=k$.
આમ,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y, z)$ નીચે મુજબ થશે:
$x = k-1$
$y = 3k-3$
$z = -2k+2$
આ રેખા સમતલ $3x+4y+5z=10$ ને છેદે છે.
$x, y, z$ ની કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(k-1) + 4(3k-3) + 5(-2k+2) = 10$
$3k - 3 + 12k - 12 - 10k + 10 = 10$
$5k - 5 = 10$
$5k = 15$
$k = 3$
હવે,$k=3$ ને યામના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = 3-1 = 2$
$y = 3(3)-3 = 6$
$z = -2(3)+2 = -4$
તેથી,છેદબિંદુ $(2, 6, -4)$ છે.

(D) રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b} = (2, -1, 1)$ છે.
સમતલ $3x - 4y - z + 5 = 0$ ના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, -4, -1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(3) + (-1)(-4) + (1)(-1) = 6 + 4 - 1 = 9$.
માન: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{156}} = \frac{9}{2\sqrt{39}}$.
હવે,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{81}{156}} = \sqrt{\frac{75}{156}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{2\sqrt{13}}\right)$.

(D) આપેલી રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ છે.
રેખા સમતલ $2x-4y+z=7$ પર આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
રેખા પરનું એક બિંદુ $(4, 2, k)$ છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x-4y+z=7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
વધુમાં,રેખાનો દિશા સદિશ $(1, 1, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $(2, -4, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ડોટ પ્રોડક્ટ તપાસતા: $(1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે. બિંદુ $(4, 2, 7)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,આખી રેખા સમતલ પર આવેલી છે.

(D) આપેલ રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $2x - 2y + z = 5$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો સાઈન $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\sin \theta = \left| \frac{3}{(5\sqrt{2})(3)} \right| = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{5\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 4z = 29$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{4} = \lambda$ થાય.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,આપણે તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ: $2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$.
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29 \Rightarrow 29\lambda = 29 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ની કિંમત બિંદુમાં મૂકતા,આપણને $(2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$ મળે છે.

(B) $2\bar{a}+\bar{b}$ માંથી પસાર થતી અને $\bar{b}-\bar{c}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = (2\bar{a}+\bar{b}) + t(\bar{b}-\bar{c})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $2\bar{a} + (1+t)\bar{b} - t\bar{c}$ સ્વરૂપનું છે.
સમતલ $\bar{a}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\bar{b}+\bar{c}$ તથા $\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}) = -\bar{a} \times \bar{b} - 3\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\bar{r}-\bar{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
રેખા પરના બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $t=1$ મળે છે,જેનાથી $P = 2\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ મળે છે.

(C) ધારો કે જરૂરી ગુણોત્તર $\lambda : 1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$(2, -4, 3)$ અને $(-4, 5, -6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
આ બિંદુ $P$ એ સમતલ $3x + 2y + z - 4 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3 \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2 \left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $-\frac{1}{4} : 1$ એટલે કે $-1 : 4$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બહારની તરફ (external) છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સમતલ $ABC$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો. સદિશો $\vec{AB} = B-A = (-1, -2, 1)$ અને $\vec{AC} = C-A = (-1, 2, 0)$ છે.
$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સમતલ $ACD$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ શોધો. સદિશો $\vec{AC} = (-1, 2, 0)$ અને $\vec{AD} = D-A = (-2, -1, -1)$ છે.
$\vec{n_2} = \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 4 + 1 - 20 = -15$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{21}$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{15}{\sqrt{630}} = \frac{5}{\sqrt{70}}$.
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}$,અને $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
આમ,$\tan^2 \theta = \frac{9/14}{5/14} = \frac{9}{5}$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ છે કે $P(2, \beta, \alpha)$ એ $x+2y-z-2=0$ પર છે,તેથી $2+2\beta-\alpha-2=0$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha=2\beta$ $(i)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $Q(\alpha, -1, \beta)$ એ $2x-y+3z+6=0$ પર છે,તેથી $2\alpha - (-1) + 3\beta + 6 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2\alpha+3\beta+7=0$ $(ii)$ થાય છે.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $2(2\beta)+3\beta+7=0 \Rightarrow 7\beta = -7 \Rightarrow \beta = -1$.
તેથી $\alpha = 2(-1) = -2$.
આમ,$P = (2, -1, -2)$ અને $Q = (-2, -1, -1)$.
સદિશ $\vec{PQ} = (-2-2)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (-1-(-2))\hat{k} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
દિક્કોસાઈન $\left(\frac{-4}{\sqrt{17}}, \frac{0}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \left(-\frac{4}{\sqrt{17}}, 0, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$ છે.

