Line and Plane Questions in Gujarati

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ છે.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકની શરતમાં મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = -3$ મળે છે.

(B) $1$. દિશા કોસાઇન: રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
$2$. રેખાનું સમીકરણ: બિંદુ $P(2, 1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું પ્રાચલિત સ્વરૂપ:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t$
તેથી,$x = 2+t, y = 1+t, z = 2+t$.
$3$. સમતલ સાથે છેદબિંદુ: આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણ $2x+y+z=9$ માં મૂકતા:
$2(2+t) + (1+t) + (2+t) = 9$
$4 + 2t + 1 + t + 2 + t = 9$
$4t + 7 = 9 \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$.
$4$. $Q$ ના યામ: $t = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$Q = (2+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, 2+\frac{1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$.
$5$. $PQ$ ની લંબાઈ: અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = \sqrt{(\frac{5}{2}-2)^2 + (\frac{3}{2}-1)^2 + (\frac{5}{2}-2)^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ એકમ.

(B) કોઈ રેખા સમતલમાં આવેલી હોય તે માટે,રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$ એ બિંદુ $(4, 2, -m)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x - 4y + z = 7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + (-m) = 7$
$8 - 8 - m = 7$
$-m = 7$
$m = -7$
વધુમાં,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
અદિશ ગુણાકાર તપાસતા: $(2)(1) + (-4)(1) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે. $m = -7$ માટે બિંદુ $(4, 2, -m)$ સમતલ પર હોવાથી,આખી રેખા સમતલમાં આવેલી છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2 + 3(1) - \alpha(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 + 2\alpha + \beta = 0$
$2\alpha + \beta = -5$ $(i)$
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -5, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ ને લંબ છે.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0$
$2\alpha = -12 \implies \alpha = -6$
સમીકરણ $(i)$ માં $\alpha = -6$ મૂકતા:
$2(-6) + \beta = -5$
$-12 + \beta = -5$
$\beta = 7$
આમ,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(D) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખાનો દિશા સદિશ સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હોય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2\ell + m - 3 = 0$,જે $2\ell + m = 3$ આપે છે (સમીકરણ $i$).
વળી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલ પર હોવું જોઈએ. બિંદુ $(3, -2, -4)$ રેખા પર છે,તેથી તે સમતલના સમીકરણ $\ell x + my - z = 9$ નું સમાધાન કરશે.
બિંદુ મૂકતા: $3\ell - 2m - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$m = 3 - 2\ell$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3\ell - 2(3 - 2\ell) = 5 \Rightarrow 3\ell - 6 + 4\ell = 5 \Rightarrow 7\ell = 11 \Rightarrow \ell = \frac{11}{7}$.
તેથી $m = 3 - 2(\frac{11}{7}) = \frac{21 - 22}{7} = -\frac{1}{7}$.
અંતે,$\ell^2 + m^2 = (\frac{11}{7})^2 + (-\frac{1}{7})^2 = \frac{121}{49} + \frac{1}{49} = \frac{122}{49}$.

(A) રેખા પરના બિંદુ $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ છે.
આપેલ બિંદુ $P$ એ $(3, 2, 6)$ છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$ થાય.
સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
જેহেতু $\vec{PQ}$ સમતલને સમાંતર છે,તે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-3\mu - 2)(1) + (\mu - 3)(-4) + (5\mu - 4)(3) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(NONE) આપેલ બિંદુ $P = (2, 1, 5)$.
રેખા $\vec{r} = (1, -1, 2) + \mu(-3, 1, 5)$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (1-3\mu, -1+\mu, 2+5\mu)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = Q - P = (1-3\mu-2, -1+\mu-1, 2+5\mu-5) = (-1-3\mu, -2+\mu, -3+5\mu)$.
સમતલ $3x-y+4z=1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, -1, 4)$ છે.
જો $\vec{PQ}$ એ સમતલને સમાંતર હોય,તો $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
$3(-1-3\mu) - 1(-2+\mu) + 4(-3+5\mu) = 0$.
$-3 - 9\mu + 2 - \mu - 12 + 20\mu = 0$.
$10\mu - 13 = 0$.
$\mu = \frac{13}{10}$.

