Line and Plane Questions in Gujarati

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ નીચે મુજબ મળે: $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = 60^{\circ}$.
સદિશ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.

(B) રેખા $A(1, 1, 0)$ અને $B(3, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{-1} = r$ છે. તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2r+1, 1, -r)$ છે.
સમતલ $(2, 4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{u} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ તથા $\vec{w} = 3\hat{i} - \hat{k}$ ને સમાંતર છે. સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 15\hat{j} - 9\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x-2) + 15(y-4) - 9(z-0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 5y + 3z + 18 = 0$ થાય છે.
$P(2r+1, 1, -r)$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2r+1) - 5(1) + 3(-r) + 18 = 0 \Rightarrow -r + 14 = 0 \Rightarrow r = 14$.
તેથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $(2(14)+1)\hat{i} + 1\hat{j} - 14\hat{k} = 29\hat{i} + \hat{j} - 14\hat{k}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 0)$ અને $B(0, 1, -2)$ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\overline{r} = (1 - t)(\overline{i} + 2\overline{j}) + t(\overline{j} - 2\overline{k}) = (1 - t)\overline{i} + (2 - t)\overline{j} - 2t\overline{k}$ છે.
ધારો કે સમતલ પરના બિંદુઓ $P(2, -1, 0)$,$Q(0, 2, 3)$ અને $R(-2, 0, 1)$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overline{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (-2\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}) \times (-4\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -10\overline{j} + 10\overline{k}$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\overline{n} = \overline{j} - \overline{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} - (2\overline{i} - \overline{j})) \cdot (\overline{j} - \overline{k}) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - z = -1$ થાય છે.
રેખાના યામ $(1-t, 2-t, -2t)$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2-t) - (-2t) = -1 \implies 2 + t = -1 \implies t = -3$.
છેદબિંદુ $\overline{r} = (1 - (-3))\overline{i} + (2 - (-3))\overline{j} - 2(-3)\overline{k} = 4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}$ મળે છે.
અંતે,$\overline{r} \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = (4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}) \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = 4 + 5 + 6 = 15$.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{B} = \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{k}+\hat{i}$,$\vec{D} = \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{E} = \hat{j}-\hat{k}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{A} + \lambda(\vec{B}-\vec{A}) = (\hat{i}+\hat{j}) + \lambda(-\hat{i}+\hat{k})$ છે.
તેથી,$x = 1-\lambda, y = 1, z = \lambda$.
$C, D, E$ માંથી પસાર થતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\vec{D}-\vec{C}) \times (\vec{E}-\vec{C})$ છે.
$\vec{D}-\vec{C} = -\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{E}-\vec{C} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $3x + y - z = 0$ મળે છે.
રેખાના યામ સમતલમાં મુકતા: $3(1-\lambda) + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 4 = 4\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
આમ,છેદબિંદુ $\frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $r = a + \lambda b$ છે,જ્યાં $b = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot n = d$ છે,જ્યાં $n = 10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b||n|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $b \cdot n = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$ મેળવો.
હવે,માન $|b| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
અને $|n| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $r = a + t b$ છે,જેનો અર્થ છે કે રેખા સદિશ $b$ ને સમાંતર છે.
સમતલનું સમીકરણ $r = c + l d + m e$ છે,જેનો અર્થ છે કે સમતલ સદિશો $d$ અને $e$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = d \times e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો રેખા સમતલને સમાંતર હોય,તો રેખાનો દિશા સદિશ $b$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $n$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$b \cdot n = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b \cdot (d \times e) = 0$.
આ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[b d e] = 0$ ને સમાન છે.

(C) ધારો કે સમતલ $A(2, -4, 3)$ અને $B(-4, 5, -6)$ ને જોડતા રેખાખંડને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,છેદબિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ સમતલ $3x + 2y + z - 4 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3\left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2\left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $-1 : 4$ છે.

(A) રેખા $L$ એ બે સમતલો $P_1: 3x + 4y + 7z = 1$ અને $P_2: x - y + z = 5$ ની છેદરેખા છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (3, 4, 7)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ બંને અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-7)) - \hat{j}(3 - 7) + \hat{k}(-3 - 4) = 11\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(11, 4, -7)$ છે.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો લંબ સદિશ $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+\bar{k}) = \bar{i}-\bar{j}-\bar{k}$ છે.
સમતલ $\pi_2$ નો લંબ સદિશ $\bar{n}_2 = (\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{k}-\bar{i}) = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$ છે.
સદિશ $\bar{a}$ એ છેદરેખાને સમાંતર હોવાથી,$\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = (\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) = -2\bar{j} + 2\bar{k}$ મળે.
આપણે $\bar{a} = -\bar{j} + \bar{k}$ લઈ શકીએ.
$\bar{b} = \bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ આપેલ છે.
$\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ વિકલ્પ $A$ છે.

