Type of Functions based on Mapping Questions in Hindi

(C) फलन $f(x) = \cos(ax)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{|a|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $f(x) = \cos(\sqrt{P}x)$ है,इसलिए इसका आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\sqrt{P}}$ होगा।
हमें दिया गया है कि आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\frac{2\pi}{\sqrt{P}} = \pi$ होगा।
इससे $\sqrt{P} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $P = 4$ है।
चूंकि $P = [\lambda]$ है,इसलिए $[\lambda] = 4$ होगा।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[\lambda] = 4$ का अर्थ है कि $4 \le \lambda < 5$ है।
अतः,$\lambda \in [4, 5)$।

(A) $f(x)$ के एक-एक होने के लिए,फलन को सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) होना चाहिए या दोनों भागों के परिसर (range) अलग-अलग होने चाहिए।
स्थिति $1$: $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2mx - 1$। इस परवलय का शीर्ष $x = -m$ पर है। $(-\infty, 0]$ पर फलन के एक-एक होने के लिए,शीर्ष $x \geq 0$ पर होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-m \geq 0$,यानी $m \leq 0$।
स्थिति $2$: $x > 0$ के लिए,$f(x) = mx - 1$। इसके एक-एक होने के लिए,$m \geq 0$ होना चाहिए। यदि $m > 0$ है,तो $x > 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-1, \infty)$ है। $x \leq 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $[-1-m^2, \infty)$ है। ये परिसर एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (overlap) होते हैं,इसलिए फलन एक-एक नहीं होगा।
स्थिति $3$: यदि $m < 0$ है,तो $x > 0$ के लिए $f(x) = mx - 1$ एक घटता हुआ फलन है जिसका परिसर $(-\infty, -1)$ है। $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2mx - 1$ अंतराल $(-\infty, -m]$ पर घटता है। चूँकि $-m > 0$,फलन $(-\infty, 0]$ पर घटता है। $x \leq 0$ के लिए परिसर $[-1-m^2, \infty)$ है। चूँकि $m < 0$ के लिए परिसर $(-1, -\infty)$ और $[-1-m^2, \infty)$ अतिव्याप्त नहीं होते हैं,इसलिए फलन एक-एक है।
अतः,$m \in (-\infty, 0)$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x - 5[\frac{x}{5}]$ है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: $f(1) = 1 - 5[1/5] = 1 - 5(0) = 1$ और $f(6) = 6 - 5[6/5] = 6 - 5(1) = 1$ की गणना करें।
चूँकि $f(1) = f(6) = 1$ लेकिन $1 \neq 6$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: सह-प्रांत $N = \{1, 2, 3, ...\}$ है।
$f(5) = 5 - 5[5/5] = 5 - 5(1) = 0$ की गणना करें।
चूँकि $0 \notin N$,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) हमें $A = \{x_1, \dots, x_7\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ दिया गया है।
हमें उन आच्छादक फलनों $f: A \to B$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $A$ के ठीक $3$ अवयव $y_2$ पर मैप होते हैं।
सबसे पहले,$A$ से $3$ अवयव चुनने के तरीके ${}^7C_3$ हैं।
अब,$A$ के शेष $4$ अवयवों को $B$ के शेष $2$ अवयवों $\{y_1, y_3\}$ पर मैप होना चाहिए।
फलन को आच्छादक होने के लिए,समुच्चय $\{y_1, y_3\}$ को उन $4$ अवयवों द्वारा कवर किया जाना चाहिए।
इन $4$ अवयवों से $\{y_1, y_3\}$ तक के कुल फलनों की संख्या $2^4 = 16$ है।
फलन के आच्छादक होने के लिए हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ सभी $4$ अवयव केवल $y_1$ या केवल $y_3$ पर मैप होते हैं।
अतः,तरीकों की संख्या $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ होगी।
इसलिए,ऐसे कुल आच्छादक फलनों की संख्या ${}^7C_3 \times 14 = 14 \times {}^7C_3$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x - 1$.
$f(x) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
यह समीकरण $3^x + 4^x = 5^x$ को हल करने के समान है।
दोनों पक्षों को $5^x$ से विभाजित करने पर: $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
माना $g(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.
चूंकि $(\frac{3}{5})^x$ और $(\frac{4}{5})^x$ दोनों $x \in R$ के लिए निरंतर घटते हुए फलन हैं,इसलिए उनका योग $g(x)$ भी एक निरंतर घटता हुआ फलन है।
एक निरंतर घटता हुआ फलन क्षैतिज रेखा $y = 1$ को अधिकतम एक बार काट सकता है।
निरीक्षण करने पर,$x = 2$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
अतः,$x = 2$ एकमात्र हल है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
एकैकी फलन के लिए,यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$:
$\frac{|x_1| - 1}{|x_1| + 1} = \frac{|x_2| - 1}{|x_2| + 1}$
$(|x_1| - 1)(|x_2| + 1) = (|x_2| - 1)(|x_1| + 1)$
$|x_1||x_2| + |x_1| - |x_2| - 1 = |x_1||x_2| - |x_1| + |x_2| - 1$
$2|x_1| = 2|x_2| \implies |x_1| = |x_2|$
इसका अर्थ है $x_1 = x_2$ या $x_1 = -x_2$। चूंकि $f(1) = f(-1) = 0$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आच्छादक के लिए: मान लीजिए $y = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
$y(|x| + 1) = |x| - 1 \implies y|x| + y = |x| - 1 \implies |x|(y - 1) = -1 - y \implies |x| = \frac{1 + y}{1 - y}$.
चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$ होना चाहिए। इस असमिका को हल करने पर,हमें $y \in [-1, 1)$ प्राप्त होता है।
$f$ का परिसर $[-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है। इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और संबंध $R = \{ (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2) \}$ है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या $R$ एक फलन है। चूँकि प्रांत $A$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत $A$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है,इसलिए $R$ एक फलन है।
इसके बाद,हम जाँचते हैं कि क्या $R$ एकैकी है। प्रतिबिंब $\{1, 3, 4, 2\}$ हैं। चूँकि सभी प्रतिबिंब भिन्न हैं,इसलिए $R$ एक एकैकी फलन है।
अंत में,हम जाँचते हैं कि क्या $R$ आच्छादक है। $R$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ है,जो सह-प्रांत $A$ के बराबर है।
चूँकि परिसर और सह-प्रांत समान हैं,इसलिए $R$ एक आच्छादक फलन है।
अतः,सही कथन यह है कि $R$ एक आच्छादक फलन है।

