Type of Functions based on Mapping Questions in Hindi

(A) दिया गया फलन,$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x + 4$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = 2(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 2x \cdot \frac{1}{2}) + 4$
$f(x) = 2(\sin 2x \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{6}) + 4$
$f(x) = 2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) + 4$
एक फलन $f(x) = \sin(\theta)$ तब एकैकी होता है जब उसका कोण $\theta$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित हो।
अतः,$f(x)$ के एकैकी होने के लिए:
$-\frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2}$
सभी पदों में $\frac{\pi}{6}$ जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$-\frac{2\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{4\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{3} \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3}$
$2$ से भाग देने पर:
$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$
अतः,फलन अंतराल $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ में एकैकी है।

(D) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $B = \{x \in Z \mid x^{2} - 5x + 6 = 0\}$ हैं।
द्विघात समीकरण $x^{2} - 5x + 6 = 0$ को हल करने पर,हमें $(x - 2)(x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ या $x = 3$ है।
इस प्रकार,$B = \{2, 3\}$ है।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 5$ है और समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय से $m$ अवयवों वाले समुच्चय तक आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \binom{m}{k} k^{n}$ है।
यहाँ $n = 5$ और $m = 2$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^{n} - 2 = 2^{5} - 2$ होगी।
$2^{5} - 2 = 32 - 2 = 30$.
अतः,आच्छादक फलनों की कुल संख्या $30$ है।

(D) दिया गया है कि,$n(A) = 4$ और $n(B) = 5$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक एकैकी फलन (injective mapping) तब परिभाषित होता है जब $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ के एक अद्वितीय अवयव से जुड़ा हो।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या का सूत्र $P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!}$ है (जहाँ $n \ge m$)।
यहाँ,$n = 5$ और $m = 4$ है।
अतः,एकैकी फलनों की संख्या $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।

(C) दिया गया फलन $f: Z \rightarrow Z$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ सम है} \\ 0, & n \text{ विषम है} \end{cases}$ है।
$1$. एकैकी (Injective) की जाँच: यदि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1 = n_2$ हो तो फलन एकैकी होता है। विषम पूर्णांक $n_1 = 1$ और $n_2 = 3$ लें। तो $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक फलन है)।
$2$. आच्छादक (Surjective) की जाँच: यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $n \in Z$ मौजूद हो कि $f(n) = y$ हो,तो फलन आच्छादक होता है। किसी भी पूर्णांक $y$ के लिए,यदि हम $n = 2y$ लें (जो हमेशा सम संख्या है),तो $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ प्राप्त होता है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 2x & : x > 3 \\ x^2 & : 1 < x \leq 3 \\ 3x & : x \leq 1 \end{cases}$ है।
$f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दी गई शर्तों के आधार पर प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $f(-1)$ के लिए,चूंकि $-1 \leq 1$,हम तीसरी शर्त का उपयोग करेंगे: $f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ के लिए,चूंकि $1 < 2 \leq 3$,हम दूसरी शर्त का उपयोग करेंगे: $f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ के लिए,चूंकि $4 > 3$,हम पहली शर्त का उपयोग करेंगे: $f(4) = 2(4) = 8$.
इन मानों को जोड़ने पर: $f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(A) दो समुच्चयों के बीच एकैकी-आच्छादक फलन (bijection) तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान हो।
चूंकि समुच्चय $x$ में $7$ अवयव हैं और समुच्चय $y$ में $8$ अवयव हैं,इसलिए उनकी संख्या समान नहीं है।
अतः,$x$ से $y$ तक कोई भी आच्छादक फलन परिभाषित करना असंभव है।
इसलिए,आच्छादक फलनों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 2x, & x > 3 \\ x^2, & 1 < x \leq 3 \\ 3x, & x \leq 1 \end{array}\right.$ है।
$f(-2) + f(3) + f(4)$ का मान ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक पद की गणना करते हैं:
$1$. $f(-2)$ के लिए: चूँकि $-2 \leq 1$,हम $f(x) = 3x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(-2) = 3(-2) = -6$.
$2$. $f(3)$ के लिए: चूँकि $1 < 3 \leq 3$,हम $f(x) = x^2$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(3) = (3)^2 = 9$.
$3$. $f(4)$ के लिए: चूँकि $4 > 3$,हम $f(x) = 2x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(4) = 2(4) = 8$.
इन मानों का योग करने पर: $f(-2) + f(3) + f(4) = -6 + 9 + 8 = 11$.