(A) બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
બીજી રેખા પરનું બિંદુ $(1, 4, -4)$ અને દિશા સદિશો $(3, 5, 7)$ અને $(1, 4, 7)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-4 & z+4 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(35-28) - (y-4)(21-7) + (z+4)(12-5) = 0$
$7(x-1) - 14(y-4) + 7(z+4) = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$(x-1) - 2(y-4) + (z+4) = 0$
$x - 2y + z - 1 + 8 + 4 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$ એકમ.

(D) સમતલો $x+y+z-1=0$ અને $2x+3y+4z-5=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ મળે છે.
આ સમતલ,સમતલ $x-y+z=0$ ને લંબ છે.
આ બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલો લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$.
$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 - \frac{2}{3})x + (1 - 1)y + (1 - \frac{4}{3})z - (1 - \frac{5}{3}) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,$x - z + 2 = 0$ મળે છે.
તેનું સદિશ સમીકરણ $\overline{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+4y-z=3$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-5) = 3$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 5 = 3$.
$\lambda$ વાળા પદો અને અચળાંકોને ભેગા કરતા:
$-12\lambda + 15 = 3$.
$-12\lambda = 3 - 15$.
$-12\lambda = -12$.
$\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને યામમાં મૂકતા:
$x = 2(1) + 1 = 3$.
$y = -3(1) + 2 = -1$.
$z = 4(1) - 5 = -1$.
આમ,જરૂરી યામ $(3, -1, -1)$ છે.

(A) રેખા $L$ એ બે સમતલો $2x + 3y + z = 1$ અને $x + 3y + 2z = 2$ ની છેદરેખા છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{v} = (1, -1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા $L$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જેનો દિશા સદિશ $\vec{u} = (1, 0, 0)$ છે.
ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}|}{|\vec{v}| |\vec{u}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \alpha = \frac{|(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ એ સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી હોવાથી,રેખાના દિકગુણોત્તર $(3, -5, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ $(1, 3, -\alpha)$ ને લંબ હોય.
તેથી,$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \Rightarrow -12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
વળી,રેખા પરનું બિંદુ $(2, 1, -2)$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે.
$2 + 3(1) - (-6)(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0 \Rightarrow -7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
અંતે,$\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (-6)^2 + (-6)(7) + (7)^2 = 36 - 42 + 49 = 43$.

(C) રેખા જેના દિશા સદિશ $\vec{b}$ છે અને સમતલ જેના અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$.
અહીં,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - \lambda\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} = \left| \frac{(2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-\lambda)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-\lambda)^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2 - 2 + 2\lambda}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2\lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{9} = \frac{4\lambda^2}{9(5 + \lambda^2)}$
$5 + \lambda^2 = 4\lambda^2$
$3\lambda^2 = 5$
$\lambda^2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \lambda = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}=k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(2k+1, 3k-1, 4k+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $x+2y+3z=15$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2k+1) + 2(3k-1) + 3(4k+2) = 15$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2k + 1 + 6k - 2 + 12k + 6 = 15$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $20k + 5 = 15$,જે આપે છે $20k = 10$,તેથી $k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$P = (2(\frac{1}{2})+1, 3(\frac{1}{2})-1, 4(\frac{1}{2})+2) = (2, \frac{1}{2}, 4)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$ એકમ થાય.

(D) સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n_1} = (2 \hat{j}+3 \hat{k}) \times (4 \hat{j}-3 \hat{k}) = -18 \hat{i}$ છે.
સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n_2} = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3 \hat{i}+3 \hat{j}) = 3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સદિશ $\bar{A}$ એ છેદરેખાને સમાંતર હોવાથી,$\bar{A} = \bar{n_1} \times \bar{n_2} = (-18 \hat{i}) \times (3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}) = 54 \hat{j}-54 \hat{k}$ મળે.
આપણે $\bar{A}$ ને $-\hat{j}+\hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
ધારો કે $\bar{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$. $\bar{A}$ અને $\bar{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\bar{A} \cdot \bar{v}}{|\bar{A}| |\bar{v}|}$ છે.
$\bar{A} \cdot \bar{v} = (0)(2) + (-1)(1) + (1)(-2) = -3$.
$|\bar{A}| = \sqrt{2}$ અને $|\bar{v}| = 3$.
$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ સ્વરૂપમાં છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 5$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 5$.
$11\lambda + 5 = 5$.
$11\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $P$ એ $(2, -1, 2)$ છે.
હવે આપણે $P(2, -1, 2)$ અને $Q(-1, -5, -10)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું છે.
$PQ = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ એકમ.