(A) રેખા $L$ એ બે સમતલો $x-y+z+2=0$ અને $2x+y-2z+5=0$ ની છેદરેખા છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ બંને અભિલંબને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2-2) + \hat{k}(1+2) = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 4, 3)$ છે.
દિશા સદિશનું માન $\sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ છે.
તેથી દિકકોસાઇન $\left(\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}}\right)$ મળે છે.

(B) કારણ કે $A(2,5,7)$ એ સમતલ $\pi$ ની સાપેક્ષે $B(1,-2,3)$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી બિંદુ $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$C = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{5-2}{2}, \frac{7+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 5 \right)$.
આપેલ છે કે $D = (2,1,6)$,તેથી રેખાખંડ $CD$ ના દિકગુણોત્તર $(2 - \frac{3}{2}, 1 - \frac{3}{2}, 6 - 5) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ છે.
દિકકોસાઇન શોધવા માટે,આપણે તેને માન $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ વડે ભાગીશું.
આમ,દિકકોસાઇન $\left( \frac{1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{-1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{1}{\sqrt{6}/2} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ મળે છે.

(C) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+2\bar{j}) = \bar{k}$ છે.
સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}_2 = (2\bar{i}-\bar{j}) \times (3\bar{i}+2\bar{k}) = -2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}$ છે.
છેદરેખાને સમાંતર સદિશ $\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \bar{k} \times (-2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}) = 4\bar{i}-2\bar{j}$ છે.
ધારો કે $\bar{b} = \bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{b}|}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ થાય.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (-2)(-2) + (0)(2) = 8$.
$|\bar{a}| = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}$ અને $|\bar{b}| = \sqrt{1+4+4} = 3$.
$\cos \theta = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સમતલ $x+2y+2z-5=0$ ના અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{N} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{2} = \frac{\gamma-2}{2} = \lambda$.
તેથી $\alpha = \lambda+1, \beta = 2\lambda+2, \gamma = 2\lambda+2$.
બિંદુ $B$ એ સમતલ $x+2y+2z-5=0$ પર હોવાથી,$(\lambda+1) + 2(2\lambda+2) + 2(2\lambda+2) - 5 = 0$.
$\lambda + 1 + 4\lambda + 4 + 4\lambda + 4 - 5 = 0 \Rightarrow 9\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{9}$.
આમ,$B = (1 - \frac{4}{9}, 2 - \frac{8}{9}, 2 - \frac{8}{9}) = (\frac{5}{9}, \frac{10}{9}, \frac{10}{9})$.
હવે,$\pi(A) = 1 + 2(2) + 2(2) + 5 = 1 + 4 + 4 + 5 = 14$.
અને $\pi(B) = \frac{5}{9} + 2(\frac{10}{9}) + 2(\frac{10}{9}) + 5 = \frac{5+20+20+45}{9} = \frac{90}{9} = 10$.
તેથી,$-\pi(A) : \pi(B) = -14 : 10 = -7 : 5$.

(C) રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}$ અને $\vec{r}=\vec{c}+s \vec{d}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{k}$,અને $\vec{d}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & \lambda \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1-2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + 5\hat{k}$ શોધો.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (-1)(1-2\lambda) + (1)(2+\lambda) + (-4)(5) = 3\lambda - 19$ ગણો.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે $3\lambda - 19 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\lambda = \frac{19}{3}$.
જો $\lambda \neq \frac{19}{3}$ હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય નથી,તેથી રેખાઓ વિષમતલીય (skew) છે.

