Probability distribution Questions in Hindi

(B) अपेक्षित मान $E[X^2]$ की गणना $E[X^2] = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
दिया गया प्रायिकता वितरण:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$0.2$	$0.5$	$0.3$

$E[X^2] = (0^2 \times 0.2) + (1^2 \times 0.5) + (2^2 \times 0.3)$
$E[X^2] = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (4 \times 0.3)$
$E[X^2] = 0 + 0.5 + 1.2$
$E[X^2] = 1.7$

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
अतः,$\sum_{i=1}^{100} P(X=x_i) = 1$.
दी गई प्रायिकता $P(X=x_i) = K i(i+1)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K \sum_{i=1}^{100} (i^2 + i) = 1$.
$n=100$ के लिए योग सूत्रों $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$K \left[ \frac{100(101)(201)}{6} + \frac{100(101)}{2} \right] = 1$.
$K \left[ \frac{100 \times 101}{2} \left( \frac{201}{3} + 1 \right) \right] = 1$.
$K \left[ 5050 \times (67 + 1) \right] = 1$.
$K \times 5050 \times 68 = 1$.
$K = \frac{1}{5050 \times 68} = \frac{1}{343400}$.
इसलिए,$200 K = \frac{200}{343400} = \frac{2}{3434} = \frac{1}{1717}$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दी गई प्रायिकता वितरण के लिए:
$\sum P(X) = 1$
$K + 2K + K^2 + 2K^2 + 5K^2 + K + K + 2K = 1$
$8K^2 + 7K - 1 = 0$
$(8K - 1)(K + 1) = 0$
चूंकि $K > 0$,इसलिए $K = \frac{1}{8}$ है।
घटनाएँ $E = \{2, 3, 5, 7\}$ और $F = \{1, 2, 3\}$ हैं।
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ है।
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5) + P(7)$
$P(E \cup F) = K + 2K + K^2 + 5K^2 + K = 6K^2 + 4K$
$K = \frac{1}{8}$ रखने पर:
$P(E \cup F) = 6(\frac{1}{64}) + 4(\frac{1}{8}) = \frac{6}{64} + \frac{32}{64} = \frac{38}{64}$.

(A) दुर्घटनाओं की संख्या $\lambda = 3$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण का पालन करती है।
पॉइसन यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots$ है।
हमें आज कोई दुर्घटना न होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X = 0)$ के बराबर है।
सूत्र में $\lambda = 3$ और $x = 0$ रखने पर:
$P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!}$।
चूँकि $3^0 = 1$ और $0! = 1$ होता है,हमें प्राप्त होता है:
$P(X = 0) = \frac{1 \times e^{-3}}{1} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$।
अतः,आज कोई दुर्घटना न होने की प्रायिकता $\frac{1}{e^3}$ है।

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$.
पदों को जोड़ने पर,हमें $0.6 + 4k = 1$ प्राप्त होता है।
$4k = 0.4$,जिसका अर्थ है $k = 0.1$.
$X$ का माध्य,जिसे $E(X)$ द्वारा दर्शाया जाता है,$\sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (-2 \times 0.1) + (-1 \times 0.1) + (0 \times 0.2) + (1 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.1)$.
$E(X) = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3$.
$E(X) = 0.8$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum P(X=x) = 1$.
$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$
$k$ वाले पदों और अचर पदों को जोड़ने पर:
$(0.1 + 0.2 + 0.3) + (k + 2k + k) = 1$
$0.6 + 4k = 1$
$4k = 1 - 0.6$
$4k = 0.4$
$k = \frac{0.4}{4}$
$k = 0.1$