(C) दिया गया फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2} & n \text{ सम है} \end{cases}$।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: $n=1$ (विषम) और $n=2$ (सम) लें।
$f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$.
$f(2) = \frac{2}{2} = 1$.
चूँकि $f(1) = f(2)$ है लेकिन $1 \neq 2$,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: किसी भी $y \in N$ के लिए,हमें ऐसा $n \in N$ ढूँढना है कि $f(n) = y$ हो।
यदि $y$ कोई भी प्राकृतिक संख्या है,तो हम $n = 2y$ (जो सम है) ले सकते हैं। तब $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ होगा।
चूँकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,ऐसा $n \in N$ मौजूद है कि $f(n) = y$,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(D) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|} = 2^4 = 16$ है।
एक आच्छादक (onto) फलन का अर्थ है कि $B$ के प्रत्येक अवयव का $A$ में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होना चाहिए।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं,वे केवल अचर फलन हैं: $f(x) = a$ सभी $x \in A$ के लिए और $f(x) = b$ सभी $x \in A$ के लिए।
ऐसे $2$ अचर फलन हैं।
आच्छादक फलनों की संख्या $= 16 - 2 = 14$ है।
आच्छादक फलन की प्रायिकता $= \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$।

(D) दिया गया है,$f: R \rightarrow R$ और $f(x)=x^{4}$.
$f$ के एकैकी (one-one) होने के लिए,$f(x_{1}) = f(x_{2})$ का अर्थ $x_{1} = x_{2}$ होना चाहिए।
यहाँ,$x_{1}^{4} = x_{2}^{4} \Rightarrow x_{1} = \pm x_{2}$।
उदाहरण के लिए,$f(1) = 1^{4} = 1$ और $f(-1) = (-1)^{4} = 1$।
चूंकि $f(1) = f(-1)$ लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।
$f$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर होना चाहिए।
सभी $x \in R$ के लिए $x^{4} \geq 0$ है,इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है।
चूंकि परिसर $[0, \infty) \neq R$,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) दिया गया है,$|A| = m$ और $|B| = n$।
$A$ से $B$ तक एकैकी फलनों की कुल संख्या का सूत्र $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!} = 2520$ है।
हमें $2520$ को $n$ से शुरू होकर $(n-m+1)$ तक के क्रमिक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना होगा।
$2520 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$।
यह $^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ के बराबर है।
$^nP_m$ की तुलना $^7P_5$ से करने पर,हमें $n = 7$ और $m = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 5$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$. प्रांत $a^2 - x^2 \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है,अतः $x \in [-|a|, |a|]$ ($x=0$ को छोड़कर)।
$x \in (0, |a|]$ के लिए,$f(x) = \frac{a}{b} + \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1}$।
माना $g(x) = \frac{a^2}{x^2} - 1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $|a|$ तक बढ़ता है,$g(x)$,$\infty$ से $0$ तक घटता है।
अतः,$f(x)$ अपने प्रांत के अंतरालों पर एकदिष्ट फलन है।
चूंकि फलन अपने प्रांत पर एकदिष्ट है,इसलिए यह एकैकी है।
परिसर के लिए,जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to |a|$,$f(x) = \frac{a^2}{b|a|} = \frac{|a|}{b}$।
चूंकि फलन अपने सह-प्रांत में सभी वास्तविक मानों को कवर करता है,इसलिए यह आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(A) माना $f(x) = \log \left( \frac{2x^2 - 3}{x} + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$.
यह जांचने के लिए कि फलन विषम है या नहीं,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \log \left( \frac{2(-x)^2 - 3}{-x} + \sqrt{\frac{4(-x)^4 - 11(-x)^2 + 9}{|-x|}} \right)$
$f(-x) = \log \left( -\left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$
अब,$f(x) + f(-x) = \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} + \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} - \frac{2x^2 - 3}{x} \right)$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)^2 - \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right)^2 \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|^2} - \frac{4x^4 - 12x^2 + 9}{x^2} \right)$
चूंकि $|x|^2 = x^2$:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9 - (4x^4 - 12x^2 + 9)}{x^2} \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{x^2}{x^2} \right) = \log(1) = 0$
अतः,चूंकि $f(x) + f(-x) = 0$,यह फलन एक विषम फलन है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x} - 1} + \frac{-x}{2} + 1$.
पहले पद के अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1 - e^x} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x e^x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1$.
हम $\frac{x e^x}{e^x - 1}$ को $\frac{x(e^x - 1 + 1)}{e^x - 1} = x + \frac{x}{e^x - 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
चूँकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए यह फलन एक सम फलन है।

