Type of Functions based on Mapping Questions in Hindi

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
शर्त के अनुसार,जब भी $m + n = 7$ हो,तब $f(m) + f(n) = 7$ है।
$m + n = 7$ के लिए युग्म $(m, n)$ इस प्रकार हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
इससे निम्नलिखित प्रतिबंध प्राप्त होते हैं:
$f(1) + f(6) = 7$
$f(2) + f(5) = 7$
$f(3) + f(4) = 7$
प्रत्येक युग्म,जैसे $(f(1), f(6))$,के लिए $f(1)$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
प्रत्येक युग्म $(f(1), f(6)), (f(2), f(5)),$ और $(f(3), f(4))$ के लिए $6$ विकल्प उपलब्ध हैं।
अतः,कुल फलनों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ है।

(D) दिया गया है कि $g(x)=1, \forall x \in R$ और सिग्नम फलन $f(x)= \begin{cases}-1, & x < 0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0\end{cases}$ है।
$x < 0$ के लिए,$f(x)=-1$,इसलिए $g(x)=1 = 2+(-1) = 2+f(x)$.
$x=0$ के लिए,$f(x)=0$,इसलिए $g(x)=1 = 1+0 = 1+f(x)$.
$x>0$ के लिए,$f(x)=1$,इसलिए $g(x)=1 = 0+1 = 0+f(x) = f(x)$.
अतः,$g(x)= \begin{cases}f(x)+2, & x < 0 \\ 1+f(x), & x=0 \\ f(x), & x>0\end{cases}$.

(D) फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर परिभाषित है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$f(x) = 2^x + 1$ है। जैसे $x \to 0^-$,$f(x) \to 2^0 + 1 = 2$ होता है। चूंकि $2^x$ सख्ती से बढ़ रहा है,$f(x)$ का मान $f(-1) = 2^{-1} + 1 = 1.5$ से बढ़कर $2$ तक जाता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 1$ है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$f(x) = 2^x - 1$ है। जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to 2^0 - 1 = 0$ होता है। चूंकि $2^x$ सख्ती से बढ़ रहा है,$f(x)$ का मान $0$ से बढ़कर $f(1) = 2^1 - 1 = 1$ तक जाता है।
फलन का परिसर $[1.5, 2) \cup \{1\} \cup (0, 1]$ है।
अतः,परिसर $(0, 1] \cup [1.5, 2)$ है।
चूंकि परिसर एक बंद अंतराल नहीं है और फलन के मान अपने डोमेन के भीतर उच्चतम या निम्नतम सीमा प्राप्त नहीं करते हैं (मान $2$ के करीब जाते हैं लेकिन $2$ तक नहीं पहुँचते हैं,और $0$ के करीब जाते हैं लेकिन $0$ तक नहीं पहुँचते हैं),इसलिए फलन का $[-1, 1]$ पर न तो कोई अधिकतम मान है और न ही कोई न्यूनतम मान।

(B) हमें $f(x) = 8$ दिया गया है।
स्थिति $1$: $x < 2$ के लिए,$f(x) = x^2 - 4x + 3$ है।
$x^2 - 4x + 3 = 8$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(x - 5)(x + 1) = 0$ मिलता है,अतः $x = 5$ या $x = -1$ है।
चूंकि शर्त $x < 2$ है,इसलिए केवल $x = -1$ एक मान्य हल है।
स्थिति $2$: $x \geq 2$ के लिए,$f(x) = x - 3$ है।
$x - 3 = 8$ रखने पर,हमें $x = 11$ प्राप्त होता है।
चूंकि $11 \geq 2$ है,यह एक मान्य हल है।
अतः,हल $x = -1$ और $x = 11$ हैं।
इसलिए $f(x) = 8$ के लिए वास्तविक संख्याओं $x$ की कुल संख्या $2$ है।

(D) हमें $f(x) = [x]$ और $g(x) = 3[\frac{x}{3}]$ दिया गया है।
$f(x) = g(x)$ रखने पर,$[x] = 3[\frac{x}{3}]$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $[\frac{x}{3}] = k$,जहाँ $k \in Z$.
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$k \leq \frac{x}{3} < k + 1$,जिसका अर्थ है $3k \leq x < 3k + 3$.
साथ ही,$[x] = 3k$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[x] = 3k$ का अर्थ है $3k \leq x < 3k + 1$.
अतः,उन सभी वास्तविक $x$ का समुच्चय $\{x \in R : 3k \leq x < 3k + 1, k \in Z\}$ है।