(C) दिया गया समुच्चय $S = \{ 1, 2, 3 \}$ है।
$S$ में अवयवों की संख्या $n(S) = 3$ है।
$P(S)$ समुच्चय $S$ का घात समुच्चय (power set) है,जो $S$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।
घात समुच्चय में अवयवों की संख्या $n(P(S)) = 2^{n(S)} = 2^3 = 8$ है।
एक फलन $f: S \to P(S)$ एकैकी (injective) होता है यदि $S$ का प्रत्येक अवयव $P(S)$ के एक अद्वितीय अवयव से जुड़ा हो।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या का सूत्र $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ है।
यहाँ,$m = n(S) = 3$ और $n = n(P(S)) = 8$ है।
अतः,एकैकी फलनों की संख्या $^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ है।

(D) एक फलन $f : A \to B$ एकैकी-आच्छादक (bijective) होता है यदि वह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों हो।
कथन $1$ कहता है कि $f$ एक आच्छादक फलन है,जो एकैकी-आच्छादक फलन की परिभाषा के अनुसार सत्य है।
कथन $2$ कहता है कि एक ऐसा फलन $g : B \to A$ मौजूद है कि $f \circ g = I_B$ हो। चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक है,इसलिए इसका प्रतिलोम फलन $f^{-1} : B \to A$ मौजूद है,जिससे $f \circ f^{-1} = I_B$ होता है। अतः,$g = f^{-1}$ इस शर्त को पूरा करता है। इसलिए,कथन $2$ भी सत्य है।
हालाँकि,कथन $2$ एकैकी-आच्छादकता से प्राप्त व्युत्क्रमणीयता के गुण को दर्शाता है,जबकि कथन $1$ एकैकी-आच्छादकता के एक भाग की परिभाषा है। कथन $2$,कथन $1$ का कारण नहीं है; बल्कि दोनों ही $f$ के एकैकी-आच्छादक होने के परिणाम हैं। अतः,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$,जहाँ $x \in A$ और $A = R \setminus \{1, 2, 3, \dots\}$।
एकैकी (injective) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$।
$\frac{2x_1}{x_1 - 1} = \frac{2x_2}{x_2 - 1}$
$x_1(x_2 - 1) = x_2(x_1 - 1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_2x_1 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$।
अतः,$f$ एकैकी (injective) है।
आच्छादक (surjective) की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{2x}{x - 1}$।
$y(x - 1) = 2x$
$yx - y = 2x$
$x(y - 2) = y$
$x = \frac{y}{y - 2}$।
यदि हम $y = 4$ लेते हैं,तो $x = \frac{4}{4 - 2} = 2$ प्राप्त होता है। चूँकि $2 \notin A$,इसलिए $A$ में ऐसा कोई $x$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 4$ हो।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ जहाँ $x \in (0, \infty)$.
एकैकी (injective) की जाँच के लिए: $f(x) = y$ लें। $y \in (0, 1)$ के लिए,$x$ के दो मान प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए,यदि $y = 0.5$ है,तो $|1 - \frac{1}{x}| = 0.5$,जिससे $1 - \frac{1}{x} = 0.5 \implies \frac{1}{x} = 0.5 \implies x = 2$,और $1 - \frac{1}{x} = -0.5 \implies \frac{1}{x} = 1.5 \implies x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(2) = f(\frac{2}{3}) = 0.5$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (surjective) की जाँच के लिए: सह-प्रांत $(0, \infty)$ है। $x \in (0, \infty)$ के लिए $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ का परिसर $[0, \infty)$ है। चूँकि परिसर $[0, \infty)$,सह-प्रांत $(0, \infty)$ के बराबर नहीं है (क्योंकि $0$ परिसर में है लेकिन सह-प्रांत में नहीं है),इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) माना $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ है। $S$ में $4$ के गुणज $K = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ हैं। ऐसे $5$ अवयव हैं।
$k \in K$ के लिए,$f(k)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। $S$ में $3$ के गुणज $M = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ हैं। ऐसे $6$ अवयव हैं।
चूंकि $f$ एक आच्छादक फलन है,$K$ के $5$ अवयवों को $M$ के $5$ भिन्न अवयवों पर मैप होना चाहिए। इन्हें चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_5 = \frac{6!}{1!} = 6!$ हैं।
शेष $15$ अवयवों $S \setminus K$ को शेष $15$ अवयवों $S \setminus f(K)$ पर एकैकी और आच्छादक रूप से मैप करना होगा,जिसे $15!$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,कुल आच्छादक फलनों की संख्या $6! \times 15!$ है।

(N/A) $1$. एकैकी फलन की जाँच: मान लीजिए $x_1$ और $x_2$ समुच्चय $A$ में दो अलग-अलग छात्र हैं। चूँकि किन्हीं भी दो अलग छात्रों का रोल नंबर समान नहीं हो सकता,इसलिए $f(x_1) \neq f(x_2)$। अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक फलन की जाँच: $f$ का सह-प्रांत (codomain) प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $N = \{1, 2, 3, ...\}$ है। $f$ का परिसर (range) $50$ छात्रों को आवंटित रोल नंबरों का समुच्चय है,जो $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ है।
$3$. चूँकि परिसर $\{1, 2, 3, ..., 50\}$,सह-प्रांत $N$ का एक उचित उपसमुच्चय है (उदाहरण के लिए,$51 \in N$ लेकिन $51$ परिसर में नहीं है),इसलिए $N$ में कम से कम एक ऐसा अवयव है जिसका $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
$4$. इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।

