Type of Functions based on Mapping Questions in Hindi

(D) प्रांत $N$ को $n$ के रूप के आधार पर तीन अलग-अलग समुच्चयों में विभाजित किया गया है:
$1$. $n = 2k$ (सम संख्याएँ): $f(n) = 2(2k) = 4k$
$2$. $n = 4k-1$ ($4k-1$ रूप की संख्याएँ): $f(n) = (4k-1)-1 = 4k-2$
$3$. $n = 4k-3$ ($4k-3$ रूप की संख्याएँ): $f(n) = \frac{(4k-3)+1}{2} = 2k-1$
किसी भी $y \in N$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या कोई अद्वितीय $n$ मौजूद है ताकि $f(n) = y$ हो:
- यदि $y$,$4k$ के रूप का है,तो $n = 2k$ अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।
- यदि $y$,$4k-2$ के रूप का है,तो $n = 4k-1$ अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।
- यदि $y$,$2k-1$ (विषम संख्याएँ) के रूप का है,तो $n = 4k-3$ अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।
चूंकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए एक अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब $n \in N$ मौजूद है,इसलिए फलन $f$ एकैकी और आच्छादक है।

(B) प्रांत समुच्चय $A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$ में $50$ अवयव हैं। सह-प्रांत समुच्चय $B = \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ में भी $50$ अवयव हैं।
चूंकि $f$ एक आच्छादक फलन है,यह $50$ अवयवों का एक क्रमचय (permutation) है।
दी गई शर्त $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq \ldots \geq f(99)$ है।
चूंकि फलन एकैकी (one-one) है,सभी मान भिन्न होने चाहिए,इसलिए शर्त $f(3) > f(9) > f(15) > \ldots > f(99)$ हो जाती है।
अनुक्रम $3, 9, 15, \ldots, 99$ में $17$ अवयव हैं $(99 = 3 + (n-1)6 \implies n = 17)$।
इन $17$ अवयवों के लिए सह-प्रांत के $50$ मानों में से $17$ मान चुनने के तरीके $^{50}C_{17}$ हैं।
एक बार चुनने के बाद,उन्हें अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
प्रांत के शेष $50 - 17 = 33$ अवयवों को सह-प्रांत के शेष $33$ मानों के साथ $33!$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है।
अतः,ऐसे फलनों की कुल संख्या $^{50}C_{17} \times 33! = \frac{50!}{17! \times 33!} \times 33! = \frac{50!}{17!} = ^{50}P_{33}$ है।

(A) सबसे पहले,असमिका $x^{2}-10x+9 \leq 0$ को हल करके समुच्चय $A$ ज्ञात करें।
$(x-1)(x-9) \leq 0$,इसलिए $x \in [1, 9]$। चूँकि $x \in N$,$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
अब,$f(x) \in B = \{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots\}$ के लिए $f(x) \leq (x-3)^{2}+1$ को संतुष्ट करने वाले विकल्पों की संख्या निर्धारित करें:
$x=1$ के लिए: $f(1) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ विकल्प)।
$x=2$ के लिए: $f(2) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ विकल्प)।
$x=3$ के लिए: $f(3) \leq 1 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ विकल्प)।
$x=4$ के लिए: $f(4) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ विकल्प)।
$x=5$ के लिए: $f(5) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ विकल्प)।
$x=6$ के लिए: $f(6) \leq 10 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}$ ($3$ विकल्प)।
$x=7$ के लिए: $f(7) \leq 17 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}$ ($4$ विकल्प)।
$x=8$ के लिए: $f(8) \leq 26 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$ ($5$ विकल्प)।
$x=9$ के लिए: $f(9) \leq 37 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}$ ($6$ विकल्प)।
कुल फलनों की संख्या = $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 1440$।

(D) दिया गया है $f(a) = \alpha$,जहाँ $\alpha$ अभाज्य संख्या $p$ की वह अधिकतम घात है जो $a$ को विभाजित करती है।
मान लीजिए $h(a) = (f + g)(a) = f(a) + a + 1$.
कुछ $a \in N - \{1\}$ के लिए मानों की गणना करें:
$h(2) = f(2) + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$
$h(3) = f(3) + 3 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$
$h(4) = f(4) + 4 + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$
$h(5) = f(5) + 5 + 1 = 1 + 5 + 1 = 7$
यहाँ $h(4) = h(5) = 7$ है,जहाँ $4 \neq 5$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
इसके अलावा,$h(a)$ का परिसर $1, 2, 3, 6, \dots$ को शामिल नहीं करता है (उदाहरण के लिए,$a \ge 2$ के लिए $h(a) \ge 4$),इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(C) दिया गया है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$ है।
सबसे पहले,हम दिखाते हैं कि $f$ एकैकी है। मान लीजिए कि कुछ $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तो $|f(x_1) - f(x_2)| = 0$ होगा। दी गई असमिका से,$0 \geq |x_1 - x_2|$,जिसका अर्थ है कि $|x_1 - x_2| = 0$,इसलिए $x_1 = x_2$ है। अतः,$f$ एकैकी है।
आगे,हम दिखाते हैं कि $f$ आच्छादक है। चूँकि $f$ सतत और एकैकी है,$f$ को सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) होना चाहिए। यदि $f$ सख्ती से वर्धमान है,तो $x > y$ के लिए $f(x) - f(y) \geq x - y$ होगा। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$ होगा। यदि $f$ सख्ती से ह्रासमान है,तो $x > y$ के लिए $f(y) - f(x) \geq x - y$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f(x) - f(y) \leq -(x - y)$। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to -\infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$ होगा। दोनों ही स्थितियों में,$f$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है। अतः,$f$ आच्छादक है।
इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{जब } x \neq 0 \\ 1 & \text{जब } x = 0 \end{cases}$ है।
हम समुच्चय $A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 1\}$ ज्ञात करना चाहते हैं।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 1$ है। अतः,$0 \in A$ है।
स्थिति $2$: यदि $x \neq 0$ है,तो हम $x \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 1$ को हल करते हैं,जिसका अर्थ है $\sin \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$।
मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$ है। तो समीकरण $\sin(t) = t$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि सभी $t \neq 0$ के लिए,$|\sin(t)| < |t|$ होता है।
विशेष रूप से,यदि $t > 0$ है,तो $\sin(t) < t$,और यदि $t < 0$ है,तो $\sin(t) > t$ होता है।
इसलिए,समीकरण $\sin(t) = t$ का केवल एक ही हल $t = 0$ पर मिलता है।
हालाँकि,हमारा प्रतिस्थापन $t = \frac{1}{x}$ था,और $x \neq 0$ होने के कारण $t$ कभी $0$ नहीं हो सकता।
अतः,$x \neq 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
परिणामस्वरूप,समुच्चय $A$ में केवल एक ही अवयव ${0}$ है।
इसलिए,$A$ में केवल एक अवयव है।