(C) दिया गया फलन $f : R \rightarrow R$,$f(x) = x - [x] + 3$ द्वारा परिभाषित है।
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन को $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस मान को $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \{x\} + 3$ प्राप्त होता है।
भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ एक आवर्ती फलन है जिसका मूल आवर्तकाल $1$ है।
चूंकि किसी आवर्ती फलन में एक स्थिरांक जोड़ने से उसके आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $f(x) = \{x\} + 3$ भी $1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A-III, B-VI, C-II, D-V) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x+4 & \text{के लिए } x < -4 \\ 3x+2 & \text{के लिए } -4 \leq x < 4 \\ x-4 & \text{के लिए } x \geq 4 \end{cases}$
$(A)$ $f(-5) + f(-4) = (-5+4) + (3(-4)+2) = -1 + (-12+2) = -1 - 10 = -11$. अतः,$(A)$ का मिलान $(iii)$ से है।
$(B)$ $f(|f(-8)|) = f(|-8+4|) = f(|-4|) = f(4) = 4-4 = 0$. अतः,$(B)$ का मिलान $(vi)$ से है।
$(C)$ $f(f(-7) + f(3)) = f((-7+4) + (3(3)+2)) = f(-3 + 11) = f(8) = 8-4 = 4$. अतः,$(C)$ का मिलान $(ii)$ से है।
$(D)$ $f(f(f(f(0)))) + 1 = f(f(f(3(0)+2))) + 1 = f(f(f(2))) + 1 = f(f(3(2)+2)) + 1 = f(f(8)) + 1 = f(8-4) + 1 = f(4) + 1 = (4-4) + 1 = 1$. अतः,$(D)$ का मिलान $(v)$ से है।

(A) हम फलन $f(x)$ का तीन अंतरालों में विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-3 < x \leq -1$ के लिए,$f(x) = [x]$ है। चूँकि $x \leq -1$,इसलिए $[x] \leq -1$,अतः $f(x) < 0$ है।
$2$. $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) = |x|$ है। चूँकि निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
$3$. $1 \leq x < 3$ के लिए,$f(x) = |[x]|$ है। चूँकि किसी भी पूर्णांक का निरपेक्ष मान $\geq 0$ होता है,इसलिए सभी $x \in [1, 3)$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
उन अंतरालों को मिलाने पर जहाँ $f(x) \geq 0$ है,हमें $(-1, 1) \cup [1, 3) = (-1, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $(-1, 3)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x - (-1)^x$ जहाँ $x \in Z$.
स्थिति $1$: यदि $x$ सम है,तो मान लीजिए $x = 2k$ किसी $k \in Z$ के लिए।
तब $f(2k) = 2k - (-1)^{2k} = 2k - 1$.
स्थिति $2$: यदि $x$ विषम है,तो मान लीजिए $x = 2k+1$ किसी $k \in Z$ के लिए।
तब $f(2k+1) = (2k+1) - (-1)^{2k+1} = 2k+1 - (-1) = 2k+2$.
एकैकी के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। यदि $x_1$ सम है और $x_2$ विषम है,तो $2k_1 - 1 = 2k_2 + 2 \implies 2(k_1 - k_2) = 3$,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है। यदि दोनों सम हैं,तो $2k_1 - 1 = 2k_2 - 1 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$। यदि दोनों विषम हैं,तो $2k_1 + 2 = 2k_2 + 2 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए: परिसर में सभी विषम संख्याएँ (सम इनपुट से) और सभी सम संख्याएँ (विषम इनपुट से) शामिल हैं। चूँकि प्रत्येक पूर्णांक $y \in Z$ या तो सम है या विषम,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(D) कथन-$I$: एक फलन $f: A \rightarrow B$ एकैकी (injective) होता है यदि $A$ के भिन्न अवयवों के $B$ में भिन्न प्रतिबिंब हों। यह परिभाषा $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ के समतुल्य है। दिया गया कथन $f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ वास्तव में $x = y \Rightarrow f(x) = f(y)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,जो कि फलन की परिभाषा है,न कि एकैकी फलन की। अतः,कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$: एक संबंध $f: A \rightarrow B$ एक फलन है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो। शर्त $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$ एक एकैकी फलन को परिभाषित करती है,न कि स्वयं फलन को। एक फलन में अलग-अलग इनपुट के समान आउटपुट हो सकते हैं (बहु-एक)। अतः,कथन-$II$ असत्य है।
इसलिए,दोनों कथन असत्य हैं।