(C) यादृच्छिक चर $X$ के लिए दिया गया प्रायिकता वितरण:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X=x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline P(X=x_i) & 0.2 & 0.3 & 0.12 & 0.1 & 0.2 & 0.08 \\\hline \end{array}$
यहाँ घटनाएँ $A$ और $B$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A = \{x_i \mid x_i \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5\}$
$B = \{x_i \mid x_i < 4\} = \{1, 2, 3\}$
इन दो घटनाओं का संघ $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A \cup B)$ इन व्यक्तिगत परिणामों की प्रायिकताओं का योग है:
$P(A \cup B) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$P(A \cup B) = 0.2 + 0.3 + 0.12 + 0.2 = 0.82$
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया प्रायिकता फलन $P(X=k)=c k^2$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है और $k \in\{0,1,2,3,4\}$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{k=0}^{4} P(X=k) = 1$ है।
$c(0^2) + c(1^2) + c(2^2) + c(3^2) + c(4^2) = 1$
$c(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 1$
$30c = 1 \implies c = \frac{1}{30}$।
हम जानते हैं कि प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ होता है,जहाँ $\mu = E(X)$ है।
इसलिए,$\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$।
$E(X^2) = \sum_{k=0}^{4} k^2 P(X=k) = \sum_{k=0}^{4} k^2 (c k^2) = c \sum_{k=0}^{4} k^4$।
$E(X^2) = c(0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4) = c(0 + 1 + 16 + 81 + 256) = 354c$।
$c = \frac{1}{30}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sigma^2 + \mu^2 = 354 \times \frac{1}{30} = \frac{354}{30} = 11.8$।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दी गई जानकारी के अनुसार,कुल पृष्ठों की संख्या $250$ है और कुल त्रुटियों की संख्या $200$ है।
प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\lambda = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0.8$.
पॉइसन प्रायिकता वितरण का सूत्र $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ है।
एक पृष्ठ में कोई त्रुटि न होने $(x=0)$ की प्रायिकता है:
$P(X=0) = \frac{e^{-0.8} (0.8)^0}{0!} = e^{-0.8} = e^{-4/5}$.
$5$ पृष्ठों के यादृच्छिक नमूने के लिए,यह प्रायिकता कि उनमें से किसी में भी कोई त्रुटि न हो:
$P = (P(X=0))^5 = (e^{-4/5})^5 = e^{-4}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) दिया गया है कि $X$ का प्रायिकता वितरण $P(X=0)=3C^3$,$P(X=2)=5C-10C^2$,और $P(X=4)=4C-1$ है।
हम जानते हैं कि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\Sigma P(X)=1$ है।
$3C^3 + (5C-10C^2) + (4C-1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(C-1)(3C^2-7C+2) = 0$
$(C-1)(3C-1)(C-2) = 0$
अतः $C = 1, \frac{1}{3}, 2$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच होनी चाहिए,इसलिए $C=\frac{1}{3}$ लेने पर।
$C=\frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$P(X=0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$
$P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{5}{9}$
$P(X=4) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3}$
माध्य $E(X) = \Sigma X P(X) = (0 \times \frac{1}{9}) + (2 \times \frac{5}{9}) + (4 \times \frac{1}{3}) = \frac{22}{9}$।
वर्गों का माध्य $E(X^2) = \Sigma X^2 P(X) = (0^2 \times \frac{1}{9}) + (2^2 \times \frac{5}{9}) + (4^2 \times \frac{1}{3}) = \frac{68}{9}$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{68}{9} - (\frac{22}{9})^2 = \frac{612-484}{81} = \frac{128}{81}$।

(D) माना $P(X=-1) = a$,$P(X=0) = b$,और $P(X=1) = c$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $a + b + c = 1$ है।
दिया गया है कि $P(X=0) = b = 0.2$ है।
योग में $b$ का मान रखने पर: $a + 0.2 + c = 1 \Rightarrow a + c = 0.8 \Rightarrow a = 0.8 - c$ है।
यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0.2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(-1)(a) + (0)(b) + (1)(c) = 0.2$ है।
$-a + c = 0.2$ है।
समीकरण में $a = 0.8 - c$ रखने पर: $-(0.8 - c) + c = 0.2$ है।
$-0.8 + c + c = 0.2$ है।
$2c = 1.0$ है।
$c = 0.5$ है।
अतः,$P(X=1) = 0.5$ है।

(A) माना $X$ निकाली गई लाल गेंदों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। गेंदों की कुल संख्या $4 + 5 = 9$ है। $9$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीके ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \frac{{}^4C_3}{{}^9C_3} = \frac{4}{84}$
$P(X=1) = \frac{{}^4C_2 \times {}^5C_1}{{}^9C_3} = \frac{6 \times 5}{84} = \frac{30}{84}$
$P(X=2) = \frac{{}^4C_1 \times {}^5C_2}{{}^9C_3} = \frac{4 \times 10}{84} = \frac{40}{84}$
$P(X=3) = \frac{{}^4C_0 \times {}^5C_3}{{}^9C_3} = \frac{1 \times 10}{84} = \frac{10}{84}$
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{4}{84} + 1 \times \frac{30}{84} + 2 \times \frac{40}{84} + 3 \times \frac{10}{84}$
$E(X) = \frac{0 + 30 + 80 + 30}{84} = \frac{140}{84} = \frac{5}{3}$.
अतः,माध्य $\frac{5}{3}$ है। इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + 3K + K = 1$
$\frac{4}{8} + 4K = 1$
$\frac{1}{2} + 4K = 1 \Rightarrow 4K = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \frac{1}{8}$.
अब,हम $E(X)$ और $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
अतः,$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$.