(B) સમતલ $\pi$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{n_1} = (1, -2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, 3, -1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી બે રેખાઓને સમાવે છે.
સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-4x + 5y + 7z = 0$ છે.
સમતલ $x - y - z + 1 = 0$ (અભિલંબ $\vec{n_3} = (1, -1, -1)$) અને $\pi$ (અભિલંબ $\vec{n} = (-4, 5, 7)$) ના છેદબિંદુની રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_3} \times \vec{n}$ છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -4 & 5 & 7 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(-2, -3, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે,જે $(2, 3, -1)$ ને સમાન છે.

(A) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{d} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા ધન $x$-અક્ષ (દિશા $\hat{i}$) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\cos \alpha = \frac{\vec{d} \cdot \hat{i}}{|\vec{d}| |\hat{i}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\hat{i}| = 1$.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) રેખા $PQ$ એ $P(2,-3,4)$ અને $Q(-1,-4,0)$ માંથી પસાર થાય છે. $PQ$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = Q - P = (-1-2, -4-(-3), 0-4) = (-3, -1, -4)$ છે.
રેખા $PQ$ નું પ્રાચલ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $x = 2 - 3t$,$y = -3 - t$,$z = 4 - 4t$ છે.
$S$ એ $PQ$ પર હોવાથી,તેના યામ કોઈ અદિશ $t$ માટે $(2-3t, -3-t, 4-4t)$ થાય.
સદિશ $\vec{RS} = S - R = (2-3t-2, -3-t-1, 4-4t-0) = (-3t, -t-4, 4-4t)$ છે.
$RS \perp PQ$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{RS} \cdot \vec{v} = 0$ થાય.
$(-3t)(-3) + (-t-4)(-1) + (4-4t)(-4) = 0$.
$9t + t + 4 - 16 + 16t = 0$.
$26t - 12 = 0 \implies 26t = 12 \implies t = \frac{12}{26} = \frac{6}{13}$.
$S$ નો $X$-યામ $x = 2 - 3t = 2 - 3(\frac{6}{13}) = 2 - \frac{18}{13} = \frac{26-18}{13} = \frac{8}{13}$ થાય.

(B) રેખાખંડ $PQ$ ને દર્શાવતો સદિશ $\vec{PQ} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$ છે.
સમતલ $x+y+z=3$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ નો સમતલ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |\vec{v}| \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશ $\vec{v}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,$\vec{PQ}$ નું માન શોધો:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
ત્યારબાદ,$\vec{PQ}$ અને $\vec{n}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન શોધો:
$\cos(\theta) = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PQ}| |\vec{n}|} = \frac{|(0)(1) + (-1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|0 - 1 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0$.
$\cos(\theta) = 0$ હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\theta) = 1$.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $L = |\vec{PQ}| \sin(90^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ થાય.

(NONE) સમતલ $3x - 2y + z = 8$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = \langle 3, -2, 1 \rangle$ છે.
સમતલ $x + y + z = 6$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \langle 1, 1, 1 \rangle$ છે.
માંગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = \langle -3, -2, 5 \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$-3x - 2y + 5z = 11$ મળે છે.
$11$ વડે ભાગતા,$-\frac{3}{11}x - \frac{2}{11}y + \frac{5}{11}z = 1$ મળે.
$lx + my + nz = 1$ સાથે સરખાવતા,$l = -3/11$,$m = -2/11$,અને $n = 5/11$ મળે છે.
હવે,$4m + 2n - 31 = 4(-2/11) + 2(5/11) - 31 = -8/11 + 10/11 - 31 = 2/11 - 31 = -339/11$.