(A) રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}$ ના દિક્-ગુણોત્તરો $2, 4, 1$ છે.
આપેલ રેખા સમાંતર હોવાથી,માંગેલ રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો પણ $2, 4, 1$ થશે.
બિંદુ $A(1, 3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $B = (2\lambda + 1, 4\lambda + 3, \lambda + 2)$ સ્વરૂપમાં મળે.
બિંદુ $B$ એ સમતલ $3x + y + 2z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,તેના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(2\lambda + 1) + (4\lambda + 3) + 2(\lambda + 2) = 5$.
$6\lambda + 3 + 4\lambda + 3 + 2\lambda + 4 = 5$.
$12\lambda + 10 = 5$.
$12\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{12}$.
હવે $\lambda = -\frac{5}{12}$ ને $B$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{5}{12}) + 1 = \frac{1}{6}$.
$y = 4(-\frac{5}{12}) + 3 = \frac{4}{3}$.
$z = -\frac{5}{12} + 2 = \frac{19}{12}$.
આમ,બિંદુ $B$ ના યામ $(\frac{1}{6}, \frac{4}{3}, \frac{19}{12})$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$.
તેથી, રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $P = (3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $x - y + z = 16$ પર આવેલું હોવાથી, આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$.
$11\lambda + 5 = 16$.
$11\lambda = 11$, જે આપણને $\lambda = 1$ આપે છે.
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા, આપણને $P = (3(1) + 2, 4(1) - 1, 12(1) + 2) = (5, 3, 14)$ મળે છે.
હવે, અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(5, 3, 14)$ અને $Q(1, 6, 2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$PQ = \sqrt{(1-5)^2 + (6-3)^2 + (2-14)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ એકમ}$.

(A) સમતલો $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $\bar{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ ની છેદરેખા,તેમના અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,આ રેખા સદિશ $\bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ ને સમાંતર છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$
$= -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.

(B) ધારો કે જરૂરી ગુણોત્તર $\lambda:1$ છે. બિંદુઓ $\vec{a} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{\lambda\vec{b} + 1\vec{a}}{\lambda+1}$ દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા,$\vec{r} = \frac{\lambda(3\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k}) + (-2\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{(3\lambda-2)\hat{i} + (-5\lambda+4)\hat{j} + (8\lambda+7)\hat{k}}{\lambda+1}$.
આ બિંદુ સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = 17$ પર હોવાથી,આપણે ઘટકોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{(3\lambda-2)(1) + (-5\lambda+4)(-2) + (8\lambda+7)(3)}{\lambda+1} = 17$.
$(3\lambda-2) + (10\lambda-8) + (24\lambda+21) = 17(\lambda+1)$.
$37\lambda + 11 = 17\lambda + 17$.
$20\lambda = 6$.
$\lambda = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $3:10$ છે.

(D) રેખા સમતલ પર આવેલી હોવા માટે,રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
રેખા બિંદુ $(4, 2, k)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુએ સમતલના સમીકરણ $2x - 4y + z = 7$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
બિંદુના યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
આમ,$k$ ની કિંમત $7$ છે.

(A) આપેલ બિંદુ $P = (3, 2, 6)$.
રેખા પરનું બિંદુ $Q = (1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k} = (-2 - 3\mu)\hat{i} + (-3 + \mu)\hat{j} + (-4 + 5\mu)\hat{k}$.
સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ સમતલને સમાંતર છે,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-2 - 3\mu)(1) + (-3 + \mu)(-4) + (-4 + 5\mu)(3) = 0$.
$-2 - 3\mu + 12 - 4\mu - 12 + 15\mu = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2$.
$\mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 1, 2)$ છે અને સમતલ $2x-4y+z=7$ નો અભિલંબ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ છે.
પ્રથમ,રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ ગણો. ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
રેખા સમતલમાં આવેલી હોય તે માટે,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. રેખા પરનું બિંદુ $(4, 2, k)$ લો.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x-4y+z=7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.