(C) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$.
एकैकी (one-one) की जाँच: $f(1) = 1^3 - 1 = 0$ और $f(0) = 0^3 - 0 = 0$. चूँकि $f(1) = f(0)$ है लेकिन $1 \neq 0$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच: $f(x)$ एक विषम घात वाला बहुपद फलन है। जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow \infty$ और जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$। चूँकि फलन सतत है,इसका परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत $R$ के बराबर है। इसलिए,$f$ एक आच्छादक फलन है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f:[a, \infty) \rightarrow [b, \infty)$ जहाँ $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ है।
एक द्विघात फलन को अंतराल $[a, \infty)$ पर एकैकी और आच्छादक (bijection) होने के लिए,इसे एकदिष्ट (monotonic) होना चाहिए।
अवकलन करने पर $f'(x) = 4x - 3$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $x \ge \frac{3}{4}$ के लिए वर्धमान है,इसलिए $a = \frac{3}{4}$।
चूंकि फलन आच्छादक है,परिसर $[b, \infty)$ को $[a, \infty)$ के प्रतिबिंब के बराबर होना चाहिए।
$b = f(a) = f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 5 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 5 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{31}{8}$।
अंत में,$3a + 2b = 3\left(\frac{3}{4}\right) + 2\left(\frac{31}{8}\right) = \frac{9}{4} + \frac{31}{4} = \frac{40}{4} = 10$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty < x < 0 \\ b^x, & 0 \leq x < \infty \end{cases}$ है,जहाँ $a > 1$ और $0 < b < 1$ है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = a^x$ है। चूँकि $a > 1$ है,जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to 0$,और जैसे $x \to 0^-$,$f(x) \to 1$ है। अतः,इस भाग का परिसर $(0, 1)$ है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = b^x$ है। चूँकि $0 < b < 1$ है,$x = 0$ के लिए $f(0) = b^0 = 1$,और जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to 0$ है। अतः,इस भाग का परिसर $(0, 1]$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$f(x)$ का परिसर $(0, 1]$ प्राप्त होता है।
$1$. एकैकी जाँच: किसी भी $y \in (0, 1)$ के लिए,$x$ के दो मान मौजूद हैं,एक ऋणात्मक और एक धनात्मक,ताकि $f(x) = y$ हो। उदाहरण के लिए,यदि $y = 0.5$ है,तो $x_1 < 0$ मौजूद है ताकि $a^{x_1} = 0.5$ और $x_2 > 0$ मौजूद है ताकि $b^{x_2} = 0.5$ हो। अतः,$f(x)$ एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक जाँच: सह-प्रांत $[0, 1]$ दिया गया है। चूँकि परिसर $(0, 1]$ है,मान $0$ परिसर में नहीं है (क्योंकि सभी $x$ के लिए $a^x > 0$ और $b^x > 0$ है)। इसलिए,$f(x)$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f(x)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) दिया गया है $f(x) = | 2x + 1 | + | x - 2 |$.
हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -(2x+1) - (x-2) = -3x + 1, & x < -\frac{1}{2} \\ (2x+1) - (x-2) = x + 3, & -\frac{1}{2} \leq x < 2 \\ (2x+1) + (x-2) = 3x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$
$x = -\frac{1}{2}$ पर,$f(-\frac{1}{2}) = 0 + |-\frac{1}{2} - 2| = \frac{5}{2}$.
$x = 2$ पर,$f(2) = |4+1| + 0 = 5$.
फलन का न्यूनतम मान $x = -\frac{1}{2}$ पर $\frac{5}{2}$ है।
चूंकि फलन पूरी तरह से वर्धमान या ह्रासमान नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
चूंकि सह-प्रांत $[ \frac{5}{2}, \infty )$ है और फलन का परिसर भी $[ \frac{5}{2}, \infty )$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(D) माना $n(A) = 5$ और $n(B) = 7$ है।
$A$ से $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|} = 7^5$ होती है।
एक फलन एकैकी (one-one) होता है यदि $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ के एक अलग अवयव से जुड़ा हो। एकैकी फलनों की संख्या $P(7, 5) = { }^7 P_5$ है।
एक फलन बहु-एक (many-one) होता है यदि वह एकैकी नहीं है।
अतः,बहु-एक फलनों की संख्या = (कुल फलनों की संख्या) - (एकैकी फलनों की संख्या) = $7^5 - { }^7 P_5$।

(C) फलन $f: A \rightarrow B$ को $f(x)=x^2-3x+2$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
बाइजेक्शन होने के लिए,फलन को एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों होना चाहिए।
अवकलन $f'(x) = 2x - 3$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,शीर्ष $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
फलन का न्यूनतम मान $f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9-18+8}{4} = -\frac{1}{4}$ है।
फलन को एकैकी बनाने के लिए,हमें प्रांत को $A = \left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$ या $A = \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$ तक सीमित करना होगा।
फलन को आच्छादक बनाने के लिए,सह-प्रांत $B$ को परिसर $\left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$ के बराबर होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं। सामान्यतः,ऐसे प्रश्नों में शीर्ष से शुरू होने वाले अंतराल को चुना जाता है। इसलिए,$A = \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$ और $B = \left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$ एक मान्य बाइजेक्शन है।

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से स्वयं पर परिभाषित कुल फलनों की संख्या $n^n$ होती है।
एक फलन एकैकी (one-one) होता है यदि डोमेन के प्रत्येक अवयव का कोडोमेन में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो। $n$ अवयवों के लिए,एकैकी फलनों की संख्या $n!$ होती है।
अतः,उन फलनों की संख्या जो एकैकी नहीं हैं,कुल फलनों की संख्या में से एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।
एकैकी न होने वाले फलनों की संख्या $= n^n - n!$.