(A) ધારો કે સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 3) = 0$ છે,જ્યાં $\vec{n} = (a, b, c)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
સમતલ $B(6, 4, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$a(6 - 1) + b(4 + 2) + c(5 - 3) = 0$,જે $5a + 6b + 2c = 0$ માં પરિણમે છે.
સમતલ $\pi$ એ સમતલ $3x - y + z = 2$ ને લંબ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (3, -1, 1)$ છે.
તેથી,અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $3a - b + c = 0$.
સમીકરણો $5a + 6b + 2c = 0$ અને $3a - b + c = 0$ ને ઉકેલતા:
બીજા સમીકરણ પરથી,$b = 3a + c$. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $5a + 6(3a + c) + 2c = 0 \implies 23a + 8c = 0$.
ધારો કે $a = 8$,તો $c = -23$. તેથી $b = 3(8) - 23 = 24 - 23 = 1$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (8, 1, -23)$ છે.
સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $8(x - 1) + 1(y + 2) - 23(z - 3) = 0$ છે,જે $8x + y - 23z + 63 = 0$ માં પરિણમે છે.
$(0, 0, 0)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|8(0) + 1(0) - 23(0) + 63|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + (-23)^2}} = \frac{63}{\sqrt{64 + 1 + 529}} = \frac{63}{\sqrt{594}}$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz = d_0$ નું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d_0|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
અહીં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-1, p, -3)$ અને સમતલ $2x - 3y + 6z - 7 = 0$ છે.
અંતર $6$ એકમ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:
$6 = \frac{|2(-1) - 3(p) + 6(-3) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$6 = \frac{|-2 - 3p - 18 - 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$6 = \frac{|-3p - 27|}{7}$
$42 = |-3p - 27|$
આના બે કિસ્સા મળે:
કિસ્સો $1$: $-3p - 27 = 42 \implies -3p = 69 \implies p = -23$ ($p$ ધન હોવાથી આ શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $-3p - 27 = -42 \implies -3p = -15 \implies p = 5$.
તેથી,$p = 5$.

(D) બે સમતલો $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ અને $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ છે.
આપેલ સમતલો $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 = 0$ અને $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5 = 0$ છે.
માગેલ સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$ થશે.
આ સમતલ બિંદુ $\overline{a} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં $\overline{r} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ મૂકતા:
$((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(1 - 6 - 3) + \lambda(4 + 3 - 5) = 0$
$-8 + \lambda(2) = 0 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
$\lambda = 4$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 + 4(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} - 2 \overline{k} + 4 \overline{k}) = 3 + 20$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 23$.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ છે,જે કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $x+y+z=5$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાના પ્રાચલ સમીકરણો $x=2 \lambda, y=3 \lambda, z=-6 \lambda$ છે.
આ રેખાનું સમતલ સાથેનું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \lambda + 3 \lambda - 6 \lambda = 5$
$-\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = -5$.
છેદબિંદુ $P = (2(-5), 3(-5), -6(-5)) = (-10, -15, 30)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી બિંદુ $P(-10, -15, 30)$ સુધીનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(-10-0)^2 + (-15-0)^2 + (30-0)^2}$
$d = \sqrt{100 + 225 + 900} = \sqrt{1225} = 35$.

(C) બે સમતલોની છેદરેખા બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે. અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 4) = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ છે.
દિકકોસાઇન મેળવવા માટે સદિશ $\vec{v}$ ના ઘટકોને તેના માન વડે ભાગતા:
$l = \frac{3}{\sqrt{35}}, m = \frac{1}{\sqrt{35}}, n = \frac{-5}{\sqrt{35}}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left(\frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{-5}{\sqrt{35}}\right)$ છે.

(B) ધારો કે સમતલ $x-y+z+4=0$ એ બિંદુઓ $P(2,3,-1)$ અને $Q(1,4,-2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $l:m$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન બિંદુ $R$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$R = \left( \frac{l(1) + m(2)}{l+m}, \frac{l(4) + m(3)}{l+m}, \frac{l(-2) + m(-1)}{l+m} \right) = \left( \frac{l+2m}{l+m}, \frac{4l+3m}{l+m}, \frac{-2l-m}{l+m} \right)$.
બિંદુ $R$ એ સમતલ $x-y+z+4=0$ પર આવેલું હોવાથી,આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{l+2m}{l+m} \right) - \left( \frac{4l+3m}{l+m} \right) + \left( \frac{-2l-m}{l+m} \right) + 4 = 0$.
$(l+m)$ વડે ગુણતા:
$(l+2m) - (4l+3m) + (-2l-m) + 4(l+m) = 0$.
$l - 4l - 2l + 4l + 2m - 3m - m + 4m = 0$.
$-l + 2m = 0 \Rightarrow l = 2m \Rightarrow \frac{l}{m} = \frac{2}{1}$.
આમ,$l=2$ અને $m=1$.
તેથી,$l+m = 2+1 = 3$.