(D) બિંદુઓ $(a, 2, -4)$ અને $(5, 3, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z+4}{b+4}$ છે.
આને $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+4}{b+4} = k$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $ZX$-સમતલને મળે છે,તેથી $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$y-2 = 1 \times k$ લેતા,$0-2 = k$,એટલે કે $k = -2$.
હવે,$k = -2$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $z$ યામ મેળવીએ:
$x = a + k(5-a) = a - 2(5-a) = a - 10 + 2a = 3a - 10$.
$z = -4 + k(b+4) = -4 - 2(b+4) = -4 - 2b - 8 = -2b - 12$.
આપણને આપેલ છે કે છેદબિંદુ $(-a+2b, 0, a+b)$ છે.
યામોની સરખામણી કરતા:
$3a - 10 = -a + 2b \Rightarrow 4a - 2b = 10 \Rightarrow 2a - b = 5$ (સમીકરણ $1$).
$-2b - 12 = a + b \Rightarrow a + 3b = -12$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = 2a - 5$. તેને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$a + 3(2a - 5) = -12 \Rightarrow a + 6a - 15 = -12 \Rightarrow 7a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{7}$.
તેથી $b = 2(\frac{3}{7}) - 5 = \frac{6}{7} - \frac{35}{7} = -\frac{29}{7}$.
અંતે,$14a + 7b = 14(\frac{3}{7}) + 7(-\frac{29}{7}) = 6 - 29 = -23$.

(B) રેખાઓ $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ બિંદુએ છેદે છે.
પ્રથમ રેખા માટે: $r = (1+t)\hat{i} + (-6+2t)\hat{j} + (p \sec \alpha + t)\hat{k}$.
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ સાથે ઘટકો સરખાવતા:
$1+t = 8 \Rightarrow t = 7$.
$-6+2t = 8 \Rightarrow -6+14 = 8$ (સુસંગત છે).
$p \sec \alpha + t = 9 \Rightarrow p \sec \alpha + 7 = 9 \Rightarrow p \sec \alpha = 2$ ... $(i)$.
બીજી રેખા માટે: $r = (2\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda p \tan \alpha)\hat{j} + (1 + 2\lambda)\hat{k}$.
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ સાથે ઘટકો સરખાવતા:
$2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$.
$1 + 2\lambda = 9 \Rightarrow 1 + 8 = 9$ (સુસંગત છે).
$4 + \lambda p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4 + 4p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4p \tan \alpha = 4 \Rightarrow p \tan \alpha = 1$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$(p \sec \alpha)^2 - (p \tan \alpha)^2 = 2^2 - 1^2$.
$p^2(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha) = 4 - 1$.
કારણ કે $\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = 1$,તેથી $p^2 = 3$.
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$p$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $p = \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,1,2)$ અને $B(1,2,1)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $2x - y + 2z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{n_1}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(1-2) = \hat{i} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-2) + 0(y-1) - 1(z-2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - z = 0$ થાય છે.
આને $ax + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=0, c=-1, d=0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a+b}{c+d} = \frac{1+0}{-1+0} = -1$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, 1, \lambda)$ નું સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી અંતર $d_1$ છે:
$d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|3 + 4 - 12\lambda + 13|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ નું સમતલથી અંતર $d_2$ છે:
$d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી,$d_1 = d_2$,તેથી $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|20 - 12\lambda| = 8$,જે બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $20 - 12\lambda = 8 \implies 12\lambda = 12 \implies \lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\lambda = -8 \implies 12\lambda = 28 \implies \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
આમ,$\lambda$ ની કિંમતો $1$ અને $\frac{7}{3}$ છે.

(D) બે સમતલો $n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d_1$ અને $m_1 \cdot x + m_2 \cdot y + m_3 \cdot z = d_2$ ની છેદરેખાના દિકગુણોત્તરો તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
દિશા સદિશ $\vec{v} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(a, b, c) = (4, 1, -3)$ છે.
આપણે $\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$a^2+b^2+c^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.
$b^2 = 1^2 = 1$.
તેથી,$\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2} = \frac{26}{1} = 26$.

(D) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $x-y+z=5$ અને $2x+y-z=3$ છે.
આ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x-y+z-5) + \lambda(2x+y-z-3) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમતલ બિંદુ $(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=0, y=1, z=2$ મૂકીએ:
$(0-1+2-5) + \lambda(2(0)+1-2-3) = 0$.
$-4 + \lambda(-4) = 0 \Rightarrow -4\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-y+z-5) - 1(2x+y-z-3) = 0$.
$x-y+z-5-2x-y+z+3 = 0$.
$-x-2y+2z-2 = 0 \Rightarrow -x-2y+2z = 2$.
આને $\vec{r} \cdot(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) = m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=-1, b=-2, c=2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{bc}{a^2} = \frac{(-2)(2)}{(-1)^2} = \frac{-4}{1} = -4$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P_1(2, -3, 0)$ અને $P_2(3, 0, 4)$ છે. સદિશ $\vec{v_1} = P_2 - P_1 = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
આપેલ છે કે સમતલ સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = -24\hat{i} + 12\hat{j} - 3\hat{k}$.
$-3$ વડે ભાગતા,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ મળે.
સમતલનું સમીકરણ $8(x-2) - 4(y+3) + 1(z-0) = 0 \Rightarrow 8x - 4y + z = 28$ છે.
બિંદુઓ $A(1, 2, 0)$ અને $B(0, 1, -2)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{d} = B - A = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-0}{-2} = k \Rightarrow x = 1-k, y = 2-k, z = -2k$ છે.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $8(1-k) - 4(2-k) + (-2k) = 28 \Rightarrow 8 - 8k - 8 + 4k - 2k = 28 \Rightarrow -6k = 28 \Rightarrow k = -\frac{14}{3}$.
તેથી $a = 17/3, b = 20/3, c = 28/3$.
આમ,$a+b+2c = \frac{17+20+56}{3} = \frac{93}{3} = 31$.