(B) दी गई शर्त $|f(x)-f(y)|=|x-y|$ है,जहाँ $x, y \in [0,1]$ है।
इसका अर्थ है कि फलन $f$ की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए,अर्थात $f'(x) = 1$ या $f'(x) = -1$ है।
स्थिति $1$: यदि $f'(x) = 1$,तो $f(x) = x + c$ है। सह-प्रांत $[0,1]$ होने के कारण,$f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ के लिए $f(0) \ge 0$ और $f(1) \le 1$ होना चाहिए। अतः,$0+c \ge 0$ और $1+c \le 1$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = x$ है।
स्थिति $2$: यदि $f'(x) = -1$,तो $f(x) = -x + c$ है। $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ के लिए $f(0) \le 1$ और $f(1) \ge 0$ होना चाहिए। अतः,$0+c \le 1$ और $-1+c \ge 0$,जिससे $c=1$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = 1-x$ है।
अतः,ऐसे ठीक $2$ फलन हैं: $f(x) = x$ और $f(x) = 1-x$।

(B) मान लीजिए $h(x) = g(f(x))$ है। हमें दिया गया है कि $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक है।
चूँकि $h$ आच्छादक है,$h$ का परिसर उसके सह-प्रांत $[0,2]$ के बराबर है।
चूँकि $h(x) = g(f(x))$,$h$ का परिसर $g$ के परिसर का एक उपसमुच्चय है।
अतः,$g$ के परिसर में $[0,2]$ शामिल होना चाहिए।
हालाँकि,$g$ का सह-प्रांत $[0,2]$ है,इसलिए $g$ का परिसर वास्तव में $[0,2]$ ही होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि $g$ आच्छादक है।
चूँकि $g$ एकैकी दिया गया है और अब यह आच्छादक भी सिद्ध हो गया है,इसलिए $g$ एक बाइजेक्शन है।
$h = g \circ f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का आच्छादक होना अनिवार्य है।
यदि $f$ आच्छादक नहीं होता,तो $[-1,1]$ में कोई ऐसा $y$ मौजूद होता जो $f$ के परिसर में नहीं होता।
चूँकि $g$ एक बाइजेक्शन है,$g(y)$ का मान $g \circ f$ के परिसर में नहीं होता,जो $h$ की आच्छादकता का खंडन करता है।
इसलिए,$f$ को आच्छादक होना ही चाहिए।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.
$I.$ किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $n = [x]$,तो $x = n + \{x\}$ जहाँ $0 \le \{x\} < 1$ है। अतः $f(x) = \frac{\{x\}}{1+n^2}$। चूँकि $0 \le \{x\} < 1$ और $1+n^2 \ge 1$,परिसर $[0, 1)$ है। यह एक संवृत अंतराल नहीं है। अतः,कथन $I$ असत्य है।
$II.$ $x = n$ (एक पूर्णांक) पर,$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} \frac{x-[x]}{1+[x]^2} = \frac{n-(n-1)}{1+(n-1)^2} = \frac{1}{1+(n-1)^2}$,जबकि $f(n) = \frac{n-n}{1+n^2} = 0$ है। चूँकि सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए $f$ सभी पूर्णांकों पर असंतत है। अतः,कथन $II$ असत्य है।
$III.$ ध्यान दें कि $f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0$ और $f(1) = \frac{1-1}{1+1^2} = 0$ है। चूँकि $f(0) = f(1)$ है लेकिन $0 \neq 1$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है। अतः,कथन $III$ असत्य है।
अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.
अतः $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.
$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{1-e^x} + \frac{e^x}{1-e^x} = \frac{1+e^x}{1-e^x}$.
अब,$g'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x) - (1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1-e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1-e^x)^2}$.
चूंकि सभी $x \in (0,1)$ के लिए $e^x > 0$ और $(1-e^x)^2 > 0$ है,इसलिए $g'(x) > 0$ है।
अतः,$g(x)$ अंतराल $(0,1)$ में एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $g(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह $(0,1)$ में एकैकी फलन भी है।
इस प्रकार,दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) + 2x}{x^2+1} = 1 + \frac{2x}{x^2+1}$।
एक-एक या बहु-एक की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x}{x^2+1} \right) = \frac{(x^2+1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$।
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए फलन निरंतर ह्रासमान है और इस प्रकार $[1, \infty)$ में एक-एक है।
$x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए फलन निरंतर ह्रासमान है।
चूँकि फलन $(-\infty, -1)$ और $(1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है और $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है,यह इन अंतरालों में एक-एक है। हालाँकि,यह $(-\infty, \infty)$ में एक-एक नहीं है क्योंकि $f(x)$ अलग-अलग बिंदुओं पर समान मान लेता है (उदाहरण के लिए,$f(0) = 1$ और $f(\infty) = 1$)।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[1, \infty)$ में एक-एक है लेकिन $(-\infty, \infty)$ में नहीं।