(N/A) $1$. यह जाँचने के लिए कि फलन एकैकी है या नहीं: मान लीजिए $x_{1}, x_{2} \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x_{1}) = f(x_{2})$.
अतः,$2x_{1} = 2x_{2}$,जिसका अर्थ है $x_{1} = x_{2}$.
चूँकि $f(x_{1}) = f(x_{2})$ से $x_{1} = x_{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए फलन $f$ एकैकी है।
$2$. यह जाँचने के लिए कि फलन आच्छादक है या नहीं: एक फलन आच्छादक तब होता है यदि प्रत्येक $y \in N$ (सह-प्रांत) के लिए,एक ऐसा $x \in N$ (प्रांत) मौजूद हो कि $f(x) = y$.
यहाँ,$f(x) = 2x$. यदि हम $y = 1 \in N$ लें,तो $2x = 1$,जिससे $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1/2 \notin N$,इसलिए ऐसा कोई $x \in N$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 1$.
अतः,फलन $f$ आच्छादक नहीं है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $f$ एकैकी है,हम मान लेते हैं कि किसी भी $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
$2x_1 = 2x_2$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ है,इसलिए फलन $f$ एकैकी है।
यह सिद्ध करने के लिए कि $f$ आच्छादक है,हम कोई भी अवयव $y \in R$ (सह-प्रांत) लेते हैं।
हमें एक ऐसा $x \in R$ (प्रांत) खोजना होगा जिसके लिए $f(x) = y$ हो।
$2x = y \Rightarrow x = \frac{y}{2}$.
चूंकि $y \in R$,इसलिए $\frac{y}{2}$ भी एक वास्तविक संख्या है,अर्थात $\frac{y}{2} \in R$.
प्रत्येक $y \in R$ के लिए,एक ऐसा $x = \frac{y}{2} \in R$ विद्यमान है जिसके लिए $f(x) = f(\frac{y}{2}) = 2(\frac{y}{2}) = y$ होता है।
अतः,$f$ आच्छादक है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी है:
एक फलन $f$ एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो।
यहाँ,$f(1) = 1$ और $f(2) = 1$ है।
चूँकि $f(1) = f(2)$ है लेकिन $1 \neq 2$ है,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक है:
एक फलन $f: N \rightarrow N$ आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो।
स्थिति $1$: यदि $y = 1$ है,तो $f(1) = 1$ है। अतः,$1$ का पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है।
स्थिति $2$: यदि $y > 1$ है,तो $y+1 > 2$ होगा। हम $x = y+1$ चुन सकते हैं। तब $f(x) = f(y+1) = (y+1) - 1 = y$ प्राप्त होता है।
चूँकि प्रत्येक $y \in N$ का $N$ में एक पूर्व-प्रतिबिंब है,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।

(N/A) एकैकी फलन की जाँच: एक फलन $f$ एकैकी होता है यदि $f(x_{1}) = f(x_{2})$ का तात्पर्य $x_{1} = x_{2}$ हो।
यहाँ,$f(1) = (1)^{2} = 1$ और $f(-1) = (-1)^{2} = 1$ है।
चूँकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक फलन की जाँच: एक फलन $f: R \rightarrow R$ आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in R$ (सह-प्रांत) के लिए,प्रांत $R$ में एक ऐसा $x$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो।
यहाँ,$f(x) = x^{2}$ का परिसर (range) $[0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है।
उदाहरण के लिए,सह-प्रांत $R$ में $y = -2$ पर विचार करें। ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जिसके लिए $x^{2} = -2$ हो,क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होता है।
इसलिए,फलन $f$ आच्छादक नहीं है।

(A) मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है,तो $x_1+1 = x_2-1$,जिसका अर्थ है $x_2-x_1 = 2$। सम और विषम संख्या का अंतर हमेशा विषम होता है,इसलिए $x_2-x_1 = 2$ संभव नहीं है।
इसी प्रकार,यदि $x_1$ सम है और $x_2$ विषम है,तो $x_1-1 = x_2+1$,अर्थात $x_1-x_2 = 2$,जो भी असंभव है।
अतः,$x_1$ और $x_2$ दोनों को विषम या दोनों को सम होना चाहिए।
यदि दोनों विषम हैं,तो $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1+1 = x_2+1 \Rightarrow x_1 = x_2$।
यदि दोनों सम हैं,तो $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1-1 = x_2-1 \Rightarrow x_1 = x_2$।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए,कोई भी $y \in N$ लें। यदि $y$ विषम है,तो $y = 2r+1$ किसी $r \ge 0$ के लिए। तब $f(2r+2) = (2r+2)-1 = 2r+1 = y$। यदि $y$ सम है,तो $y = 2r$ किसी $r \ge 1$ के लिए। तब $f(2r-1) = (2r-1)+1 = 2r = y$। चूँकि प्रत्येक $y \in N$ का $N$ में पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है,इसलिए $f$ आच्छादक है।

