फलन f(x) = (1 + frac{1}{x})^x दिया गया है। तो | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $y = (1 + \frac{1}{x})^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है। जब $x 	o \infty$,तब $

Vedclass · Accepted Answer

$(1, e)$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = (1 + \frac{1}{x})^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है। जब $x 	o \infty$,तब $\ln(y) = x(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = 1 - \frac{1}{2x} + \dots 	o 1$,अतः $y 	o e$. जब $x 	o -\infty$,तब $\ln(y) = x(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = 1 - \frac{1}{2x} + \dots 	o 1$,अतः $y 	o e$. जब $x 	o 0^+$,तब $\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x}) 	o 0 \cdot \infty$. $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x 	o 0^+} \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x} = \lim_{t 	o \infty} \frac{\ln(1+t)}{t} = 0$,अतः $y 	o e^0 = 1$. अवकलज $f'(x) = f(x) [\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}]$ का विश्लेषण करने पर,फलन $(-\infty, -1)$ और $(0, \infty)$ पर वर्धमान है। अतः,फलन का परिसर $(1, e)$ है।

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ यदि $-1 < x < 1$,तो $f(x)$ संतुष्ट करता है	$(p)$ $0 < f(x) < 1$
$(B)$ यदि $1 < x < 2$,तो $f(x)$ संतुष्ट करता है	$(q)$ $f(x) < 0$
$(C)$ यदि $3 < x < 5$,तो $f(x)$ संतुष्ट करता है	$(r)$ $f(x) > 0$
$(D)$ यदि $x > 5$,तो $f(x)$ संतुष्ट करता है	$(s)$ $f(x) < 1$

फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ दिया गया है। तो फलन $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

फलन $f(x) = \frac{1}{[x]-1}$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$,$x$ का महत्तम पूर्णांक फलन है।

यदि $R-(\alpha, \beta)$,$\frac{x+3}{(x-1)(x+2)}$ का परिसर (range) है,तो निर्देशांक अक्षों पर रेखा $\alpha x+\beta y+1=0$ के अंतःखंडों (intercepts) का योग क्या है?

वास्तविक मान वाले फलन $f(x) = \sqrt{\frac{2-|x|}{3-|x|}}$ का प्रांत (domain) है

फलन $f(x) = \sin^2(x^4) + \cos^2(x^4)$ का परिसर (range) है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module