Type of Functions based on Mapping Questions in Hindi

(D) फलन $f(x) = x|x|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & -1 \leq x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
एकैकी होने के लिए: अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है (क्योंकि इसका अवकलज $f'(x) = 2|x| \geq 0$ है),इसलिए यह एकैकी है।
आच्छादक होने के लिए: $x \in [-1, 0)$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-1, 0]$ है और $x \in [0, 1]$ के लिए $[0, 1]$ है। इन दोनों को मिलाने पर,परिसर $[-1, 1]$ प्राप्त होता है,जो कि सह-प्रांत $A$ के बराबर है। अतः,फलन आच्छादक है।
चूंकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव है।

(C) दिया गया है,$f(x) = (x^{2} + 1)^{35}$ सभी $x \in R$ के लिए।
एकैकी (one-one) के लिए: जाँचें कि क्या $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ है।
$f(1) = (1^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$ और $f(-1) = ((-1)^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$।
चूँकि $f(1) = f(-1)$ लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) के लिए: $f(x)$ का परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर होना चाहिए।
चूँकि $x^{2} \geq 0$,हमारे पास $x^{2} + 1 \geq 1$ है,जिसका अर्थ है $(x^{2} + 1)^{35} \geq 1^{35} = 1$।
अतः,परिसर $[1, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) दिया गया है कि सभी $x \in X$ के लिए $f(f(x)) = x$ है।
एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने पर,हमें $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(f(x)) = x$ है,इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ है।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए:
किसी भी $y \in X$ के लिए,मान लीजिए $x = f(y)$ है।
तब $f(x) = f(f(y)) = y$ होगा।
चूँकि प्रत्येक $y \in X$ के लिए,एक ऐसा $x \in X$ मौजूद है जिसके लिए $f(x) = y$ है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + bx + c$ है।
यह एक द्विघात फलन है जो एक परवलय को दर्शाता है।
फलन के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(x) = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})$ है।
चूँकि वर्ग पद हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ अनिवार्य रूप से $x_1 = x_2$ नहीं है (उदाहरण के लिए,$f(x) = x^2$ में $f(1) = f(-1) = 1$),इसलिए यह बहु-एक (many-to-one) फलन है।
इसके अलावा,इस फलन का परिसर $[c - \frac{b^2}{4}, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है (यदि सह-प्रांत $\mathbb{R}$ है),इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
अतः,यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) माना $A = \{1, 2, \ldots, 11\}$ और $B = \{1, 2, \ldots, 10\}$ है।
यहाँ,$n(A) = 11$ और $n(B) = 10$ है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से $n$ अवयवों वाले समुच्चय $B$ तक आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m$ है।
जब $m = n+1$ होता है,तो आच्छादक फलनों की संख्या $\binom{m}{2} \times n! = 55 \times 10!$ होती है।
यह मान $5.5 \times 11!$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $f(x) = x + 2$ जहाँ $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
फलन के मानों की गणना करने पर:
$f(1) = 1 + 2 = 3$
$f(2) = 2 + 2 = 4$
$f(3) = 3 + 2 = 5$
$f(4) = 4 + 2 = 6$
चूंकि समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का समुच्चय $B$ में एक अलग प्रतिबिंब है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) है।
चूंकि परिसर $\{3, 4, 5, 6\}$ सह-प्रांत $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है।

(D) चरण $1$: एकैकी (injective) गुण की जाँच करें। मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$.
$(n_1+5)^2 = (n_2+5)^2$.
चूँकि $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$,$n_1+5 > 0$ और $n_2+5 > 0$ है। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर,हमें $n_1+5 = n_2+5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n_1 = n_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
चरण $2$: आच्छादक (surjective) गुण की जाँच करें। $f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{N}$ के लिए,एक ऐसा $n \in \mathbb{N}$ होना चाहिए कि $f(n) = y$ हो।
मान लीजिए $f(n) = (n+5)^2 = y$ है। चूँकि $n \ge 1$,$f(n)$ का न्यूनतम मान $(1+5)^2 = 36$ है।
इस प्रकार,सह-प्रांत $\mathbb{N}$ में $1, 2, 3, \dots, 35$ जैसी संख्याओं का प्रांत $\mathbb{N}$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
उदाहरण के लिए,ऐसा कोई $n \in \mathbb{N}$ नहीं है जिसके लिए $(n+5)^2 = 1$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(B) कथन $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & x \ge 0 \\ \frac{x}{1-x}, & x < 0 \end{cases}$
$x \ge 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$.
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$.
चूंकि अवकलज हमेशा धनात्मक है,फलन निरंतर वर्धमान है और इसलिए यह एकैकी है। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II$: $f(x) = \frac{x^2+4x-30}{x^2-8x+18}$.
यह जांचने के लिए कि क्या यह बहु-एक है,हम देखते हैं कि क्या ऐसे $x_1 \neq x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$ हो।
मान लीजिए $f(x) = k$. तब $k(x^2-8x+18) = x^2+4x-30$.
$(k-1)x^2 - (8k+4)x + (18k+30) = 0$.
इसके दो अलग-अलग मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ धनात्मक होना चाहिए।
$D = (8k+4)^2 - 4(k-1)(18k+30) > 0$.
$16(2k+1)^2 - 24(k-1)(3k+5) > 0$.
$16(4k^2+4k+1) - 24(3k^2+2k-5) > 0$.
$64k^2+64k+16 - 72k^2-48k+120 > 0$.
$-8k^2+16k+136 > 0 \Rightarrow k^2-2k-17 < 0$.
चूंकि $k$ की ऐसी सीमा मौजूद है जिसके लिए दो अलग-अलग मूल प्राप्त होते हैं,इसलिए फलन बहु-एक है। अतः,कथन $II$ सही है।