(A) मान लीजिए $f: A \rightarrow A$ एक फलन है जहाँ $A = \{1, 2, 3\}$ है।
मान लीजिए कि $f$ एकैकी नहीं है। तो प्रांत $A$ में कम से कम दो भिन्न अवयव ऐसे मौजूद हैं जिनका सह-प्रांत $A$ में प्रतिबिंब समान है।
चूँकि प्रांत में $3$ अवयव हैं,यदि $f$ एकैकी नहीं है,तो अधिकतम $2$ भिन्न अवयव ही सह-प्रांत में प्रतिबिंबित हो सकते हैं।
विशेष रूप से,यदि $x_1 \neq x_2$ के लिए $f(x_1) = f(x_2) = y$ है,तो $f$ का परिसर अधिकतम $2$ अवयव रख सकता है (प्रतिबिंब $y$ और तीसरे अवयव का प्रतिबिंब)।
हालाँकि,$f$ के आच्छादक होने के लिए,परिसर को सह-प्रांत के बराबर होना चाहिए,जिसमें $3$ अवयव हैं।
चूँकि परिसर में अधिकतम $2$ अवयव हैं,यह सह-प्रांत $\{1, 2, 3\}$ के बराबर नहीं हो सकता।
यह इस धारणा का खंडन करता है कि $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ को एकैकी होना ही चाहिए।

(N/A) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है। फलन $f: A \rightarrow A$ एकैकी (one-one) दिया गया है।
एकैकी फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रांत $A$ के भिन्न अवयवों को सह-प्रांत $A$ के भिन्न अवयवों पर मैप होना चाहिए।
चूंकि प्रांत $A$ में $3$ अवयव हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब $f(1), f(2),$ और $f(3)$ सह-प्रांत $A$ के $3$ भिन्न अवयव होने चाहिए।
चूंकि सह-प्रांत $A$ में भी ठीक $3$ अवयव हैं,इसलिए प्रतिबिंबों का समुच्चय ${f(1), f(2), f(3)}$ पूरे सह-प्रांत $A$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रांत में एक पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) मौजूद है,जो आच्छादक फलन की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
इस प्रकार,$f$ आच्छादक (onto) है।

(N/A) दिया गया है कि $f: R_* \rightarrow R_*$,$f(x) = \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी के लिए:
माना $x, y \in R_*$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$
$\Rightarrow x = y$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
किसी भी $y \in R_*$ के लिए,$x = \frac{1}{y} \in R_*$ (क्योंकि $y \neq 0$) का अस्तित्व है ताकि $f(x) = \frac{1}{(1/y)} = y$.
अतः,$f$ आच्छादक है।
इस प्रकार,$f$ एकैकी और आच्छादक है।
अब,$g: N \rightarrow R_*$ पर विचार करें जहाँ $g(x) = \frac{1}{x}$ है।
एकैकी के लिए:
$g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2$.
अतः,$g$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
$g$ आच्छादक नहीं है क्योंकि $y = 1.2 \in R_*$ के लिए,$N$ में ऐसा कोई $x$ नहीं है कि $g(x) = \frac{1}{x} = 1.2$ हो (क्योंकि $x = \frac{1}{1.2} = \frac{5}{6} \notin N$)।
अतः,$g$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(A) फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार दिया गया है कि $f(x) = x^{2}$।
एकैकी (injectivity) के लिए:
मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।
तब $x^{2} = y^{2}$।
चूंकि $x, y \in N$ (प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं),इसलिए $x = y$ होगा।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjectivity) के लिए:
एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद हो कि $f(x) = y$।
मान लीजिए $y = 2 \in N$।
हमें $x^{2} = 2$ चाहिए,जिसका अर्थ है $x = \sqrt{2}$।
चूंकि $\sqrt{2} \notin N$,इसलिए ऐसा कोई $x \in N$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 2$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) फलन $f: Z \rightarrow Z$ को $f(x) = x^{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी (injectivity) के लिए:
माना $f(-1) = (-1)^{2} = 1$ और $f(1) = (1)^{2} = 1$ है।
चूँकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (surjectivity) के लिए:
सह-प्रांत $Z$ पर विचार करें। किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक,जैसे $-2 \in Z$ के लिए,ऐसा कोई $x \in Z$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = x^{2} = -2$ हो,क्योंकि किसी भी पूर्णांक का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
इस प्रकार,$f$ का परिसर ${0, 1, 4, 9, ...}$ है,जो सह-प्रांत $Z$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(NONE) फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी (injectivity) के लिए:
माना $f(-1) = (-1)^2 = 1$ और $f(1) = (1)^2 = 1$ है।
चूंकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$ है,इसलिए फलन एकैकी (injective) नहीं है।
आच्छादक (surjectivity) के लिए:
फलन $f$ का सह-प्रांत $R$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) है।
किसी भी $x \in R$ के लिए,$x^2 \geq 0$ होता है। अतः,सह-प्रांत में मौजूद ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का प्रांत में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
उदाहरण के लिए,$-2 \in R$ है,लेकिन ऐसा कोई $x \in R$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = -2$ हो (क्योंकि $x^2 = -2$ का कोई वास्तविक हल नहीं है)।
इसलिए,फलन आच्छादक (surjective) नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(N/A) दिया गया फलन $f : N \rightarrow N$ है,जो $f(x) = x^{3}$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी (injective) के लिए:
माना $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$.
तब $x^{3} = y^{3}$.
चूँकि $x$ और $y$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं,दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर हमें $x = y$ प्राप्त होता है।
अतः,$f$ एकैकी फलन है।
आच्छादक (surjective) के लिए:
एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद हो कि $f(x) = y$.
माना $y = 2 \in N$.
हमें $x^{3} = 2$ हल करना होगा,जिसका अर्थ है $x = \sqrt[3]{2}$.
चूँकि $\sqrt[3]{2}$ एक प्राकृतिक संख्या नहीं है $(\sqrt[3]{2} \notin N)$,इसलिए ऐसा कोई $x \in N$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = 2$.
अतः,$f$ आच्छादक फलन नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(A) फलन $f: Z \rightarrow Z$ को $f(x) = x^{3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी (injectivity) के लिए: मान लीजिए $x, y \in Z$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।
तब $x^{3} = y^{3}$। चूँकि घनमूल फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है,इसलिए $x^{3} = y^{3} \implies x = y$।
अतः,$f$ एकैकी (injective) है।
आच्छादक (surjectivity) के लिए: एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $x \in Z$ विद्यमान हो कि $f(x) = y$।
मान लीजिए $y = 2 \in Z$। हमें $x^{3} = 2$ चाहिए,जिसका अर्थ है $x = \sqrt[3]{2}$।
चूँकि $\sqrt[3]{2} \notin Z$,इसलिए ऐसा कोई $x \in Z$ विद्यमान नहीं है कि $f(x) = 2$।
अतः,$f$ आच्छादक (surjective) नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(N/A) फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = [x]$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी फलन की जाँच:
माना $f(1.2) = [1.2] = 1$ और $f(1.9) = [1.9] = 1$ है।
चूँकि $f(1.2) = f(1.9)$ है लेकिन $1.2 \neq 1.9$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक फलन की जाँच:
महत्तम पूर्णांक फलन का परिसर सभी पूर्णांकों का समुच्चय $Z$ होता है।
चूँकि सह-प्रांत $R$ है और परिसर $Z \subset R$ है,इसलिए सह-प्रांत में ऐसे अवयव (जैसे $0.7$) मौजूद हैं जिनका प्रांत में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
उदाहरण के लिए,ऐसा कोई $x \in R$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 0.7$ हो,क्योंकि $[x]$ हमेशा एक पूर्णांक होता है।
इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,महत्तम पूर्णांक फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(N/A) फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी है:
$f(-1) = |-1| = 1$ और $f(1) = |1| = 1$ पर विचार करें।
चूँकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक है:
सह-प्रांत $R$ पर विचार करें। किसी भी ऋणात्मक मान,जैसे $-1 \in R$ के लिए,प्रांत $R$ में ऐसा कोई $x$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = |x| = -1$ हो,क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक $(|x| \ge 0)$ होता है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,मापांक फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(N/A) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x > 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ -1, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ है।
$1$. एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 2$ है। चूँकि $1 > 0$ और $2 > 0$,इसलिए $f(1) = 1$ और $f(2) = 1$ है।
चूँकि $f(1) = f(2)$ है लेकिन $1 \neq 2$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
फलन $f$ का परिसर $\{ -1, 0, 1 \}$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है।
किसी भी अवयव $y \in R$ के लिए जहाँ $y \notin \{ -1, 0, 1 \}$ (उदाहरण के लिए,$y = 2$),प्रांत $R$ में ऐसा कोई $x$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = y$ हो।
अतः,यह फलन आच्छादक नहीं है।
इसलिए,सिग्नम फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(N/A) दिया गया है कि $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{4,5,6,7\}$ है।
फलन $f: A \rightarrow B$ क्रमित युग्मों के समुच्चय $f = \{(1,4), (2,5), (3,6)\}$ द्वारा परिभाषित है।
फलन की परिभाषा से,हमारे पास है:
$f(1) = 4$
$f(2) = 5$
$f(3) = 6$
एक फलन $f: A \rightarrow B$ को एकैकी (injective) कहा जाता है यदि $A$ के भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब $B$ में भिन्न हों। अर्थात,सभी $x_1, x_2 \in A$ के लिए $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो।
यहाँ,$1, 2, 3$ के प्रतिबिंब क्रमशः $4, 5, 6$ हैं,जो सभी भिन्न हैं।
चूंकि $f(1) \neq f(2)$,$f(2) \neq f(3)$,और $f(1) \neq f(3)$,अतः यह सिद्ध होता है कि फलन $f$ एकैकी है।