(A) બિંદુઓ $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{j}-\hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b}-\vec{a})$ છે.
$\vec{r} = (\hat{i}-\hat{j}) + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}$ ...$(i)$
બિંદુઓ $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}$,$\vec{b} = 2\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{k}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot [(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})] = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\vec{b}-\hat{a}) \times (\vec{c}-\hat{a}) = (-2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (-\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - (2\hat{i}+\hat{j})) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$ થાય.
રેખા $(i)$ માંથી $\vec{r}$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$((1-\lambda-2)\hat{i} + (2\lambda-1-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$
$(-1-\lambda) + 5(2\lambda-2) - 3\lambda = 0$
$-1 - \lambda + 10\lambda - 10 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 6\lambda = 11 \Rightarrow \lambda = \frac{11}{6}$.
$\lambda = \frac{11}{6}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{r} = (1-\frac{11}{6})\hat{i} + (2(\frac{11}{6})-1)\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = -\frac{5}{6}\hat{i} + \frac{16}{6}\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = \frac{1}{6}(-5\hat{i} + 16\hat{j} - 11\hat{k})$.

(D) ધારો કે સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ $\left(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}\right)$ મળે છે.
કારણ કે $P$ એ સમતલ $x+y+z-5=0$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} - 5 = 0$
$3\left(\frac{2k+1}{k+1}\right) = 5$
$6k + 3 = 5k + 5$
$k = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $AP: PB$ એ $2:1$ છે.

(B) બે સમતલો $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ ની છેદરેખા એ સદિશ $\bar{v} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ ને સમાંતર હોય છે.
અહીં,$\bar{n}_1 = 2 \bar{i} + 3 \bar{j} + 4 \bar{k}$ અને $\bar{n}_2 = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\bar{v} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \bar{i}(-3-4) - \bar{j}(-2-4) + \bar{k}(2-3) = -7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}$.
રેખા બિંદુ $(16, -9, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો સ્થાન સદિશ $\bar{a} = 16 \bar{i} - 9 \bar{j}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{r} = (16 \bar{i} - 9 \bar{j}) + \lambda(-7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}) = (16 - 7 \lambda) \bar{i} + (6 \lambda - 9) \bar{j} - \lambda \bar{k}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ બિંદુઓ $A(3, -2, 1)$ અને $B(-1, 3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (-1-3)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ સમતલ $\pi_2$ ને લંબ હોવાથી,સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (0)(-4) + (-1)(5) + (2)(0) = -5$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{205}} = \sqrt{\frac{5}{41}}$.

(D) સમતલો $2x-2y+z=0$ અને $x-y+2z=4$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ છે.
સમતલ $ax+by+cz+1=0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
સમતલ આપેલા બે સમતલોને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $(-3, -3, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે,જેનું સાદું રૂપ $(1, 1, 0)$ થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y+2) + 0(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y+1=0$ થાય છે.
આને $ax+by+cz+1=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=1, c=0$ મળે છે.
તેથી,$a+b-c = 1+1-0 = 2$.

(A) બિંદુ $(2,-3,4)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-2) + b(y+3) + c(z-4) = 0$ છે,જે $ax + by + cz - 2a + 3b - 4c = 0$ ... $(i)$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલ બંને સમતલો $2x-3y+5z=2$ અને $x+y+2z=3$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, -3, 5)$ અને $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હશે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-5) - \hat{j}(4-5) + \hat{k}(2+3) = -11\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$.
આમ,$(a, b, c) = (-11, 1, 5)$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $-11x + y + 5z - 2(-11) + 3(1) - 4(5) = 0$
$-11x + y + 5z + 22 + 3 - 20 = 0$
$-11x + y + 5z + 5 = 0 \Rightarrow 11x - y - 5z = 5$
બંને બાજુ $11$ વડે ભાગતા,આપણને $x - \frac{1}{11}y - \frac{5}{11}z = \frac{5}{11}$ મળે છે.
$x + py + qz = r$ સાથે સરખાવતા,$r = \frac{5}{11}$ મળે છે.