(D) फलन $f(x) = 5^{-|x|} + \operatorname{sgn}(5^{-x})$ के रूप में परिभाषित है।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $5^{-x} > 0$ है,इसलिए सिग्नम फलन $\operatorname{sgn}(5^{-x}) = 1$ होगा।
अतः,फलन सरल होकर $f(x) = 5^{-|x|} + 1$ हो जाता है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = 5^{-x} + 1$,जो $(1, 2]$ परिसर वाला एक ह्रासमान फलन है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = 5^{x} + 1$,जो $(1, 2)$ परिसर वाला एक वर्धमान फलन है।
चूँकि सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x)$ है,इसलिए फलन बहु-एक है।
साथ ही,फलन का परिसर $(1, 2]$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) एक फलन एकैकी-आच्छादक होता है यदि वह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों हो।
$(a)$ $f(x) = \sqrt{\{x\}}$। $\{x\}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए $f(0.1) = f(1.1)$,अतः यह बहु-एक (many-one) है।
$(b)$ $f(x) = 1-(x-2)^2$। यह नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है,जो बहु-एक है।
$(c)$ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-5}}$। इसका परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R \setminus \{0\}$ के बराबर नहीं है,अतः यह अंतःक्षेपी (into) है।
$(d)$ $f(x) = \sqrt{16-x^2}$। $x \in [0,4]$ के लिए,$f(x)$ का मान $4$ से $0$ तक निरंतर घटता है। अतः यह एकैकी और आच्छादक है।

(A) हमारे पास $f(x) = x + 2|x + 1| + 2|x - 1|$ है।
फलन को अंतरालों में विभाजित करने पर:
$x \leq -1$ के लिए: $f(x) = x + 2(-x - 1) + 2(-x + 1) = -3x$.
$-1 < x < 1$ के लिए: $f(x) = x + 2(x + 1) + 2(-x + 1) = x + 4$.
$x \geq 1$ के लिए: $f(x) = x + 2(x + 1) + 2(x - 1) = 5x$.
फलन इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} -3x, & x \leq -1 \\ x + 4, & -1 < x < 1 \\ 5x, & x \geq 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर,$f(-1) = 3$. $x < -1$ के लिए,$f(x) > 3$. $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x)$ का मान $3$ से $5$ के बीच है। $x = 1$ पर,$f(1) = 5$. $x > 1$ के लिए,$f(x) > 5$.
मान $3$ केवल $x = -1$ पर प्राप्त होता है। फलन का न्यूनतम मान $x = -1$ पर है,इसलिए इसका अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।

(B) दिए गए फलन $f(x)$ के लिए:
चरण $1$: $f(-1.75)$ की गणना करें। चूँकि $-1.75 \leq -1$,हम $f(x) = x + 2$ का उपयोग करते हैं।
$f(-1.75) = -1.75 + 2 = 0.25$.
चरण $2$: $f(0.5)$ की गणना करें। चूँकि $-1 < 0.5 < 1$,हम $f(x) = x^2$ का उपयोग करते हैं।
$f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.
चरण $3$: $f(1.5)$ की गणना करें। चूँकि $1.5 \geq 1$,हम $f(x) = 2 - x$ का उपयोग करते हैं।
$f(1.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
चरण $4$: मानों का योग करें:
$f(-1.75) + f(0.5) + f(1.5) = 0.25 + 0.25 + 0.5 = 1$.

(C) दिया गया है कि $f(x) = ax^2 + bx + c$ एक सम फलन है,इसलिए $f(x) = f(-x)$.
$ax^2 + bx + c = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $b = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g(x) = px^3 + qx^2 + rx$ एक विषम फलन है,इसलिए $g(-x) = -g(x)$.
$p(-x)^3 + q(-x)^2 + r(-x) = -(px^3 + qx^2 + rx)$.
$-px^3 + qx^2 - rx = -px^3 - qx^2 - rx$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $q = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$h(x) = f(x) + g(x) = ax^2 + bx + c + px^3 + qx^2 + rx$.
चूंकि $b = 0$ और $q = 0$,इसलिए $h(x) = px^3 + ax^2 + rx + c$.
हमें $h(-2) = 0$ दिया गया है।
$p(-2)^3 + a(-2)^2 + r(-2) + c = 0$.
$-8p + 4a - 2r + c = 0$.
$4a + c = 8p + 2r$.
चूंकि $b = 0$,इसलिए $4a + 2b + c = 4a + 2(0) + c = 4a + c$.
अतः,$8p + 2r = 4a + 2b + c$.