(D) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। हम ऐसे एकैकी फलनों $f: S \rightarrow P(S)$ की संख्या ज्ञात कर रहे हैं कि $f(1) \subset f(2) \subset f(3) \subset f(4) \subset f(5) \subset f(6)$ हो।
यह $S$ के $6$ भिन्न उपसमुच्चयों की एक श्रृंखला चुनने के समान है,जहाँ $A_i = f(i)$ है।
चूँकि $S$ में $6$ अवयव हैं,$6$ भिन्न उपसमुच्चयों की श्रृंखला प्राप्त करने का एकमात्र तरीका यह है कि उपसमुच्चयों का आकार $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हो।
हमें $7$ संभावित आकारों में से $6$ आकार चुनने हैं। आकारों के संभावित क्रम इस प्रकार हैं:
$1$. $(0, 1, 2, 3, 4, 5)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 720$ तरीके।
$2$. $(0, 1, 2, 3, 4, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 360$ तरीके।
$3$. $(0, 1, 2, 3, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$4$. $(0, 1, 2, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$5$. $(0, 1, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$6$. $(0, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$7$. $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 720$ तरीके।
कुल $= 720 + 360 + 360 + 360 + 360 + 360 + 720 = 3240$।

(A) $n=5$ अवयवों वाले समुच्चय से $m=4$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल आच्छादक फलनों की संख्या $m! \times S_2(n, m)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_2(n, m)$ द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।
कुल आच्छादक फलन = $4! \times S_2(5, 4) = 24 \times \binom{5}{2} = 24 \times 10 = 240$.
अब,हम उन आच्छादक फलनों की संख्या की गणना करते हैं जहाँ $f(a) = 1$ है। यदि $f(a) = 1$ है,तो शेष $4$ अवयव ${b, c, d, e}$ को ${1, 2, 3, 4}$ पर इस प्रकार प्रतिचित्रित होना चाहिए कि फलन आच्छादक बना रहे।
स्थिति $1$: $f(a)=1$ और परिसर ${1, 2, 3, 4}$ है। शेष $4$ अवयवों का ${1, 2, 3, 4}$ पर आच्छादक फलन बनाने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।
स्थिति $2$: $f(a)=1$ और परिसर ${2, 3, 4}$ है। शेष $4$ अवयवों का ${2, 3, 4}$ पर आच्छादक फलन बनाने के तरीकों की संख्या $3! \times S_2(4, 3) = 6 \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$ है।
$f(a) = 1$ वाले कुल फलनों की संख्या $24 + 36 = 60$ है।
अतः,$f(a) \neq 1$ वाले आच्छादक फलनों की संख्या $240 - 60 = 180$ है।

(D) दिया गया फलन $f: N-\{1\} \rightarrow N$ है,जहाँ $f(n)$ संख्या $n$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।
एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
$f(2) = 2$ (क्योंकि $2$ का अभाज्य गुणनखंड $2$ है)
$f(4) = 2$ (क्योंकि $4 = 2^2$ का अभाज्य गुणनखंड $2$ है)
चूँकि $f(2) = f(4)$ है लेकिन $2 \neq 4$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर सह-प्रांत $N$ के बराबर हो। $f$ का परिसर केवल अभाज्य संख्याओं से बना है।
उदाहरण के लिए,$4 \in N$ (सह-प्रांत),लेकिन ऐसा कोई $n \in N-\{1\}$ नहीं है जिसके लिए $f(n) = 4$ हो,क्योंकि यदि $f(n) = 4$ है,तो $4$ को $n$ का अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए,जो असंभव है क्योंकि $4$ एक अभाज्य संख्या नहीं है।
अतः,परिसर अभाज्य संख्याओं का एक उपसमुच्चय है,जो $N$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है (यह अंतःक्षेपी है)।
निष्कर्ष: फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) समुच्चय $A$ में $7$ अवयव हैं,इसलिए घात समुच्चय $P(A)$ में $2^7 = 128$ अवयव हैं।
प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए,हमें एक उपसमुच्चय $f(a) \subseteq A$ चुनना होगा ताकि $a \in f(a)$ हो।
$A$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें एक विशिष्ट अवयव $a$ शामिल हो,$2^{7-1} = 2^6 = 64$ है।
चूँकि $A$ में $7$ अवयव हैं,और प्रत्येक अवयव $a$ के लिए $f(a)$ चुनने के $2^6$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे कुल फलनों की संख्या $(2^6)^7 = 2^{42}$ है।
हमें दिया गया है कि फलनों की संख्या $m^n$ है जहाँ $m$ न्यूनतम है।
अतः,न्यूनतम आधार $m = 2$ और $n = 42$ है।
इसलिए,$m + n = 2 + 42 = 44$.

