फलन f(x) = frac{sqrt{1 - x^2}}{1 + |x|} का पर | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + |x|}$ है।चूंकि $\sqrt{1 - x^2}$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है,हम $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित कर स

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$[0, 1]$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + |x|}$ है।चूंकि $\sqrt{1 - x^2}$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है,हम $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जहाँ $	heta \in [-\pi/2, \pi/2]$.तब $|x| = |\sin 	heta|$ और $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 	heta} = \sqrt{\cos^2 	heta} = |\cos 	heta|$.अतः,$f(x) = \frac{|\cos 	heta|}{1 + |\sin 	heta|}$.माना $t = |\sin 	heta|$,जहाँ $t \in [0, 1]$. तब $|\cos 	heta| = \sqrt{1 - t^2}$.इस प्रकार,$y = \frac{\sqrt{1 - t^2}}{1 + t} = \frac{\sqrt{(1 - t)(1 + t)}}{1 + t} = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$.जैसे-जैसे $t$,$0$ से $1$ तक बढ़ता है,व्यंजक $\frac{1 - t}{1 + t}$,$1$ से $0$ तक घटता है।इसलिए,$y = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$ का परिसर $[0, 1]$ है।

फलन $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + |x|}$ का परिसर (range) ज्ञात कीजिए।

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निम्नलिखित वास्तविक फलन का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए:
$f(x) = -|x|$

$f(x) = \frac{|x - 3|}{x - 3}$ का प्रांत (domain) और परिसर (range) क्रमशः क्या हैं?

वास्तविक मान वाले फलन $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x-2}{2x^2-7x+5}} + \log(x^2-x-2)$ का प्रांत (domain) है

$x$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय जिनके लिए वास्तविक मान फलन $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ परिभाषित है,है

$f(x) = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1}\right)}$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।

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