(A) यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(-x) = \log (-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}) = \log (-x + \sqrt{x^2 + 1})$.
अब,लघुगणक के अंदर $(x + \sqrt{x^2 + 1})$ से गुणा और भाग करें:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \right)$.
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \right)$.
गुणधर्म $\log(1/a) = -\log(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(-x) = -\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह फलन एक विषम फलन है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए इसे डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(-x) = -f(x)$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
$x < 0$ के लिए,हमारे पास $-x > 0$ है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $f(x) = x^2 + 3x - 7$ है,हम इस व्यंजक में $-x$ प्रतिस्थापित करके $f(-x)$ ज्ञात कर सकते हैं:
$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) - 7 = x^2 - 3x - 7$.
विषम फलन के गुण का उपयोग करते हुए,$x < 0$ के लिए $f(x) = -f(-x)$:
$h(x) = -(x^2 - 3x - 7) = -x^2 + 3x + 7$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) एकैकी (one-one) की जाँच: एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ पर विचार करें। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच: एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $x \in Z$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो। किसी भी विषम पूर्णांक $y$ (जहाँ $y \neq 0$) के लिए,ऐसा कोई $x \in Z$ नहीं है कि $f(x) = y$ हो,क्योंकि $f$ का परिसर केवल $0$ और $2$ से विभाजित सम संख्याओं को ही समाहित करता है। अतः,फलन आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $x$ का भिन्नात्मक भाग $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$f(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$ है।
हमें $f(x) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\{x\} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\{x\} = 1$ है।
हालाँकि,परिभाषा के अनुसार,भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ हमेशा $0 \le \{x\} < 1$ का पालन करता है।
चूँकि $\{x\}$ कभी भी $1$ के बराबर नहीं हो सकता,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समुच्चय $\{x \in R: f(x) = \frac{1}{2}\}$ एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} [x], & -3 < x \leq -1 \\ |x|, & -1 < x < 1 \\ |[x]|, & 1 \leq x < 3 \end{cases}$ है।
स्थिति $1$: $-3 < x \leq -1$ के लिए,$f(x) = [x]$। चूँकि $x \leq -1$,इसलिए $[x] \leq -1$,अर्थात $f(x) < 0$ है।
स्थिति $2$: $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) = |x|$। चूँकि निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
स्थिति $3$: $1 \leq x < 3$ के लिए,$f(x) = |[x]|$। चूँकि महत्तम पूर्णांक फलन का निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in [1, 3)$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
स्थिति $2$ और स्थिति $3$ के अंतरालों को मिलाने पर,हमें $(-1, 1) \cup [1, 3) = (-1, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,समुच्चय $\{x : f(x) \geq 0\}$ का मान $(-1, 3)$ है।

(B) दिया गया फलन $f: N \rightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} 2 & \text{यदि } n=3k, k \in Z \\ 10 & \text{यदि } n=3k+1, k \in Z \\ 0 & \text{यदि } n=3k+2, k \in Z \end{cases}$
हमें समुच्चय $\{n \in N: f(n) > 2\}$ ज्ञात करना है।
परिभाषा को देखने पर,$f(n) > 2$ केवल तब होता है जब $f(n) = 10$ हो।
यह तब होता है जब $n = 3k + 1$ हो,जहाँ $k \in Z$ है।
चूंकि $n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),हम $k \geq 0$ लेते हैं:
$k=0$ के लिए,$n = 3(0) + 1 = 1$ है।
$k=1$ के लिए,$n = 3(1) + 1 = 4$ है।
$k=2$ के लिए,$n = 3(2) + 1 = 7$ है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{1, 4, 7, \dots\}$ है।