(D) दिए गए समुच्चय $A=\{1,3,7,9,11\}$ और $B=\{2,4,5,7,8,10,12\}$ हैं।
हमें एक-एक फलनों $f: A \rightarrow B$ की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $f(1)+f(3)=14$ हो।
समुच्चय $B$ से ऐसे युग्म $(f(1), f(3))$ जिनका योग $14$ है,वे इस प्रकार हैं:
$(i) (2, 12)$
$(ii) (12, 2)$
$(iii) (4, 10)$
$(iv) (10, 4)$
ऐसे कुल $4$ युग्म संभव हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए,हमने समुच्चय $A$ के $2$ अवयवों ($1$ और $3$) के प्रतिबिंब निर्धारित कर लिए हैं।
अब,हमें समुच्चय $A$ के शेष $3$ अवयवों (अर्थात ${7, 9, 11}$) को समुच्चय $B$ के शेष $5$ अवयवों के साथ जोड़ना है (क्योंकि $B$ में $7-2=5$ अवयव शेष हैं)।
इन $3$ अवयवों को एक-एक तरीके से जोड़ने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ द्वारा दी जाती है।
अतः,एक-एक फलनों की कुल संख्या $4 \times 60 = 240$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
सबसे पहले,एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें:
$f(-5) = \frac{(-5)^2+2(-5)-15}{(-5)^2-4(-5)+9} = \frac{25-10-15}{25+20+9} = 0$.
$f(3) = \frac{(3)^2+2(3)-15}{(3)^2-4(3)+9} = \frac{9+6-15}{9-12+9} = 0$.
चूँकि $f(-5) = f(3) = 0$ लेकिन $-5 \neq 3$,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।
अब,आच्छादक (onto) गुण (परिसर) के लिए जाँच करें:
मान लीजिए $y = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
$y(x^2-4x+9) = x^2+2x-15$
$x^2(y-1) - x(4y+2) + (9y+15) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (4y+2)^2 - 4(y-1)(9y+15) \geq 0$
$4(2y+1)^2 - 4(9y^2+15y-9y-15) \geq 0$
$(4y^2+4y+1) - (9y^2+6y-15) \geq 0$
$-5y^2 - 2y + 16 \geq 0$
$5y^2 + 2y - 16 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $5y^2 + 2y - 16 = 0$ को हल करने पर:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(5)(-16)}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{-2 \pm 18}{10}$.
$y_1 = \frac{16}{10} = 1.6 = \frac{8}{5}$ और $y_2 = \frac{-20}{10} = -2$.
अतः,परिसर $[-2, 8/5]$ है।
चूँकि परिसर $[-2, 8/5] \neq R$ (सह-प्रांत),इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) सबसे पहले,$2310$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$2310 = 231 \times 10 = 3 \times 7 \times 11 \times 2 \times 5$.
अतः,समुच्चय $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
अब,प्रत्येक $x \in A$ के लिए $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(2) = [\log_2(2^2 + [2^3/5])] = [\log_2(4 + [1.6])] = [\log_2(5)] = 2$.
$f(3) = [\log_2(3^2 + [3^3/5])] = [\log_2(9 + [5.4])] = [\log_2(14)] = 3$.
$f(5) = [\log_2(5^2 + [5^3/5])] = [\log_2(25 + 25)] = [\log_2(50)] = 5$.
$f(7) = [\log_2(7^2 + [7^3/5])] = [\log_2(49 + [68.6])] = [\log_2(117)] = 6$.
$f(11) = [\log_2(11^2 + [11^3/5])] = [\log_2(121 + [266.2])] = [\log_2(387)] = 8$.
$f$ का परिसर $B = \{2, 3, 5, 6, 8\}$ है।
चूंकि समुच्चय $A$ में $5$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $5$ अवयव हैं,इसलिए $A$ से $B$ तक एकैकी फलनों की संख्या $5! = 120$ होगी।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
सबसे पहले,हम $f(|x|)$ ज्ञात करते हैं:
$x \in [-a, 0]$ के लिए,$|x| \in [0, a]$,इसलिए $f(|x|) = |x| + a = -x + a$.
$x \in (0, a]$ के लिए,$|x| \in (0, a]$,इसलिए $f(|x|) = |x| + a = x + a$.
अतः,$f(|x|) = \begin{cases} -x+a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
अगला,हम $|f(x)|$ ज्ञात करते हैं:
$x \in [-a, 0]$ के लिए,$f(x) = -a$,इसलिए $|f(x)| = |-a| = a$.
$x \in (0, a]$ के लिए,$f(x) = x+a$,इसलिए $|f(x)| = |x+a| = x+a$.
अतः,$|f(x)| = \begin{cases} a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
अब,$g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$:
$x \in [-a, 0]$ के लिए,$g(x) = \frac{(-x+a) - a}{2} = \frac{-x}{2}$.
$x \in (0, a]$ के लिए,$g(x) = \frac{(x+a) - (x+a)}{2} = 0$.
इसलिए,$g(x) = \begin{cases} -x/2 & -a \leq x \leq 0 \\ 0 & 0 < x \leq a \end{cases}$.
$g(x)$ का विश्लेषण:
$1$. एकैकी: $x \in (0, a]$ के लिए,$g(x) = 0$ है। चूँकि $g(0.1) = 0$ और $g(0.2) = 0$,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक: $g(x)$ का परिसर $[0, a/2]$ है। चूँकि सह-प्रांत $[-a, a]$ है,परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
अतः,$g(x)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) दिया गया समीकरण $2x + 3y = 23$ है जहाँ $x, y \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) हैं।
हम $(x, y)$ के लिए संभावित पूर्णांक हल ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 1$,$2(1) + 3y = 23 \implies 3y = 21 \implies y = 7$. अतः,$(1, 7) \in A$.
यदि $x = 4$,$2(4) + 3y = 23 \implies 3y = 15 \implies y = 5$. अतः,$(4, 5) \in A$.
यदि $x = 7$,$2(7) + 3y = 23 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. अतः,$(7, 3) \in A$.
यदि $x = 10$,$2(10) + 3y = 23 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. अतः,$(10, 1) \in A$.
इस प्रकार,$A = \{(1, 7), (4, 5), (7, 3), (10, 1)\}$ है। $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है।
समुच्चय $B$,$A$ के अवयवों के $x$-निर्देशांकों से बना है,इसलिए $B = \{1, 4, 7, 10\}$ है। $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 4$ है।
$4$ अवयवों वाले समुच्चय से दूसरे $4$ अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या अवयवों के क्रमचय (permutation) के बराबर होती है,जो $4!$ द्वारा दी जाती है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