(B) સમતલ બિંદુ $A(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખાને સમાવે છે જે બિંદુ $B(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-1-0)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2+7)\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{array}\right| = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$.
$-14$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે રેખા $\frac{x+1}{2}=\frac{y-m}{3}=\frac{z-4}{6}$ એ સમતલ $3x-14y+6z+49=0$ માં આવેલી છે.
જ્યારે રેખા સમતલમાં હોય,ત્યારે રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
બિંદુ $(-1, m, 4)$ એ આપેલ રેખા પર આવેલું છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(-1) - 14(m) + 6(4) + 49 = 0$
$-3 - 14m + 24 + 49 = 0$
$-14m + 70 = 0$
$14m = 70$
$m = 5$
આમ,$m$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ એ સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી છે.
જ્યારે રેખા સમતલમાં હોય,ત્યારે સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ રેખાના દિશા સદિશને લંબ હોય છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -5, 2)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(3)(1) + (-5)(3) + (2)(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
હવે,સમતલનું સમીકરણ $x + 3y + 6z + \beta = 0$ છે.
રેખા સમતલમાં હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. બિંદુ $(2, 1, -2)$ રેખા પર છે.
સમતલના સમીકરણમાં $(2, 1, -2)$ મૂકતા:
$2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$
$-7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
અંતે,$\alpha \beta = (-6)(7) = -42$.

(A) રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sin \theta = \frac{|a a_1 + b b_1 + c c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$
અહીં,રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $(a, b, c) = (2, 1, 2)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (6, -2, -3)$ છે.
રેખાના દિશા સદિશનું માન $\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
સમતલના અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{|(2)(6) + (1)(-2) + (2)(-3)|}{3 \times 7} = \frac{|12 - 2 - 6|}{21} = \frac{4}{21}$.
તેથી,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$.

(A) રેખા જેનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ છે અને સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$ છે.
આપેલ રેખા $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ માટે,દિશા સદિશ $\bar{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
માન શોધો: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\bar{n}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (\lambda+3, 2\lambda+4, 2\lambda+5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=2$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\lambda+3) + (2\lambda+4) + (2\lambda+5) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,જે આપણને $\lambda = -2$ આપે છે.
$\lambda = -2$ ને બિંદુના યામોમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ મળે છે:
$x = -2+3 = 1$,$y = 2(-2)+4 = 0$,$z = 2(-2)+5 = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 0, 1)$ છે.
બિંદુ $(3, 4, 5)$ અને $(1, 0, 1)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$ એકમ.

(C) રેખા $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ એ સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ ને સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો રેખાનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ ને લંબ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશો $\bar{b}$ અને $\bar{n}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
અહીં $\bar{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\bar{n} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(-m) = 0$.
$6 - 2 - 2m = 0$.
$4 - 2m = 0$.
$2m = 4$.
$m = 2$.