(B) फलन $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसे दो अंतरालों में विश्लेषित करते हैं।
$x \leq \frac{4}{3}$ के लिए,$f(x) = 2x+3$। यह एक निरंतर वर्धमान रैखिक फलन है। इस भाग का परिसर $(-\infty, 2(\frac{4}{3})+3] = (-\infty, \frac{17}{3}]$ है।
$x > \frac{4}{3}$ के लिए,$f(x) = -3x^2+8x$। यह नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-3)} = \frac{4}{3}$ पर है। चूंकि अंतराल $x > \frac{4}{3}$ है,इसलिए फलन इस डोमेन में निरंतर ह्रासमान है। $x = \frac{4}{3}$ पर मान $-3(\frac{16}{9}) + 8(\frac{4}{3}) = -\frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$ है। जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$ होता है,$f(x) \rightarrow -\infty$ होता है। अतः,इस भाग का परिसर $(-\infty, \frac{16}{3})$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,फलन एकैकी नहीं है क्योंकि मान $\frac{16}{3}$,$x = \frac{4}{3}$ पर और किसी $x > \frac{4}{3}$ के लिए भी प्राप्त होता है।
चूंकि परिसर $(-\infty, \frac{17}{3}]$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है। अतः,यह एकैकी आच्छादक भी नहीं है। सही उत्तर यह है कि यह आच्छादक नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है।
एकैकी की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$।
चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$,इसलिए $f'(x) = 2 + \cos x \geq 2 - 1 = 1 > 0$ होता है।
सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ होने के कारण,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एकैकी है।
आच्छादक की जाँच करने के लिए,हम $f(x)$ का परिसर देखते हैं। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$।
चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,इसका परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है।
इसलिए,$f(x)$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(D) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x < -2 \\ x^2-1, & -2 \leq x \leq 2 \\ 3x+2, & x > 2 \end{cases}$.
$1$. एकैकी (Injectivity) की जाँच:
एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो।
अंतराल $[-2, 2]$ पर विचार करें,जहाँ $f(x) = x^2 - 1$ है।
हम देखते हैं कि $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$ और $f(1) = (1)^2 - 1 = 0$ है।
चूँकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक (Surjectivity) की जाँच:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत $(R)$ के बराबर हो।
- $x < -2$ के लिए,$f(x) < 2(-2) - 3 = -7$। अतः,$f(x) \in (-\infty, -7)$।
- $-2 \leq x \leq 2$ के लिए,$f(x) = x^2 - 1$। न्यूनतम मान $-1$ (जब $x=0$) है और अधिकतम मान $f(-2) = f(2) = 3$ है। अतः,$f(x) \in [-1, 3]$।
- $x > 2$ के लिए,$f(x) > 3(2) + 2 = 8$। अतः,$f(x) \in (8, \infty)$।
$f$ का परिसर $(-\infty, -7) \cup [-1, 3] \cup (8, \infty)$ है।
चूँकि परिसर सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) कथन $I$ के लिए: दिया गया है $f(x) = \sec x + \tan x$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर।
$f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$।
यहाँ $\sec x + \tan x = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ होता है।
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है। अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है और एक-एक है।
कथन $II$ के लिए: दिया गया है $f(x) = x^2$ अंतराल $[0, \infty)$ पर।
यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $x_1^2 = x_2^2$। चूँकि $x_1, x_2 \geq 0$ है,इसलिए $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ एक-एक फलन है।
इस प्रकार,दोनों कथन सत्य हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x^2-2, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.
$f(x)$ के लिए,परिसर $[-2, 2]$ है। चूँकि सभी $x \in [-2, 0]$ के लिए $f(x) = -2$ है,इसलिए $f$ एकैकी (injective) नहीं है। अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) नहीं है।
अब,$g(x) = |f(x)| + f(|x|)$.
यदि $-2 \leq x \leq 0$,तो $|x| \in [0, 2]$,इसलिए $f(|x|) = |x|^2 - 2 = x^2 - 2$. साथ ही $f(x) = -2$,इसलिए $|f(x)| = 2$. अतः $g(x) = 2 + x^2 - 2 = x^2$.
यदि $0 \leq x \leq 2$,तो $|x| = x$,इसलिए $f(|x|) = f(x) = x^2 - 2$. अतः $g(x) = |x^2 - 2| + x^2 - 2$.
$0 \leq x \leq \sqrt{2}$ के लिए,$x^2 - 2 \leq 0$,इसलिए $g(x) = -(x^2 - 2) + x^2 - 2 = 0$.
$\sqrt{2} < x \leq 2$ के लिए,$x^2 - 2 > 0$,इसलिए $g(x) = (x^2 - 2) + x^2 - 2 = 2(x^2 - 2)$.
अतः,$g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \leq x \leq 0 \\ 0, & 0 \leq x \leq \sqrt{2} \\ 2(x^2-2), & \sqrt{2} < x \leq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ का परिसर $[0, 4]$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए $g$ आच्छादक फलन है। चूँकि $x \in [0, \sqrt{2}]$ के लिए $g(x) = 0$ है,इसलिए $g$ एकैकी फलन नहीं है।