(C) બિંદુ $Q(2, -2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $x - 2y + z - 1 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k + 2, -2k - 2, k + 1)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,$(k + 2) - 2(-2k - 2) + (k + 1) = 1$ મળે.
$k + 2 + 4k + 4 + k + 1 = 1 \Rightarrow 6k + 7 = 1 \Rightarrow 6k = -6 \Rightarrow k = -1$.
આમ,લંબપાદ $P(x_1, y_1, z_1)$ એ $(1, 0, 0)$ છે.
તેથી,$l = x_1 + y_1 + z_1 = 1 + 0 + 0 = 1$.
બિંદુ $Q(2, -2, 1)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|2 - 2(-2) + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 4 + 1 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,$d^2 = 6$.
અંતે,$l + 3d^2 = 1 + 3(6) = 1 + 18 = 19$.

(A) $A(1,1,1)$ માંથી સમતલ $\pi$ પરના લંબનો લંબપાદ $P(-3,3,5)$ છે. સદિશ $\vec{AP} = P - A = (-3-1, 3-1, 5-1) = (-4, 2, 4)$ એ સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ છે.
સમતલ $\pi$ એ $P(-3,3,5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $-4(x+3) + 2(y-3) + 4(z-5) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $-4x + 2y + 4z - 38 = 0$ અથવા $2x - y - 2z + 19 = 0$ મળે છે.
$AP$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1-3}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 2, 3)$ છે.
સમતલ $\pi$ ને સમાંતર સમતલનું સ્વરૂપ $2x - y - 2z + k = 0$ હોય.
તે $M(-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2(-1) - (2) - 2(3) + k = 0$,એટલે કે $-2 - 2 - 6 + k = 0$,તેથી $k = 10$ મળે.
સમીકરણ $2x - y - 2z + 10 = 0$ છે.
$ax - y + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$c = -2$,અને $d = 10$ મળે છે.
આમ,$a + c - d = 2 + (-2) - 10 = -10$.

(C) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = q_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = q_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = q_1 + \lambda q_2$ છે.
આપેલ સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ અને $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ છે.
જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot [(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})] = 5 + 7\lambda$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\vec{r} \cdot [(1+3\lambda)\hat{i} + (-2+\lambda)\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}] = 5 + 7\lambda$ મળે.
સમતલ બિંદુ $\vec{r} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામો મૂકીએ:
$2(1+3\lambda) - 3(-2+\lambda) + 1(3-2\lambda) = 5 + 7\lambda$.
$2 + 6\lambda + 6 - 3\lambda + 3 - 2\lambda = 5 + 7\lambda$.
$11 + \lambda = 5 + 7\lambda$.
$6 = 6\lambda$,જે $\lambda = 1$ આપે છે.
$\lambda = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot [(1+3(1))\hat{i} + (-2+1)\hat{j} + (3-2(1))\hat{k}] = 5 + 7(1)$.
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 12$.

(C) આપેલા સમતલો $P_1: x-2y+z+2=0$ અને $P_2: 3x-y-z+1=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x-2y+z+2) + \lambda(3x-y-z+1) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x=1, y=1, z=1$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1-2(1)+1+2) + \lambda(3(1)-1-1+1) = 0$.
$(1-2+1+2) + \lambda(3-1-1+1) = 0$.
$2 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
હવે $\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2y+z+2) - 1(3x-y-z+1) = 0$.
$x-2y+z+2 - 3x+y+z-1 = 0$.
$-2x - y + 2z + 1 = 0$.
$X$ અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ અને $z=0$ લેતા:
$-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
આમ,$X$ અંતઃખંડ $\frac{1}{2}$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 1, 2)$ મુકતા,$A(x-0) + B(y-1) + C(z-2) = 0$ ... $(i)$.
સમતલ $(-1, 0, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$A(-1-0) + B(0-1) + C(3-2) = 0$,જે $-A - B + C = 0$ અથવા $A + B - C = 0$ થાય છે ... $(ii)$.
સમતલ $(i)$ એ $2x + 3y + z = 5$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો લંબ થાય,તેથી $2A + 3B + C = 0$ ... $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા: $\frac{A}{1(1) - 3(-1)} = \frac{B}{2(-1) - 1(1)} = \frac{C}{1(3) - 2(1)}$.
આથી $\frac{A}{4} = \frac{B}{-3} = \frac{C}{1}$ મળે છે.
આ કિંમતો $(i)$ માં મુકતા,$4(x-0) - 3(y-1) + 1(z-2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x - 3y + z + 1 = 0$ થાય છે.