(D) दिया गया है कि $f : R \rightarrow R$,$f(x) = 3 - 4x$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
माना $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$.
तब,$3 - 4x_1 = 3 - 4x_2$.
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $-4x_1 = -4x_2$ प्राप्त होता है।
$-4$ से भाग देने पर,हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,अतः फलन $f$ एकैकी है।
$2.$ आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
माना $y \in R$ सह-प्रांत का कोई अवयव है।
हम ऐसा $x \in R$ ज्ञात करना चाहते हैं कि $f(x) = y$.
$3 - 4x = y \implies 4x = 3 - y \implies x = \frac{3 - y}{4}$.
चूँकि $y \in R$,इसलिए $\frac{3 - y}{4}$ भी एक वास्तविक संख्या $(R)$ है।
अतः,प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$x = \frac{3 - y}{4} \in R$ का अस्तित्व है जिससे $f(x) = 3 - 4(\frac{3 - y}{4}) = 3 - (3 - y) = y$.
चूँकि फलन का परिसर सह-प्रांत $R$ के बराबर है,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।
निष्कर्ष:
चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह आच्छादी (bijective) है।

(D) फलन $f : R \rightarrow R$ को $f(x) = 1 + x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$।
$\Rightarrow 1 + x_1^2 = 1 + x_2^2$
$\Rightarrow x_1^2 = x_2^2$
$\Rightarrow x_1 = \pm x_2$।
चूँकि $f(1) = 1 + (1)^2 = 2$ और $f(-1) = 1 + (-1)^2 = 2$ है,इसलिए $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$।
अतः,$f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
सह-प्रांत $R$ में एक अवयव $-2$ पर विचार करें।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $f(x) = 1 + x^2 \geq 1$ होगा।
इस प्रकार,प्रांत $R$ में ऐसा कोई $x$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = -2$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष:
चूँकि फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक,इसलिए यह आच्छादी (bijective) नहीं है।