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$
$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$
$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$
$x_1^2 = x_2^2$
चूँकि $f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,फलन निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
चूँकि $x^2 < 1+x^2$,इसलिए $\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} < 1$.
अतः,फलन का परिसर $(-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{60-5x}{3}, & 0 \leq x \leq 6 \\ 10, & 6 \leq x \leq 7 \\ 31-3x, & 7 \leq x \leq 10 \end{cases}$ है।
अंतराल $x \in [6, 7]$ के लिए,$f(x) = 10$ है। चूँकि फलन अंतराल $[6, 7]$ में सभी $x$ के लिए समान मान लेता है,इसलिए यह एकैकी (one-one) नहीं है।
अब,$f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करते हैं:
$0 \leq x \leq 6$ के लिए,$f(x) = \frac{60-5x}{3}$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $6$ तक जाता है,$f(x)$,$\frac{60}{3} = 20$ से $\frac{60-30}{3} = 10$ तक जाता है। अतः,परिसर $[10, 20]$ है।
$6 \leq x \leq 7$ के लिए,$f(x) = 10$ है। अतः,परिसर ${10}$ है।
$7 \leq x \leq 10$ के लिए,$f(x) = 31-3x$ है। जैसे-जैसे $x$,$7$ से $10$ तक जाता है,$f(x)$,$31-21 = 10$ से $31-30 = 1$ तक जाता है। अतः,परिसर $[1, 10]$ है।
इन परिसरों का संघ (union) $[1, 10] \cup {10} \cup [10, 20] = [1, 20]$ है।
चूँकि परिसर $[1, 20]$ सह-प्रांत (co-domain) $[1, 20]$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) है।
अतः,$f(x)$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) दिया गया है कि $A_n = \{(n+1)k \mid k \in N\}$ है।
$n=1$ के लिए,$A_1 = \{2k \mid k \in N\} = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$ है।
$n=2$ के लिए,$A_2 = \{3k \mid k \in N\} = \{3, 6, 9, 12, \dots\}$ है।
$n=3$ के लिए,$A_3 = \{4k \mid k \in N\} = \{4, 8, 12, 16, \dots\}$ है।
अब,$X = \bigcup_{n \in N} A_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots = \{2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$ है।
यहाँ,$f: X \rightarrow N$ को $f(x) = x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f(x) = x$ डोमेन $X$ पर एक तत्समक फलन है,इसलिए यह एकैकी (one-one) है।
हालाँकि,सह-डोमेन $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ है।
फलन $f$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,परिसर और सह-डोमेन समान होने चाहिए। यहाँ,परिसर $X = \{2, 3, 4, 5, \dots\}$ है।
चूंकि $1 \in N$ है लेकिन $1 \notin X$ है,इसलिए ऐसा कोई $x \in X$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 1$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक फलन नहीं है।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए है।
$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$।
किसी भी $n \in Z^+$ के लिए,आगमन द्वारा,$f(nx) = nf(x)$।
मान लीजिए $f(1) = k$,जहाँ $k \in Z$ है। तब सभी $n \in Z$ के लिए $f(n) = nk$ होगा।
चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y)$,इसलिए सभी $x \in Z$ के लिए $f(x) = kx$ होगा।
$f$ को $Z$ से $Z$ पर एक द्विआधारी (bijective) फलन होने के लिए,इसे एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होना चाहिए।
यदि $f(x) = kx$ है,तो $f$ एकैकी तभी होगा जब $k \neq 0$ हो।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,इसका परिसर (range) $Z$ होना चाहिए।
$f(x) = kx$ का परिसर $k$ के सभी गुणजों का समुच्चय है,अर्थात $\{..., -2k, -k, 0, k, 2k, ...\}$।
इस समुच्चय को $Z$ के बराबर होने के लिए,$k = 1$ या $k = -1$ होना चाहिए।
यदि $k = 1$ है,तो $f(x) = x$,जो कि तत्समक फलन (bijective) है।
यदि $k = -1$ है,तो $f(x) = -x$,जो कि द्विआधारी भी है।
अतः,ऐसे कुल दो फलन संभव हैं।