(D) ધારો કે $P = (7, 5, 2)$.
આપેલ રેખા $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{6} = \frac{z+1}{2}$ ને સમાંતર અને $P$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{6} = \frac{z-2}{2} = r$ છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $Q$ ના યામ $(3r+7, 6r+5, 2r+2)$ થાય.
બિંદુ $Q$ એ સમતલ $3x+4y+z-8=0$ પર આવેલું હોવાથી,$Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(3r+7) + 4(6r+5) + (2r+2) - 8 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$9r + 21 + 24r + 20 + 2r + 2 - 8 = 0$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા:
$35r + 35 = 0 \Rightarrow 35r = -35 \Rightarrow r = -1$.
$r = -1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$Q = (3(-1)+7, 6(-1)+5, 2(-1)+2) = (4, -1, 0)$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $PQ$ નું અંતર:
$PQ = \sqrt{(7-4)^2 + (5-(-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(C) દિશા સદિશ $\vec{b}$ વાળી રેખા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ વાળા સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \left|\frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|}\right|$ છે.
અહીં,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(1) + (1)(2) + (0)(3) = 3 + 2 + 0 = 5$ થાય.
તેમના માન $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\sin \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{140}} = \frac{5}{2\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ છે,જ્યાં $\bar{b} = 2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ છે,જ્યાં $\bar{n} = 3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}$ છે.
જ્યારે રેખા સમતલને સમાંતર હોય,ત્યારે રેખાનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
$(2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(m) = 0$.
$6 - 2 + 2m = 0$.
$4 + 2m = 0$.
$2m = -4$.
$m = -2$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-3)$ સ્વરૂપમાં મળે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $2x+4y-z=1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-3) = 1$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 3 = 1$.
$\lambda$ વાળા પદો અને અચળ પદોનો સરવાળો કરતા:
$-12\lambda + 13 = 1$.
$-12\lambda = -12$,તેથી $\lambda = 1$ મળે.
હવે $\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(1)+1 = 3$,
$y = -3(1)+2 = -1$,
$z = 4(1)-3 = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, -1, 1)$ છે.

(C) રેખા $\bar{r}=\bar{a}+\lambda\bar{b}$ અને સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n}=p$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$.
અહીં,$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y, z) = (2+\lambda, 1-2\lambda, -4+2\lambda)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$XOY$-સમતલનું સમીકરણ $z=0$ છે.
છેદબિંદુ $XOY$-સમતલ પર હોવાથી,આપણે $z$-યામને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$-4+2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ કિંમત યામમાં મૂકતા:
$x = 2+2 = 4$
$y = 1-2(2) = 1-4 = -3$
$z = -4+2(2) = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $(4, -3, 0)$ છે અને તેનો સ્થાન સદિશ $4 \hat{i}-3 \hat{j}$ છે.

(A) ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $(x, y, z)$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4} = k$ છે.
આથી,$x = 2k+1$,$y = -3k+2$,અને $z = 4k-3$ મળે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+4y-z=1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2k+1) + 4(-3k+2) - (4k-3) = 1$
$4k + 2 - 12k + 8 - 4k + 3 = 1$
$-12k + 13 = 1$
$-12k = -12$
$k = 1$.
$k=1$ ની કિંમત યામોમાં મૂકતા:
$x = 2(1)+1 = 3$
$y = -3(1)+2 = -1$
$z = 4(1)-3 = 1$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(3, -1, 1)$ છે.

(C) સમતલ $2x - 3y + 6z - 11 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{d} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{|\vec{n}| |\vec{d}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{n} \cdot \vec{d} = (2)(1) + (-3)(0) + (6)(0) = 2$.
માન: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ અને $|\vec{d}| = 1$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{2}{7}$.
આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1}(\alpha)$,તેથી $\alpha = \frac{2}{7}$.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: x - 2y - z + 5 = 0$ અને $P_2: x + y + 3z = 6$ છે.
તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{N}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{N}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
છેદરેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{b}$ એ અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{b} = \vec{N}_1 \times \vec{N}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(3 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-2)) = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખા બિંદુ $(2, 3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{b} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{-5} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-1}{3}$ છે.

(D) આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(3, 4, 5)$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોય ત્યારે,સમતલનો અભિલંબ રેખાની દિશા સાથે લંબ હોય છે.
જો સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz=d$ હોય,તો અભિલંબ $(a, b, c)$ છે.
લંબ હોવાની શરત $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $2x+y-2z=0$,અભિલંબ $(2, 1, -2)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $3(2) + 4(1) + 5(-2) = 6 + 4 - 10 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલ $2x+y-2z=0$ ને સમાંતર છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ અને $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ છે.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોવાની શરત $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$.
તેમજ,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -K)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (K, 2, 1)$.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 - (-2K)) - 1(1 - (-K^2)) + 1(2 - K) = 0$
$-1(1 + 2K) - 1(1 + K^2) + 2 - K = 0$
$-1 - 2K - 1 - K^2 + 2 - K = 0$
$-K^2 - 3K = 0$
$K(K + 3) = 0$
આમ,$K = 0$ અથવા $K = -3$. વિકલ્પોમાં $K = 0$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $K = 0$ છે.