(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक अंतःक्षेपी फलन (injection) तभी संभव है जब $A$ के अवयवों की संख्या $B$ के अवयवों की संख्या से कम या उसके बराबर हो,अर्थात $m \le n$।
यदि $n < m$ है,तो $A$ के प्रत्येक अवयव को $B$ के एक अद्वितीय अवयव से जोड़ना असंभव है,इसलिए अंतःक्षेपी फलनों की संख्या $0$ होगी।
यदि $n \ge m$ है,तो हमें $B$ से $m$ भिन्न अवयव चुनने होंगे और उन्हें $A$ के $m$ अवयवों के साथ जोड़ने के लिए एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना होगा।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अंतःक्षेपी फलनों की संख्या $\begin{cases} ^nP_m, & n \ge m \\ 0, & n < m \end{cases}$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि फलन तब परिभाषित नहीं होता है जब हर शून्य हो,इसलिए $x - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 2$। अतः,प्रांत $R - \{2\}$ है,इसलिए $l = 2$।
परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x+3}{x-2}$।
तब $y(x - 2) = x + 3$,जो $xy - 2y = x + 3$ देता है।
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x(y - 1) = 2y + 3$ मिलता है,या $x = \frac{2y+3}{y-1}$।
फलन $y = 1$ के लिए परिभाषित नहीं है,इसलिए परिसर $R - \{1\}$ है। अतः,$m = 1$।
हमें $3l - 2m$ की गणना करनी है।
मान रखने पर,$3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4$।

(D) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x) = 5x^4 + 2$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$।
$5x_1^4 + 2 = 5x_2^4 + 2$
$x_1^4 = x_2^4$
$x_1 = \pm x_2$।
चूँकि $f(1) = 5(1)^4 + 2 = 7$ और $f(-1) = 5(-1)^4 + 2 = 7$,इसलिए $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$।
अतः,$f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
सभी $x \in R$ के लिए $x^4 \geq 0$ होता है,इसलिए $5x^4 \geq 0$ होगा।
अतः,$f(x) = 5x^4 + 2 \geq 2$।
फलन का परिसर (range) $[2, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
एकैकी (one-one) के लिए:
माना $f(x_1) = f(x_2)$.
$x_1^2 - 2x_1 - 3 = x_2^2 - 2x_2 - 3$
$x_1^2 - x_2^2 - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 2) = 0$
इसका अर्थ है $x_1 = x_2$ या $x_1 + x_2 = 2$.
चूंकि $x_1 + x_2 = 2$ अलग-अलग मानों के लिए संभव है (उदाहरण के लिए,$f(0) = -3$ और $f(2) = -3$),इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) के लिए:
माना $y = x^2 - 2x - 3$.
$y = (x-1)^2 - 4$
$(x-1)^2 = y + 4$
चूंकि $(x-1)^2 \geq 0$,इसलिए $y + 4 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \geq -4$.
$f$ का परिसर (range) $[-4, \infty)$ है,जो सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) दिया गया है,$f(x)=x|x|$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$
$1$. एकैकी (one-one) जाँच:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
यदि $x_1, x_2 \geq 0$ है,तो $x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (चूंकि $x \geq 0$).
यदि $x_1, x_2 < 0$ है,तो $-x_1^2 = -x_2^2 \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (चूंकि $x < 0$).
यदि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक है,तो $f(x)$ के चिह्न अलग होंगे,इसलिए $f(x_1) \neq f(x_2)$.
अतः,$f(x)$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक (onto) जाँच:
किसी भी $y \in R$ के लिए,हम ऐसा $x$ ज्ञात कर सकते हैं कि $f(x) = y$.
यदि $y \geq 0$ है,तो $x = \sqrt{y}$. यदि $y < 0$ है,तो $x = -\sqrt{-y}$.
सह-प्रांत $R$ के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत $R$ में $x$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(C) दिया गया है $f(x) = \max \{x+1, 1-x, 2\}$.
हम फलन को अंतरालों में विभाजित करके विश्लेषण कर सकते हैं:
$x < -1$ के लिए,$x+1 < 0$ और $1-x > 2$,इसलिए $f(x) = 1-x$ है।
$-1 \leq x \leq 1$ के लिए,$x+1 \geq 0$,$1-x \geq 0$,और इनका तथा $2$ का अधिकतम मान $2$ है (क्योंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $x+1 \leq 2$ और $1-x \leq 2$ होता है)।
$x > 1$ के लिए,$x+1 > 2$ और $1-x < 0$,इसलिए $f(x) = x+1$ है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < -1 \\ 2, & -1 \leq x \leq 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$ है।
चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f(x) = 2$ है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) नहीं है (बहु-एक है)।
चूंकि $f(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) $3 \times 3$ क्रम का एक अदिश आव्यूह $M$ इस रूप में होता है: $M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{bmatrix}$ जहाँ $m \in R$ है।
$M$ का सारणिक $\operatorname{det}(M) = m^3$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,फलन $f: A \rightarrow R$ को $f(M) = m^3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f(m) = m^3$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,किसी भी $m_1, m_2 \in R$ के लिए,$f(m_1) = f(m_2) \implies m_1^3 = m_2^3 \implies m_1 = m_2$। इसलिए,$f$ एकैकी (injective) है।
किसी भी वास्तविक संख्या $y \in R$ के लिए,एक वास्तविक संख्या $m = \sqrt[3]{y}$ मौजूद है ताकि $f(m) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ हो। अतः,$f$ का परिसर $R$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है। इसलिए,$f$ आच्छादक (surjective) है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) है।