(C) हमें दिया गया है $f(n) = \left(r+1, \frac{q+1}{2}\right)$ जहाँ $n = q \times 2^r$,$q$ एक विषम पूर्णांक है और $r \geq 0$ है।
एकैकी (one-one) फलन के लिए:
मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$.
तब $\left(r_1+1, \frac{q_1+1}{2}\right) = \left(r_2+1, \frac{q_2+1}{2}\right)$.
इसका अर्थ है $r_1+1 = r_2+1 \Rightarrow r_1 = r_2$ और $\frac{q_1+1}{2} = \frac{q_2+1}{2} \Rightarrow q_1 = q_2$.
चूंकि $n_1 = q_1 \times 2^{r_1}$ और $n_2 = q_2 \times 2^{r_2}$,इसलिए $n_1 = n_2$ प्राप्त होता है। अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) फलन के लिए:
मान लीजिए $(a, b) \in N \times N$. हमें $n \in N$ ज्ञात करना है ताकि $f(n) = (a, b)$ हो।
$r+1 = a \Rightarrow r = a-1$. चूंकि $a \in N$,$a \geq 1$,इसलिए $r \geq 0$.
$\frac{q+1}{2} = b \Rightarrow q = 2b-1$. चूंकि $b \in N$,$b \geq 1$,इसलिए $q \geq 1$ और $q$ एक विषम संख्या है।
इस प्रकार,किसी भी $(a, b) \in N \times N$ के लिए,$n = (2b-1) \times 2^{a-1} \in N$ मौजूद है ताकि $f(n) = (a, b)$ हो।
इसलिए,$f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए $f$ एकैकी आच्छादक (bijection) है।

(B) दिया गया है $f: Z \rightarrow N$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} 2n, & \text{यदि } n > 0 \\ 1, & \text{यदि } n = 0 \\ -2n-1, & \text{यदि } n < 0 \end{cases}$.
जब $n > 0$ है,तो $f(n) \in \{2, 4, 6, 8, \dots\}$.
जब $n = 0$ है,तो $f(0) = 1$.
जब $n < 0$ है,मान लीजिए $n = -k$ जहाँ $k > 0$. तब $f(n) = -2(-k) - 1 = 2k - 1$. जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$f(n)$ का मान $1, 3, 5, 7, \dots$ प्राप्त होता है.
अतः,$f$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4, \dots\} = N$ है. चूँकि परिसर = सह-प्रांत,इसलिए $f$ आच्छादक है.
अब,एकैकी की जाँच करते हैं: $f(0) = 1$ और $f(-1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1$.
यहाँ $f(0) = f(-1)$ है लेकिन $0 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है.
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है.

(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$। चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है,यह बहु-एक है,इसलिए यह एकैकी नहीं है। इसका परिसर $[-1, 1]$ है,जो सह-प्रांत $R$ का उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$A \rightarrow IV$.
$(B)$ $f: [-2, 2] \rightarrow [-4, 4]$,$f(x) = x|x|$। इसे $f(x) = \begin{cases} -x^2 & -2 \leq x < 0 \\ x^2 & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह फलन $[-2, 2]$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है। इसका परिसर $[-4, 4]$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$B \rightarrow III$.
$(C)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$। चूंकि $f(2) = f(3) = f(5) = 0$,यह एकैकी नहीं है। चूंकि यह एक त्रिघात बहुपद है,इसका परिसर $R$ है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$C \rightarrow II$.
$(D)$ $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$। चूंकि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1+1 = n_2+1 \implies n_1 = n_2$,यह एकैकी है। इसका परिसर ${2, 3, 4, \dots}$ है,जो सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (क्योंकि $1$ परिसर में नहीं है),इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$D \rightarrow I$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ और $g(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$,जहाँ $x \in R$.
$f(x)$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x^2)(1) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.
चूँकि $f'(x)$ का चिह्न $x = \pm 1$ पर बदलता है,$f(x)$ एकदिष्ट (monotonic) नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$f(x)$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए $f(x)$ आच्छादक नहीं है।
$g(x)$ के लिए,$g(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)^2} = \frac{x^2}{1+x^2} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है,अतः यह एकैकी नहीं है।
$g(x)$ का परिसर $[0, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए $g(x)$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ और $g$ दोनों न तो एकैकी हैं और न ही आच्छादक।