(N/A) फलन को $f: A \times B \rightarrow B \times A$ के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ $f(a, b) = (b, a)$ है।
$1.$ यह दिखाने के लिए कि $f$ एकैकी (one-one) है:
मान लीजिए $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in A \times B$ इस प्रकार हैं कि $f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2)$ है।
इसका तात्पर्य है कि $(b_1, a_1) = (b_2, a_2)$ है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $b_1 = b_2$ और $a_1 = a_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a_1, b_1) = (a_2, b_2)$ है।
चूँकि $f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \Rightarrow (a_1, b_1) = (a_2, b_2)$ है,इसलिए $f$ एकैकी है।
$2.$ यह दिखाने के लिए कि $f$ आच्छादक (onto) है:
मान लीजिए $(b, a) \in B \times A$ सह-प्रांत का कोई भी अवयव है।
कार्तीय गुणन की परिभाषा के अनुसार,$b \in B$ और $a \in A$ है,जिसका अर्थ है कि $(a, b) \in A \times B$ है।
इस $(a, b) \in A \times B$ के लिए,हमारे पास $f(a, b) = (b, a)$ है।
चूँकि सह-प्रांत $B \times A$ के प्रत्येक अवयव का प्रांत $A \times B$ में पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
चूँकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए $f$ एक एकैकी-आच्छादक (bijective) फलन है।

(D) दिया गया है कि $f : N \rightarrow N$,$f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}, & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}, & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है:
$f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ और $f(2) = \frac{2}{2} = 1$ है।
चूँकि $f(1) = f(2)$ है लेकिन $1 \neq 2$ है,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
अब,हम जाँचते हैं कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है:
किसी भी $n \in N$ (सह-प्रांत) के लिए,हमें ऐसा $x \in N$ खोजना होगा कि $f(x) = n$ हो।
स्थिति $I$: यदि $n$ विषम है,तो मान लीजिए $n = 2r - 1$ किसी $r \in N$ के लिए। तब $f(4r - 3) = \frac{(4r - 3) + 1}{2} = 2r - 1 = n$ होगा।
स्थिति $II$: यदि $n$ सम है,तो मान लीजिए $n = 2r$ किसी $r \in N$ के लिए। तब $f(4r) = \frac{4r}{2} = 2r = n$ होगा।
चूँकि प्रत्येक $n \in N$ के लिए प्रांत में एक पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
निष्कर्ष: चूँकि $f$ एकैकी नहीं है,इसलिए यह एकैकी-आच्छादक (bijective) फलन नहीं है।

(A) दिया गया है $A = R - \{3\}$,$B = R - \{1\}$ और $f: A \rightarrow B$ जो $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी (one-one) के लिए:
मान लीजिए $x, y \in A$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।
$\Rightarrow \frac{x-2}{x-3} = \frac{y-2}{y-3}$
$\Rightarrow (x-2)(y-3) = (y-2)(x-3)$
$\Rightarrow xy - 3x - 2y + 6 = xy - 3y - 2x + 6$
$\Rightarrow -3x - 2y = -3y - 2x$
$\Rightarrow x = y$।
चूंकि $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$,इसलिए $f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) के लिए:
मान लीजिए $y \in B = R - \{1\}$। तो $y \neq 1$।
हमें $x \in A$ ज्ञात करना है ताकि $f(x) = y$ हो।
$\frac{x-2}{x-3} = y$
$\Rightarrow x - 2 = y(x - 3)$
$\Rightarrow x - 2 = xy - 3y$
$\Rightarrow x - xy = 2 - 3y$
$\Rightarrow x(1 - y) = 2 - 3y$
$\Rightarrow x = \frac{2 - 3y}{1 - y}$।
चूंकि $y \neq 1$,$x$ सुपरिभाषित है। साथ ही,$x \neq 3$ क्योंकि यदि $\frac{2 - 3y}{1 - y} = 3$ है,तो $2 - 3y = 3 - 3y$,जिसका अर्थ है $2 = 3$,जो एक विरोधाभास है। अतः $x \in A$।
चूंकि प्रत्येक $y \in B$ के लिए,$x \in A$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$ हो,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(C) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$,$f(x) = x^{4}$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
मान लीजिए $x, y \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow x^{4} = y^{4}$
$\Rightarrow x = \pm y$.
चूँकि $f(1) = 1^{4} = 1$ और $f(-1) = (-1)^{4} = 1$,इसलिए $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$.
अतः,$f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत के बराबर हो। यहाँ सह-प्रांत $R$ है।
सभी $x \in R$ के लिए $x^{4} \geq 0$ होता है,इसलिए $f$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
चूँकि परिसर $[0, \infty) \neq R$,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
उदाहरण के लिए,ऐसा कोई $x \in R$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = -2$ हो।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
सही उत्तर $C$ है।

(D) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=3x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
चरण $1$: एकैकी (injective) के लिए जाँच करें।
मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$।
$3x_1 = 3x_2$
$x_1 = x_2$
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,इसलिए फलन $f$ एकैकी है।
चरण $2$: आच्छादक (surjective) के लिए जाँच करें।
मान लीजिए $y \in R$ सह-प्रांत का कोई अवयव है।
हमें $x \in R$ ढूँढना है ताकि $f(x) = y$ हो।
$3x = y \implies x = \frac{y}{3}$।
चूँकि $y \in R$,$\frac{y}{3}$ भी एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x \in R$ है।
प्रत्येक $y \in R$ के लिए,एक $x = \frac{y}{3} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x) = 3(\frac{y}{3}) = y$ हो।
अतः,फलन $f$ आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।
सही उत्तर $D$ है।

(C) यदि $g \circ f$ आच्छादक है,तो $g$ का आच्छादक होना आवश्यक है,लेकिन $f$ का आच्छादक होना आवश्यक नहीं है।
मान लीजिए $f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4\}$ और $g: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3$
$g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 3$
यहाँ,$g \circ f$ का परिसर $\{1, 2, 3\}$ है,जो $g$ के सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए $g \circ f$ आच्छादक है।
हालाँकि,$f$ का परिसर $\{1, 2, 3\}$ है,जो इसके सह-प्रांत $\{1, 2, 3, 4\}$ के बराबर नहीं है।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।