(C) આપેલી બંને રેખાઓ $a=\hat{i}+\hat{j}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $b_1=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $b_2=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ સદિશોને સમાંતર છે. આ રેખાઓ ધરાવતું સમતલ $a=\hat{i}+\hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $n = b_1 \times b_2$ સદિશને લંબ છે.
અભિલંબ સદિશ $n$ ની ગણતરી:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r \cdot n = a \cdot n$ છે.
$r \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -3 + 3 + 0 = 0$.
$-3$ વડે ભાગતા,આપણને $r \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ મળે છે.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ બિંદુ $(1, 1, 1)$ અને લંબપાદ $(1, 3, 5)$ ને જોડતો સદિશ છે.
$\vec{n_1} = (1-1, 3-1, 5-1) = (0, 2, 4)$.
આને આપણે $\vec{n_1} = (0, 1, 2)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ.
બિંદુ $(1, 3, 5)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi_1$ નું સમીકરણ $0(x-1) + 1(y-3) + 2(z-5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 2z - 13 = 0$ થાય છે.
સમતલ $\pi_2$ માટે,તે બિંદુઓ $A(2, 2, -1), B(3, 4, 2), C(3, 3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સદિશો $\vec{AB} = (1, 2, 3)$ અને $\vec{AC} = (1, 1, 1)$ સમતલ $\pi_2$ પર આવેલા છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(1-3) + \hat{k}(1-2) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$\vec{n_2} = (-1, 2, -1)$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-1) + (1)(2) + (2)(-1) = 0 + 2 - 2 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(C) સમતલો $\pi_1 = 0$ અને $\pi_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $\pi_1 + \lambda \pi_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલોની કિંમતો મૂકતા:
$(2x + 6y + 4z - 7) + \lambda(x - y - 2z - 2) = 0$
$(2 + \lambda)x + (6 - \lambda)y + (4 - 2\lambda)z - (7 + 2\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ,સમતલ $x + y + 2z - 5 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2 + \lambda, 6 - \lambda, 4 - 2\lambda)$ અને $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ છે.
$(2 + \lambda)(1) + (6 - \lambda)(1) + (4 - 2\lambda)(2) = 0$
$2 + \lambda + 6 - \lambda + 8 - 4\lambda = 0$
$16 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = 4$ મૂકતા:
$(2 + 4)x + (6 - 4)y + (4 - 8)z - (7 + 8) = 0$
$6x + 2y - 4z - 15 = 0$.

(B) ધારો કે સમતલ $P$ નું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz = a$ તરીકે લખી શકાય. તે $(0,1,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$b = a$ મળે. તેથી,સમીકરણ $ax + ay + cz = a$ અથવા $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ થાય. ધારો કે $k = \frac{c}{a}$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે.
સમતલ $x + y = 3$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે.
બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)} \Rightarrow 2+k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(1, 1, \sqrt{2})$ છે.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = 6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(6k, 2k, 3k)$ સ્વરૂપમાં છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $3x + 4y - 12z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $P$ ના યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(6k) + 4(2k) - 12(3k) = 7$
$18k + 8k - 36k = 7$
$-10k = 7 \Rightarrow k = -\frac{7}{10}$.
બિંદુ $P$ ના યામ $(6(-\frac{7}{10}), 2(-\frac{7}{10}), 3(-\frac{7}{10})) = (-\frac{42}{10}, -\frac{14}{10}, -\frac{21}{10})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(-\frac{42}{10})^2 + (-\frac{14}{10})^2 + (-\frac{21}{10})^2}$
$d = \frac{1}{10} \sqrt{42^2 + 14^2 + 21^2} = \frac{1}{10} \sqrt{1764 + 196 + 441} = \frac{1}{10} \sqrt{2401} = \frac{49}{10}$.