(D) यादृच्छिक चर $X$ के प्रसरण का सूत्र निम्नलिखित है:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
सबसे पहले,हम अपेक्षित मान $E(X) = \sum P_i x_i$ की गणना करते हैं:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 0$
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum P_i x_i^2$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (-2)^2 \times \frac{1}{6} + (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = 4 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + 0 + 1 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{4+1+0+1+4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
अंत में,प्रसरण है:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{5}{3} - (0)^2 = \frac{5}{3}$

(A) प्रायिकता बंटन $P(X=j) = (\frac{1}{2})^j$ जहाँ $j = 1, 2, 3, \ldots$ दिया गया है।
यह एक ज्यामितीय बंटन (geometric distribution) है जिसमें $p = \frac{1}{2}$ और $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$j=1$ से शुरू होने वाले ज्यामितीय बंटन का माध्य $E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/2} = 2$ होता है।
ज्यामितीय बंटन का प्रसरण $Var(X) = \frac{q}{p^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$Var(X) = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$।
अतः,$X$ का प्रसरण $2$ है।

(D) चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ है:
$\frac{1}{6} + k + \frac{1}{4} + k + \frac{1}{6} = 1$
$2k + \frac{7}{12} = 1 \implies 2k = \frac{5}{12} \implies k = \frac{5}{24}$
प्रसरण की गणना:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & P(X=x_i) & x_i P(x_i) & x_i^2 P(x_i) \\ \hline -2 & 1/6 & -1/3 & 2/3 \\ \hline -1 & 5/24 & -5/24 & 5/24 \\ \hline 0 & 1/4 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 5/24 & 5/24 & 5/24 \\ \hline 2 & 1/6 & 1/3 & 2/3 \\ \hline \text{Total} & 1 & 0 & 21/12 \\ \hline \end{array}$
$\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{21}{12} - (0)^2 = \frac{7}{4}$

(A) माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{2}) + (9 \times \frac{1}{3}) = -0.5 + 3 + 3 = 5.5 = \frac{11}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = ((-3)^2 \times \frac{1}{6}) + (6^2 \times \frac{1}{2}) + (9^2 \times \frac{1}{3}) = 1.5 + 18 + 27 = 46.5 = \frac{93}{2}$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{93}{2} - (\frac{11}{2})^2 = \frac{93}{2} - \frac{121}{4} = \frac{65}{4}$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $P(X=k) = \frac{3^{ck}}{k!}$ जहाँ $k = 1, 2, 3, \ldots$,इसलिए:
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3^c)^k}{k!} = 1$.
घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रेणी विस्तार को याद करें: $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.
अतः,$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$.
$x = 3^c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{3^c} - 1 = 1$,जिसका अर्थ है $e^{3^c} = 2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$3^c = \log_e 2$.
दोनों पक्षों का आधार $3$ पर लघुगणक लेने पर:
$c = \log_3(\log_e 2)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माध्य $\lambda = 2$ वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X > \frac{3}{2})$ ज्ञात करना है। चूँकि $X$ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है,इसलिए $X > \frac{3}{2}$ का अर्थ $X \geq 2$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना:
$P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$.
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}] = 1 - \frac{3}{e^2} = \frac{e^2 - 3}{e^2}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = 1$.
$a$ को अचर लेने पर: $a \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{1}{3}\right)^k = 1$.
माना $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k$ जहाँ $x = 1/3$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x$ से गुणा करने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$.
अतः $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k = \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x + 1 - x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = 1/3$ के लिए,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{1}{4/9} = 9/4$.
इसलिए,$a \times (9/4) = 1$,जिससे $a = 4/9$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $n = 600$ बल्बों की खेप में खराब बल्बों की संख्या $X$ है।
बल्ब के खराब होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{100} = 0.01$ है।
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे जहाँ पैरामीटर $\lambda = np = 600 \times 0.01 = 6$ है।
$k$ खराब बल्ब होने की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-6} 6^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम दो खराब बल्ब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ है।
प्रायिकताओं की गणना करने पर:
$P(X = 0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$.
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - (e^{-6} + 6e^{-6}) = 1 - 7e^{-6}$.
सही विकल्प $A$ है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = \lambda + 2\lambda + 3\lambda + 4\lambda = 10\lambda = 1$.
अतः,$\lambda = \frac{1}{10}$.
अब,$\alpha$ और $\beta$ की गणना करें:
$\alpha = P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = \lambda + 2\lambda = 3\lambda$.
$\beta = P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 3\lambda + 4\lambda = 7\lambda$.
इसलिए,अनुपात $\alpha : \beta = 3\lambda : 7\lambda = 3 : 7$ है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_i) = k + 2k + 3k + 4k = 10k = 1 \implies k = 0.1$.
माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(X = x_i) = (3 \times 0.1) + (5 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (9 \times 0.4) = 0.3 + 1.0 + 2.1 + 3.6 = 7.0$.
अब,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i) = (3^2 \times 0.1) + (5^2 \times 0.2) + (7^2 \times 0.3) + (9^2 \times 0.4) = (9 \times 0.1) + (25 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (81 \times 0.4) = 0.9 + 5.0 + 14.7 + 32.4 = 53.0$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 53.0 - (7.0)^2 = 53.0 - 49.0 = 4.0$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4.0} = 2$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X=x) = 1$।
दी गई प्रायिकताओं का योग करने पर:
$0 + K + 2K + 2K + 3K + K^2 + 2K^2 + (7K^2 + K) = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$(K + 2K + 2K + 3K + K) + (K^2 + 2K^2 + 7K^2) = 1$
$9K + 10K^2 = 1$
$10K^2 + 9K - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$10K^2 + 10K - K - 1 = 0$
$10K(K + 1) - 1(K + 1) = 0$
$(10K - 1)(K + 1) = 0$
इससे $K = \frac{1}{10}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है। चूंकि प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $K = \frac{1}{10}$।
हमें $P(0 < X < 5)$ ज्ञात करना है,जो है:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= K + 2K + 2K + 3K = 8K$
$K = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$P(0 < X < 5) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10}$।