(B) हमें दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x}$ जहाँ $f: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ है।
एकैकी (one-one) के लिए:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,इसलिए फलन एकैकी है।
आच्छादक (onto) के लिए:
मान लीजिए $y = f(x) = \frac{x}{1+x}$ है।
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$।
चूँकि $x \in [0, \infty)$,इसलिए $\frac{y}{1-y} \geq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $y \in [0, 1)$ है।
सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,लेकिन परिसर $[0, 1)$ है।
परिसर $\neq$ सह-प्रांत होने के कारण,फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया है,$f: N \rightarrow R$ जहाँ $f(1)=-1$ और पुनरावृत्ति संबंध $f(n+1)=3f(n)+2$ है,$n \geq 1$ के लिए।
$n=1$ के लिए,$f(2) = 3f(1)+2 = 3(-1)+2 = -3+2 = -1$।
$n=2$ के लिए,$f(3) = 3f(2)+2 = 3(-1)+2 = -3+2 = -1$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यदि $f(k)=-1$ है,तो $f(k+1) = 3f(k)+2 = 3(-1)+2 = -1$।
चूँकि सभी $n \in N$ के लिए $f(n)=-1$ है,फलन $f$ प्रत्येक इनपुट को समान आउटपुट $-1$ पर मैप करता है।
इसलिए,$f$ एक अचर फलन है।

(A) दिया गया है,$f: Z \rightarrow Z$,$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$.
$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$। दोनों विषम हैं,इसलिए $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$।
चूंकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $Z$ के बराबर होना चाहिए।
यदि $x$ सम है,तो $x = 2k$ लें जहाँ $k \in Z$। तब $f(2k) = \frac{2k}{2} = k$।
चूंकि $k$,$Z$ में कोई भी पूर्णांक हो सकता है,इसलिए $f$ का परिसर $Z$ है।
अतः,$f$ आच्छादक है।
इसलिए,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है जहाँ $f(x)=3^{-x}$ है।
$I$. एकैकी के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$3^{-x_1} = 3^{-x_2} \Rightarrow -x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$,इसलिए फलन एकैकी है।
$II$. आच्छादक के लिए: $f(x) = 3^{-x}$ का परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है। चूँकि परिसर $\neq$ सह-प्रांत,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
$III$. ह्रासमान फलन के लिए: $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = -3^{-x} \ln 3$ प्राप्त होता है। चूँकि $3^{-x} > 0$ और $\ln 3 > 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) < 0$ है। अतः,फलन एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,कथन $I$ और $III$ सत्य हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad \dots(i)$
फलन के अचर होने के लिए,इसके प्रांत में प्रत्येक $x$ के लिए अवकलज $f'(x)$ शून्य होना चाहिए।
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.
$f(x)$ के अचर होने के लिए,$f'(x) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $ad - bc = 0$,या $ad = bc$.
वैकल्पिक रूप से,यदि $ad = bc$ है,तो मान लीजिए $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$. तब $a = ck$ और $b = dk$.
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = \frac{ckx + dk}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$,जो एक अचर है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 2x-5 & x < -3 \\ x+2 & -3 \leq x < 5 \\ 3x+1 & x \geq 5 \end{cases}$
$(A) f(-5)+f(0)+f(-1) = (2(-5)-5) + (0+2) + (-1+2) = -15 + 2 + 1 = -12$. अतः $(A) \rightarrow (IV)$.
$(B) f(f(5)+10f(-3)) = f((3(5)+1) + 10(-3+2)) = f(16 - 10) = f(6) = 3(6)+1 = 19$. अतः $(B) \rightarrow (V)$.
$(C) f(f(-4)) = f(2(-4)-5) = f(-13) = 2(-13)-5 = -31$. अतः $(C) \rightarrow (III)$.
$(D) f(f(f(1))) = f(f(1+2)) = f(f(3)) = f(3+2) = f(5) = 3(5)+1 = 16$. अतः $(D) \rightarrow (I)$.
अतः,सही मिलान $A-IV, B-V, C-III, D-I$ है।

(B) स्थिर बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(c) = c$ रखते हैं।
$1 + \sqrt{c} = c$
$\sqrt{c} = c - 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ($c \geq 1$ के लिए):
$c = (c - 1)^2$
$c = c^2 - 2c + 1$
$c^2 - 3c + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि $c \geq 1$,हम मानों की जांच करते हैं:
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 \geq 1$ (मान्य)
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382 < 1$ (अमान्य)
अतः,$[1, \infty)$ डोमेन में केवल एक ही स्थिर बिंदु है।