(B) जब समुच्चय परिमित हो,तो समुच्चय $A$ से स्वयं पर एक एकैकी फलन एक आच्छादक फलन भी होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ के लिए,$A$ से $A$ तक के एकैकी फलनों की कुल संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ में $n = 3$ अवयव हैं।
अतः,एकैकी फलनों की कुल संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।

(N/A) तत्समक फलन $I_{N}: N \rightarrow N$ को $I_{N}(x) = x$ द्वारा परिभाषित किया गया है। किसी भी $y \in N$ के लिए,$x = y \in N$ मौजूद है ताकि $I_{N}(x) = y$,इसलिए $I_{N}$ आच्छादक है।
अब,फलन $f(x) = (I_{N} + I_{N})(x) = 2x$ पर विचार करें। इस फलन का परिसर सभी सम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $\{2, 4, 6, \dots\}$।
चूंकि सह-प्रांत $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ है,हम देख सकते हैं कि $3 \in N$ जैसे अवयव का प्रांत $N$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है क्योंकि $2x = 3$ का अर्थ है $x = 1.5$,जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
इसलिए,$I_{N} + I_{N}$ आच्छादक नहीं है।

(N/A) किसी भी दो भिन्न अवयवों $x_1, x_2 \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,हम जानते हैं कि साइन फलन इस अंतराल में निरंतर वर्धमान है,इसलिए $\sin x_1 \neq \sin x_2$। अतः,$f$ एकैकी है।
इसी प्रकार,कोसाइन फलन $[0, \frac{\pi}{2}]$ पर निरंतर ह्रासमान है,इसलिए $\cos x_1 \neq \cos x_2$। अतः,$g$ एकैकी है।
अब,फलन $h(x) = (f + g)(x) = \sin x + \cos x$ पर विचार करें।
हम $h(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$ प्राप्त करते हैं।
हम $h(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$ प्राप्त करते हैं।
चूंकि $h(0) = h(\frac{\pi}{2})$ है लेकिन $0 \neq \frac{\pi}{2}$,इसलिए फलन $f + g$ एकैकी नहीं है।

(A) दिया गया है कि $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जहाँ $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।
एकैकी के लिए:
मान लीजिए $x, y \in R$ के लिए $f(x) = f(y)$ है।
यदि $x$ और $y$ के चिह्न विपरीत हैं,जैसे $x > 0$ और $y < 0$,तो $f(x) = \frac{x}{1+x} > 0$ और $f(y) = \frac{y}{1-y} < 0$ होगा। अतः $f(x) \neq f(y)$।
यदि $x, y \geq 0$ है,तो $\frac{x}{1+x} = \frac{y}{1+y} \Rightarrow x + xy = y + xy \Rightarrow x = y$।
यदि $x, y < 0$ है,तो $\frac{x}{1-x} = \frac{y}{1-y} \Rightarrow x - xy = y - xy \Rightarrow x = y$।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
मान लीजिए $y \in (-1, 1)$ है। हमें $x \in R$ ज्ञात करना है ताकि $f(x) = y$ हो।
यदि $y \geq 0$ है,तो $x = \frac{y}{1-y}$ लें। चूँकि $0 \leq y < 1$,इसलिए $x \geq 0$ है। तब $f(x) = \frac{\frac{y}{1-y}}{1 + \frac{y}{1-y}} = \frac{y}{1-y+y} = y$।
यदि $y < 0$ है,तो $x = \frac{y}{1+y}$ लें। चूँकि $-1 < y < 0$,इसलिए $x < 0$ है। तब $f(x) = \frac{\frac{y}{1+y}}{1 - \frac{y}{1+y}} = \frac{y}{1+y-y} = y$।
चूँकि प्रत्येक $y \in (-1, 1)$ के लिए एक $x \in R$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि फलन $f(x) = x^{3}$ एकैकी (injective) है या नहीं,हम मान लेते हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$ जहाँ $x_1, x_2 \in R$ है।
$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^{3} = x_2^{3}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ है,अतः फलन $f$ एकैकी (injective) है।

(A) एक परिमित समुच्चय $A$ से स्वयं पर एक आच्छादक फलन (onto function),जहाँ $|A| = n$ है,एक ऐसा फलन है जिसमें सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रांत में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होता है।
चूँकि प्रांत और सह-प्रांत में अवयवों की संख्या समान $(n)$ है,इसलिए एक आच्छादक फलन को एकैकी (injective) भी होना चाहिए।
जो फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है,उसे बाइजेक्शन या क्रमचय (permutation) कहा जाता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल क्रमचयों की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
अतः,समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से स्वयं पर कुल आच्छादक फलनों की संख्या $n!$ है।

(D) दिया गया है $f(n+1) = f(n) + f(1)$। यह एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
$n=1$ के लिए,$f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1)$।
$n=2$ के लिए,$f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1)$।
गणितीय आगमन द्वारा,$f(n) = n f(1)$।
चूंकि $f: N \rightarrow N$,$f(1)$ एक धनात्मक पूर्णांक $k \in N$ होना चाहिए।
अतः,$f(n) = kn$। चूंकि $k \geq 1$,$f(n_1) = f(n_2) \Rightarrow kn_1 = kn_2 \Rightarrow n_1 = n_2$,इसलिए $f$ एकैकी है। कथन $C$ सत्य है।
यदि $fog$ एकैकी है,तो $f(g(x_1)) = f(g(x_2)) \Rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ क्योंकि $f$ एकैकी है। चूँकि $fog$ एकैकी है,$x_1 = x_2$। अतः $g$ एकैकी है। कथन $A$ सत्य है।
यदि $f$ आच्छादक है,तो किसी भी $y \in N$ के लिए,एक $n \in N$ मौजूद है ताकि $f(n) = y$,अर्थात $kn = y$। यह केवल तभी संभव है जब $k=1$,इसलिए $f(n) = n$। कथन $B$ सत्य है।
यदि $g$ आच्छादक है,तो $fog$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। यदि $g$ एकैकी नहीं है,तो $fog$ एकैकी नहीं हो सकता। अतः,कथन $D$ सत्य $\text{नहीं}$ है।