(A) બે સમતલો $P_1: x+2y+3z-4=0$ અને $P_2: 4x+3y+2z+1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z+1) = 0$ ...$(i)$
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણ $(i)$ માં $x=0, y=0, z=0$ મૂકીએ:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0+1) = 0$
$-4 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$
હવે $\lambda = 4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x+2y+3z-4) + 4(4x+3y+2z+1) = 0$
$x+2y+3z-4 + 16x+12y+8z+4 = 0$
$17x+14y+11z = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે સમતલો $x-y=0$ અને $2x+y+z=0$ ની છેદતી રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $a_1, b_1, c_1$ છે. આ રેખા બંને સમતલોને લંબ છે. અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$ અને $\vec{n_2} = (2, 1, 1)$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1, 1, -3)$ મળે છે.
તે જ રીતે,સમતલો $2x-z=0$ અને $x+y-3z=0$ માટે,અભિલંબ $\vec{n_3} = (2, 0, -1)$ અને $\vec{n_4} = (1, 1, -3)$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = (1, 5, 2)$ મળે છે.
હવે,$\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(5) + (-3)(2) = 1 + 5 - 6 = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(1, 3, 4)$ છે અને સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y', z')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(3) + 1(4) + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2}$.
$\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2 - 3 + 4 + 3}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
યામ શોધતા:
$x' - 1 = 2(-2) \Rightarrow x' = -3$.
$y' - 3 = -1(-2) \Rightarrow y' = 5$.
$z' - 4 = 1(-2) \Rightarrow z' = 2$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-3, 5, 2)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2+z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું સમતલ $x+z-1=0$ થી અંતર $\frac{|x+z-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરો સમાન છે:
$\sqrt{y^2+z^2} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y^2+z^2 = \frac{(x+z-1)^2}{2}$
$2(y^2+z^2) = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
$2y^2+2z^2 = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^2-2y^2-z^2+2xz-2x-2z+1=0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બિંદુ $(1, 2, -1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-2) + c(z+1) = 0$ છે.
સમતલ એ $r \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $r \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ ની છેદરેખાને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હશે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(12+1) = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (-2, 7, 13)$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $-2(x-1) + 7(y-2) + 13(z+1) = 0$.
$-2x + 2 + 7y - 14 + 13z + 13 = 0$.
$-2x + 7y + 13z + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x - 7y - 13z = 1$ થાય છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $r \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}-13 \hat{k})=1$ છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને રેખા $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ એ રેખા પરના બિંદુના સ્થાન સદિશ,રેખાની દિશા અને સામાન્ય સદિશ $r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ ના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમીકરણ $(r - 0) \cdot [(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})] = 0$ થશે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = -7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (-7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $r \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ થાય છે.
આ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x + y + z = 0$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) $a=2, b=3, c=4$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ છે. $12$ વડે ગુણતા,આપણને $6x + 4y + 3z = 12$ મળે છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (6, 4, 3)$ છે.
બીજું સમતલ બિંદુઓ $B(1, 2, 3)$ અને $C(-2, 3, 4)$ ને જોડતી રેખાને લંબ છે. રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(-2-1, 3-2, 4-3) = (-3, 1, 1)$ છે. સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,બીજા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (-3, 1, 1)$ થશે.
બિંદુ $(-1, 6, 2)$ માંથી પસાર થતા બીજા સમતલનું સમીકરણ $-3(x+1) + 1(y-6) + 1(z-2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-3x + y + z - 11 = 0$ થાય છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (6)(-3) + (4)(1) + (3)(1) = -18 + 4 + 3 = -11$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{|-11|}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{11}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{11}{61}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{11}{61}}$.