(D) माना $S$,$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से $B = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ तक के सभी निरंतर वर्धमान फलनों का समुच्चय है। ऐसे कुल फलनों की संख्या $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
हम उन फलनों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए सभी $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए $f(i) \neq i$ हो।
निरंतर वर्धमान फलन के लिए,यदि $f(i) \neq i$ की शर्त हो,तो ऐसे फलनों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\binom{m-1}{n}$ है,जहाँ $n=6$ और $m=9$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या = $\binom{9-1}{6} = \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.

(D) यह जाँचने के लिए कि फलन एकैकी (one-one) है या नहीं: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तब $x_1^3 = x_2^3$,जिसका अर्थ है $x_1 = x_2$। इसलिए,फलन एकैकी है।
यह जाँचने के लिए कि फलन आच्छादक (onto) है या नहीं: किसी भी $y \in R$ के लिए,हम $x = \sqrt[3]{y}$ पा सकते हैं ताकि $f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ हो। चूँकि सह-प्रांत $R$ के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत $R$ में एक $x$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह एक बाइजेक्टिव (bijective) फलन है।

(C) एकैकी के लिए परीक्षण: $f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ और $f(2) = \frac{2}{2} = 1$ है। चूंकि $1 \neq 2$ के लिए $f(1) = f(2)$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आच्छादक के लिए परीक्षण: किसी भी $y \in N$ के लिए,यदि $y$ विषम है,तो हम $n = 2y-1$ ले सकते हैं,तब $f(2y-1) = \frac{(2y-1)+1}{2} = y$ होगा। यदि $y$ सम है,तो हम $n = 2y$ ले सकते हैं,तब $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ होगा। इस प्रकार,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए प्रांत में एक पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,फलन आच्छादक है।

(B) $4$ अवयवों के समुच्चय से $3$ अवयवों के समुच्चय तक कुल फलनों की संख्या $3^4 = 81$ है।
एक आच्छादक फलन (surjective function) के लिए यह आवश्यक है कि सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब हो।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,आच्छादक फलनों की संख्या $3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 81 - 3(16) + 3(1) = 81 - 48 + 3 = 36$ है।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं,उनकी संख्या कुल फलनों में से आच्छादक फलनों की संख्या घटाने पर प्राप्त होती है।
अतः,आच्छादक न होने वाले फलनों की संख्या = $81 - 36 = 45$ है।

(NONE) दिया गया है कि $f: A \to A$ एक एकैकी फलन है जहाँ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
शर्त $f(2) + f(3) = 5$ और $f(3) \le 4$ है।
संभावित जोड़े $(f(2), f(3))$ हैं: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$।
चूंकि फलन एकैकी है,$f(1), f(2), f(3)$ अलग-अलग होने चाहिए।
स्थिति $1$: $(f(2), f(3)) = (1, 4)$। तब $f(1) \in A \setminus \{1, 4\} = \{2, 3, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। शेष $3$ अवयवों को $3! = 6$ तरीकों से मैप किया जा सकता है। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $2$: $(f(2), f(3)) = (4, 1)$। तब $f(1) \in A \setminus \{4, 1\} = \{2, 3, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $3$: $(f(2), f(3)) = (2, 3)$। तब $f(1) \in A \setminus \{2, 3\} = \{1, 4, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $4$: $(f(2), f(3)) = (3, 2)$। तब $f(1) \in A \setminus \{3, 2\} = \{1, 4, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
कुल फलनों की संख्या $= 18 + 18 + 18 + 18 = 72$।