(B) બિંદુઓ $(1, 1, 1)$,$(2, 0, -1)$ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(-1 - 0) - y(-1 - 2) + z(0 - 2) = 0$
$-x + 3y - 2z = 0$ અથવા $x - 3y + 2z = 0$ (સમીકરણ $i$).
બિંદુઓ $(1, 3, -2)$ અને $(1, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-1}{1-1} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-(-2)}{3-(-2)} = r$
$\frac{x-1}{0} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z+2}{5} = r$
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1, -4r+3, 5r-2)$ છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $x - 3y + 2z = 0$ માં મૂકતા:
$1 - 3(-4r+3) + 2(5r-2) = 0$
$1 + 12r - 9 + 10r - 4 = 0$
$22r - 12 = 0 \Rightarrow r = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$.
$r = \frac{6}{11}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 1$,$y = -4(\frac{6}{11}) + 3 = \frac{-24+33}{11} = \frac{9}{11}$,$z = 5(\frac{6}{11}) - 2 = \frac{30-22}{11} = \frac{8}{11}$.
બિંદુ $A$ એ $(1, \frac{9}{11}, \frac{8}{11})$ છે,જે સદિશ સ્વરૂપમાં $\frac{1}{11}(11\hat{i} + 9\hat{j} + 8\hat{k})$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમતલ બિંદુ $(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે. સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ છે.
સમતલ $3x - 2y + z = 9$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $3a - 2b + c = 0$.
સમતલ $x + y + z = 9$ ને પણ લંબ હોવાથી,$a + b + c = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા: $\frac{a}{(-2)(1) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(1)} = \frac{c}{(3)(1) - (-2)(1)}$,જે $\frac{a}{-3} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{5} = k$ આપે છે.
આમ,અભિલંબ સદિશ $(-3, -2, 5)$ ના પ્રમાણમાં છે.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $-3x + 6 - 2y - 2 + 5z - 15 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-3x - 2y + 5z - 11 = 0$ થાય છે.
$x + by + cz + d = 0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $-3$ વડે ભાગતા: $x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}z + \frac{11}{3} = 0$.
સરખામણી કરતા,$d = \frac{11}{3}$ મળે છે.

(B) રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+3}{-2} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(1, \lambda, -2\lambda - 3)$ સ્વરૂપનું છે.
બિંદુ $P$ નું સમતલ $2x + 3y + 5z - 1 = 0$ થી અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2(1) + 3(\lambda) + 5(-2\lambda - 3) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3\lambda - 10\lambda - 15 - 1|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7\lambda - 14|}{\sqrt{38}}$.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,$-7\lambda - 14 = 0$,તેથી $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ મુકતા,$P$ ના યામ $(1, -2, 1)$ મળે છે.
સદિશ $\vec{AP} = P - A = (1-1, -2-0, 1-(-3)) = (0, -2, 4)$.
$P(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, -2, 4)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x - 1) - 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0$.
$-2y - 4 + 4z - 4 = 0 \Rightarrow -2y + 4z - 8 = 0 \Rightarrow y - 2z + 4 = 0$.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, 6)$ છે અને સમતલ $x + y + z - 9 = 0$ છે.
અહીં,$a = 1, b = 1, c = 1$ અને $d = -9$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{(1)(5) + (1)(2) + (1)(6) - 9}{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$
હવે,$x, y, z$ માટે ઉકેલતા:
$x - 5 = -\frac{8}{3} \Rightarrow x = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$
$y - 2 = -\frac{8}{3} \Rightarrow y = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$
$z - 6 = -\frac{8}{3} \Rightarrow z = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$
આમ,બિંદુ $(5, 2, 6)$ નું પ્રતિબિંબ $(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ છે.

(C) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં,બિંદુ $(3, 2, 1)$ છે અને સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 7 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(2(3) - 1(2) + 3(1) - 7)}{2^2 + (-1)^2 + 3^2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(6 - 2 + 3 - 7)}{4 + 1 + 9}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(0)}{14} = 0$
દરેક ભાગને $0$ સાથે સરખાવતા:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$
આમ,બિંદુનું પ્રતિબિંબ $(3, 2, 1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ સમતલ પર જ આવેલું છે.

(D) રેખા $A(1, 2, 1)$ અને $B(2, -1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1 + t)\bar{i} + (2 - 3t)\bar{j} + (1 - 2t)\bar{k}$ છે.
સમતલ $P(1, 0, 0)$,$Q(0, 2, 0)$ અને $R(0, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ છે,જે $6x + 3y + 2z = 6$ થાય છે.
રેખાના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $6(1 + t) + 3(2 - 3t) + 2(1 - 2t) = 6$.
$6 + 6t + 6 - 9t + 2 - 4t = 6$.
$14 - 7t = 6 \implies 7t = 8 \implies t = \frac{8}{7}$.
$t = \frac{8}{7}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x = \frac{15}{7}, y = -\frac{10}{7}, z = -\frac{9}{7}$.
છેદબિંદુ $\frac{1}{7}(15\bar{i} - 10\bar{j} - 9\bar{k})$ છે.