(B) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$,जहाँ $x \in [0, 3]$.
चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें।
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
अंतराल $[0, 3]$ में $x=2$ पर $f'(x)$ का चिह्न बदलता है,इसलिए फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है। अर्थात,$f(x)$ अंतराल $[0, 2]$ पर बढ़ता है और $[2, 3]$ पर घटता है। इसलिए,यह एकैकी नहीं है (बहु-एक है)।
चरण $2$: आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें।
$[0, 3]$ पर $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करें।
$f(0) = 2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0) + 1 = 1$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.
चूँकि फलन $[0, 3]$ पर सतत है,इसका परिसर $[min(f(0), f(2), f(3)), max(f(0), f(2), f(3))] = [1, 29]$ है।
यहाँ परिसर $[1, 29]$ सह-प्रांत (codomain) $[1, 29]$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ से समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ तक एकैकी फलनों की संख्या $\alpha$,$P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ द्वारा दी जाती है।
समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ से समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $\beta$,$5! \times S(7, 5)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $S(7, 5)$ दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।
$S(7, 5) = \frac{1}{5!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^k \binom{5}{k} (5-k)^7 = \frac{1}{120} [1 \times 5^7 - 5 \times 4^7 + 10 \times 3^7 - 10 \times 2^7 + 5 \times 1^7] = 140$.
अतः,$\beta = 120 \times 140 = 16800$.
हमें $\frac{1}{5!} (\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$ की गणना करनी है।

(A) समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ से समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ तक एकैकी फलनों की संख्या $\alpha = P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\alpha = {}^{7}C_{5} \times 5! = 21 \times 120 = 2520$.
समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ से समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $\beta$ के लिए,हम आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र उपयोग करते हैं: $m! \times S(n, m)$,जहाँ $S(n, m)$ दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।
$\beta = 5! \times S(7, 5) = 120 \times \frac{1}{2!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^{5-k} {}^{5}C_{k} k^{7} = 120 \times 140 = 16800$.
अब,$\frac{1}{5!}(\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$.

(C) दिया गया है $f(x) = |x|(x - \sin x)$।
चूंकि $f(-x) = |-x|(-x - \sin(-x)) = |x|(-x + \sin x) = -|x|(x - \sin x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 - x \sin x$। $x < 0$ के लिए,$f(x) = -x^2 + x \sin x$।
जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) = x^2(1 - \frac{\sin x}{x}) \rightarrow \infty$। जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$। चूंकि $f$ सतत है,इसलिए इसका परिसर $R$ है,अतः $f$ आच्छादक है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 2x - \sin x - x \cos x = x(1 - \cos x) + (x - \sin x)$। चूंकि $x > 0$ के लिए $x > \sin x$ और $1 - \cos x \geq 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = -2x + \sin x + x \cos x = -[2x - \sin x - x \cos x] > 0$ (विषम फलन की सममिति द्वारा)।
चूंकि सभी $x \neq 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है और $f$ सतत है,इसलिए $f$ पर $R$ निरंतर वर्धमान फलन है।
अतः,$f$ एकैकी है।
इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right)$ जहाँ $x \neq 0$ और $f(0) = 0$ है।
$f(x) = 0$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right) = 0$ रखते हैं।
इसका अर्थ है $x = 0$ या $\sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right) = 0$ है।
अतः,$\frac{\pi}{x^2} = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{N}$,जिससे $x^2 = \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है,या $x = \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ है।
विकल्प-$A$ की जाँच: $x \in \left[\frac{1}{10^{10}}, \infty\right)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} \leq 10^{10} \implies n \leq 10^{20}$ है। यह हलों की एक परिमित संख्या है।
विकल्प-$B$ की जाँच: $x \in \left(\frac{1}{\pi}, \infty\right)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\pi} \implies \sqrt{n} < \pi \implies n < \pi^2 \approx 9.86$ है। अतः $n \in \{1, 2, \dots, 9\}$ है। यहाँ $9$ हल हैं,इसलिए यह रिक्त नहीं है।
विकल्प-$C$ की जाँच: $x \in \left(0, \frac{1}{10^{10}}\right)$ के लिए,हमारे पास $0 < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} > 10^{10} \implies n > 10^{20}$ है। ऐसे अनंत $n$ संभव हैं,इसलिए हलों का समुच्चय अनंत है।
विकल्प-$D$ की जाँच: $x \in \left(\frac{1}{\pi^2}, \frac{1}{\pi}\right)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\pi^2} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\pi} \implies \pi < \sqrt{n} < \pi^2 \implies \pi^2 < n < \pi^4$ है। चूँकि $\pi^2 \approx 9.86$ और $\pi^4 \approx 97.4$ है,$n$ का मान $10$ से $97$ तक हो सकता है। हलों की संख्या $97 - 10 + 1 = 88$ है,जो $25$ से अधिक है। अतः,विकल्प-$D$ $TRUE$ (सत्य) है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.
अंश और हर को $2^x$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ प्राप्त होता है।
इसे हम $f(x) = \frac{(2^{2x} + 1) - 2}{2^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{2^{2x} + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(2^{2x} + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(2^{2x} + 1)^{-2} \cdot (2^{2x} \cdot \ln 2 \cdot 2) = \frac{4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln 2}{(2^{2x} + 1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए,हम परिसर ज्ञात करते हैं: जैसे $x \rightarrow -\infty$,$2^{2x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - \frac{2}{0+1} = -1$। जैसे $x \rightarrow \infty$,$2^{2x} \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - 0 = 1$।
$f(x)$ का परिसर $(-1, 1)$ है।
चूँकि परिसर $(-1, 1)$ सह-प्रांत $(-\infty, \infty)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(A) हमें उन फलनों $f: \{1, 2, \ldots, 100\} \rightarrow \{0, 1\}$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 98\}$ का ठीक एक अवयव $1$ पर मैप होता है।
$1$. सबसे पहले,हम समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 98\}$ से ठीक एक अवयव चुनते हैं जिसे $1$ पर मैप करना है। ऐसा करने के $\binom{98}{1} = 98$ तरीके हैं।
$2$. समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 98\}$ के शेष $97$ अवयवों को $0$ पर मैप किया जाना चाहिए। ऐसा करने का केवल $1$ तरीका है।
$3$. अवयव $99$ को $0$ या $1$ पर मैप किया जा सकता है। इसके लिए $2$ विकल्प हैं।
$4$. अवयव $100$ को $0$ या $1$ पर मैप किया जा सकता है। इसके लिए $2$ विकल्प हैं।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,ऐसे कुल फलनों की संख्या $98 \times 1 \times 2 \times 2 = 392$ है।