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ होता है।
दिया गया है कि $P(X=1) = 2P(X=2)$।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda e^{-\lambda} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
$\lambda e^{-\lambda} = \lambda^2 e^{-\lambda}$
चूंकि $e^{-\lambda} \neq 0$,दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर:
$\lambda = \lambda^2$
$\lambda^2 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda - 1) = 0$।
पॉइसन वितरण के लिए $\lambda > 0$ होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 1$।
अब,$P(X=3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{1^3 e^{-1}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{e^{-1}}{6}$।

(A) माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{2}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{12}{10} + \frac{36}{10} = \frac{50}{10} = 5$.
अतः,$Var(X) = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$.

(D) दिया गया है: $p = 0.001$,$n = 2000$.
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ बहुत छोटा है,इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे जहाँ $\lambda = np$ है।
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$.
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ है।
हमें ठीक $x = 3$ व्यक्तियों के लिए प्रायिकता ज्ञात करनी है:
$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times e^{-2}}{6} = \frac{4}{3 e^2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\sum P(X = x) = 1$.
$\frac{1}{10} + k + \frac{1}{5} + 2k + \frac{3}{10} + k = 1$
अचर पदों और $k$ वाले पदों को जोड़ने पर:
$(\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10}) + (k + 2k + k) = 1$
$\frac{6}{10} + 4k = 1$
$4k = 1 - \frac{6}{10}$
$4k = \frac{10 - 6}{10}$
$4k = \frac{4}{10}$
$k = \frac{1}{10}$

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=1) = P(X=2)$,इसलिए:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda} \lambda$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\lambda \neq 0$):
$1 = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 2$
अब,हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} (2)^4}{24}$
$P(X=4) = \frac{16}{24 e^2} = \frac{2}{3 e^2}$

(A) यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
सबसे पहले,हम माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
अब,प्रसरण की गणना करते हैं:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$
अतः,$X$ का प्रसरण $1.76$ है।

(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.
हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty \right) = 1 \quad \dots (i)$
माना $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty$.
तब $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} \right) + \ldots \infty$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
समीकरण $(i)$ से,$a \times S = 1 \implies a \times \frac{9}{4} = 1$.
अतः,$a = \frac{4}{9}$.