(A) રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ છે.
ધારો કે સમતલ $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\bar{j} + 5\bar{k}) = 0$ છે. બિંદુ $P$ નું સમતલથી અંતર $d = \frac{|(1)(2) + (t-3)(3) + (-2t)(5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3t - 9 - 10t|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7t - 7|}{\sqrt{38}}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,અંશને શૂન્ય લેતા: $-7t - 7 = 0 \implies t = -1$.
$t = -1$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P$ નો સ્થાન સદિશ મળે છે: $\vec{p} = \bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}$.
સદિશ $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) - (\bar{i} - 3\bar{j}) = -\bar{j} + 2\bar{k}$.
$P(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k})$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{AP} = -\bar{j} + 2\bar{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = \vec{p} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k})$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = (-4)(-1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8$.
આમ,સમીકરણ $\bar{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = 8$ છે.

(A) રેખા $L$ બંને સમતલોને સમાંતર હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હશે. ધારો કે અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા $X$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\vec{u}$ અને એકમ સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|} = \frac{(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) રેખા $L$ એ $P_1 = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ અને $P_2 = \vec{b}-\vec{c}$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = P_2 - P_1 = (\vec{b}-\vec{c}) - (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = -\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}$ છે.
તેથી,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ છે.
સમતલ $\pi$ એ $A = 2\vec{a}-\vec{b}$,$B = 2\vec{b}-\vec{c}$,અને $C = 2\vec{c}-\vec{a}$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (B-A) \times (C-A) = (-2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}) \times (-3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}) = 7(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - (2\vec{a}-\vec{b})) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 0$ છે.
$\vec{r} = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા અને $\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 1$ મળે છે.
$\lambda = 1$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + 1(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \vec{b}-\vec{c}$ મળે છે.

(B) રેખા $L$ એ $A_1(2, 3, 8)$ અને $A_2(1, 6, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1-2)\hat{i} + (6-3)\hat{j} + (4-8)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) + t(-\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = (2-t)\hat{i} + (3+3t)\hat{j} + (8-4t)\hat{k}$ છે.
સમતલ $P$ એ $\vec{a} = -5\hat{i} + 19\hat{j} - 14\hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તથા $\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $(x+5)(-1) + (y-19)(-2) + (z+14)(-1) = 0$ એટલે કે $x+2y+z = 19$ થાય છે.
રેખા $L$ ના યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2-t) + 2(3+3t) + (8-4t) = 19$.
$2-t+6+6t+8-4t = 19 \implies t+16 = 19 \implies t = 3$.
$t=3$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{r} = (2-3)\hat{i} + (3+3(3))\hat{j} + (8-4(3))\hat{k} = -\hat{i} + 12\hat{j} - 4\hat{k}$.

(A) આપેલ રેખા $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c}) \quad \dots(1)$ અને સમતલ $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) \quad \dots(2)$ છે.
$\vec{r}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\vec{a}+2 \vec{b}+p \vec{a}-2p \vec{c} = 3 \vec{a}-q \vec{c}+q \vec{b}+k \vec{a}-k \vec{b}+k \vec{c}$
$\vec{a}(1+p) + 2 \vec{b} - 2p \vec{c} = \vec{a}(3+k) + \vec{b}(q-k) + \vec{c}(k-q)$
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1+p = 3+k \Rightarrow p-k = 2$
$2 = q-k \Rightarrow q-k = 2$
$-2p = k-q \Rightarrow q-k = 2p$
$q-k=2$ અને $q-k=2p$ પરથી,$2p=2 \Rightarrow p=1$ મળે.
$p=1$ ને $p-k=2$ માં મૂકતા,$1-k=2 \Rightarrow k=-1$ મળે.
$k=-1$ ને $q-k=2$ માં મૂકતા,$q-(-1)=2 \Rightarrow q=1$ મળે.
હવે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ શોધવા માટે $p=1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\vec{r} = \vec{a}+2 \vec{b}+1(\vec{a}-2 \vec{c}) = 2 \vec{a}+2 \vec{b}-2 \vec{c}$.
આને $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ સાથે સરખાવતા,$x=2, y=2, z=-2$ મળે.
તેથી,$x y z = 2 \times 2 \times (-2) = -8$.

