एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता वितरण निम्नलिख | vedclass

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Question

(A) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n}{n}$ द्वारा दिया जाता है।$E(X) = \frac{

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$\frac{n^2-1}{12}$

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(A) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n}{n}$ द्वारा दिया जाता है।$E(X) = \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = \frac{1^2}{n} + \frac{2^2}{n} + \frac{3^2}{n} + \dots + \frac{n^2}{n}$ द्वारा दिया जाता है।$E(X^2) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.$X$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।$\operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$.$\operatorname{Var}(X) = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.लघुत्तम समापवर्त्य $12$ लेने पर:$\operatorname{Var}(X) = \frac{2(2n^2 + 3n + 1) - 3(n^2 + 2n + 1)}{12} = \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

$X = x$	$1$	$2$	$3$	$\dots$	$n$
$P(X = x)$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{n}$	$\dots$	$\frac{1}{n}$

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