(B) $XY$-સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે.
ધારો કે $XY$-સમતલ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન બિંદુનો $z$-યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $z = \frac{kz_2 + z_1}{k + 1}$.
આ બિંદુ $XY$-સમતલ પર હોવાથી,$z = 0$ થાય.
તેથી,$0 = \frac{k(-3) + (-5)}{k + 1}$.
આના પરથી $-3k - 5 = 0$ મળે,એટલે કે $3k = -5$,જેનો અર્થ છે $k = -\frac{5}{3}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બાહ્ય છે.
આમ,ગુણોત્તર $5:3$ બાહ્ય છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $r \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=4$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $r \cdot n = d$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $n = \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $d = 4$ મળે છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $a = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
સમતલ $r \cdot n = d$ થી બિંદુ $a$ નું લંબ અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $a \cdot n$ શોધો:
$a \cdot n = (2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}) = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$.
ત્યારબાદ,અભિલંબ સદિશનું માન $|n|$ શોધો:
$|n| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.
હવે,આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = \frac{|-4 - 4|}{\sqrt{21}} = \frac{|-8|}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$.
આમ,અંતર $\frac{8}{\sqrt{21}}$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(1, 3, 4)$ છે અને સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ છે. ધારો કે $A(x_1, y_1, z_1)$ એ $P$ માંથી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા $PA$ ના દિકગુણોત્તર $(x_1 - 1, y_1 - 3, z_1 - 4)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 1)$ છે.
$PA$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,$PA$ ના દિકગુણોત્તર અભિલંબ સદિશના પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 - 3}{-1} = \frac{z_1 - 4}{1} = \lambda$
આથી $x_1 = 2\lambda + 1$,$y_1 = -\lambda + 3$,અને $z_1 = \lambda + 4$ મળે છે.
બિંદુ $A$ એ સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ પર હોવાથી,આ યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 3) + (\lambda + 4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0$
$6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ની કિંમત $x_1, y_1, z_1$ માં મૂકતા:
$x_1 = 2(-1) + 1 = -1$
$y_1 = -(-1) + 3 = 4$
$z_1 = (-1) + 4 = 3$
આમ,લંબપાદના યામ $(-1, 4, 3)$ છે.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $5y + 8 = 0$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, 5, 0)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર અભિલંબ સદિશ જેવા જ હોય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{0} = \frac{y-0}{5} = \frac{z-0}{0} = \lambda$ થાય.
આના પરથી $x = 0$,$y = 5\lambda$,અને $z = 0$ મળે છે.
લંબપાદ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$5(5\lambda) + 8 = 0$
$25\lambda = -8$
$\lambda = -\frac{8}{25}$.
$\lambda$ ની કિંમત યામોમાં મૂકતા:
$x = 0$,$y = 5(-\frac{8}{25}) = -\frac{8}{5}$,$z = 0$.
તેથી,લંબપાદના યામ $(0, -\frac{8}{5}, 0)$ છે.

(NONE) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-2}$ છે.
આ રેખા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x - 2y + z = 5$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો સાઈન $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(2) + (4)(-2) + (-2)(1) = 4 - 8 - 2 = -6$.
તેથી,$|\vec{b} \cdot \vec{n}| = |-6| = 6$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$\sin \theta = \frac{6}{(2\sqrt{6})(3)} = \frac{6}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(A) સમતલ બિંદુ $P(3,2,0)$ અને રેખા $\frac{x-3}{1}=\frac{y-6}{5}=\frac{z-4}{4}$ ને સમાવે છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3,6,4)$ છે.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બિંદુ $P(3,2,0)$ અને $Q(3,6,4)$ ને જોડતો સદિશ $\vec{PQ} = (3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v} \times \vec{PQ}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20-16) - \hat{j}(4-0) + \hat{k}(4-0) = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(3,2,0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-3) - 1(y-2) + 1(z-0) = 0$ છે.
$x - 3 - y + 2 + z = 0$.
$x - y + z = 1$.