(D) फलन $f: N \times N \rightarrow N$ को $f(m, n) = 2^{m-1}(2n-1)$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(m_1, n_1) = f(m_2, n_2)$ है।
तब $2^{m_1-1}(2n_1-1) = 2^{m_2-1}(2n_2-1)$ होगा।
चूँकि किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ को अद्वितीय रूप से $2^{m-1}(2n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $2n-1$ संख्या $k$ का विषम भाग है और $2^{m-1}$ संख्या $k$ को विभाजित करने वाली $2$ की उच्चतम घात है,इसलिए $m_1-1 = m_2-1$ और $2n_1-1 = 2n_2-1$ होगा।
इसका अर्थ है $m_1 = m_2$ और $n_1 = n_2$। अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक की जाँच के लिए: किसी भी $k \in N$ के लिए,यदि $k$ विषम है,तो $k = 2^{1-1}(2n-1)$ जहाँ $m=1$ है। यदि $k$ सम है,तो $k = 2^p \cdot q$ जहाँ $q$ विषम है,इसलिए $m-1 = p$ और $2n-1 = q$ है।
चूँकि प्रत्येक $k \in N$ के लिए इस रूप में एक अद्वितीय निरूपण है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(D) माना $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
जब $x \ge 0$,तब $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = \tanh(x) + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
जब $x < 0$,तब $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{e^{-x} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = 0 + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
चूंकि $f(x)$,$y$-अक्ष के सापेक्ष सममित नहीं है $(f(x) \neq f(-x))$,इसलिए यह एक सम फलन नहीं है.
चूंकि $f(x)$,मूलबिंदु के सापेक्ष सममित नहीं है $(f(-x) \neq -f(x))$,इसलिए यह एक विषम फलन नहीं है.
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to 1 + 0 = 1$. जैसे $x \to -\infty$,$f(x) = \cos^3(x/2)$,जो $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है.
चूंकि फलन एकदिष्ट नहीं है और इसका परिसर $R$ नहीं है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है.
चूंकि यह आच्छादक नहीं है,इसलिए यह बायजेक्टिव नहीं हो सकता. अतः,फलन बायजेक्टिव नहीं है.