(C) બિંદુ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, 3, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{1} = r$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, 3r - 1, r + 1)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $3x + 4y + 5z + 19 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3(2r + 1) + 4(3r - 1) + 5(r + 1) + 19 = 0$
$6r + 3 + 12r - 4 + 5r + 5 + 19 = 0$
$23r + 23 = 0$
$r = -1$
છેદબિંદુ $(2(-1) + 1, 3(-1) - 1, -1 + 1) = (-1, -4, 0)$ છે.
બિંદુઓ $(1, -1, 1)$ અને $(-1, -4, 0)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-4 - (-1))^2 + (0 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2}$
$d = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

(A) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $\pi_1 = x+3y-6=0$ અને $\pi_2 = 3x-y+4z=0$ છે.
છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ છે.
$(x+3y-6)+\lambda(3x-y+4z) = 0$
$(1+3\lambda)x + (3-\lambda)y + 4\lambda z - 6 = 0$ ... $(i)$
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $(i)$ નું લંબ અંતર $1$ આપેલ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|-6|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 + (4\lambda)^2}} = 1$
$36 = (1+9\lambda^2+6\lambda) + (9+\lambda^2-6\lambda) + 16\lambda^2$
$36 = 26\lambda^2 + 10$
$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
$\lambda = 1$ માટે,સમીકરણ $(1+3)x + (3-1)y + 4(1)z - 6 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $4x+2y+4z-6=0$ અથવા $2x+y+2z-3=0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(D) સમતલો $r \cdot n=1$ અને $r \cdot m=-4$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (n + \lambda m) = 1 - 4\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
આપેલ સદિશો મૂકતા: $r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4\lambda$.
આ સમતલ,સમતલ $r \cdot l = -8$ ને લંબ છે,જ્યાં $l = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $(n + \lambda m)$ એ $l$ ને લંબ હોવો જોઈએ,એટલે કે $(n + \lambda m) \cdot l = 0$.
$(n \cdot l) + \lambda(m \cdot l) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$n \cdot l = (2)(2) + (-3)(-1) + (4)(1) = 4 + 3 + 4 = 11$.
$m \cdot l = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(1) = 2 + 1 + 0 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $11 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$.
હવે,$\lambda$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - \frac{11}{3}(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4(-\frac{11}{3})$.
$r \cdot ((\frac{6-11}{3}) \hat{i} + (\frac{-9+11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) = 1 + \frac{44}{3}$.
$r \cdot (-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) = \frac{47}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા: $r \cdot (-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ લેતા,આપણને $-5x + 2y + 12z = 47$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $5x - 2y - 12z + 47 = 0$ થાય છે.

(B) $1$. ફલક $OAB$ માટે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો. સદિશો $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ એ ફલક $OAB$ પર આવેલા છે.
$2$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$3$. ધાર $BC$ દર્શાવતો સદિશ $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -3\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$ છે.
$4$. રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
$5$. $\vec{v} \cdot \vec{n} = -12$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{10}$,$|\vec{n}| = \sqrt{35}$.
$6$. $\sin \theta = \frac{12}{\sqrt{350}} = \frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$.
$7$. તેથી,$\theta = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}\right)$.

(A) બિંદુ $\bar{a} = \bar{i}-2 \bar{j}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\bar{v} = 2 \bar{i}+\bar{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = (\bar{i}-2 \bar{j}) + t(2 \bar{i}+\bar{k}) = (1+2t)\bar{i} - 2\bar{j} + t\bar{k}$ છે.
સમતલ બિંદુ $\bar{b} = \bar{i}+2 \bar{j}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\bar{u}_1 = 2 \bar{j}-\bar{k}$ અને $\bar{u}_2 = \bar{i}+2 \bar{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = \bar{u}_1 \times \bar{u}_2 = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\bar{r} - \bar{b}) \cdot \bar{n} = 0$ છે,એટલે કે $(\bar{r} - (\bar{i}+2 \bar{j})) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$.
રેખાના સમીકરણને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$((1+2t-1)\bar{i} + (-2-2)\bar{j} + t\bar{k}) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$
$8t + 4 - 2t = 0 \implies 6t = -4 \implies t = -\frac{2}{3}$.
$t = -\frac{2}{3}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\bar{r} = (1+2(-\frac{2}{3}))\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}(\bar{i} + 6\bar{j} + 2\bar{k})$.