(C) રેખા $r = a + \lambda b$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $b = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલ $r \cdot n = d$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ અને $d = 5$ છે.
પ્રથમ,રેખા અને સમતલ સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે $b \cdot n$ ની ગણતરી કરો: $b \cdot n = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
$b \cdot n = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a \cdot n = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ મેળવો.
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ મેળવો.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $D = \frac{|-5 - 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $r = b + c + x(a - b) + y(c + a) = (x + y)a + (1 - x)b + (1 + y)c$ છે $\ldots(i)$.
રેખાનું સમીકરણ $r = a + t(b - c) = a + tb - tc$ છે $\ldots(ii)$.
છેદબિંદુ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી $a, b, c$ અસમતલીય હોવાથી આપણે તેમના સહગુણકોને સરખાવીએ:
$x + y = 1$ $\ldots(iii)$
$1 - x = t$ $\ldots(iv)$
$1 + y = -t$ $\ldots(v)$
સમીકરણ $(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા,$2 - x + y = 0$,એટલે કે $x - y = 2$ $\ldots(vi)$.
$(iii)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 3$,તેથી $x = \frac{3}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ ને $(iv)$ માં મૂકતા,$t = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
હવે,છેદબિંદુ $r = a + t(b - c) = a - \frac{1}{2}(b - c) = a - \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$.
આને $la + mb + nc$ સાથે સરખાવતા,$l = 1, m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{2}$.
અંતે,$3l + 4m + 2n = 3(1) + 4(-\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}) = 3 - 2 + 1 = 2$.

(B) બિંદુઓ $A(0,-5,-1), B(1,-2,5), C(-3,5,0)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\Pi$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y+5 & z+1 \\ 1-0 & -2+5 & 5+1 \\ -3-0 & 5+5 & 0+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x & y+5 & z+1 \\ 1 & 3 & 6 \\ -3 & 10 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(3-60) - (y+5)(1+18) + (z+1)(10+9) = 0$
$-57x - 19(y+5) + 19(z+1) = 0$
$-19$ વડે ભાગતા:
$3x + y + 5 - z - 1 = 0 \Rightarrow 3x + y - z + 4 = 0$
સમતલનો લંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$ છે.
રેખા $L$ એ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}}$ છે.
રેખા $L$ પર $\hat{n}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\hat{n} \cdot \hat{u}|$ છે:
$|\hat{n} \cdot \hat{u}| = \left| \left( \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}} \right) \cdot \left( \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}} \right) \right|$
$= \left| \frac{3(1) + 1(5) + (-1)(-6)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{62}} \right| = \left| \frac{3 + 5 + 6}{\sqrt{682}} \right| = \frac{14}{\sqrt{682}}$.

(B) ધારો કે $l, m, n$ એ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A(p, 7, -6), B(2, 5, -4), C(1, 4, -3)$ છે.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{BC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = (2-p)\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (1-2)\hat{i} + (4-5)\hat{j} + (-3+4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AB} = k\vec{BC}$ હોવાથી,$\frac{2-p}{-1} = \frac{-2}{-1} = \frac{2}{1} = 2$.
તેથી,$2-p = -2 \implies p = 4$.
બિંદુ $(-p, p, p+1) = (-4, 4, 5)$ છે.
રેખા $L$ એ $B(2, 5, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v} = (-1, -1, 1)$ છે.
સમતલ રેખા $L$ અને બિંદુ $P(-4, 4, 5)$ ને સમાવે છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{PB} \times \vec{v}$ છે.
$\vec{PB} = (2 - (-4))\hat{i} + (5 - 4)\hat{j} + (-4 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 9\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -9 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-8(x-2) + 3(y-5) - 5(z+4) = 0$ છે.
$-8x + 3y - 5z = 19$.
$19$ વડે ભાગતા,$-\frac{8}{19}x + \frac{3}{19}y - \frac{5}{19}z = 1$.
અહીં $a = -\frac{8}{19}, b = \frac{3}{19}, c = -\frac{5}{19}$.
$p(a+b+c) = 4 \times (\frac{-8+3-5}{19}) = 4 \times (\frac{-10}{19}) = -\frac{40}{19}$.

(A) આપેલ રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-7}{2}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(4, 2, 7)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 2)$ છે.
રેખા સમતલ $ax+by+z=7$ માં આવેલી હોવાથી,બિંદુ $P(4, 2, 7)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$a(4) + b(2) + 7 = 7$
$4a + 2b = 0$
$2a + b = 0 \quad \dots(i)$
વળી,રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(1)(a) + (1)(b) + (2)(1) = 0$
$a + b + 2 = 0$
$a + b = -2$.