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से $m$ अवयवों वाले समुच्चय $B$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \ldots$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$m = 2$ और $n = n$ है। आच्छादक फलनों की संख्या $2^n - \binom{2}{1}(2-1)^n = 2^n - 2$ है।
दिया गया है कि $2^n - 2 = 62$,इसलिए $2^n = 64$,जिसका अर्थ है कि $n = 6$ है।
$A$ के ठीक तीन अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\binom{n}{3} = \binom{6}{3}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना करने पर,$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2 \cos ^3 \frac{x}{2}$ है,जो $R-\{0\}$ पर परिभाषित है।
यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या नहीं,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x}-1} + \frac{-x}{2} + 2 \cos ^3 \left(-\frac{x}{2}\right)$
चूँकि $\cos(- \theta) = \cos(\theta)$,इसलिए $\cos^3(-\frac{x}{2}) = \cos^3(\frac{x}{2})$.
$f(-x) = \frac{-x}{\frac{1}{e^x}-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1-e^x} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x e^x}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x(e^x-1+1)}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x-1} - \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2}$
$f(-x) = \frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 2 \cos ^3 \frac{x}{2} = f(x)$
चूँकि $f(-x) = f(x)$ है,इसलिए यह एक सम फलन है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) फलन $f: R \rightarrow R$ के लिए जो $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$ द्वारा परिभाषित है,यह एक रैखिक फलन है। रैखिक फलन वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर एकैकी-आच्छादक (bijection) होते हैं। अतः,$A \rightarrow II$.
$(B)$ फलन $f: R \rightarrow R^{+} \cup \{0\}$ के लिए जो $f(x)=x^2$ द्वारा परिभाषित है,हम देखते हैं कि $f(-1)=f(1)=1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। हालाँकि,प्रत्येक $y \in R^{+} \cup \{0\}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x)=y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$B \rightarrow IV$.
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ के लिए जो $f(n)=n^2+2n+3$ द्वारा परिभाषित है,यह एकैकी है क्योंकि $f(n_1)=f(n_2) \implies n_1^2+2n_1+3 = n_2^2+2n_2+3 \implies (n_1-n_2)(n_1+n_2+2)=0$,जिसका अर्थ है $n_1=n_2$ जहाँ $n \in N$ है। यह आच्छादक नहीं है क्योंकि $f(n)=3$ के लिए,$n^2+2n+3=3 \implies n(n+2)=0$,जो $n=0$ या $n=-2$ देता है,जिनमें से कोई भी $N$ में नहीं है। अतः,$C \rightarrow III$.
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ के लिए जो $f(x)=2(\cos^2 5x + \sin^2 5x) = 2(1) = 2$ द्वारा परिभाषित है। यह एक अचर फलन है। एक अचर फलन न तो एकैकी होता है और न ही आच्छादक। अतः,$D \rightarrow I$.
अतः,सही मिलान $(A)-II, (B)-IV, (C)-III, (D)-I$ है।

(B) एकैकी की जाँच के लिए: मान लीजिए $x_1, x_2 \in [0, \infty)$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{x}{1+x}$ है।
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$.
$x \in [0, \infty)$ के लिए,हमें $y \in [0, 1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,इसलिए $y = 2$ जैसे मानों के लिए प्रांत में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{4x_1-3}{x_1-1} = \frac{4x_2-3}{x_2-1}$
$(4x_1-3)(x_2-1) = (4x_2-3)(x_1-1)$
$4x_1x_2 - 4x_1 - 3x_2 + 3 = 4x_1x_2 - 4x_2 - 3x_1 + 3$
$-4x_1 - 3x_2 = -4x_2 - 3x_1$
$x_1 = x_2$.
अतः,फलन एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{4x-3}{x-1}$.
$y(x-1) = 4x-3$
$yx - y = 4x - 3$
$yx - 4x = y - 3$
$x(y-4) = y-3$
$x = \frac{y-3}{y-4}$.
प्रत्येक $y \in R-\{4\}$ के लिए,एक $x = \frac{y-3}{y-4} \in R-\{1\}$ का अस्तित्व है।
अतः,फलन आच्छादक है।
इसलिए,फलन एकैकी और आच्छादक है।

(D) दिया गया फलन $\sigma: N \rightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{यदि } n \text{ सम है} \\ -\frac{n-1}{2} & \text{यदि } n \text{ विषम है} \end{cases}$
स्थिति-$I$: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k) = \frac{2k}{2} = k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $1, 2, 3, \dots$ (सभी धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है।
स्थिति-$II$: यदि $n$ विषम है,तो $n = 2k-1$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k-1) = -\frac{(2k-1)-1}{2} = -\frac{2k-2}{2} = -(k-1) = 1-k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $0, -1, -2, \dots$ (सभी गैर-धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$\sigma$ का परिसर ${0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots} = Z$ है।
चूँकि प्रत्येक अलग $n \in N$ के लिए $Z$ में एक अलग पूर्णांक प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) है।
चूँकि $\sigma$ का परिसर उसके सह-प्रांत $Z$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) है।
अतः,$\sigma$ एकैकी और आच्छादक फलन है।

(C) हमारे पास $f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ है।
अंतराल $2 < x < 3$ के लिए:
$|x-1| = x-1$ (चूंकि $x > 1$)
$|x-2| = x-2$ (चूंकि $x > 2$)
$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ (चूंकि $x < 3$)
अतः,$f(x) = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$.
अंतराल $(2, 3)$ में,फलन $f(x) = x$ निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $f(x) = x$,प्रत्येक $x \in (2, 3)$ के लिए,परिसर $(2, 3)$ है।
इस प्रकार,फलन एकैकी और आच्छादक है,जिसका अर्थ है कि यह एक बाइजेक्शन है।