(C) दिए गए समुच्चय हैं:
$A: x^2 + y^2 = 25$
$B: x^2 + 9y^2 = 144$
$C: \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x^2 + y^2 \leq 4\}$
$D = A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ और $B$ के समीकरणों को हल करते हैं:
$x^2 = 25 - y^2$
$B$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(25 - y^2) + 9y^2 = 144$
$8y^2 = 119 \Rightarrow y^2 = \frac{119}{8} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{119}{8}}$
$x^2 = 25 - \frac{119}{8} = \frac{200 - 119}{8} = \frac{81}{8} \Rightarrow x = \pm \frac{9}{2\sqrt{2}}$
अतः,$D$ में $4$ बिंदु हैं: $\left(\pm \frac{9}{2\sqrt{2}}, \pm \sqrt{\frac{119}{8}}\right)$। इसलिए,$|D| = 4$।
अब,$C$ के अवयव ज्ञात करें जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$ और $x^2 + y^2 \leq 4$:
संभावित पूर्णांक युग्म $(x, y)$ हैं:
$(0, 0), (0, 1), (0, -1), (0, 2), (0, -2), (1, 0), (-1, 0), (2, 0), (-2, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$।
इनकी गणना करने पर,हमें $|C| = 13$ प्राप्त होता है।
$D$ से $C$ तक एकैकी फलनों की संख्या $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = |C| = 13$ और $r = |D| = 4$।
फलनों की कुल संख्या $= 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 17160$।

(C) महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ को $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
यदि $x$ एक पूर्णांक है,तो $[x] = x$,जिसका अर्थ है $[x] + 1 = x + 1 > x$.
यदि $x$ एक पूर्णांक नहीं है,तो $[x] < x < [x] + 1$.
दोनों ही स्थितियों में,हमें $[x] + 1 > x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$ है।
यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{-(-x)}}{e^{-x} - e^{-(-x)}}$
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}}$
हर (denominator) से ऋण चिह्न बाहर निकालने पर:
$f(-x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{-(e^{x} - e^{-x})}$
$f(-x) = -\left( \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \right)$
$f(-x) = -f(x)$
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।

(C) एकैकी की जाँच के लिए: माना $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1+3}{3x_1+4} = \frac{2x_2+3}{3x_2+4}$
$(2x_1+3)(3x_2+4) = (2x_2+3)(3x_1+4)$
$6x_1x_2 + 8x_1 + 9x_2 + 12 = 6x_1x_2 + 8x_2 + 9x_1 + 12$
$8x_1 + 9x_2 = 8x_2 + 9x_1$
$x_1 = x_2$. अतः,फलन एकैकी है।
आच्छादक की जाँच के लिए: माना $y = \frac{2x+3}{3x+4}$.
$y(3x+4) = 2x+3$
$3xy + 4y = 2x+3$
$x(3y-2) = 3-4y$
$x = \frac{3-4y}{3y-2}$.
$x$ के परिभाषित होने के लिए $3y-2 \neq 0$,अतः $y \neq \frac{2}{3}$.
फलन का परिसर $\mathbb{R} - \{\frac{2}{3}\}$ है,जो कि सह-प्रांत है। अतः,$y \neq \frac{2}{3}$ के लिए फलन आच्छादक है।

(B) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है जो $f(x) = |x|$ द्वारा परिभाषित है।
एक फलन के एकैकी (injective) होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(-1) = |-1| = 1$ और $f(1) = |1| = 1$ है।
चूंकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
एक फलन के आच्छादक (surjective) होने के लिए,उसका परिसर उसके सह-प्रांत के बराबर होना चाहिए।
सह-प्रांत $R$ (सभी वास्तविक संख्याएँ) है,लेकिन $f(x) = |x|$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
चूंकि परिसर $[0, \infty) \neq R$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x}{x-1}$।
एकैकी फलन की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$।
चूंकि प्रत्येक $x \in A$ के लिए $f'(x) < 0$ है,फलन $f$ निरंतर ह्रासमान है,जिसका अर्थ है कि $f$ एकैकी है।
आच्छादक फलन की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $f(x) = y$। तब $y = \frac{2x}{x-1} \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$।
यदि $f$ आच्छादक है,तो प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$A$ में एक ऐसा $x$ होना चाहिए कि $f(x) = y$।
यदि $y = 2$ है,तो $x = \frac{2}{0}$ प्राप्त होता है जो अपरिभाषित है। अतः,$2$ का $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
इसके अलावा,यदि $y = 4$ है,तो $x = \frac{4}{4-2} = 2$। लेकिन $2$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $2 \notin A$।
चूंकि सह-प्रांत $R$ में ऐसे अवयव मौजूद हैं जिनका $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(B) दिया गया है,$f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = x|x|$ है।
हम फलन को इस प्रकार पुनः परिभाषित कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$
$1$. एक-एक (one-one) की जाँच: चूँकि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है (क्योंकि $f'(x) = 2|x| \ge 0$ सभी $x \in R$ के लिए और $x \neq 0$ के लिए $f'(x) > 0$),इसलिए यह एक-एक फलन है।
$2$. आच्छादक (onto) की जाँच: जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow \infty$ और जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$। चूँकि फलन का परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत $R$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एक-एक और आच्छादक (bijective) है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = [8x] - 3$ है।
$f(\pi)$ ज्ञात करने के लिए,हम फलन में $x = \pi$ प्रतिस्थापित करते हैं।
चूँकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $8\pi \approx 8 \times 3.14159 = 25.1327$ होता है।
अतः,$f(\pi) = [8\pi] - 3 = [25.1327] - 3$।
महत्तम पूर्णांक फलन $[25.1327]$ का मान $25$ है।
इस प्रकार,$f(\pi) = 25 - 3 = 22$।