(D) हमारे पास है,$f(x) = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$.
सबसे पहले,एकैकी गुण की जाँच करते हैं:
$f(-x) = (-x)^{2} - \frac{(-x)^{2}}{1+(-x)^{2}} = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = f(x)$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(-x) = f(x)$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आगे,परिसर के लिए व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \frac{x^{2}(1+x^{2}) - x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{2} + x^{4} - x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{4}}{1+x^{2}}$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^{4} \ge 0$ और $1+x^{2} > 0$ है,इसलिए $f(x) \ge 0$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
सप्रांत $R$ है और परिसर $[0, \infty) \neq R$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x)$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ की जाँच करते हैं।
माना $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ है।
तब $g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$ है।
$\sqrt{1 + x^2} + x$ से गुणा और भाग करने पर,हमें मिलता है $g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$ है।
अतः,$g(x)$ एक विषम फलन है।
अब,$f(x) = \sec(g(x))$ है।
चूँकि $\sec(- \theta) = \sec(\theta)$ होता है,इसलिए $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$ है।
इसलिए,$f(x)$ एक सम फलन है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ है।
स्थिति $I$: यदि $x \geq 0$,तो $|x| = x$. अतः,$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \tanh(x)$. जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$f(x)$,$0$ से $1$ तक बढ़ता है।
स्थिति $II$: यदि $x < 0$,तो $|x| = -x$. अतः,$f(x) = \frac{e^{-x} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{0}{e^x + e^{-x}} = 0$.
चूंकि सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = 0$ है और $f(0) = 0$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है क्योंकि $f(-1) = f(0) = 0$ है।
चूंकि फलन का परिसर $[0, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें।
$f(x) = e^x + e^{-x}$।
चूँकि $f(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^x = f(x)$, इसलिए यह एक सम फलन है।
एक सम फलन के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ यह नहीं है कि $x_1 = x_2$ (उदाहरण के लिए, $f(1) = f(-1)$)।
अतः, फलन एकैकी नहीं है।
चरण $2$: आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें।
हम जानते हैं कि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > 0$ होता है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका के अनुसार, $\frac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1$, जिसका अर्थ है $e^x + e^{-x} \geq 2$।
इस प्रकार, $f(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है।
चूँकि सह-प्रांत $R$ है और परिसर $[2, \infty)$ है, इसलिए परिसर $\neq$ सह-प्रांत।
अतः, फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: चूँकि फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक, इसलिए यह एकैकी आच्छादक (bijective) नहीं है।

(D) एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1}{x_1-1} = \frac{2x_2}{x_2-1}$
$x_1(x_2-1) = x_2(x_1-1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_1x_2 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{2x}{x-1}$.
$y(x-1) = 2x \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$.
चूंकि $y \in R-\{2\}$,$x$ हमेशा परिभाषित है और $x \neq 1$ है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत में एक $x$ मौजूद है।
इसलिए,$f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(C) माना $t = 2x-1$. चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $-1 < 2x-1 < 1$,अर्थात $-1 < t < 1$.
फलन $f(t) = \frac{t}{1-|t|}$ हो जाता है,जहाँ $t \in (-1, 1)$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(t) = \begin{cases} \frac{t}{1+t}, & -1 < t \leq 0 \\ \frac{t}{1-t}, & 0 < t < 1 \end{cases}$
चूँकि $f$ संतत है और $\lim_{t \to -1^+} f(t) = -\infty$ तथा $\lim_{t \to 1^-} f(t) = +\infty$,इसलिए $f$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है। अतः,$f$ आच्छादक है।
अब,अवकलज ज्ञात करके एकैकी होने की जाँच करते हैं:
$f'(t) = \begin{cases} \frac{1}{(1+t)^2}, & -1 < t < 0 \\ \frac{1}{(1-t)^2}, & 0 < t < 1 \end{cases}$
सभी $t \in (-1, 1)$ के लिए $f'(t) > 0$ है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
अतः,$f$ एकैकी है।
चूँकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) है।

(D) फलन $f: S \rightarrow R$ को $f(A) = \det(A)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $A \in S$ और $S$,$2 \times 2$ क्रम के सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है। एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक शून्य न हो। अतः,$f$ का परिसर $R \setminus \{0\}$ है।
$1$. एकैकी के लिए जाँच: दो आव्यूह $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A_2 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ लें। दोनों $A_1, A_2 \in S$ हैं क्योंकि $\det(A_1) = 4 \neq 0$ और $\det(A_2) = 4 \neq 0$। यहाँ,$f(A_1) = 2(2) - 0(0) = 4$ और $f(A_2) = 4(1) - 0(0) = 4$। चूँकि $f(A_1) = f(A_2)$ है लेकिन $A_1 \neq A_2$,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक के लिए जाँच: सह-प्रांत $R$ है। किसी भी $y = 0 \in R$ के लिए,ऐसा कोई आव्यूह $A \in S$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(A) = 0$ हो,क्योंकि $S$ में केवल व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं (जहाँ $\det(A) \neq 0$)। अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।