(A) दिया गया है,$f: Z \rightarrow Z$ जहाँ $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$ है।
एकैकी (one-to-one) जाँच के लिए: मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$ है। दोनों विषम हैं,इसलिए $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) जाँच के लिए: $f$ का परिसर सभी पूर्णांकों का समुच्चय $Z$ है। किसी भी पूर्णांक $y \in Z$ के लिए,हमें एक ऐसा $x \in Z$ मिल सकता है जिसके लिए $f(x) = y$ हो। यदि $y = 0$ है,तो $f(1) = 0$ है। यदि $y \neq 0$ है,तो $x = 2y$ लें,जो कि सम है,तब $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ होगा। चूँकि परिसर सह-प्रांत $(Z)$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(A) फलन $f(x) = x^2$ है।
$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$। इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ केवल तभी होगा यदि $x_1, x_2$ का चिह्न समान हो।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $B$ के बराबर होना चाहिए। $x \in A$ के लिए $f(x) = x^2$ का परिसर ${x^2 : x \in A}$ है।
विश्लेषण:
$(A)$ $A = B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं को धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर मैप करता है। यह एकैकी है (क्योंकि $x_1^2 = x_2^2$ और $x_1, x_2 > 0 \implies x_1 = x_2$) और आच्छादक है (क्योंकि किसी भी $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ मौजूद है)। अतः,$A \rightarrow 4$।
$(B)$ $A = R^{+}, B = R$: $f(x) = x^2$ एकैकी है (क्योंकि $x > 0$),लेकिन आच्छादक नहीं है क्योंकि $B$ में मौजूद ऋणात्मक मान परिसर $(R^{+})$ द्वारा कवर नहीं होते हैं। अतः,$B \rightarrow 1$।
$(C)$ $A = R, B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ एकैकी नहीं है (क्योंकि $f(1) = f(-1) = 1$) लेकिन आच्छादक है (क्योंकि प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए पूर्व-प्रतिबिंब $x = \pm \sqrt{y} \in R$ मौजूद है)। अतः,$C \rightarrow 3$।
$(D)$ $A = B = R$: $f(x) = x^2$ एकैकी नहीं है (क्योंकि $f(1) = f(-1)$) और आच्छादक भी नहीं है (क्योंकि $B$ में ऋणात्मक मान कवर नहीं होते हैं)। अतः,$D \rightarrow 2$।
सही मिलान $A-4, B-1, C-3, D-2$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ है।
$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए। हालाँकि,$f(x + \pi) = e^{2i(x+\pi)} = e^{2ix} \cdot e^{2i\pi} = e^{2ix} \cdot 1 = f(x)$। चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = f(x+\pi)$ है,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $C$ के बराबर होना चाहिए। $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ का परिसर $1$ मापांक वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात ${z \in C : |z| = 1}$। चूँकि यह $C$ का एक उपसमुच्चय है और $C$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) एक फलन बाइजेक्शन होता है यदि वह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों हो।
प्रांत और सह-प्रांत $A = [-1, 1]$ के लिए:
$A) f(x) = x|x|$ एक बाइजेक्शन है क्योंकि यह निरंतर वर्धमान है और $[-1, 1]$ को $[-1, 1]$ पर मैप करता है।
$B) f(x) = x^3$ एक बाइजेक्शन है क्योंकि यह निरंतर वर्धमान है और $[-1, 1]$ को $[-1, 1]$ पर मैप करता है।
$C) f(x) = x^2$ एक बाइजेक्शन नहीं है। यह एकैकी नहीं है क्योंकि $f(1) = f(-1) = 1$ है। यह आच्छादक भी नहीं है क्योंकि इसका परिसर $[0, 1]$ है,जो सह-प्रांत $[-1, 1]$ के बराबर नहीं है।
$D) f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ एक बाइजेक्शन है क्योंकि यह निरंतर वर्धमान है और $[-1, 1]$ को $[-1, 1]$ पर मैप करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ है।
फलन के अचर होने के लिए,$x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होना चाहिए,या अंश को हर का एक अचर गुणज होना चाहिए।
मान लीजिए $f(x) = k$ (एक अचर)।
तब $\frac{ax + b}{cx + d} = k$.
$ax + b = k(cx + d) = (kc)x + kd$.
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $a = kc$ और $b = kd$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{a}{c} = k$ और $\frac{b}{d} = k$ (मान लीजिए $c, d \neq 0$)।
इसलिए,$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$,जिससे $ad = bc$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि हम विकल्प $(c)$ लें,अर्थात $ad = bc$,तो $ad - bc = 0$ होगा।
यदि $ad = bc$ है,तो $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$ (जहाँ $c, d \neq 0$)।
फलन में $a = kc$ और $b = kd$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{(kc)x + kd}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$.
चूँकि $f(x) = k$,इसलिए फलन अचर है।