(C) $m$ प्राचल (parameter) वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=0) = 0.8$ है।
सूत्र में $x=0$ रखने पर,हमें $P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$e^{-m} = 0.8$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,$-m = \log_e(0.8) = \log_e(8/10) = \log_e(4/5)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m = -\log_e(4/5) = \log_e(5/4)$ है।
पॉइसन वितरण में,प्रसरण (variance) प्राचल $m$ के बराबर होता है।
अतः,प्रसरण $\log_e(5/4)$ है।

(A) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ वितरण का माध्य है।
दी गई शर्त $P(X=2) = 3 P(X=3)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda} \lambda^2$ से विभाजित करने पर ($\lambda \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{3 \lambda}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 1$।
अतः,पॉइसन वितरण का माध्य $1$ है।

(D) दिया गया है कि यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $1.3$ है।
माध्य का सूत्र $\Sigma x_i P(X=x_i) = 1.3$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) = 1.3$.
दिया गया है कि $P(X=2) = 0.3$ और $P(X=3) = 2 P(X=1)$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0 + P(X=1) + 2(0.3) + 3(2 P(X=1)) = 1.3$.
$P(X=1) + 0.6 + 6 P(X=1) = 1.3$.
$7 P(X=1) = 0.7$,जिससे $P(X=1) = 0.1$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X=3) = 2 P(X=1) = 2(0.1) = 0.2$.
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
$P(X=0) + 0.1 + 0.3 + 0.2 = 1$.
$P(X=0) + 0.6 = 1$.
अतः,$P(X=0) = 0.4$.

(B) माना $X$ एक दिन में दुर्घटनाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.
यह दिया गया है कि $50$ दिनों में $10$ दुर्घटनाएं हुईं,इसलिए प्रति दिन औसत दर $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ है।
एक दिन में $X$ दुर्घटनाओं की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
$P(X \geq 3) = 1 - \left[ \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^1}{1!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^2}{2!} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} \left[ 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} [1 + 0.2 + 0.02] = 1 - 1.22 e^{-0.2}$.

(C) पॉइसन वितरण $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda = 6$ है।
हमें $P(1 \leq X \leq 5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(1 \leq X \leq 5) = e^{-6} \left[ \frac{6^1}{1!} + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} \right]$
$= e^{-6} \left[ 6 + 18 + 36 + 54 + 64.8 \right]$
$= e^{-6} [178.8]$
$= 6 \times e^{-6} (29.8)$.

(C) पॉइसन वितरण के लिए,माध्य और प्रसरण दोनों $\lambda$ के बराबर होते हैं। दिया गया प्रसरण $\lambda = 2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ है।
हमें $P(X \geq 3) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\}$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4 e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
इनका योग करने पर,$P(X < 3) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2-5}{e^2}$.

(C) यादृच्छिक चर $X$ मान $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ लेता है,जहाँ प्रत्येक की प्रायिकता $P_i = \frac{1}{6}$ है।
माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P_i = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
अतः,$\frac{\text{Variance of } X}{\text{Mean of } X} = \frac{35/12}{7/2} = \frac{35}{12} \times \frac{2}{7} = \frac{5}{6}$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए। यहाँ,दिए गए मान $P(X=x) = \frac{2}{20}, \frac{4}{20}, \frac{6}{20}, \frac{8}{20}$ हैं।
माध्य $\mu = E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = 1(\frac{2}{20}) + 2(\frac{4}{20}) + 3(\frac{6}{20}) + 4(\frac{8}{20}) = \frac{2+8+18+32}{20} = \frac{60}{20} = 3$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x) = 1^2(\frac{2}{20}) + 2^2(\frac{4}{20}) + 3^2(\frac{6}{20}) + 4^2(\frac{8}{20}) = \frac{2 + 16 + 54 + 128}{20} = \frac{200}{20} = 10$.
प्रसरण $\sigma^2 = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{1} = 1$.

(B) $X$ का माध्य $\bar{X} = E(X) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot P(X=n) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m+1}{2}$ है।
$X$ का प्रसरण $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$E(X^2) = \sum_{n=1}^{m} n^2 \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{(m+1)(2m+1)}{6}$ की गणना करें।
अब,$\text{Var}(X) = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \left( \frac{m+1}{2} \right)^2 = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \frac{(m+1)^2}{4}$.
$\frac{m+1}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $\text{Var}(X) = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{2m+1}{3} - \frac{m+1}{2} \right] = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{4m+2 - 3m - 3}{6} \right] = \frac{m+1}{2} \cdot \frac{m-1}{6} = \frac{m^2-1}{12}$.