(B) पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर $f(x) = x^3 + 2$ एकैकी और आच्छादक है या नहीं,यह जाँचने के लिए:
$1$. एकैकी जाँच: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तो $x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2$,जिसका अर्थ है $x_1^3 = x_2^3$। चूँकि घन फलन एक वर्धमान फलन है,इसलिए $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है। अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक जाँच: $f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{Z}$ के लिए,एक ऐसा $x \in \mathbb{Z}$ होना चाहिए कि $y = x^3 + 2$ हो। इसका अर्थ है $x^3 = y - 2$,या $x = \sqrt[3]{y - 2}$। $x$ के पूर्णांक होने के लिए,$y - 2$ को एक पूर्ण घन होना चाहिए। उदाहरण के लिए,यदि $y = 3$ है,तो $x^3 = 3 - 2 = 1$,इसलिए $x = 1 \in \mathbb{Z}$। हालाँकि,यदि $y = 0$ है,तो $x^3 = 0 - 2 = -2$। चूँकि $-2$ किसी भी पूर्णांक का पूर्ण घन नहीं है,इसलिए ऐसा कोई $x \in \mathbb{Z}$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 0$ हो। इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) एक फलन $f: A \to A$ एकैकी (one-one) होता है यदि प्रांत (domain) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत (codomain) में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
चूंकि समुच्चय $A$ में $n = 4$ अवयव हैं,इसलिए $A$ से $A$ तक एकैकी फलनों की संख्या $n$ अवयवों के क्रमचय (permutations) के बराबर होती है,जो $n!$ है।
यहाँ $n = 4$ है,इसलिए एकैकी फलनों की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ होगी।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $h(x) = (f+g)(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ है।
इस अंतराल में,साइन फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है (यह पहले बढ़ता है और फिर घटता है),इसलिए $f+g$ एकैकी नहीं है।
माना $k(x) = (fg)(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$2x \in [0, \pi]$ है।
इस अंतराल में,साइन फलन एकदिष्ट नहीं है (यह पहले बढ़ता है और फिर घटता है),इसलिए $fg$ एकैकी नहीं है।
अतः,$f+g$ और $fg$ दोनों एकैकी नहीं हैं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x) = x^3$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है या नहीं:
$1$. एकैकी के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$,तो $x_1^3 = x_2^3$। दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है। अतः,फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक के लिए: किसी भी $y \in R$ (सह-प्रांत) के लिए,हमें $x \in R$ (प्रांत) खोजना होगा ताकि $f(x) = y$ हो। चूँकि $x^3 = y$,इसलिए $x = y^{1/3}$ है। चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या $y$ के लिए $y^{1/3}$ परिभाषित है,इसलिए प्रत्येक $y \in R$ के लिए $x = y^{1/3} \in R$ मौजूद है। अतः,फलन आच्छादक है।
इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ एकैकी (one-one) है या आच्छादक (onto),हम इसके गुणों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. एकैकी जाँच: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 + 3x_1 + 4 = x_2^2 + 3x_2 + 4$। यह सरल होकर $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) = 0$ बन जाता है। चूँकि $x_1 = - (x_2 + 3)$ संभव है,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।
$2$. आच्छादक जाँच: द्विघात फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ का परिसर (range) $[-\frac{D}{4a}, \infty)$ है। यहाँ $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$ है। अतः,परिसर $[-\frac{-7}{4}, \infty) = [1.75, \infty)$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन बहु-एक है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) यह जाँचने के लिए कि फलन $f: N \rightarrow Z$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है या नहीं,हम इसके प्रतिचित्रण का विश्लेषण करते हैं:
$1$. एकैकी की जाँच:
यदि $n$ सम है,तो $f(n) = \frac{n}{2}$। $n \in \{2, 4, 6, \dots\}$ के लिए,मान $f(2)=1, f(4)=2, f(6)=3, \dots$ प्राप्त होते हैं,जो धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots\}$ पर मैप होते हैं।
यदि $n$ विषम है,तो $f(n) = -\left(\frac{n-1}{2}\right)$। $n \in \{1, 3, 5, \dots\}$ के लिए,मान $f(1)=0, f(3)=-1, f(5)=-2, \dots$ प्राप्त होते हैं,जो गैर-धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय $\{0, -1, -2, \dots\}$ पर मैप होते हैं।
चूँकि प्रत्येक भिन्न इनपुट $n \in N$ के लिए $Z$ में एक भिन्न आउटपुट प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक की जाँच:
किसी भी पूर्णांक $y \in Z$ के लिए,यदि $y > 0$ है,तो हम $n = 2y$ (जो सम है) चुन सकते हैं,जिससे $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$। यदि $y \le 0$ है,तो हम $n = -2y + 1$ (जो विषम है) चुन सकते हैं,जिससे $f(-2y+1) = -\left(\frac{-2y+1-1}{2}\right) = -(-y) = y$। चूँकि प्रत्येक $y \in Z$ का $N$ में पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एकैकी और आच्छादक है।