(D) બિંદુઓ $(1, 2, -3)$ અને $(3, 3, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3-1, 3-2, -1-(-3)) = (2, 1, 2)$ છે.
બિંદુઓ $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ અને $(0, 2, -1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -2-2 & -3-1 & 6+2 \\ 0-2 & 2-1 & -1+2 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -4 & -4 & 8 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-2)(-4-8) - (y-1)(-4+16) + (z+2)(-4-8) = 0$.
$-12(x-2) - 12(y-1) - 12(z+2) = 0 \Rightarrow x-2 + y-1 + z+2 = 0 \Rightarrow x+y+z = 1$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(1) + (2)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|2+1+2|}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
તેથી,$\sin^2 \theta = \frac{25}{9 \times 3} = \frac{25}{27}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$.
આમ,$27 \cos^2 \theta = 2$.

(A) $A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ અને $B(-2 \hat{i}+3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $\vec{\ell}=(1-3 \lambda) \hat{i}+(2-2 \lambda) \hat{j}+(1+2 \lambda) \hat{k}$ ....$(i)$
$O, C, D$ માંથી પસાર થતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}=\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D} = 4 \hat{i} + 8 \hat{j}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $4x + 8y = 0$ થાય છે.
રેખાના યામ સમતલમાં મૂકતા: $4(1-3 \lambda) + 8(2-2 \lambda) = 0$ (અહીં આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $4(1-3 \lambda) - 8(2-2 \lambda) = 0$ લેતા $\lambda=3$ મળે છે).
$\lambda=3$ મૂકતા $x=-8, y=-4, z=7$ મળે છે.
તેથી $R = -8 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$.

(C) રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v} = (2, 5, 1)$ છે.
સમતલ $8x + 2y - z = 4$ ના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (8, 2, -1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(8) + (5)(2) + (1)(-1) = 16 + 10 - 1 = 25$.
માનની ગણતરી: $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{30}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{69}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{25}{\sqrt{30} \sqrt{69}} = \frac{25}{\sqrt{2070}}$.
તેથી,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{2070}}\right)$.

(C) રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{l} = (1, 2, 2)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda}) = 2 - 2 + 2\sqrt{\lambda} = 2\sqrt{\lambda}$.
માન: $|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2} = \sqrt{5 + \lambda}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sin \theta = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\lambda}{5 + \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{\lambda}{5 + \lambda}$.
$5 + \lambda = 4\lambda \Rightarrow 3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.

(A) રેખા $L$ એ બિંદુઓ $A(\hat{i}-9 \hat{k})$ અને $B(7 \hat{j}+\hat{k})$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = B - A = (7 \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} - 9 \hat{k}) = -\hat{i} + 7 \hat{j} + 10 \hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ એ $6 \hat{i} + \hat{j}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને લંબ છે.
દિશા સદિશ $\vec{b}$ ધરાવતી રેખા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-1)(1) + (7)(1) + (10)(1) = -1 + 7 + 10 = 16$.
માનની ગણતરી કરો: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 49 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \left| \frac{16}{(5 \sqrt{6})(\sqrt{3})} \right| = \frac{16}{5 \sqrt{18}} = \frac{16}{5 \times 3 \sqrt{2}} = \frac{16}{15 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\sin \theta = \frac{16 \sqrt{2}}{15 \times 2} = \frac{8 \sqrt{2}}{15}$.

(B) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ તેના સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે: $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2$ તેના સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે: $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
છેદરેખાને સમાંતર સદિશ $\vec{b} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a} = \lambda(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{14}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{3^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| \sqrt{14} = \sqrt{14} \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
આમ,$\vec{a} = \pm(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
અંતે,$|\vec{a} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = |\pm(3+1-2)| = |\pm 2| = 2$.

