यदि फलन f: R rightarrow R,f(x)=x|x| द्वारा पर | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$f(x)=x|x|$.हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ -x^2, & x < 0 \end{cases}$$1$. एकैकी (one-one) जाँच

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$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है,$f(x)=x|x|$.हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ -x^2, & x $1$. एकैकी (one-one) जाँच:मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.यदि $x_1, x_2 \geq 0$ है,तो $x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (चूंकि $x \geq 0$).यदि $x_1, x_2 यदि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक है,तो $f(x)$ के चिह्न अलग होंगे,इसलिए $f(x_1) 
eq f(x_2)$.अतः,$f(x)$ एकैकी है।$2$. आच्छादक (onto) जाँच:किसी भी $y \in R$ के लिए,हम ऐसा $x$ ज्ञात कर सकते हैं कि $f(x) = y$.यदि $y \geq 0$ है,तो $x = \sqrt{y}$. यदि $y सह-प्रांत $R$ के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत $R$ में $x$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

यदि फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x|x|$ द्वारा परिभाषित है,तो:

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सिद्ध कीजिए कि एक आच्छादक फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ सदैव एकैकी होता है।

यदि $f: Z \rightarrow Z$,$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$,तो $f$ है

यदि $R$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है,तो $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ है

मान लीजिए $f: N \to N$,$f(x) = x^2 + x + 1$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $x \in N$ है। तो $f$ है:

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $x \in R$ है। तो,

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