(C) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है,तो $x_1+1 = x_2-1$,अतः $x_2 - x_1 = 2$। चूँकि $x_1$ विषम है,$x_1+1$ सम है। चूँकि $x_2$ सम है,$x_2-1$ विषम है। यह $f(x_1) = f(x_2)$ का विरोधाभास करता है।
यदि दोनों विषम हैं,तो $x_1+1 = x_2+1 \implies x_1 = x_2$।
यदि दोनों सम हैं,तो $x_1-1 = x_2-1 \implies x_1 = x_2$।
अतः,$f$ एकैकी है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है:
किसी भी $y \in N$ के लिए,यदि $y$ विषम है,तो हम $x = y+1$ (जो सम है) चुन सकते हैं,तब $f(y+1) = (y+1)-1 = y$।
यदि $y$ सम है,तो हम $x = y-1$ (जो विषम है) चुन सकते हैं,तब $f(y-1) = (y-1)+1 = y$।
चूँकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद है कि $f(x) = y$,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(C) दिया गया है कि $f: N \rightarrow N$,$f(x) = x^6$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ जहाँ $x_1, x_2 \in N$.
अतः $x_1^6 = x_2^6$.
चूँकि $x_1, x_2 \in N$ (प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं),हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत $(N)$ के बराबर हो।
$f(x) = x^6$ के लिए,परिसर ${1^6, 2^6, 3^6, \dots} = {1, 64, 729, \dots}$ है।
यहाँ परिसर सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (उदाहरण के लिए,$2 \in N$ है लेकिन कोई भी $x \in N$ ऐसा नहीं है कि $x^6 = 2$),इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(B) $f: N \rightarrow N$ के लिए $f(x) = x^3$ एकैकी और आच्छादक है या नहीं,यह जांचने के लिए:
$1$. एकैकी (one-one) जांच: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तब $x_1^3 = x_2^3$ होगा। चूँकि $x_1, x_2 \in N$ हैं,इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$। अतः,फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक (onto) जांच: एक फलन के आच्छादक होने के लिए,उसका परिसर सह-प्रांत $(N)$ के बराबर होना चाहिए। यदि हम $y = 2 \in N$ (सह-प्रांत) लें,तो ऐसा कोई $x \in N$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $x^3 = 2$ हो (क्योंकि $\sqrt[3]{2} \notin N$)। अतः,फलन आच्छादक नहीं है।
इसलिए,यह फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) एक फलन $f: A \to A$ एकैकी (one-one) होता है यदि प्रांत (domain) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत (codomain) में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के लिए,उस समुच्चय से स्वयं पर एकैकी फलनों की संख्या $n!$ होती है।
यहाँ,समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है,इसलिए $n = 5$ है।
एकैकी फलनों की संख्या $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $f: N \times N \rightarrow N$ फलन $f(m, n) = mn$ के लिए:
$1$. एक-एक (one-one) की जाँच:
मान लीजिए $f(1, 4) = 1 \times 4 = 4$ और $f(2, 2) = 2 \times 2 = 4$ है।
यहाँ $f(1, 4) = f(2, 2)$ है लेकिन $(1, 4) \neq (2, 2)$,इसलिए फलन एक-एक नहीं है। अतः यह अनेक-एक है।
$2$. आच्छादक (onto) की जाँच:
फलन के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $n \in N$ के लिए,एक ऐसा $(m, k) \in N \times N$ मौजूद होना चाहिए कि $f(m, k) = mk = n$ हो।
किसी भी $n \in N$ के लिए,हम हमेशा $(1, n) \in N \times N$ चुन सकते हैं ताकि $f(1, n) = 1 \times n = n$ हो।
चूँकि सह-प्रांत $N$ के प्रत्येक अवयव $n$ के लिए प्रांत $N \times N$ में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब $(1, n)$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन अनेक-एक और आच्छादक है। सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin([\pi^2]x) - \sin([-\pi^2]x)$.
चूंकि $\pi^2 \approx 9.869$,इसलिए $[\pi^2] = 9$.
चूंकि $-\pi^2 \approx -9.869$,इसलिए $[-\pi^2] = -10$.
अतः,$f(x) = \sin(9x) + \sin(10x)$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) f(0) = 0$ (सत्य).
$B) f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{9\pi}{2}) + \sin(5\pi) = 1 + 0 = 1$ (सत्य).
$C) f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{9\pi}{4}) + \sin(\frac{5\pi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$ (सत्य).
$D) f(\pi) = \sin(9\pi) + \sin(10\pi) = 0$. अतः $f(\pi) = -1$ असत्य है।

(A) दिया गया फलन:
$f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$
$f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद का अलग-अलग मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $f(-1)$ के लिए: चूँकि $-1 \leq 1$,हम तीसरी शर्त $f(x) = 3x$ का उपयोग करेंगे। अतः,$f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ के लिए: चूँकि $1 < 2 \leq 3$,हम दूसरी शर्त $f(x) = x^2$ का उपयोग करेंगे। अतः,$f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ के लिए: चूँकि $4 > 3$,हम पहली शर्त $f(x) = 2x$ का उपयोग करेंगे। अतः,$f(4) = 2(4) = 8$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(A) $[0, \frac{\pi}{2}]$ पर $f(x) = \sin x$ के लिए,फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है।
$[0, \frac{\pi}{2}]$ पर $g(x) = \cos x$ के लिए,फलन निरंतर ह्रासमान है,इसलिए यह एकैकी है।
अतः,कथन $(I)$ सही है।
अब,$(f+g)(x) = \sin x + \cos x$ पर विचार करें।
अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$(f+g)(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$(f+g)(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
चूंकि $(f+g)(0) = (f+g)(\frac{\pi}{2})$ है लेकिन $0 \neq \frac{\pi}{2}$,इसलिए फलन $f+g$ एकैकी नहीं है।
अतः,कथन $(II)$ गलत है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ है,जहाँ $A = \{x \in R : x \neq 1, 2, 3, \dots\}$।
एकैकी (injectivity) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in A$ के लिए $f'(x) < 0$ है,फलन निरंतर ह्रासमान है,जिसका अर्थ है कि $f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjectivity) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{2x}{x-1}$।
$y(x-1) = 2x \implies yx - y = 2x \implies x(y-2) = y \implies x = \frac{y}{y-2}$.
$f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in R$ के लिए $x \in A$ का अस्तित्व होना चाहिए। यदि $y = 2$ है,तो $x$ अपरिभाषित है। इसके अतिरिक्त,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक न हो। यदि हम $y$ को इस प्रकार चुनें कि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक बन जाए (उदाहरण के लिए,यदि $x=2$,तो $y = \frac{2(2)}{2-1} = 4$),तो $y=4$ का पूर्व-प्रतिबिंब $x=2$ है,लेकिन $2 \notin A$ है। अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।