(B) $n$ अवयवों वाले समुच्चय से $m$ अवयवों वाले समुच्चय $(m \ge n)$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $P(m, n) = \frac{m!}{(m-n)!}$ द्वारा दी जाती है।
$x$ के लिए,समुच्चय $A$ में $3$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $5$ अवयव हैं। अतः,$x = P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
$y$ के लिए,समुच्चय $A$ में $3$ अवयव हैं और समुच्चय $A \times B$ में $3 \times 5 = 15$ अवयव हैं। अतः,$y = P(15, 3) = 15 \times 14 \times 13 = 2730$.
अब,हम $x$ और $y$ की तुलना करते हैं:
$x = 60$
$y = 2730$
अनुपात $\frac{y}{x} = \frac{2730}{60} = \frac{273}{6} = \frac{91}{2}$ की गणना करने पर।
अतः,$2y = 91x$.

(A) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से स्वयं पर आच्छादक फलनों की कुल संख्या $6! = 720$ है।
शर्त $g(3) = 2g(1)$ के लिए संभावित युग्म $(g(1), g(3))$ के मान $(1, 2), (2, 4),$ और $(3, 6)$ हैं। इस प्रकार,$3$ संभावनाएं हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए,शेष $4$ अवयवों को शेष $4$ अवयवों पर आच्छादक रूप से प्रतिचित्रित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
अतः,अनुकूल आच्छादक फलनों की संख्या $3 \times 4! = 72$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3 \times 4!}{6!} = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$ है।

(C) दी गई शर्त $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ को $f(1) + f(2) + f(3) = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $f$ समुच्चय $A$ से $A$ तक एक आच्छादक फलन है,इसलिए $f(1), f(2), f(3)$ को समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ के भिन्न अवयव होने चाहिए।
$3$ का योग देने वाले केवल तीन भिन्न अऋणात्मक पूर्णांक $0, 1$ और $2$ हैं।
अतः,$\{f(1), f(2), f(3)\}$ का समुच्चय $\{0, 1, 2\}$ होना चाहिए।
इन $3$ मानों को $f(1), f(2)$ और $f(3)$ को आवंटित करने के तरीकों की संख्या $3! = 6$ है।
प्रांत के शेष $5$ अवयवों $\{0, 4, 5, 6, 7\}$ को सह-प्रांत के शेष $5$ अवयवों $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ के साथ प्रतिचित्रित करना होगा।
इनके प्रतिचित्रण के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
इसलिए,कुल आच्छादक फलनों की संख्या $3! \times 5! = 6 \times 120 = 720$ है।

(B) दिया गया है $g(3n+1)=3n+2$,$g(3n+2)=3n+3$,और $g(3n+3)=3n+1$,जहाँ $n \geq 0$ है।
सबसे पहले,हम $g \circ g \circ g(x)$ की गणना करते हैं:
$x = 3n+1$ के लिए,$g(g(g(3n+1))) = g(g(3n+2)) = g(3n+3) = 3n+1$ है।
इसी प्रकार,$g(g(g(3n+2))) = 3n+2$ और $g(g(g(3n+3))) = 3n+3$ है।
अतः,सभी $x \in N$ के लिए $g \circ g \circ g(x) = x$ है।
अब,शर्त $f(g(x)) = f(x)$ पर विचार करें।
यदि $f$ एक अचर फलन है,तो $f(g(x)) = f(x)$ होगा,लेकिन अचर फलन $N$ पर आच्छादक नहीं होता है।
यदि हम $f$ को इस प्रकार परिभाषित करें कि वह $g$ के समान चक्र के सभी तत्वों को समान मान पर मैप करे,तो $f$ शर्त $f(g(x)) = f(x)$ को संतुष्ट करेगा।
उदाहरण के लिए,$f(3n+1) = f(3n+2) = f(3n+3) = n+1$ लें। यह फलन $f$ आच्छादक है क्योंकि किसी भी $y \in N$ के लिए,हम $n = y-1$ चुन सकते हैं ताकि $f(3(y-1)+1) = y$ हो।
अतः,एक आच्छादक फलन $f$ का अस्तित्व है ताकि $f \circ g = f$।

(B) दिया गया समीकरण $2f(a) + 3f(c) = f(b) - f(d)$ है।
माना $S = \{0, 1, 2, \dots, 10\}$ है। हमें ऐसे एक-एक फलनों $f$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f(b) - f(d) = 2f(a) + 3f(c)$ हो।
चूंकि $f$ एक-एक है,इसलिए $f(a), f(b), f(c), f(d)$ को $S$ के भिन्न अवयव होना चाहिए।
$X = 2f(a) + 3f(c)$ लें। चूंकि $f(a), f(c) \in S$ और $f(a) \neq f(c)$,$X$ के संभावित मानों की गणना करने पर,प्रत्येक युग्म $(f(a), f(c))$ के लिए हमें ऐसे भिन्न $f(b), f(d) \in S \setminus \{f(a), f(c)\}$ खोजने होंगे ताकि $f(b) - f(d) = X$ हो।
इन सभी संभावनाओं का योग करने पर कुल $31$ एक-एक फलन प्राप्त होते हैं।