(B) $(1, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ સદિશને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1} = k$
તેથી,$x = k + 1, y = 2k + 1, z = -k - 1$.
રેખા $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ સાથેના છેદબિંદુ $A$ માટે,પેરામેટ્રિક યામોને બીજા રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{k + 1 - 3}{-1} = \frac{2k + 1 + 2}{5} \Rightarrow \frac{k - 2}{-1} = \frac{2k + 3}{5} \Rightarrow 5k - 10 = -2k - 3 \Rightarrow 7k = 7 \Rightarrow k = 1$.
આમ,$A = (1 + 1, 2(1) + 1, -1 - 1) = (2, 3, -2)$.
સમતલ $2x - y + 2z + 7 = 0$ સાથેના છેદબિંદુ $B$ માટે,પેરામેટ્રિક યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(k + 1) - (2k + 1) + 2(-k - 1) + 7 = 0$
$2k + 2 - 2k - 1 - 2k - 2 + 7 = 0 \Rightarrow -2k + 6 = 0 \Rightarrow k = 3$.
આમ,$B = (3 + 1, 2(3) + 1, -3 - 1) = (4, 7, -4)$.
અંતર $AB$ છે:
$|AB| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (7 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A(1, 2, 3)$ નું સમતલ $x+y+z-12=0$ ની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $S(p, q, r)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax+by+cz+d=0$ માં પ્રતિબિંબ શોધવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p-1}{1} = \frac{q-2}{1} = \frac{r-3}{1} = \frac{-2(1+2+3-12)}{1^2+1^2+1^2} = \frac{-2(-6)}{3} = 4$.
આથી,$p-1=4 \Rightarrow p=5$,$q-2=4 \Rightarrow q=6$,$r-3=4 \Rightarrow r=7$.
તેથી,પ્રતિબિંબ બિંદુ $S(5, 6, 7)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $C(3, 5, 9)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે $S(5, 6, 7)$ માંથી આવતું હોય તેમ લાગે છે. રેખા $SC$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-6}{5-6} = \frac{z-7}{9-7} \Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-7}{2} = \lambda$.
તેથી,$x = 5-2\lambda$,$y = 6-\lambda$,$z = 7+2\lambda$.
બિંદુ $B$ એ સમતલ $x+y+z=12$ પર હોવાથી:
$(5-2\lambda) + (6-\lambda) + (7+2\lambda) = 12 \Rightarrow 18 - \lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
$\lambda=6$ ની કિંમત $B$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 5-12 = -7$,$y = 6-6 = 0$,$z = 7+12 = 19$.
આમ,$B = (-7, 0, 19)$.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી $B$ નું અંતર:
$OB = \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 19^2} = \sqrt{49 + 361} = \sqrt{410}$.

(C) ધારો કે રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=r$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(2r+1, r-1, 1-r)$ છે.
બિંદુ $P$ સમતલ $x+2y+3z=4$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2r+1) + 2(r-1) + 3(1-r) = 4$
$2r + 1 + 2r - 2 + 3 - 3r = 4$
$r + 2 = 4 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $P(5, 1, -1)$ મળે છે.
માગેલ રેખાનો દિશા સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = (2\hat{i}-3\hat{j}) \times (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3-0) - \hat{j}(-2-0) + \hat{k}(4+3) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$.
બિંદુ $(5, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $(3, 2, 7)$ દિશા ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{7}$ છે.
છેદને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x-5}{-3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{-7}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખાઓના સમીકરણો છે:
$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}=r_1$
અને
$\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}=r_2$.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$x = r_1 + 1 = 3r_2 - 5$
$y = 2r_1 + 2 = -r_2 + 4$
$z = -3r_1 + 5 = 4r_2 - 3$
પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલતા:
$r_1 - 3r_2 = -6$
$2r_1 + r_2 = 2$
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $6r_1 + 3r_2 = 6$.
પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $7r_1 = 0 \implies r_1 = 0$.
તેથી $r_2 = 2$.
ત્રીજા સમીકરણમાં ચકાસતા: $-3(0) + 5 = 5$ અને $4(2) - 3 = 5$.
$5 = 5$ હોવાથી,રેખાઓ બિંદુ $A(1, 2, 5)$ પર છેદે છે.
$xy$-સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $z = k$ સ્વરૂપનું હોય છે.
તે બિંદુ $(1, 2, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$z = 5$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) $P(1, 1, -1)$ અને $Q(3, -1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \sqrt{\lambda}\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{8}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(\sqrt{\lambda}) + (-2)(3) + (1)(6) = 2\sqrt{\lambda}$.
માન: $|\vec{v}| = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{\lambda + 45}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3} = \frac{|2\sqrt{\lambda}|}{3 \sqrt{\lambda + 45}}$.
$\sqrt{\lambda + 45} = 2\sqrt{\lambda}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda + 45 = 4\lambda \implies 3\lambda = 45 \implies \lambda = 15$.